Pro-‘-extensions de corps de nombres

Pro- ` -extensions de corps de nombres

-rationnels

Jean-François Jaulent et Odile Sauzet

Version corrigée

Résumé. Nous introduisons ici la notion de corps de nombresl_-rationnelKrelativement à une placelau-dessus d'un nombre premier `, qui généralise celle de corps`-rationnel (ou `-régulier) déjà considéree par plusieurs auteurs en relation avec la K-théorie, et nous en discutons diverses propriétés. Nous dénissons ensuite la notion d'ensemble de placesl-primitif qui permet de décrire le groupe de Galois de la pro-`-extension maximale d'un tel corps comme pro-`-produit de groupe de Galois locaux et de caractériser les

`-extensions`-ramiées en termes de ramication modérée. Le tout est illustré par des exemples numériques obtenus par le système PARI.

Abstract. For a primeldividing a prime number `, we dene what it is for a number eldKto bel-rational. We discuss a special case : the`-birational elds, rational for two places over`. We give a denition for al-primitive set of tame primes,X, that let us write the Galois group of the maximal`-ramied`-extension ofKas the free pro-`-product of the decomposition groups of primes dividing`X∞. This way we get a condition on the ramication for an`-extension ofKto be rational. Numerical exemples are given.

Sommaire

0. Introduction et Notations.

0.a Position du problème.

0.b Index des principales notations.

1. Extensionsl-rationnelles deQ[ζ`].

1.a Interprétation corps de classes de lal-rationalité.

1.b Interprétation kummérienne de lal-rationalité.

1.c Application aux corps`-birationnels.

2. Ramication restreinte sur un corpsS-rationnel.

2.1 Ensemble de placesS-primitifs.

2.b Caractérisation de laS-rationalité.

2.c Interprétation logarithmique de laS-rationalité.

3. Propagation de laS-rationalité et lois primitives de réciprocité.

3.a Propagation de laS-rationalité.

3.b Lois de réciprocité primitives.

3.c Illustrations numériques.

∗J. Number Theory 65 (1997), 240267 & 80 (2000), 318319.

0. Introduction et Notations 0.a Position du problème

La notion de corps`-régulier, déjà rencontrée implicitement sous forme d'une hypothèse technique par divers auteurs (notamment H. Miki [Mi] ou J.-F. Jaulent [J1]) à l'occasion de l'étude d'une condition susante de la conjecture de Leopoldt, a été explicitement dénie par G. Gras et J.-F. Jaulent (cf [GJ]) par référence au`- noyauR₂(K)des symboles réguliers dans le groupe universelK₂(K): en présence des racines`-ièmes de l'unité (en fait sous une hypothèse plus faible), les corps de nombres K pour lesquels le `-sous-groupe de SylowR2(K)du noyau régulier est trivial sont exactement ceux qui vérient les deux conditions :

(a)K admet une unique placel au dessus du premier`et

(b) le`-groupeCl<sup>0</sup><sub>K</sub> des`-classes de diviseurs deK (i.e. le quotient du`-groupe des classes d'idéaux prises au sens restreint par le sous groupe engendré par les classes d'idéaux construits sur les places au dessus de`) est trivial ;

de sorte que la terminologie introduite généralise naturellement la notion de nombre premier régulier utilisée dans la classication des corps cyclotomiquesQ[ζ_`].

Toujours sous la même conditionζ`∈K, la notion de`-régularité se trouve en outre (comme expliqué dans [JN]) coïncider avec celle de `-rationalité introduite indépendamment par A. Movahhedi et T. Nguyen Quang Do (cf [MN]) si bien que les corps`-réguliers sont aussi caractérisés par le fait que le groupe de GaloisG_S = Gal(K_S/K)attaché à leur pro-`-extension`-ramiée∞-décomposée maximaleK_S a la structure la plus simple qui soit : c'est un pro-`-groupe libre de rangc<sub>K</sub>+ 1(où c<sub>K</sub> désigne le nombre de places complexes deK). On retrouve là en particulier le fait qu'un corps`-régulier satisfait évidemment la conjecture de Leopoldt puisqu'il possède bien exactement (cK+ 1)Z^`-extensions linéairement indépendantes.

Si l'on revient maintenant sur les deux conditions (a) et (b) données plus haut, une dissymétrie saute aux yeux : autant il parait naturel, si l'on souhaite seule- ment que l'arithmétique des`-extensions d'un corps de nombre soit relativement simple, d'exiger qu'un certain`-groupe de classes soit trivial, autant refuser toute décomposition dansK du premier`considéré peut sembler exagérément sévère au regard du résultat attendu.

Notre propos dans cet article est donc clair : il s'agit d'introduire une nouvelle classe de corps de nombres, que nous proposons ici d'appeler l-rationnels, ne sa- tisfaisant plus nécessairement la condition (a) jugée trop restrictive, mais vériant en revanche une hypothèse de trivialité, plus dure que la seule condition (b) mais moins dure que (a) et (b) réunies, et néanmoins susante pour autoriser une des- cription particulièrement simple de la pro-`-extension `X-ramiée maximale d'un tel corps, pour tout ensemble ni X de places modérées de K satisfaisant une propriété convenable de primitivité.

Les résultats que nous obtenons, qui prennent appui sur les techniques de corps de classe`-adique développées dans [J1], permettent ainsi de conserver la plupart des résultats récapitulés dans [JN] (au prix naturellement de quelques complica- tions) et redonnent en particulier des théorèmes de propagation de la rationalité,

via une généralisation convenable de la notion d'ensemble primitif de places mod- érées. Ils recoupent en outre plusieurs résultats de K. Winberg (cf [W1], [W2]) dont la parenté avec ceux de [GJ] ou [MN] était jusqu'ici partiellement passée inaperçue et permettent incidemment de compléter la classication des corps de nombres in- troduite par L.V. Kuz'min (cf [Ku]) puisque l'implantation récente du calcul des groupes de classes de rayons dans le système PARI de calcul formel développé à Bor- deaux nous a permis d'illustrer numériquement les notions que nous introduisons ici.

Les corpsl-rationnels ainsi construits constituent nalement une nouvelle classe de corps de nombres K qui satisfont pour des raisons purement algébriques les conjectures`-adiques de Leopoldt et de Gross, dont la Z<sup>`</sup>-extension cyclotomique est un corps surcirculaire de genre nul (suivant la terminologie introduite dans [Jo]

et discutée dans [JM]), et qui vérient en outre une propriété galoisienne introduite par M. Yamagishi (cf [Ya]) : le rangρd'une extension pro-`-libre d'un tel corps est en général majoré par le nombre de places complexescdeK; il est donc strictement plus petit que le rangc+ 1de la composée desZ`-extensions.

0.b Index des principales notations

Nous rassemblons ci-dessous les principales notations utilisées dans l'article.

