CHAPITRE 4 : Intégrales doubles et triples

CHAPITRE 4 :

Int´ egrales doubles et triples

19 janvier 2017

4.0 Introduction

Dans ce chapitre, nous n’allons pas d´evelopper la th´eorie g´en´erale de l’int´egrale d’une fonction den variables sur une partie born´ee deRⁿ, n≥1. Nous nous contenterons de donner des m´ethodes de calcul des int´egrales doubles et triples (c`ad n=2,n=3)sur des compacts particuliers, ceux dont on peut d´elimiter leur fronti`ere par des fonctions continues.

4.1 Int´ egrales doubles

4.1.1 Th´eor`eme et d´efinition.

Th´eor`eme 1.1 (Th´eor`eme et d´efinition.) Soit ∆ le compact deR² d´efini par :

∆=(x,y)∈_R²/x∈[a,b], α(x)≤y≤β(x) , (1)

•a, bsont des r´eels (a<b),

•αet βdes fonctions num´eriques continues sur [a,b]et v´erifiant α(x)≤ β(x) pour toutx∈[a,b].

Soit f une fonction continue sur ∆. On appelle int´egrale doubledef sur

∆,le nombre, I=

Z

∆f(x,y)dxdy=

Z _b

a

_{Z β(x)}

(x) f(x,y)dy

dx.

Figure :Compact deR²d´elimit´e verticalement par deux fonctions continues

4.1.2 Remarques

1 Le th´eor`eme transforme l’int´egrale double en deux int´egrales simples emboit´ees.

2 Si ∆= [a,b]×[c,d], c`ad ∆ est un rectangle de R², alors Z

∆f(x,y)dxdy=

Z _b

a

_{Z d}

c f(x,y)dy

dx.

3 En ´echangeant les rˆoles dex ety, on peut calculer l’int´egrale double def sur le compact ∆deR² d´efini par :

∆=(x,y)∈_R²/y∈[c,d], γ(_y)≤x≤ δ(_y) _, (2) o`u c,d sont des r´eels (c<d),γet δ sont deux fonctions continues sur [c,d]et v´erifiant γ(y)≤δ(y) ∀y∈ [c,d]. On aura dans ce cas,

Z

∆f(x,y)dxdy=

Z _d

c

_{Z δ(y)}

(y))f(x,y)dx

dy.

Figure: Compact deR²d´elimit´e horizontalement par deux fonctions continues

4.1.3 Exemples

1 Calcul de R

∆xydxdyo`u

∆= (x,y)∈_R²/x≥0, y≥0 etx+y≤1 .

Cherchons d’abord une description hi´erarchique du compact ∆.On peut repr´esenter ∆de deux mani`eres diff´erentes

∆=(x,y)∈_R²/x∈[0, 1], 0 ≤y≤1−x , (3)

∆=(x,y)∈_R²/y∈[0, 1], 0 ≤x≤1−y . (4) X ^Si∆ est de la forme (3), on obtient,

Z

∆xydxdy =

Z _x=1

x=0

_{Z y=1−x}

y=0 xydy

dx

=

Z _x=1

x=0 x

Z _y=1−x

y=0 ydy

dx

=

Z ₁

0 x(1−x)²

2 dx= ¹

24.

Exemples [suite]

X ^Si∆ est de la forme (4), on obtient, Z

∆xydxdy =

Z _y=1

y=0

_{Z x=1−y}

x=0 xydx

dy

=

Z _y=1

y=0 y

Z _x=1−y

x=0 xdx

dy

=

Z ₁

0 y(1−y)²

2 dy= ¹

24. Notons que

Z ₁

0

Z _1−x

0 xydy

dx=

Z ₁

0

Z _1−y

0 xydx

dy.

Exemples [suite]

2 Calcul de I=R

∆y²dxdy o`u ∆=(x,y)∈_R²/x²+y² ≤r²,r>0 .

Une description hi´erarchique de ∆ est donn´e par :

∆=

(x,y)∈_R²/y∈[−r,r], x∈

−^qr²−y², q

r²−y²

. D’o`u,

I =

Z

∆y²dxdy

=

Z _y=r

y=−ry² Z _x=

√

r²−y² x=−√

r²−y²dx

! dy

=

Z _r

−r2y² q

r²−y²dy

= 4 Z _r

0 y² q

r²−y²dy.

Exemples [suite]

En faisant le changement de variable y=rsinθ, on obtient

I = 4 Z ^π

2

0 r⁴sin²θcos²θdθ=r⁴ Z ^π

2

0 sin²2θdθ

= r⁴ Z ^π

2

0

1−cos 4θ 2

dθ = ^πr

4

4 . Notons qu’on peut repr´esenter le compact ∆ sous la forme

∆=ⁿ(x,y)∈_R²/x∈[−r,r], y∈^h−^pr²−x²,p

r²−x²io .

