Chapitre 3 : Fonctions polynômes

Chapitre 3 : fonctions polynômes Page 1

Chapitre 3 : Fonctions polynômes

Objectifs :

*Connaitre les formules de dérivation des fonctions usuelles

* Connaitre les formules d’opérations sur les fonctions dérivées

*Savoir utiliser toutes les formules

*Connaitre le lien entre dérivée et variations et extremums de fonctions

* Savoir utiliser ce résultat

* Connaitre la tangente à une courbe en un point et savoir l’utiliser . Exercices : Indice TSTMG 2012 Bordas activité 1et2p70

Exercices supplémentaires : Indice TSTMG 2012 Bordas p68 I. Fonction dérivée

Définition :

Exemple: Soit la fonction f définie sur R par alors, on a pour tout x de R, Propriété : u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I.

Exemple: Soit la fonction f définie sur R par alors on a pour tout x de R,

Exercices : Indice TSTMG 2012 Bordas 1,2,3,4,5,6,8,9,10,11,12,15,16,18p78 Exercices supplémentaires : Indice TSTMG 2012 Bordas 7,13,14,17p78 II. Variations

Propriété (rappel): Soit ^f une fonction affine définie sur R par . On a les tableaux de signes suivant :

Si a0, alors Si a0, alors x

(x) - 0 +

Fonction f Dérivée f '

,

,

, n entier non nul

u+v est dérivable sur I (u+v)’=u’+v’

ku est dérivable sur I, où k est une constante (ku)’=ku’

x f(x) + 0 -

Chapitre 3 : fonctions polynômes Page 2 Propriété : Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur R par

Si  < 0 :

Si  = 0 :

- Si  > 0 :

Propriété : Soit I un intervalle et f une fonction polynôme définie sur I . Si f’(x) >0 pour tout réel x de I, alors f est croissante sur I.

Si f’(x) <0 pour tout réel x de I, alors f est décroissante sur I.

Exemple : Soit f la fonction définie sur R par alors

III. Tangente

Définition : Soit f une fonction polynôme définie sur I, Cf se courbe représentative dans un repère et A un point de cette courbe d’abscisse a. On appelle tangente au point A à la courbe Cf, la droite passant par A et de coefficient directeur le nombre dérivé f’(a).

Propriété : L’équation de la tangente au point A à la courbe Cf est donc f’(a)(x- a)+f(a)

Exemple : Soit f la fonction définie sur R par , On veut trouver la tangente T à la courbe au point A d’abscisse 1.

et

T a donc pour équation donc donc

Exercices : Indice TSTMG 2012 Bordas19,21,23,25,26p78+28,31,32,35,37p79+50,51,52,53p80+

61,62,63,64,70p81+72,77,79,86,87, 88p83+94,101,102p85+sujet A ,B etDp92+sujet E et Fp94 Exercices supplémentaires : Indice TSTMG 2012 Bordas

20,22,24,27p78+29,30,33,34,36p79+38à49,54p80+55à60,65à69,71p81+73,74,75,76,78, 80à85,89,90,91p83+92,93,95,96,97,98,99,100,103à109p85+p86,87+p90,91+sujet Cp93+

sujet Gp95+115,116,117p95

x  

f(x) Signe de a x  x0 

f(x) Signe de a 0 Signe de a

x  x₁ x₂ 

f(x) Signe de a O Signe de –a O Signe de a

x -∞ +∞

f’(x) - 0 + f(x)

f( )