Notations attachées à un corps localK_p :

-K¯p : la pro-`-extension (galoisienne) maximale deKp, -Gp : le groupe de GaloisGal( ¯Kp/Kp),

-K¯_p^ab: la pro-`-extension abélienne maximale de Kp, -G_p^ab: le groupe de GaloisGal( ¯K_p^ab/K_p),

-Rp= lim

←−K_p^×/K_p<sup>×`n</sup> ' G<sub>p</sub><sup>ab</sup> : le compactié`-adique deK_p^×, -µ_p=R^tor_p : le`-groupe des racines de l'unité dansK<sub>p</sub>, -ev<sub>p</sub> : la valuation logarithmique surR<sub>p</sub> à valeurs dansZ`, -Uep =ker evp : le sous groupe des normes cyclotomiques dansRp. Notations attachées à un corps de nombresK:

-P lr, P lc, P l` : l'ensemble des places réelles, complexes ou `-adiques, -r, c, l: les nombres de places réelles, complexes ou`-adique deK,

-S un sous-ensemble non vide des des places sauvages (i.e. `-adiques) de K, -sle nombre de places dansS,

-X un ensemble de places nies modérées (i.e. étrangères à`) deK, -J =Qres

p Rp : le`-adié du groupe des idèles deK,

-Je: le noyau dansJ de la formule du produit pour les valeurs absolues, -R=Z`⊗_ZK^× : le sous-groupe des idèles principaux,

-Ue=Q

pUep : le groupe des normes cyclotomiques dansJ, -D`f=Je/Ue: le`-groupe des diviseurs logarithmiques,

-Pf`=RUe/Ue : le sous-groupe des diviseurs logarithmiques principaux, -fC`=Je/U Re =D`/ff P`: le`-groupe des classes logarithmiques, -U⁰=Q

l|`RlQ

p-`Up : le groupe des`-unités,

-Cl⁰=J/U⁰R: le`-groupe des `-classes de diviseurs au sens ordinaire, -E⁰ =R ∩ U⁰ 'Z`⊗<sub>Z</sub>E<sub>K</sub><sup>0</sup> : le`-groupe des`-unités,

-µe=Q

pµp : le sous groupe fermé des racines de l'unité dansJ, -µ: le`-groupe des racines de l'unité dansR(=eµ∩ Rsous Leopoldt).

Quelques pro-`-extensions de K : -K<sup>c</sup> : Z`-extension cyclotomique,

-K^lc : pro-`-extension abélienne localement cyclotomique maximale, -K<sup>z</sup> : compositum desZ`-extensions,

-K^bp: compositum des`-extensions cycliques deKlocalementZ`-plongeables, - K<sub>`</sub><sup>ab</sup> : pro-`-extension abélienne `-ramiée maximale (i.e. non ramiée aux places nies étrangères à`, éventuellement complexiée aux places réelles),

-K<sub>`X</sub><sup>ab</sup> : pro-`-extension abélienne`X-ramiée maximale (i.e. non ramiée aux places nies étrangères à`non contenues dansX, éventuellement complexiée aux places réelles)

1. Extensionsl-rationnelles de Q[ζ_`]

Soit` un nombre premier. La notion centrale de cet article est celle de corps l-rationnel que nous pouvons introduire comme suit :

Dénition 1.1. Nous disons qu'un corps de nombre K contenant les racines `- ièmes de l'unité estl-rationnel en une placelau dessus de` lorsque la`-extension (abélienne)`-ramiée l-décomposée maximale deK est triviale.

Remarques.

(i) Il est indiérent dans la dénition précédente de mettre ou non la condition d'abélianité.

(ii) LorsqueKpossède une unique placelau dessus de`, la condition précédente postule la trivialité de la`-extension abélienne maximale`-ramiée `-décomposée deK, en d'autre termes , via la correspondance du corps de classes, la trivialité du

`-groupe des`-classes d'idéaux au sens restreint du corps K ce qui est bien l'une des dénitions équivalente de la `-régularité (ou `-rationalité) données par [GJ], [MN] et [JN].

Nous commençons par discuter dans ce qui suit diverses caractérisations de la l-rationalité, par la théorie`-adique du corps de classes d'abord, par la théorie de Kummer ensuite. L'opposition entre ces caractérisations et leurs reets respectifs dans le miroir de Leopoldt est, en eet, essentielle dans la généralisation de la l-rationalité au cas non kummérien étudié dans la section 2.

1.a Interprétation corps de classes de la l-rationalité

Proposition 1.2. Un corps K contenant les racines `-ièmes de l'unité est l- rationnel si et seulement si on a l'identité entre les groupes d'idèles :

(1) J =RRl

Y

p-`∞

µ_p

Preuve. Le membre de droite de l'égalité n'est autre, en eet, que le sous-groupe fermé de J attaché par la théorie `-adique du corps de classes à la `-extension abélienne`-ramiée l-décomposée maximale deK.

Théorème 1.3. La condition (1) est satisfaite dans un corps de nombreK (con- tenant ou non les racines`-ièmes de l'unité ) si et seulement si les deux conditions suivantes se trouvent réunies :

(2) le groupe des`-classes d'idéaux (au sens ordinaire)Cl⁰du corpsK est trivial ; (3) et l'application de semi-localisations⁰_linduit une surjection du tensoriséE⁰ du

groupe des `-unités (au sens ordinaire) de K sur le produit R<sup>0</sup><sub>l</sub> =Q0 p|`∞Rp

étendu aux places l⁰6=ldivisant `et aux places réelles.

Preuve. Introduisons le facteur semi-localR`∞=Q

p|`∞Rp=Rl.Q0

p|`∞Rp. Nous obtenons immédiatement l'équivalence annoncée par :

(1) J =RRl

Y

p-`∞

µp⇔











(2) J =RR`∞

Y

p-`∞

µ_p, et

(3) RR_`∞ Y

p-`∞

µp=RRl

Y

p-`∞

µp

Scolie 1.4. Lorsque la condition (3) est satisfaite il existe en particulier dans K des`-unités de toutes signatures. La trivialité du `-groupe des `-classes d'idéaux exigé par la condition (2) peut donc être prise indiéremment au sens ordinaire ou au sens restreint.

Corollaire 1.5. Soit K satisfaisant la condition (1). Alors K est logarithmique- ment principal, en ce sens que son`-groupe des classes logarithmiquesCle est trivial.

En d'autres termes une`-extension de K est cyclotomique (i.e. contenue dans la Z`-extension cyclotomiqueK^c deK) dès qu'elle l'est localement. En particulierK vérie banalement la conjecture de Gross généralisée (pour le premier`).

Preuve. Sous la condition (1), le noyauJede la formule du produit pour les valeurs absolues `-adiques est donné par : Je = RfRlQ

p-`∞µp et Rfl n'est autre que le sous-groupeUel des normes cyclotomiques dansRl. Il vient donc comme annoncé J ⊂ Re Ue i.e. fC` = Je/RUe = 1. En particulier le corps K vérie évidemment la conjecture de Gross géneralisée qui postule la nitude du groupefC`. EnnfC`

s'interprète d'après [J2] comme étant le groupe de GaloisGal(K^lc/K^c)oùK^lc est la`-extension localement cyclotomique maximale deK.

Remarque. Désignons parr, cetlles nombres respectifs de places réelles , complexes et `-adiques deK . Sid= [Kl:Q`]et n=r+ 2c= [K :Q] sont respectivement les degrés local et global, nous concluons des isomorphismes E⁰ ' µZ^r+c+l−1` et R⁰_l 'µ⁰_lZr+2c−d+(l−1)

` que l'application s⁰_l ne peut envoyerE⁰ surR⁰_l que sous les conditions de rangd≥c, siµet µ⁰_l sont triviaux, et mêmed≥r+c+s−2 s'ils ne le sont pas .