Exemples [suite]

3 Calcul de I=R

∆ 2

(1+x+y)³dxdy o`u ∆= [0, 1]×[0, 1]. Ici, ∆ est un rectangle deR².

Donc,

I =

Z

∆

2

(1+x+y)^3dxdy

=

Z _y=₁ y=0

Z _x=₁ x=0

2

(1+_x+_y)^3dx

! dy

=

Z _y=1 y=0

"

−1 (1+x+y)²

#x=1

x=0

dy

=

Z ₁

0

1

(1+y)² − ¹ (2+y)²

!

dy= ¹ 3.

4.1.4 Th´ eor` eme de Fubini : Inversion des bornes

Proposition 1.1

Soit ∆ un compact deR² admettant deux repr´esentations de la forme (1) et (2). Soitf une fonction continue sur∆.Alors,

Z

∆f(x,y)dxdy=

Z _b

a

_{Z β(x)}

α(x) f(x,y)dy

dx=

Z _d

c

_{Z δ(y)}

γ(y) f(x,y)dx

dy.

Remarque 1.1

Le th´eor`eme signifie qu’on peut changer l’ordre d’int´egration sans changer la valeur de l’int´egrale.

Corollaire 1.1

Soit ∆= [a,b]×[c,d]un rectangle de R² etf une fonction continue sur

∆.Alors, Z

∆f(x,y)dxdy=

Z _b

a

_{Z d}

c f(x,y)dy

dx=

Z _d

c

_{Z b}

a f(x,y)dx

dy.

En particulier, sif(x) =g(x)h(y)sur ∆,alors, Z

∆f(x,y)dxdy =

Z _b

a

_{Z d}

c g(x)h(y)dxdy

=

Z _d

c

_{Z b}

a g(x)h(y)dxdy

= _{Z b}

a g(x)dx Z _d

c h(y)dy

.

Exemple 1 Calculer R

[0,1]×[0,2] 2ye^x

1+y²dxdy.D’apr`es le corollaire 1.1, nous avons, Z

[0,1]×[0,2]

2ye^x

1+y²dxdy =

Z _x=1

x=0 e^xdx

Z _y=2

y=0

2y 1+y²dy

= [e^x]^x_x⁼₌¹₀ln 1+y²y=2 y=0

= (e−1)ln 5.

4.2 Int´ egrales triples

Soit ∆un compact deR³ admettant la repr´esentation hi´erarchique suivante :

∆=(x,y,z)∈_R³/x∈[a,b], u(x)≤y≤v(x)_,α(x,y)≤z≤ β(x,y) , (5)

• aet bsont des r´eels (a<b),

• uet vdes fonctions continues sur [a,b] et v´erifiant u(x)≤v(x) ∀x∈ [a,b],

• αet β des fonctions num´eriques continues sur le compact K= (x,y)∈_R²/x∈[a,b], u(x)≤y≤v(x) ,

α(x,y)≤β(x,y)∀(x,y)∈K.

Figure: Compact deR²d´elimit´e horizontalement par deux fonctions continues

4.2.1 Th´ eor` eme et d´ efinition.

Th´eor`eme 2.1 (Th´eor`eme et d´efinition)

Soit f une fonction continue sur le compact ∆ d´efini par (5).

On appelle int´egrale triple def sur∆,le nombre I=

Z

∆f(x,y,z)dxdydz=

Z _b

a

_{Z v(x)}

u(x)

_{Z β(x,y)}

α(x,y) f(x,y,z)dz

dy

dx.

4.2.2 Exemples

1 CalculerI =R

[0,π]³cos(x+y−z)dxdydz. On a I =

Z _x=π x=0

_{Z y=π}

y=0

_{Z z=π}

z=0 cos(x+y−z)dz

dy

dx

=

Z _x=π x=0

_{Z y=π}

y=0

[−sin(x+y−z)]^z_z⁼₌₀^πdy

dx

=

Z _x=π

x=0

Z _y=π

y=0

[sin(x+y)−sin(x+y−π)]dy

dx

=

Z _x=π

x=0

[cos(x+y−π)−cos(x+y)]^y_y⁼₌₀^πdx

=

Z _π

0

[2 cosx−cos(x+π)−cos(x−π)]dx

= [2 sinx−_sin(x+π)−_sin(x−π)]₀^π =_0.

Exemples [suite]

2 CalculerI =R

∆ 1

(1+x+y+z)³dxdydz o`u

∆=(x,y,z)∈_R³/x≥0,y≥0,z≥0 etx+y+z≤1 . Une description hi´erarchique du compact ∆ est donn´e par :

∆=(x,y,z)∈_R³/x∈[0, 1],y∈ [0, 1−x], et z∈[0, 1−x−y] . D’o`u,

I =

Z _x=1

x=0

"

Z _y=1−x

y=0

Z _z=1−x−y

z=0

1

(1+x+y+z)^3dz

! dy

# dx

= ¹ 2

Z _x=1

x=0





Z _y=1−x

y=0

"

−₁ (1+x+y+z)²

#z=1−x−y

z=0

dy



dx

= ¹ 2

Z _x=1

x=0

Z _y=1−x

y=0

1

(1+x+y)² − ¹ 4

! dy

! dx

Exemples [suite]

I = ¹ 2

Z _x=1 x=0

−1

(1+x+y)− ^y 4

y=1−x y=₀

dx

= ¹ 2

Z ₁

0

−¹

2− ¹−x

4 + ¹

1+x

dx= ^{ln 2}

2 − ⁵

16.

3 CalculerI =R

∆ydxdydz o`u

∆=(x,y,z)∈_R³/x≥0,y≥0,x²+y² ≤z≤1 . Une description hi´erarchique du compact ∆ est donn´e par :

∆= ⁿ(x,y,z)∈_R³/0≤x≤1, 0≤y≤^p1−x²,x²+y²≤z≤1o .

Donc, I =

Z _x=1 x=0

"

Z _y=√ 1−x²

y=0 y

_{Z z=1}

z=x²+y²dz

dy

# dx

=

Z _x=1 x=0

"

Z _y=√ 1−x²

y=0 y

[z]^z_z⁼₌¹_x2+y²

dy

# dx

=

Z _x=1 x=0

"

Z _y=√ 1−x²

y=0 y 1−x²−y² dy

# dx

=

Z _x=1 x=0

"

Z _y=√ 1−x² y=0

1−x²

y−y³ dy

# dx

=

Z _x=1 x=0





1−x²y² 2 −^y

4

4 y=√

1−x²

y=0



dx

=

Z ₁

0

"

1−x²2

2 − ¹−x²2

4

#

dx= ² 15.

Propri´ et´ es des int´ egrales multiples

Soit ∆ un compact deRⁿ, n=2ou n=3, f etg deux fonctions num´eriques continues sur ∆.Par la suite, pour simplifier les notations, on note x= (x₁,x₂, . . . ,x_n) etdx=dx₁dx₂. . .dx_n.

4.3.1 Lin´earit´e Proposition 3.1

Pour tous r´eelsλ et µ, on a Z

∆[λf(x) +µg(x)]dx=λ Z

∆f(x)dx+µ Z

∆g(x)dx.

4.3.2 Positivit´e Proposition 3.2

Si pour tout y∈ _∆,f(x)≥0, alors R

∆f(x)dx≥0.

4.3.3 Monotonie Proposition 3.3

Si pour tout x∈ _∆,f(x)≤g(x),alors R

∆f(x)dx≤R

∆g(x)dx.

En particulier, R

∆f(x)dx ≤R

∆|f(x)|dx.

4.3.4 In´egalit´e de Cauchy-Schwarz Proposition 3.4

Z

∆f(x)g(x)dx 2

≤ Z

∆[f(x)]²dx Z

∆[g(x)]²dx

.

4.3.5 Aires et volumes Proposition 3.5

Si f est une constante ´egale `a 1 sur ∆,alors

• Pourn=2, Z

∆dxdy=Aire(_∆).

• Pourn=3, Z

∆dxdydz=Volume(_∆).

4.3.6 Additivit´e selon les domaines Proposition 3.6

Soit ∆1 et∆2 deux compacts deR² tel que :

Aire(_∆1∩_∆2) =0 et f une fonction continue sur ∆1∪_∆2. Alors, Z

∆1∪_∆2f(x,y)dxdy=

Z

∆1

f(x,y)dxdy+

Z

∆2

f(x,y)dxdy.

Exemple 2

Calculer _Z

∆xy²dxdy

o`u ∆est la partie born´ee par l’axe des x positifs et les droites d’´equations y=2x,y= −2x et x=1.

Exemple (suite)

• Si on repr´esente le compact∆sous la forme

∆={(x,y)∈_R²/x∈ [0, 1],−2x≤y≤2x},

Exemple (suite)

alors, Z

∆xy²dxdy =

Z _x=₁ x=0 x

_{Z y=2x}

y=−2xy²dy

dx

=

Z ₁

0 x y³

3 y=2x

y=−2x

dx

= ¹⁶ 3

Z ₁

0 x⁴dx= ¹⁶ 15.