1.b Interprétation kummérienne de lal-rationalité

Proposition 1.6. Un corps de nombres K contenant µ` estl-rationnel pour une place l au-dessus de ` si et seulement si l'application naturelle induite par la lo- calisation des radicaux R/R<sup>`</sup> → Rl/Rl` ⊕(⊕_{p-`∞</sub>Rp/µpRp`) est injective , en d'autres termes si et seulement si le plongement naturel du sous-module principal Rdans le groupe des idèles J induit une injection à conoyau Z`-libre de R dans Rl⊕(⊕<sub>p-`∞}Rp/µp), ce que nous résumons en écrivant :

(1') RRl⊕(⊕p-`∞Rp/µ_p)' Rl⊕ Id⁰.

Preuve. La première armation s'obtient en observant que le noyau de l'application naturelle R/R<sup>`</sup> → Rl/Rl`⊕(⊕<sub>p-`∞</sub>Rp/µp.Rp`) n'est autre que le radical kum- mérien attaché à la `-extension abélienne élémentaire maximale de K qui est complè- tement décomposée en la placel et non ramiée aux places nies p - `. Il en résulte immédiatement que Rs'identie à un sous-module pur de la somme Rl⊕(⊕<sub>p-`∞</sub>Rp/µp)' Rl⊕ Id<sup>0</sup> oùId<sup>0</sup> désigne leZ`-module libre construit sur les idéaux premiers de K étranger à `. En eet, puisque R contient par hypothèse les racines`-ièmes de l'unité, son image dans Rl⊕ Id⁰ contient le sous groupe de torsionµldeRlet le quotient correspondant est donc sansZ`-torsion.

Théorème 1.7. Le plongement naturel du sous-module principalR=Zl⊗_ZK^× dans le`-adiéJ du groupe des idèles deKinduit une injection à conoyauZ`-libre deRdans la somme directe Rl⊕(⊕_p-`∞Rp/µp) (i.e. K vérie la condition (1')) dès que les deux conditions suivantes se trouvent réunies :

(2') le groupe des `-classes d'idéaux (au sens ordinaire) Cl⁰ du corps K est trivial, et

(3') l'application de localisation s_l induit une injection à conoyau Z`-libre du tensorisé E<sup>0</sup> du groupe des `-unités (au sens ordinaire) de K dans le compactié

`-adiqueR_l du groupe multiplicatifK_l^×.

Ces conditions sont également nécessaires en présence des racines `-ièmes de l'unité.

L'exemple suivant illustre la nécessité d'avoir une hypothèse sur les racines`- ièmes de l'unité dans le théorème 1.7.

Exemple. Soient k0 = Q[√

−1], puis k l'unique extension de degré 5 sur k0

contenue dans Q[ζ124] et k1 le premier étage de la Z5-extension cyclotomique de k0. Il est montré dans [W3] que les sous-corpsKdekk1de degré 5 surk0autre que ket k₁ vérient la condition (1') pourl au-dessus de`= 5mais non la condition (2').

Preuve. Le groupeE⁰ est, en eet, un sous-module pur deRd'image triviale dans la somme directe⊕_{p-`∞</sub>Rp/µp; c'est donc sous la condition (1') un sous-module pur du premier facteurRl. L'équivalence s'obtient alors en observant que la somme de droite⊕<sub>p-`∞}Rp/µps'identie auZ`-module libre construit sur les idéaux premiers étrangers à ` et qu'il contient comme sous-module d'indice ni l'image de R/E⁰ isomorphe au sous-module principal.

Remarque. La condition (3') impose en particulier l'isomorphismeµ'µ_lentre les

`-groupes de racines globales et locales de l'unité.

Corollaire 1.8. SoitKsatisfaisant (1'). AlorsKvérie banalement la conjecture de Leopoldt (pour le premier`) et le groupe de GaloisGal(K^h/K)' J/RQ

pµpde la composéeK^h des`-extensions cycliques deK qui sont localementZ`-plongeables est unZ`-module libre de dimension c+ 1.

Preuve. Par (3') le tensorisé E⁰ du groupe des `-unités s'injecte dansR<sub>l</sub>; il en va donc de même du sous moduleEconstruit sur les unités, etKvérie la conjecture de Leopoldt. Ce point acquis, considérons la composéeK<sup>h</sup>des`-extensions cycliques deK qui sont localementZ`-plongeables. Puisque le sous-module de torsionµpde Rp mesure précisément en la place p l'obstruction locale à un Z`-plongement, le groupe d'idèles associé par le théorie du corps de classes est le produitRQ

pµp. Le quotient correspondant J/RQ

pµp est ainsi un Z`-module de type ni, de rang essentielc+ 1puisqueKvérie la conjecture de Leopoldt. Cela étant, d'après l'assertion (1') le groupeRdes idèles principaux s'identie à un sous-module pur du groupe d'idèles⊕p-`∞Rp/µpet donc a fortiori du groupeR`⊕R∞⊕(⊕p-`∞Rp/µp). Le quotient modulo la torsionJ/RQ

pµpest ainsi unZ`-module sans torsion, donc libre de rangc+ 1d'après ce qui précède.

Remarque. Des isomorphismesE⁰'µZ^r+c+l−1` et R<sub>l</sub>'µ<sub>l</sub>Z<sup>d+1</sup>` , on conclut queE⁰ ne peut s'injecter dansR_l que sous la condition de rangr+c+l−1≤d+ 1. On retrouve ainsi l'inégalité nécessaired≥r+c+l−2déjà obtenue.

1.c Application aux corps `-birationnels

Dénition & Proposition 1.9. Nous disons qu'un corps de nombresKcontenant les racines`-ièmes de l'unité est`-birationnel lorsqu'il est rationnel pour au moins (et donc exactement ) deux places au-dessus de `. Un tel corps est totalement imaginaire et possède en tout et pour tout deux places au-dessus de`.

Preuve. SupposonsK rationnel en, disons, l etl⁰ au dessus de`. L'assertion (3') du théorème 1.7 appliquée en la placelnous dit que le tensoriséE⁰ du groupe des

`-unités deK s'envoie injectivement dans le compactié Rl, et l'assertion (3) du théorème 1.3 appliquée enl⁰ que le même tensorisé s'envoie surjectivement sur le produitQ

p|`∞,p6=l<sup>0</sup>Rp. Il en résulte queletl<sup>0</sup>sont les seules places deKau dessus de` ; de plus, nous avons R_p = 1, pour toutp|∞ donc ou bien ` 6= 2et K, qui contient ζ` est totalement imaginaire, ou bien ` = 2 et r = 0 auquel cas K est encore totalement imaginaire.

Remarque. Les corps birationnels sont exactement ceux du type B dans la clas- sication de L.V. Kuz'min (cf [Ku] Fundamental Theorem) comme il résulte du théorème 1.11 ci-dessous.

Pour établir l'équivalence entre les diverses caractérisations de la`-birationalité, nous avons besoin d'un résultat technique essentiellement bien connu (cf [MN], lemme 2.4 ou [JN], lemme 3.1) dont il peut être commode de donner une courte preuve :

Lemme 1.10. Soient G et H deux pro-`-groupes et φ : H → G un morphisme surjectif . Pour que φ soit un isomorphisme il sut que les conditions suivantes soient remplies :

(i) L'applicationH^ab→G^ab induite par φest un isomorphisme ; (ii) H²(G,Q`/Z`) = 1.

Preuve. SoitN le noyau deφ; la suite exacte d'ination-restriction à coecients dansQ`/Z` s'écrit :

1→H¹(G,Q`/Z`)→H¹(H,Q`/Z`)→H¹(N,Q`/Z`)^G →H²(G,Q`/Z`).

Les conditions (i) et (ii) donnent alorsH¹(N,Q`/Z`)^G = 1, doncH¹(N,Q`/Z`) = 1 et nalementN= 1, comme annoncé.