• Si l’on consid`ere ∆ comme r´eunion de deux compacts,

∆=_∆1∪_∆2 avec

∆1 = ⁿ(x,y)∈ _R²/y∈[0, 2], y

2 ≤x≤1o ,

∆2 =

(x,y)∈_R²/y∈[−2, 0],−y

2 ≤x≤1

,

Exemple (suite) alors,

Z

∆xy²dxdy =

Z

∆1

xy²dxdy+

Z

∆2

xy²dxdy

=

Z ₂

0 y² _{Z 1}

y 2

xdx

dy+

Z ₀

−2y² _{Z 1}

−^y₂ xdx

dy.

Dans ce cas, on a deux int´egrales `a calculer au lieu d’une seule int´egrale.

4.4 Changement de variables

4.4.1 Th´eor`eme de changement de variables et exemples

D´efinition 4.1

Soit Uet V deux ouverts deRⁿ et ϕ:U−→V une application diff´erentiable sur Utelle que

∀_x= (x₁,x₂, . . . ,x_n)∈ U, ϕ(_x) = (ϕ₁(_x),ϕ₂(_x), . . . ,ϕ_n(_x)). On appelle matrice jacobienne de ϕsur U, la matrice carr´ee d’ordren d´efinie par :

Jϕ(x) =









∂ϕ₁

∂x1 (x) · · · ^∂ϕ_∂x¹

n (x) ... . .. ...

∂ϕn

∂x1 (x) · · · ^∂ϕ_∂xⁿ

n (x)









, x∈U.

On appelle jacobien de ϕsur U, le d´eterminant de la matrice jacobienne de ϕ et on le notedet

Jϕ(x).

D´efinition 4.2

Soit Uet V deux ouvertsde Rⁿ et ϕ:U−→V une application. On dit que ϕest un diff´eomorphismede Usur V si ϕ v´erifie les trois conditions suivantes :

(i) ϕest bijective; (ii) ϕest de classeC¹; (iii) ϕ⁻¹ est de classeC¹. Proposition 4.1

Soit Uet V deux ouvertsde Rⁿ et ϕ:U−→V une application. Pour que ϕsoit un diff´eomorphismedeU sur V, il faut et il suffit que ϕsoit bijective, de classe C¹ et que son jacobien ne s’annule pas sur U.

Exemple 3

Soit U= (r,θ)∈_R²/r∈]0, 1[, θ∈ ]0, 2π[ et ϕl’application d´efinie sur U par :

ϕ(r,θ) = (ϕ₁(r,θ),ϕ₂(r,θ)) = (rcosθ,rsinθ). Montrons que ϕest un diff´eomorphisme de U sur ϕ(U).

• Montrons que ϕest de classe C¹.

Les fonctions, ϕ₁ et ϕ₂ sont de classe C^∞ sur U.

Donc ϕest une fonction de classe C^∞ surU.

D’o`u ϕest de classe C¹.

Exemple (suite)

• Montrons que ϕest bijective.

Soit(x,y)∈ ϕ(U).

(x,y) = ϕ(r,θ) = (rcosθ,rsinθ) ⇔







x=rcosθ y=rsinθ.

D’o`u, x²+y² =r².

Commer∈]0, 1[, on d´eduit que r=

q

x²+y²; cosθ= _p ^x

x²+y²; sinθ= _p ^y x²+y². Connaissantcosθ etsinθ, l’angle θ est d´efini `a 2π pr`es.

Or, dansU,θ ∈]0, 2π[.

Donc, ∀(x,y)∈ ϕ(U), ∃!(r,θ)∈Utel que

(x,y) = ϕ(r,θ) = (rcosθ,rsinθ). Donc, l’application ϕest une bijection deUdans ϕ(U).

Exemple (suite)

• Montrons que le jacobien de ϕne s’annule pas sur U. La matrice jacobienne de ϕest donn´ee par :

J_ϕ(r,θ) =







∂ϕ₁

∂r ∂ϕ1

∂θ

∂ϕ2

∂r

∂ϕ2

∂θ





=





∂x

∂r ∂x

∂θ

∂y

∂r

∂y

∂θ





=





cosθ −rsinθ sinθ rcosθ



.

Donc, det

J_ϕ(r,θ)=

cosθ −rsinθ sinθ rcosθ

=r.

Ce jacobien ne s’annule pas surU.En vertu de la proposition (4.1), ϕ est un diff´eomorphisme deU sur ϕ(U).

Th´eor`eme 4.1 (th´eor`eme de changement de variables)

Soient :

X ^Kun compact deRⁿ,

X ^{ϕun diff´}eomorphisme deK^o sur ϕ _o

K

(K^o d´esigne l’int´erieur de K),

X ^f une fonction continue sur ϕ(K) =_∆.