Théorème 1.11. SoientKun corps de nombres contenant les racines `-ièmes de l'unité et admettant au moins deux placesl et l<sup>0</sup> au-dessus de`, puis K` la pro-`- extension maximale`-ramiée deK etK<sub>`</sub>^ab la sous-extension abélienne maximale deK`. Les assertions suivantes sont équivalentes :

(i)K est `-birationnel ;

(ii)Kest totalement imaginaire, admet exactement deux placesletl⁰ au-dessus de`, son`-groupe des`-classes est trivial et les applications de localisation induisent des isomorphismes :

R_l' E⁰' R_l⁰

(iii) Le groupe de Galois global Gal(K_{`</sub><sup>ab</sup>/K)coïncide avec les sous-groupes de décompositionDl(K<sub>`}^ab/K) etDl⁰(K_`^ab/K)et l'on a :

Gal(K_`^ab/K)'Gal( ¯K_l^ab/K_l)'Gal( ¯K_l^ab0 /K_l⁰)

(iv) Le groupe de Galois global Gal(K`/K)s'identie de même aux groupes de Galois locaux :

Gal(K_`/K)'Gal( ¯K_l/K_l)'Gal( ¯K_l⁰/K_l⁰).

Preuve. Nous avons successivement :

(i)⇔(ii) en vertu de la discussion ci-dessus : en eet, la condition (2)=(2') exprime la trivialité du groupeCl⁰ et les conditions (3) et (3') données plus haut (cf th. 1.3 et th. 1.7) montrent que les applicationss_l :E⁰ → Rl et s⁰_l:E⁰ → Rl⁰

sont simultanément injectives et surjectives ;

(ii)⇒(iii) d'après l'équivalence précédente :Kétantl-rationnel (respl⁰-rationnel) le groupe de Galois Gal(K_{`</sub><sup>ab</sup>/K) coïncide avec le sous-groupe de décomposition D<sub>l</sub>(K<sub>`}^ab/K)(respD_l⁰(K<sub>`</sub><sup>ab</sup>/K)) et la théorie`-adique du corps de classes donne di- rectement : D_l(K_`^ab/K)' R_l/R_l∩ RQ

p-`µ<sub>p</sub>=R<sub>l</sub>(respD<sub>l</sub><sup>0</sup>(K<sub>`</sub>^ab/K)' R_l⁰/R_l⁰∩ RQ

p-`µp =Rl⁰) puisque les idèles principaux qui interviennent au dénominateur sont des éléments deE⁰ d'image locale 1 dansRl⁰ (resp Rl) ;

(iii)⇒(iv) car l'isomorphisme Gal(K_{`</sub><sup>ab</sup>/K) ' Rl ' Rl<sup>0</sup> montre que le rang essentiel de G<sup>ab</sup><sub>`} = Gal(K_`^ab/K) est alors dl+ 1 = dl⁰ + 1 = ¹₂(dl+dl⁰) + 1 ≤

1

2(r+2c)+1≤c+1de sorte queKsatisfait la conjecture de Leopoldt, ce qui entraine en particulierH²(G`,Q`/Z`) = 1 ; les conditions du lemme 1.10 se trouvent ainsi réunies, ce qui donne l'implication annoncée ;

(iv)⇒(i) puisque les égalitésG_S =Gal(K_{`</sub>/K) =D<sub>l</sub>(K<sub>`}/K) =D_l0(K_{`</sub>/K)en- tre groupe de Galois global et groupes de décompositions ( pour deux placesLet L<sup>0</sup> deK<sub>`} au dessus deletl⁰ respectivement ) implique que les`-extensions (abéli- ennes) maximales `-ramiées respectivement l ou l⁰-décomposées soient triviales, ce qui caractérise la`-birationalité deK.

Corollaire 1.12. SoitK une extension galoisienne d'un corps de nombresF con- tenant les racines`-ièmes de l'unité. SiKestl-rationnel en une placelau dessus de

`, le groupe de décomposition associéDl(K/F)est un sous-groupe normal d'indice 1 ou 2 dansGal(K/F).

Preuve. En eet,Kest alorsl⁰-rationnel pour toute placel⁰ conjuguée del. Corollaire 1.13. Les corps quadratiques 2-birationnels sont les corps imaginaires K = Q[√

−p] pour p premier, p ≡ 7 (mod 16) et K = Q[√

−pq] pour p et q premiers,p≡ −q≡3 (mod 8).

Remarque. Ce résultat précise celui donné dans [Ts] dont la démonstration est incomplète.

Preuve. D'après ce qui précède,K est totalement imaginaire, admet exactement deux places au-dessus de 2, et son nombre de 2-classes est impair ; il est donc de la formeQ[√

−d] avecd≡-1 (mod 8), sans facteur carré, et la formule des 2-classes ambiges montre quedadmet au plus deux diviseurs premiers (cf [J1],Th III.1.9).

Plus précisément, nous avons ici

|C`⁰_K^G| = Q

p|dep(K/Q)

2 2^Z: 2^Z∩N_K/Q, donc

- ou biend=ppremier et le nombre de classes deK est impair en vertu de la formule des classes ambiges de Chevalley ;

- ou biend=pq avecpetqpremiers et 2 non carré modulop(comme modulo q) c'est à direp≡ ±3(mod 8), par exemple p≡ −q≡3 (mod 8), et le nombre de classes deK est ici pair.

Examinons successivement les deux éventualités : 1^er cas : K=Q[√

−p] avec −p≡1 (mod8).

Notonshl'ordre (impair) de l'idéal premierlet faisons choix d'une racine carrée δ de−pdans Z2. Ecrivons π= ¹₂(a+bδ)l'image dans Z2 d'un générateur del^h (avecaetbdansZ) ; son conjuguéπ¯= ¹₂(a−bδ)est alors une unité deZ2etKest 2-birationnel si et seulement si±¯πn'est pas un carré dans Z2, i.e. si et seulement si l'on aπ¯6≡ ±1 (mod8).

Maintenant, de l'identité normiqueN(l^h) = 2^h=π¯π=¹₄(a²+pb²)nous tirons a²+pb² = 2^h+2, ce qui nous prouve, puisque h est impair, que 2 est un carré modulob, et nous donneb≡ ±1 (mod8). D'un autre côté, puisqueπ¯ est inversible dansZ2, nous avons ¯π⁻¹≡¯π(mod8) donc, puisque2^hvaut 2 ou 0 modulo 8 :

bδ=π−π¯= 2^h/π¯−π¯≡(2^h−1)¯π≡ ±¯π(mod8).

En résumé, il vientπ¯≡ ±bδ≡ ±δ(mod8)d'où comme attendu :

¯

π6≡ ±1 (mod8)⇔δ6≡ ±1 (mod8)⇔ −p6≡1 (mod16).

2^me cas : K=Q[√

−pq]avecp≡ −q≡3 (mod 8).