Alors, on a Z

∆f(x)dx=

Z

K

(foϕ) (y)det

J_ϕ(y)dy. (6)

Remarque 4.1

1 On utilise le changement de variables soit pour s’implifier les compacts, soit pour s’implifier les calculs.

2 Si n=₁ (c.`a.d on se place dansR), la formule de changement de variables pour les int´egrales simples est un cas particulier de la formule ´enonc´ee dans le th´eor`eme 4.1.

Remarque 4.2

En effet, soit ϕ:[α,β]−→ϕ([α,β])une fonction bijective de classeC¹ sur [α,β].

Cette notion correspond `a celle de ϕdiff´eomorphisme de ]α,β[sur ϕ(]α,β[).

Soit f une fonction continue sur ϕ([α,β]) et posons a= ϕ(α),b= ϕ(β).

Consid´erons le changement de variablex= ϕ(t). On a Z _b

a f(x)dx =

Z _ϕ(β)

ϕ(α) f(x)dx

=

Z _ϕ(β)

ϕ(α) f[ϕ(t)]ϕ⁰(t)dt

=

Z _ϕ(β)

ϕ(α) f[ϕ(t)]det

Jϕ(t)dt,

car pour une fonction ϕde R−→_R,Jϕ(t) = ϕ⁰(t)

Exemple 4

1 CalculerR

∆(x+y)dxdyo`u ∆ est le compact d´elimit´e par deux paraboles et deux hyperboles.

∆=

(x,y)∈_R²/x²

2 ≤y≤x², 1

2x ≤y≤ ¹ x

. Faisons le changement de variables suivant :

(u,v) =φ(x,y) = ^y

x²,xy .

Exemple (suite)

Pour pouvoir appliquer la formule de changement de variables, nous devons calculer ϕ=φ⁻¹, K= φ(_∆)et le jacobien de ϕ.

Calcul de ϕ=φ⁻¹. Pour cela, on r´esoud le syst`eme







u= ^y

x²

v=xy

⇔







x=u^−1/3v^1/3 y=u^1/3v^2/3. D’o`u,

(x,y) = ϕ(u,v) = (ϕ₁(u,v),ϕ₂(u,v)) =

u^−1/3v^1/3,u^1/3v^2/3

. Calcul de K= ϕ⁻¹(_∆) =φ(_∆). Pour cela, on remplacex ety par leur expression en fonction de uet vdans les in´egalit´es qui d´efinissent le compact∆.

Exemple (suite)

D’o`u, K = (

(u,v)∈_R²/ u^−1/3v^1/32

2 ≤u^1/3v^2/3 ≤u^−1/3v^1/32

, 1

2u^−1/3v^1/3 ≤u^1/3v^2/3 ≤ ¹ u^−1/3v^1/3

=

(u,v)∈_R²/1

2 ≤u≤1,1

2 ≤v≤1

= 1

2, 1

× 1

2, 1

.

Calcul du jacobien de ϕ. On a

det

J_ϕ(u,v)=

∂x

∂u ∂x

∂y ∂v

∂u

∂y

∂v

!

=

−^u−43₃^{v13 u−13v}

−2 3

3 u⁻²³v²³

3 2u¹³v⁻³¹ 3

= − ¹ 3u 6=0.

ϕ est bijective, de classeC¹ sur ₁

2, 1

×¹₂, 1

et det

Jϕ(u,v)6=0.

Exemple (suite)

Donc, d’apr`es la proposition 4.1, ϕ est un diff´eomorphisme de ₁

2, 1

×¹₂, 1

sur ϕ ₁

2, 1

×¹₂, 1 . Calculons maintenant la valeur de R

∆(x+y)dxdy.

Z

∆(x+y)dxdy =

Z

K

u⁻¹³v¹³ +u¹³v²³ det

J_ϕ(u,v)dudv

=

Z

K

u⁻¹³v¹³ +u¹³v²³ 1 3ududv

= ¹ 3

Z ₁

12

_{Z 1}

12

u⁻⁴³v¹³ +u⁻³²v²³ du

dv

= ¹ 3

_{Z 1}

1 2

u⁻⁴³du Z ₁

1 2

v¹³dv

+¹ 3

_{Z 1}

1 2

u⁻²³du Z ₁

1 2

v²³dv

= ³ 4

−1+2¹³ 1−2⁻⁴³ +³

5

1−2⁻¹³ 1−2⁻⁵³ .

Exemple (suite)

2 Calculer le volume int´erieur `a l’ellipso¨ıde d’´equation x²

a² +^y

2

b² + ^z

2

c² =1,

Figure:Ellipso¨ide avec a=4, b=2 et c=1

Exemple (suite)

o`ua,betcsont des r´eels strictement positifs. NotonsE cette ellipso¨ıde.

On a

E=

(x,y,z)∈_R³/x² a² + ^y

2

b² +^z

2

c² =1

. Effectuons le changement de variables suivant :

(x,y,z) = ϕ(u,v,w) = (ϕ₁(u,v,w),ϕ₂(u,v,w),ϕ₃(u,v,w)), avec

ϕ₁(u,v,w) =au, ϕ₂(u,v,w) =bv, ϕ₃(u,v,w) =cw,

(x,y,z)∈E ⇔ (u,v,w)∈B=(u,v,w)∈_R³/u²+v²+w²=1 . On v´erifie que ϕest une bijection de classeC¹ sur B. Comme^o

det

J_ϕ(u,v,w)=

∂x

∂u ∂x

∂v ∂x

∂y ∂w

∂u

∂y

∂v

∂y

∂w

=

a 0 0

0 b 0

=abc6=0,

Exemple (suite)

alors, ϕd´efinit un diff´eomorphisme deB^o vers ϕ _o

B

=E. La formule (6)^o de changement de variables donne

Z

Edxdydz = abc Z

Bdudvdw=abc×volume de la boule unit´e

= ^4abcπ

3 .

Exemple (suite)

3 CalculerR

∆ z³

(y+z)(x+y+z)dxdydz o`u,

∆={(x,y,z)∈_R³/x≥0,y≥0,z≥0,x+y+z≤1}. Posons

x+y+z=u,v=y+z,z=w

⇔

(x,y,z) = ϕ(u,v,w) = (u−v,v−w,w). Le jacobien de ϕest donn´e par :

∂x

∂u ∂x

∂v ∂x

∂y ∂w

∂u

∂y

∂v

∂y

∂z ∂w

∂u ∂z

∂v ∂z

∂w

=

1 −1 0

0 1 −1

0 0 1

=1.

On v´erifie facilement que est une bijection de classeC¹

Exemple (suite)

Donc, d’apr`es la proposition 4.1, ϕest un diff´eomorphisme de K^o sur ϕ

_o K

=_∆^o o`u K={(u,v,w)∈_R³/ u∈[0, 1],v∈[0,u],w∈ [0,v]}. Par application de la formule (6) de changement de variables, on d´eduit que

Z

∆

z³

(y+z) (x+y+z)^dxdydz =

Z

K

w³

uvdudvdw

= _{Z 1}

0

1 u

Z _u

0

1 v

Z _v

0 w³dw

dv

du

= ¹ 4

Z ₁

0

1 u

_{Z u}

0 v³ dv

du

= ¹ 16

Z ₁

0 u³du

= ¹ 64.

4.4.2 Changement de variables en coordonn´ ees polaires (int´ egrale double)

Soit K le compact deR² d´efini par :

K= [r₁,r₂]×[0, 2π], 0≤r₁ <r₂. Posons

(x,y) =ϕ(r,θ) = (ϕ₁(r,θ),ϕ₂(r,θ)) = (rcosθ,rsinθ). Nous avons,

(r,θ)∈[r₁,r₂]×[0, 2π]

⇔

(x,y)∈_∆=(x,y)∈_R²/ r²₁ ≤x²+y²≤r²₂ .

En vertu de l’exemple 3, ϕest un diff´eomorphisme deK^o = ]r₁,r₂[×]0, 2π[ sur la couronne

_o K

=_∆^o = (x,y)∈_R²/r² <x²+y²<r² .

La formule (6) de changement de variables s’´ecrit dans ce cas, Z

∆f(x,y)dxdy=

Z

Kf(rcosθ,rsinθ)rdrdθ.

La figure ci-dessous explicite les coordonn´ees polaires.

Remarque 4.3

Le changement de variables en coordonn´ees polaires s’impose lorsque le compact ∆R est un disque de centre 0 et de rayon R.

∆R =(x,y)∈_R²/x²+y² ≤R² .

Le changement de variables en coordonn´ees polaires envoie le compact ∆ sur le compact rectangulaire

KR =(r,θ)∈_R²/0≤r≤R, 0≤θ ≤2π . (x,y) = ϕ(r,θ)

(r,θ) =ϕ⁻¹(x,y)

Exemple 5

1 Calcul de R

∆Rxydxdyo`u

∆R=ⁿ(x,y)∈ _R⁺²/x²+y² ≤R²o .

Exemple (suite)

Posons le changement de variables

(x,y) = ϕ(r,θ) = (rcosθ,rsinθ), Nous avons,

(x,y)∈_∆R ⇔(r,θ)∈ K=ⁿ(r,θ)∈_R²/r ∈[0,R], θ ∈^h0,π 2

io .