L'extension abélienne 2-ramiée 2-élémentaireM deKest ici encore de degré 8 surK (Puisque son radicalRad(M/K) =E_K⁰ /E_K^{0 2}sous la conditionC`_K⁰= 1est

unF2-espace de dimension 3) ; c'est évidemment le corpsM =Q[√ p,√

q,√

−1,√ 2]. Pour vérier queKest birationnel, il sut alors de constater queM ne possède que 2 places au-dessus de 2 ce qui résulte clairement du fait que la seule sous-extension deM quadratique surQqui est 2-décomposée est le corps K=Q[√

−pq]. 2. Ramication restreinte sur un corps S-rationnel

L'étude synoptique menée dans la section 1 conduit, en l'absence des racines

`-ièmes de l'unité à distinguer deux notions :

Dénition 2.1. SoitKun corps de nombres (contenant ou non les racines`-ièmes de l'unité). Nous disons désormais queK est :

- l-pseudo-rationnel lorsqu'il vérie la condition (1) ou , de façon équivalente, les conditions (2) et (3) du théorème 1.3 ;

- l-rationnel lorsqu'il vérie la condition (1') ou , de façon équivalente, les conditions (2') et (3') du théorème 1.7.

Plus généralement, les résultats de K. Wingberg (cf [W1] et [W2]) nous amènent à étendre comme suit la notion de corpsl-rationnel :

Théorème & Dénition 2.2. Soit K un corps de nombres (contenant ou non les racines `-ièmes de l'unité) et S un ensemble non vide de places `-adiques de K. Nous disons que K est S-rationnel lorsqu'il vérie les hypothèses équivalentes suivantes :

(i) Le plongement naturel du sous-module principal R=Z`⊗<sub>Z</sub>K<sup>×</sup> dans le `- adiéJ du groupe des idèles induit une injection à conoyauZ`-libre deRdans la somme directeRS⊕ Id<sup>0</sup>= (⊕<sub>l∈S</sub>Rl)⊕(⊕<sub>p-`∞</sub>Rp/µp), ce que nous écrivons :

RRS⊕ Id⁰ ; (ii) les deux conditions suivantes sont réunies :

(ii,a) le pseudo-radical V_S⁰ est trivial, qui est déni par :

V_S⁰ ={xR^{`</sup>∈ R/R<sup>`} | xl∈ R^{`</sup><sub>l</sub>, pour l∈S &xp ∈µpR<sup>`}_p, pour p-`}

(ii,b) et on a l'isomorphisme : ⊕l∈Sµ`'µ.

(iii) En particulier, le corps K est S-rationnel lorsque sont réunies les condi- tions susantes (qui sont également nécessaires en présence des racines`-ièmes de l'unité) :

(iii,a) le `-groupe des `-classesCl⁰ est trivial ;

(iii,b) et l'application de semi-localisationsS induit une injection à conoyau Z`-libre du tensorisé `-adique E⁰ =Z`⊗<sub>Z</sub>E<sup>0</sup> du groupe des `-unités dans le com- pactié`-adique RS =Q

l∈SRl.

Remarques. (i) Lorsque S ={l} est un singleton, la condition (i) ci-dessus n'est autre que la condition (1') déjà rencontrée. La notion de S-rationalité coïncide alors avec la notion del-rationalité donnée plus haut.

(ii) SiK contient les racines`-ièmes de l'unité, la condition (iii,b) implique que S soit un singleton. L'introduction de la notion de corps S-rationnel n'apporte donc rien de nouveau dans ce cas.

(iii) Les conditions (iii,a) et (iii,b) étant précisément celles proposées par K.

Wingberg, le théorème 2.2 réunit ainsi les diverses notions de rationalité considérées jusqu'ici.

Preuve des équivalences. La démonstration de l'équivalence (i)⇔(ii) est identique à celle donnée lors de la preuve du théorème 1.7 ; il sut pour cela de remplacer Rl par le produit RS = Q

l∈SRl. Quant à l'équivalence (i)⇔(iii), elle s'obtient en observant que le pseudo-radical kummérien V_S⁰ n'est autre que le noyau de l'application naturelle du quotientR/R^{`</sup>dans la somme directeR<sub>S</sub>/R<sup>`}_S⊕Id⁰/Id^{0`</sup>; la condition (iii,a) signie ainsi queRs'identie à un sous-module pur de la somme RS ⊕Id<sup>0</sup>, et la condition (iii,b) que le quotient correspondant est sans Z<sup>`}-torsion doncZ`-libre.

2.a Ensembles de placesS-primitifs

SoitSun ensemble non vide de places`-adiques d'un corps de nombresK, puis S<sup>0</sup>=P l`\S etRS⁰ =Q

l⁰∈S⁰Rl⁰.

Proposition 2.3. Pour qu'un corps K soit S-rationnel il faut et il sut que le sous-groupe ferméR_S⁰RQ

p-`µ<sub>p</sub> soit un facteur direct sans cotorsion (i.e. dont le quotient correspondant est sans torsion) du groupe des idèlesJ, en d'autres termes que le groupe de GaloisFS de la pro-`-extension abélienne maximale deK qui est

`-ramiée et complètement décomposée aux places réelles et à cellesl6∈S divisant

` soit un Z`-module libre de dimension x=d−r−c−l+s+ 1, où d=P

l∈Sdl

est la somme des degrés locaux des complétés deK aux places deS. Remarque. Sous les hypothèses de la proposition 2.3 on ax= (c+1)−P

l∈S⁰(d_l⁰+1) et donc d= c+ 1 ⇔S = P l<sub>`</sub>. En particulier si cette égalité a lieu, on retombe donc sur la notion de corps`-rationnel.

Preuve. La condition (i) arme que le`-groupeRdes idèles principaux s'identie à un facteur direct sans cotorsion du quotient J/RS⁰Q

p-`µp c'est à dire d'une part la trivialité de l'intersection R ∩ RS⁰Q

p-`µp (qui implique en particulier la conjecture de Leopoldt), d'autre part la liberté du quotientFS=J/RRS⁰Q

p-`µp. La première condition s'écrit aussi bienRS⁰∩ RQ

p-`µ_p= 1. Quant à la dimension deF_S elle s'obtient comme suit : sous la conjecture de Leopoldt, le rang essentiel du quotientJ/RQ

p-`µ<sub>p</sub>est le nombrec+1deZ`-extensions deK, tandis que celui duZ<sup>`</sup>-moduleRS<sup>0</sup> vaut, lui,(r+ 2c−d) + (l−s) =c+ 1−x, ce qui donne comme annoncédim<sub>Z`</sub>FS =x. Réciproquement, siFS est unZ`-module de dimensionx, le même calcul montre queKvérie la conjecture de Leopoldt et, plus précisément, que l'on aRS⁰∩ RQ

p-`µp= 1doncR ∩ RS⁰Q

p-`µp= 1, ce qui établit la condition (i).

Dénition 2.4. SoientK un corpsS-rationnel,S⁰=P l_`\S l'ensemble des places

`-adiques qui ne sont pas dansS etF<sub>S</sub> le groupe de Galois de la`-extension abéli- enneS-ramiée S⁰∞-décomposée maximale deK. Nous disons qu'un ensembleX

de places modéréesp-`∞ deK est S-primitif lorsque les images dansFS des élé- ments deX forment une base d'un sous-module pur deFS , autrement dit lorsque les logarithmes de Gras des places deX forment uneZ`-base d'un sous-module pur d'un supplémentaire de l'image deRS⁰ dans le groupe de GaloisGal(K^z/K)de la composéeK^z desZ`-extensions de K.

Remarque. La dénition ci-dessus généralise la notion d'ensemble`-primitif intro- duite par G. Gras et J.-F. Jaulent (cf [GJ]). Rappelons en eet que le logarithme de Gras d'une place niep étrangère à` n'est autre que l'image de l'automorphisme de Frobenius associé àp dansGal(K^z/K). En particulier :

Scolie 2.5. Supposons x > 0. Dans ce cas le théorème de ƒebotarev garantit l'existence d'ensembles S-primitifs autres que le vide, plus précisement que tout ensemble primitif de cardinal strictement inférieur à x peut être complété d'une innité de façon en un ensemble primitif maximal (i.e. de cardinal maximalx).

Nous sommes maintenant en mesure d'énoncer le résultat principal de cette section :

Théorème 2.6. SoitKun corpsS-rationnel etX un ensembleS-primitif maximal de places modérées deK. Alors :

(i) Le groupe de Galois G^ab_{`X</sub> = Gal(K<sub>`X}^ab/K) de la pro-`-extension abélienne

`X-ramiée maximale deK est donné par l'isomorphisme : G<sup>ab</sup><sub>`X</sub> ' J/R Y

p-`X∞

µ_p' Y

l⁰∈S⁰

Rl⁰⊕Y

p|∞

Rp⊕Y

p|X

Rp

comme somme directe des groupes de Galois locaux R_p 'Gal( ¯K_p^ab/K_p) attachés aux places de S⁰X∞ où S⁰ est l'ensemble des places `-adiques de K qui ne sont pas dansS.

(ii) Le groupe de GaloisG`X =Gal(K`X/K)de la pro-`-extension`X-ramiée maximale deK est donné par l'isomorphisme :

G`X' (

~

l⁰∈S⁰

Gl⁰)

~

~

p|∞

Gp)

~

~

p|X

Gp)

comme pro-`-produit libre des groupes de Galois locauxGp'Gal( ¯K_p/K_p)attachés aux places deS⁰X∞.

Preuve. Le corps K étant supposé S-rationnel, il vérie en particulier la conjec- ture de Leopoldt comme expliqué dans le corollaire 1.8, de sorte que nous avons H²(G<sub>`X</sub>,Q`/Z`) = 1(ce qui est une traduction cohomologique de cette conjecture) etR∩Q

pµp=µ(ce qui en est la traduction idèlique). L'ensembleXétant supposé S-primitif, la condition de rationalité s'écrit ainsi (avecRX=⊕_p|XRp) :

J = (R Y

p-`X∞

µ_p)⊕ RS⁰⊕ RX,

ce qui nous donne la décomposition annoncée deJ/RQ

p-`Xµpcomme produit di- rect des abélianisés locauxG<sup>ab</sup><sub>p</sub> ' R<sub>p</sub> pour les placesp6∈Sdivisant`X∞. Compte

tenu de la condition H²(GX,Q`/Z`) = 1 , cette condition se relève en une fac- torisation de GX lui même comme pro-`-produit libre des mêmes Gp (cf. lemme 1.10).

2.b Caractérisation de lal-rationalité

Le théorème 2.6 ci-dessus nous permet de retrouver très simplement le résultat principal de Wingberg (cf [W1], [W2]).

Théorème 2.7. SoitK un corps de nombres,K`sa pro-`-extension (galoisienne)

`-ramiée maximale , etG<sub>`</sub>le groupe de GaloisGal(K<sub>`</sub>/K). NotonsS un ensemble non vide de places`-adiques, puisd=P

l∈S[K_l:Q`]et xla quantité d−r−c− l+s+ 1oùr, cetl sont respectivement les nombres de places réelles, complexes et

`-adiques deK ets le nombre de places dansS.

Cela posé, les assertions suivantes sont équivalentes : (i) Le corpsK estS-rationnel ;

(ii) le groupe de Galois G<sub>`</sub> est isomorphe au pro-`-produit libre G` ' (

~

p|`∞,p6∈S

Gp)

~

oùFx est un pro-`-groupe libre (nécessairement surxgénérateurs) ; (iii) le groupe abélienG<sup>ab</sup><sub>`</sub> s'identie à la somme directe

G^ab_` ' J/RY

p-`

µ_p ' Y

p|`∞,p6∈S

Rp⊕ F_x^ab,

oùF_x^ab est unZ`-module libre (de dimensionx).

Preuve. Rappelons queGpdésigne le groupe de GaloisGal( ¯Kp/Kp)de la`-clôture galoisienne deKp, queG<sub>p</sub><sup>ab</sup>' Rp s'identie par la théorie du corps de classes local au`-adié du groupe multiplicatif K_p^× et que, pour une place réelle p, le groupe Gp' Rp est cyclique d'ordre 2. Cela étant, nous avons :

(i) ⇒ (ii) d'après le théorème 2.6 puisqu'en chaque place p d'un ensemble S-primitif X, le quotient Gp/Ip de Gp par son sous-groupe d'inertie est un pro-`- groupe libre de dimension 1 ;

(ii)⇒(iii)par passage à l'abélianisé ;

(iii) ⇒(i) d'après la caractérisation donnée par le théorème 2.2. La descrip- tion deG`obtenue permet d'appliquer aux corpsS-rationnels les résultats de [Ya]

rappelés dans l'introduction. Il vient ainsi :

Corollaire 2.8. Si K un corps S-rationnel, le rang du groupe de Galois d'une pro-`-extension pro-`-libre maximale deK est donné par :

ρ=c+ 1− X

µ_`⊂K_l0

([Kl⁰ :Q`]−1) 2

où[. ]est la partie entière et la somme à droite est étendue aux places l⁰ 6∈S au- dessus de`pour lesquelles le complétéK<sub>l</sub><sup>0</sup> contient les racines `-ièmes de l'unité.

Preuve. Puisque une `-extension pro-`-libre est `-ramiée (cf [Ya]), tout revient à déterminer le rang maximal ρ d'un quotient pro-`-libre du groupe de Galois G` =Gal(K`/K) qui n'est autre , comme expliqué dans [Ya], que la somme des rangs des quotients correspondant de chacun de ses facteurs. Le théorème 2.7 nous donne alors :

ρ(G) =X

l⁰6∈S

ρ(Gl⁰) +X

p|∞

ρ(G) +x=X

l⁰6∈S

ρ(Gl⁰) +x.

Distinguons maintenant deux cas :

- SiKl⁰ne contient pasµ`, le groupeGl<sup>0</sup> est un pro-`-groupe libre de rangdl⁰+1, oùdl⁰ = [Kl⁰ :Q`]désigne le degré local ;

- Dans le cas contraire , il est bien connu (cf [Se] Ch.II, Th.5.6) que Gl⁰ est un groupe de Demu²kin de rangdl⁰+ 2, de sorte que par un résultat de J. Sonn (cf.

[So] Th. 7) on a seulementρ(Gl⁰) =h_d

l0

2

i + 1.

Ainsi de l'égalitéx=d−r−c−l+s+ 1 = (r+ 2c−Pd_l⁰)−r−c−l+s+ 1 = c+ 1−Pd_l⁰−(l−s−1), nous concluons nalement :

ρ(GS) =c+ 1− X

µ_`⊂K_l0

(dl⁰− dl⁰

2

) =c+ 1− X

µ_`⊂K_l0

dl⁰−1 2

.

On voit par là que les corpsl-rationnels qui ne sont pas`-rationnels, constituent une classe de corps de nombres pour lesquels on a généralement l'inégalité stricte : ρ < c+ 1.