ϕ est bijective, de classeC¹ sur K^o = ]0,R[×0,^π₂ et det

Jϕ(r,θ)=r6=0 sur K.^o Donc, d’apr`es la proposition 4.4.1.3, ϕest un diff´eomorphisme deK^o = ]0,R[×0,^π₂

sur

∆o =ⁿ(x,y)∈(_R⁺)²/x²+y²<R²o .

Exemple (suite)

La formule (6) de changement de variable donne

Z

∆xydxdy =

Z

Kr³cosθsinθdrdθ=

Z ^π

2

0

cosθsinθ Z _R

0 r³

dr

dθ

=

_Z π 2

0 cosθsinθdθ

× _{Z R}

0 r³dr

=

−^{cos 2θ} 4

^π₂

0

r⁴ 4

R 0

= ^R

4

8 .

2 Calcul de R

∆Re⁻(x²+y²)_dxdyo`u

∆R= (x,y)∈_R²/x²+y²≤R² . Posons le changement de variables

(x,y) = ϕ(r,θ) = (rcosθ,rsinθ),

Exemple (suite)

ϕ est une bijection de classeC¹ sur K^o = ]0,R[×]0, 2π[ et det

J_ϕ(r,θ)=r6=0 sur K. Donc, d’apr`^o es la proposition 4.4.1.3, ϕest un diff´eomorphisme deK^o = ]0,R[×]0, 2π[sur

∆o =ⁿ(x,y)∈(_R⁺)²/x²+y²<R²o

. Par application de la formule (6) de changement de variables, nous d´eduisons

Z

∆e⁻(x²+y²)_dxdy =

Z

K

re^−r2drdθ =

Z _2π

0

Z _R

0

re^−r2dr

dθ

=

Z _2π

0

dθ

× Z _R

0

re^−r2dr

= π

1−e^−R2 .

4.4.3 Changement de variables en coordonn´ ees cylindriques (int´ egrale triple)

Consid´erons l’application

ϕ: R³ −→ _R³

(r,θ,z) ϕ(r,θ,z) = (rcosθ,rsinθ,z). ϕ est de classeC¹ sur R³ et le jacobien de ϕest donn´e par :

det

Jϕ(r,θ,z)=

cosθ −rsinθ 0

sinθ rcosθ 0

0 0 1

=r.

Soit K le compact deR³ d´efini par :

K= (r,θ,z)∈_R³/θ ∈[0, 2π]; 0≤r ≤g(z); z∈[z₁,z₂] , o`ug est une fonction num´erique continue sur [z₁,z₂].

On v´erifie facilement que ϕest un diff´eomorphisme deK^o sur ϕ _o

K

=_∆.^o (r,θ,z)∈K

⇔

(x,y,z) =ϕ(r,θ,z) = (ϕ₁(r,θ,z),ϕ₂(r,θ,z),ϕ₃(r,θ,z))∈_∆= ϕ(K). avec,

ϕ₁(r,θ,z) =rcosθ, ϕ2(r,θ,z) =rsinθ, ϕ3(r,θ,z) =z.

La formule (6) de changement de variables s’´ecrit dans ce cas, Z

∆f(x,y)dxdydz =

Z

Kf(rcosθ,rsinθ,z)rdrdθdz

=

Z _2π

0

Z _g(z) 0

Z _z2

z1

f(rcosθ,rsinθ,z)rdrdθdz (7)

La figure ci-dessous explicite les coordonn´ees cylindriques.

les coordonn´ees cylindriques sont d´efinies par :









 r =

−→OH

=^px²+y², r∈[0,+_∞[, θ= \

ex,−→

OH

=arctan ^y_x

, θ ∈[0, 2π],

z=z z∈_R,

et d´efinissent de mani`ere unique la position du point M(x,y,z).

4.4.3.1. Exemples

1 CalculerR

∆ x²+y²+z

dxdydz o`u,

∆={(x,y,z)∈_R³/x²+y²≤9,−5≤z≤5}. Posons le changement de variables

(x,y,z) = ϕ(r,θ,z) = (rcosθ,rsinθ,z). Nous avons,

(x,y,z)∈_∆

⇔

(r,θ,z)∈K=(r,θ,z)∈ _R²/r∈[0, 3],θ ∈[0, 2π],z∈[−5, 5] . On v´erifie que ϕest un diff´eomorphisme de

Ko = ]0, 3[×]0, 2π[×]−5, 5[sur

∆o = {(x,y,z)∈_R³/x²+y²<9,−5<z<5}.