2.c Interprétation logarithmique de la S-rationalité Le corps K étant supposé xé, désignons parFS =J/RS⁰RQres

p-`∞µp le quo- tient du`-groupe des idèlesJ que la théorie`-adique du corps de classes identie au groupe de Galois de la pro-`-extension abélienne maximale de K qui est non ramiée en dehors deS et complètement décomposée aux places réelles ainsi qu'à cellesl⁰ 6∈Sau-dessus de`. NotonsTS=F<sub>S</sub><sup>tor</sup> le sous-module deZ`-torsion deFS. le quotientXS =FS/TS est alors unZ`-module de dimension nie, disonsxS, et l'application :

LS | J → XS =FS/TS 'Z^x`^S

peut ainsi être regardée comme un analogue du logarithme de Gras (cf. [GJ]).

L'intérêt de cette approche réside alors dans la caractérisation suivante de laS- rationalité

Proposition 2.9. Avec les notations ci-dessus, on a : K S-rationnel ⇔ T_S = 1 Cela posé, nous avons :

Théorème 2.10. SoitL/K une `-extension nie de corps de nombres, de groupe de GaloisGetS un ensemble non vide de places de K au-dessus de`. Si le corps L vérie la conjecture de Leopoldt en S (i.e. si le noyau ES(L) de l'application

de localisationsS du`-groupe des unitésE(L) =Z`⊗_ZEl dans le groupe multipli- catifRS⁰(L)est trivial), l'ordre du sous-groupe ambige deTS(L)est donné comme produit de deux entiers par la formule :

|TS(L)^G|=|TS(K)| (D⁰(L)^G:D⁰(K)) (LS(D⁰(L)^G) :LS(D⁰(K)))

où D⁰ désigne le Z`-module libre construit sur les places nies étrangères à `, et L_S est le logarithme de Gras à valeurs dans Q`⊗<sub>Z`</sub>F_S(L).

Preuve. Commençons par exprimer le groupeTS en termes de classes de diviseurs : de l'égalitéJ =Qres

RpR, nous tirons immédiatement :

FS=

res

Y

p-`∞

Rp/ Y

p-`∞

Rp∩(R Y

p|`∞

µ_pR⁰_l)' D⁰/P_S⁰

oùD⁰ =Qres

p-`∞Rp/µp est le`-groupe des diviseurs étrangers à`∞et P_S⁰ l'image canonique dans D⁰ du sous-module RS formé des élements de Rd'image locale 1 dansRS⁰. En particulier, il suit :

TS =F_S^tor'q P_S⁰/P_S⁰, si p

P_S⁰ désigne la racine dans D⁰ du sous-module P_S⁰. Cela étant, l'hypothèse E_l = 1 dans l'énoncé du théorème équivaut à armer l'isomorphisme P_S⁰ ' R_S. En particulier, de la suite exacte courte qui dénitRS :

1→ RS(L)→ R(L)→ RS⁰(L)→1,

nous tirons la suite exacte de cohomologie : RS(L)^G = RS(K) ,→ R(L)^G = R(K) R_S⁰(K) → H¹(G,R_S(L)) → H¹(G,R(L)) → ... et le théorème 90 de Hilbert nous donne alors

H¹(G,PS(L) =H¹(G,RS(L)) =H¹(G,R(L)) = 1.

Par suite, du diagramme commutatif exact induit par les applications d'extension 1 → RS(K) =PS(K) → p

PS(K) → Tl(K) → 1

↓ ↓ ↓

1 → RS(L)^G=PS(L)^G → p

PS(L)^G → Tl(L)^G → H¹(G,PS(L)) = 1 nous concluons immédiatement :

|T_S(L)^G|=|T_S(K)|(p

P_S(L)^G:p

P_S(K)), et p

PS(L)^G =p

PS(L)^G n'est autre que la racine de PS(L)dans le Z`-module D⁰(L)^G engendré par D⁰(K) et les e⁻¹_p (L/K)p lorsque p parcourt les idéaux pre- miers deK qui se ramient modérément dansL/K. L'introduction du logarithme

de Gras permet ainsi d'interpréter facilement le second facteur, et le diagramme commutatif

1 → p

PS(K) → D⁰(K) → LS(D⁰(K)) → 1

↓ ↓ ↓

1 → p

PS(L)^G → D⁰(L)^G → LS(D⁰(L)^G) → 1 nous donne le résultat attendu :

pP_S(L)^G :p

P_S(K)

= D⁰(L)^G:D⁰(K) L_S(D⁰(L)^G) :L_S(D⁰(K))

Corollaire 2.11. Sous les hypothèses du théorème 2.10, les assertions suivantes sont équivalentes :

(i)L estS-rationnel ;

(ii) K estS-rationnel et l'extensionL/K estS-primitivement ramiée.

Preuve. Nous avons en eet : TS(L) = 1⇔ TS(L)^G= 1⇔

(TS(L) = 1 et

L_S(D⁰(L)^G) :L_S(D⁰(K))

= D⁰(L)^G :D⁰(K) , avec D⁰(L)^G:D⁰(K)

= Q

p-`ep(L/K).

Et l'égalité en bas a lieu si et seulement si les logarithmes de Gras des placespde K qui se ramient modérément dansL/K forment uneZ`-base d'un sous module pur de LS(D⁰(K)), autrement dit lorsque l'ensemble X des places modérément ramiées dansL/K est S-primitif (au sens de la dénition 2.4).

3. Propagation de laS-rationalité et lois primitives de réciprocité 3.a Propagation de la S-rationalité

Pour un nombre premier`impair, il est possible de s'aranchir très simplement de l'hypothèse sur la comjecture de Leopoldt faite dans le théorème 2.10. Le théorème de propagation devient ainsi :

Théorème 3.1. Soient un nombre premier ` impair et L une `-extension d'un corps de nombreK. Les assertions suivantes sont équivalentes :

(i) il existe un ensembleSde places au-dessus de`pour lequelLestS-rationnel ; (ii) il existe un ensembleSde places au-dessus de`pour lequelKestS-rationnel et l'ensembleX des places modérement ramiées dansL/K est S-primitif.

Preuve. (i)⇒(ii) Si L est S-rationnel, L vérie alors trivialement la propriété de Leopoldt en S (D'après l'assertion (ii,b) du théorème 2.2) et les hypothèses du théorème 2.10 sont donc vériées. Il résulte donc du corollaire 2.11 que K est S-rationnel etL/K S-primitivement ramiée.

(ii)⇒(i) Supposons maintenant que K est S-rationnel et que l'ensemble des places deK qui se ramient modérément dansL/K peut être complété en un en- sembleS-primitif maximalX. NotonsK<sub>`X</sub>la pro-`-extensionX-modérément ram- iée maximale deK, et observons que c'est aussi la pro-`-extensionX-modérément

ramiée maximale deL. De l'isomorphisme donné par le théorème 2.6, il suit Gal(L`X/K) =Gal(K`X/K)'

~

p|`X,p6∈S

Gal( ¯Kp/Kp),

En particulier, le groupe de Galois de la pro-`-extension`-ramiée maximale deL est alors

Gal(L_`/L) =

~

P|`,P6∈S

Gal( ¯L_P/L_P)

~

oùHest un pro-`-groupe libre de rang : rgH=rgHX+xLsixLdésigne le nombre places deLau-dessus deX. Il vient donc :

rgH=X

P|X

[LP:Kp] + X

P|`,P/∈S

([LP:Kp]−1)−([L:K]−1).