La formule (7) donne Z

∆ x²+y²+z

dxdydz =

Z

K r²+z

rdrdθdz

=

_{Z θ=2π}

θ=0 dθ

Z _z=5 z=−5

_{Z r=3}

r=0 r³+rzdr

dz

= 2π Z ₅

−5

r⁴ 4 +^zr

2

2 3

0

dz

= 2π Z ₅

−5

9z 2 + ⁸¹

4

dz

= 2π 9z²

4 +⁸¹ 4 z

5

−5

=405π.

2 Calculer le volume du cylindre

∆={(x,y,z)∈_R³/x²+y²≤R²,z∈[0,h]}. Le volume du cylindre ∆ est donn´e par : V(_∆) =R

∆dxdydz.

En passant aux coordonn´ees cylindriques, on obtient V(_∆) =

_{Z 2π}

0 dθ

Z _R

0 rdr Z _h

0 dz

=πhR², ce qui correspond bien `a la formule

4.4.4 Changement de variables en coordonn´ ees sph´ eriques , (int´ egrale triple)

Consid´erons l’application ϕ: R³ −→ _R³

(r,θ,φ) ϕ(r,θ,φ) = (rsinθcosφ,rsinθsinφ,rcosθ). ϕ est de classeC¹ sur R³ et le jacobien de ϕest donn´e par :

det

J_ϕ(r,θ,φ)=

sinθcosφ rcosθcosφ −rsinθsinφ sinθsinφ rcosθsinφ rsinθcosφ

cosθ −rsinθ 0

=r²sinθ.

Soit K le compact deR³ d´efini par :

K=(r,θ,φ)∈ _R³/r∈[0,R];θ ∈[0,π];φ∈ [0, 2π] . L’image du compact K par l’application ϕest la boule ferm´ee de R³ de centre (0, 0, 0)et de rayonR, c`ad,

ϕ(K) =_∆= (x,y,z)∈_R³/x²+y²+z²≤R² . On v´erifie facilement que ϕest un diff´eomorphisme de

Ko = ]0,R[×]0,π[×]0, 2π[ sur ϕ

_o K

=_∆^o =(x,y,z)∈_R³/x²+y²+z²<R² . Nous avons,

(r,θ,φ)∈K ⇔ (x,y,z)∈_∆, o`u,

(x,y,z) = ϕ(r,θ,φ) = (ϕ₁(r,θ,φ),ϕ₂(r,θ,φ),ϕ₃(r,θ,φ)),

avec,

ϕ₁(r,θ,φ) =rsinθcosφ; ϕ₂(r,θ,φ) =rsinθsinφ; ϕ₃(r,θ,z) =rcosθ.

Notons aussi que

(r,θ,φ)∈K⇔















r =^px²+y²+z², θ=_arccos

√ z

x²+y²+z²

, φ=arccos

√ x x²+y²

.

La formule (6) de changement de variables s’´ecrit dans ce cas, Z

∆f(x,y,z)dxdydz=

Z

Kf(rsinθcosφ,rsinθsinφ,rcosθ)r²sinθdrdθdφ.

(8) La figure ci-dessous explicite les coordonn´ees sph´eriques.

Sur la figure, les coordonn´ees sph´eriques sont d´efinies par :





















 r=

−→OM

, avecr∈ [0,+_∞[,

θ =\ e_z,−→

OM

, avecθ ∈[0,π],

φ=\ e_x,−→

OH

, avecφ∈[0, 2π], et d´efinissent de mani`ere unique la position du point M(x,y,z) Exemples 6

1 Caculer R

∆ √ 1

x²+y²+z²dxdydzo`u

∆=(x,y,z)∈_R³/R²₁ ≤x²+y²+z²≤R²₂, 0≤R₁<R2 . Posons le changement de variables

(x,y,z) = ϕ(r,θ,φ) = (rsinθcosφ,rsinθsinφ,rcosθ)

Exemples (suite)

(x,y,z)∈ _∆

⇔(r,θ,φ)∈K=(r,θ,φ)∈_R²/r∈ [R₁,R₂],θ∈ [0,π],φ∈[0, 2π] . Par application de la formule (8), on obtient

Z

∆

1

px²+y²+z²dxdydz =

Z

K

r²

r sinθdθdrdφ

=

Z _R2

R₁

Z _π

0

Z _2π

0

r²

r sinθdθdrdφ

= 2π R²₂−R²₁ .

Exemples (suite)

2 Caculer R

∆ x²+y²

dxdydz o`u

∆=(x,y,z)∈_R³/x²+y²+z² ≤1 . Posons le changement de variables

(x,y,z) = ϕ(r,θ,φ) = (rsinθcosφ,rsinθsinφ,rcosθ) (x,y,z)∈_∆

⇔

⇔(r,θ,φ)∈K=(r,θ,φ)∈_R²/r∈[0, 1],θ ∈[0,π],φ∈ [0, 2π] .