La contribution des places modérées estP

p|X

P

P|p[L_P : K_p] = P

p|X[L: K] = xK[L : K] ; celle des places sauvages vaut : P

p|`,P/∈S

P

P|p([LP : Kp]−1) = (lK−sK)[L : K]−(lL−sL), si lK et lL désignent respectivement le nombre de places sauvages deK et deL etsK et sL désignent respectivement le nombre de places deKdansS et au-dessus deS dansL; et il suit comme attendu :

rgH= [L:K](xK+lK−sK−1)−lL+sL+ 1 = [L:K](cK−dL)−lL+sL+ 1

=cL−dL−lL+ +sL+ 1,

ce qui est bien la caractérisation de laS-rationalité donnée par le théorème 2.7.

Remarque. Le théorème 3.1 ne vaut pas pour `=2 puisqu'il peut arriver que le corps L soit 2-birationnel comme le montre l'étude eectuée dans la section 1.c pour les extensions quadratiques deQ.

Corollaire 3.2. Sous les hypothèses du théorème 3.1, si K est un corps de nom- bresS-rationnel etL/K une `-extensionS-primitivement ramiée, alors pour tout ensemble S-primitif X = XK de places de K contenant les places modérément ramiées dansL/K, l'ensembleXL des places deL au-dessus deX est lui même S-primitif.

Preuve. Les pro-`-extensionsX-modérément ramiées maximales de Ket Lcoïn- cident par hypothèse et il vient donc comme plus haut :

Gal(L_{`X</sub>/L) =Gal(K<sub>`X}/L)'

~

P|`X,P6∈S

Gal( ¯L_P/L_P)

~

pour un pro-`-groupe convenable H_X. On a aussi montré le résultat suivant :

Corollaire 3.3. SoitK un corps de nombresl-rationnel contenant les racines `- ièmes de l'unité ; alors la place l ne se décompose dans aucune `-extension de K primitivement ramiée.

Preuve. Si L/K est une `-extension l-primitivement ramiée, alors en vertu du théorème 3.1LestS-rationnel pour l'ensembleS des places deLdivisantl, lequel en présence des racines`-ièmes de l'unité, est un singleton.

3.b Lois de réciprocité primitives

Nous revenons dans cette dernière section aux hypothèses de la première par- tie de ce travail : en particulier, sauf mention explicite du contraire, K désigne désormais un corps de nombresl-rationnel contenant les racines`-ièmes de l'unité.

Théorème 3.4. SoitKun corpsl-rationnel (contenant ou non les racines`-ièmes de l'unité) etX un ensemblel-primitif maximal de places (modérées) de K. Alors le morphisme de localisationsl deR=Z`⊗_ZK^× dansRl induit un ismorphisme

E_X⁰ ' Rl

du tensoriséE_X⁰ = Z`⊗<sub>Z</sub>E<sup>0</sup><sub>X</sub> du groupe des `X-unités (au sens ordinaire) sur le

`-adié Rl du groupe multiplicatif du complété Kl deK en la place l. Preuve. Considérons le groupe de Galois G<sup>ab</sup><sub>`X</sub> = J/RQ

p-`X∞µp de la pro-`- extension abélienne`X-ramiée (i.e. non ramiée aux places étrangères à`et àX, mais éventuellement complexiée aux places réelles ) maximale de K. D'après le théorème 2.5, le groupeG^ab_{`X</sub> s'identie au produit direct : G<sup>ab</sup><sub>`X} 'Q

p|`X∞,p6=lR<sub>p</sub> D'un autre côté puisqueG<sup>ab</sup><sub>`X</sub>est engendré par les images desRppourp|`X∞,p6=

l, l'isomorphisme du corps de classes nous donne : G^ab_`X ' Y

p|`X∞

Rp/( Y

p|`X∞

Rp∩(R Y

p-ellX∞

µ_p))

et les idèles principaux qui interviennent au dénominateur sont les éléments de E_X⁰ . En particulier le morphisme de localisation sl envoie donc E_X⁰ sur Rl. Des isomorphismes deZ`-modules

E_X⁰ 'µ`Z<sup>r+c−1+s+x</sup>` =µ`Z<sup>d+1</sup>` et Rp'µ`Z<sup>d+1</sup>` , nous concluons alors à la bijectivité desl.

Corollaire 3.5. (Loi de réciprocité primitive) Soit K un corps de nombres l- rationnel contenant les racines `^k-ièmes de l'unité (aveck ≥1). Alors, pour tout ensemble l-primitif maximal X de places (modérées) de K, les morphismes de localisation conduisent aux isomorphismes :

Rl/Rl`^k ∼

←− E_X⁰ /E_X^{0 `k} −→^∼ Y

p|`X∞,p6=l

Rp/Rp`^k

En particulier, lesZ`-modules à droite et à gauche du diagramme sont anti-isométri- ques pour les structures bilinéaires antisymétriques dénies par les symboles de Hilbert.

Preuve. L'isomorphisme de gauche résulte directement du théorème 3.4 par passage au quotient à partir de l'isomorphismeE_X⁰ ' Rp. Remarquons au passage que le quotientRl/Rl`^k

'K_l^×/K_l<sup>×`k</sup> s'identie par la théorie du corps de classes local au groupe de Galois de la`-extension abélienne maximale d'exposant`^k du complété Kl, et par la théorie de Kummer, au radical de cette même extension.

Considérons maintenant la`-extension abélienne`X-ramiée maximale d'expo- sant`<sup>k</sup> deK. D'après le théorème 3.4, son groupe de GaloisG<sup>ab</sup><sub>`X</sub>/G^ab<sub>`X</sub><sup>`</sup>

ks'identie à la somme directe Q

p|`X∞,p6=lRp/Rp`^k et il en est donc de même, par dualité, de son radical kummérien. Mais puisque le `-groupe des `-classes Cl⁰ de K est trivial (en vertu des théorèmes 1.3 (2) et 1.7 (2)') ce même radical est donné par le quotientE_X⁰ /E_X^{0 `k</sup>' E<sub>X</sub><sup>0</sup> /E<sub>X</sub><sup>0 `k}. En résumé il vient donc comme annoncé :

Rl/R^{`</sup><sub>l</sub><sup>k</sup> ' E<sub>X</sub><sup>0</sup> /E<sub>X</sub><sup>0 `k} ' Y

p|`X∞,p6=l

Rp/R^`_p^k.

Il reste enn à démontrer que l'isomorphisme entre les modules extrèmes ainsi obtenu est une anti-isométrie. Or pouraet bdansE_X⁰ , la formule du produit pour les`-symboles de Hilbert (i.e. les symboles de Hilbert à valeurs dans les`-groupes locauxµp) s'ecrit (avec`<sup>mp</sup> =|µp|et`^m=|µ|) :

Y

p|`S∞

a, b p

^`mp−m

= 1

puisque les symboles_a,b

p

sont alors triviaux pour p-`S∞. De l'églitém_l=m, nous concluons immédiatement à l'identité :

a, b l

−1

= Y

p|`S∞,p6=l

a, b p

`^mp−m

qui ramène le calcul des symboles dansR_là des calculs locaux dans les complétés Kp pour p|`S∞,p 6=l. En particulier, notant_{. , .}

p

`^k le symbole de profondeur

`<sup>k</sup> (i.e. la puissance `^mp−m-ième du symbole _{. , .}

p

sur Rp× Rp, nous pouvons réécrire l'identité précédente sous la forme :

α, β l

`^k

= Y

p|`S∞,p6=l

α, β p

`^k

pour tout αet β dans E_X⁰ /E_X^{0 `k</sup> ; ce qui nous montre que l'isomorphisme obtenu entreRl/R<sup>`}_l^k etQ

p|`S∞,p6=lRp/R<sup>`</sup>_p^k est anti-isométrique.