Les Syst`emes Formels SystemesFormels.tex
Le Syst` eme Formel MIU
D’apr`es une id´ee de Douglas Hofstadter dans :
G ¨ ODEL ESCHER BACH
les Brins d’une Guirlande ´Eternelle InterEditions c 1985, ISBN 2-7296-0040-X
D´ efinition d’un syst` eme formel de r´ e´ ecriture
L’objectif est de d´efinir un syst`eme formel de d´emonstration de th´eor`emes `a l’aide d’un Alphabet, d’un Axiome et de quatre R`egles de r´e´ecriture.
Cet objectif est purement lexical, on veut simplement ´ecrire des chaˆınes de caract`eres.
Tout th´eor`eme produit par ce syst`eme formel est un mot compos´e des seules lettres de l’alphaget et obtenu ainsi :
– soit, c’est l’Axiome
– soit, c’est la r´e´ecriture d’un mot-th´eor`eme obtenu en appliquant une des quatre r`egles Alphabet :
L’alphabet est compos´e des seules lettres : M I U Axiome :
L’axiome, unique, est le mot : M I R`egles :
Dans les quatre r`egles suivantes, les symboles ♥ et ♦ ne font pas partie de l’alphabet du syst`eme formel, chaque symbole repr´esente simplement une mˆeme suite quelconque (´eventuellement vide) des lettresM, I, U de l’alphabet.
♥I −→ ♥IU (1)
M ♥ −→ M ♥♥ (2)
♥III♦ −→ ♥U ♦ (3)
♥U U U♦ −→ ♥ ♦ (4)
Exemples de th´ eor` emes
Voici, par exemple, une liste de th´eor`emes obtenus `a partir de l’axiome en utilisant les diff´erentes r`egles de r´e´ecriture (on dit aussi r`egles de d´erivation).
Axiome : M I −→(2) M II −→(2) M IIII −→(1) M IIIIU −→(3) M U IU
Un petit probl` eme
D´emontrer le th´eor`eme : M U
♣♦♥
♠ ♣
♦♥
♠
Les Syst`emes Formels SystemesFormels.tex
S´ emantique d’un Syst` eme Formel
On va, dans ce chapitre assayer de donner un sens `a un syst`eme formel.
D´ efinition d’un nouveau syst` eme formel de r´ e´ ecriture
Il n’y a dans ce cas, qu’un seul axiome et deux r`egles.
Alphabet :
L’alphabet est compos´e des seules lettres : E P U Axiome :
L’axiome, est le mot : P E
R`egles :
Les symboles♥et♦ne font pas partie de l’alphabet du syst`eme, ils repr´esentent une mˆeme suite quelconque (´eventuellement vide) des lettres E, P ou U de l’alphabet.
La r`egle est la suivante :
♥ −→ U ♥U (1)
♥P ♦ −→ ♥P U♦U (2)
Les th´ eor` emes produits
Il est assez facile de voir quels sont tous les th´eor`emes qu’il est possible de produire avec ce syst`eme formel.
Une s´ emantique possible de ce Syst` eme Formel
On peut consid´erer, par exemple, que :
P est l’op´erateur d’addition + E est le signe =
U est une simple barre |
On constate que ce syst`eme peut ˆetre, dans ce cas, interpr´et´e comme la formalisation de l’addition des nombres entiers ´ecrits en base un.
En base un, on repr´esente 1 par| ; 2 par || ; 3 par ||| et ainsi de suite . . . L’axiome, maintenant not´e «+ =» peut ainsi ˆetre interpr´et´e comme «0 + 0 = 0»
Et, par exemple, le th´eor`eme «|||+||=|||||» peut ˆetre interpr´et´e comme «3 + 2 = 5»
♣♦♥
♠ ♣
♦♥
♠
Les Syst`emes Formels SystemesFormels.tex
Un autre Syst` eme Formel
On va avoir ici une r´eflexion sur la s´emantique :
«th´eor`eme» ↔ «non-th´eor`eme» est diff´erent de «vrai» ↔«faux»
D´ efinition du syst` eme formel de r´ e´ ecriture
Alphabet :
L’alphabet est compos´e des seules lettres : A B C Axiome :
L’axiome, est le mot : ABA
R`egles :
Le symbole ♥ ne fait pas partie de l’alphabet du syst`eme, il repr´esente une mˆeme suite quelconque (´eventuellement vide) des lettres A, B ouC de l’alphabet.
La r`egle est la suivante :
♥B♥ −→C♥B C♥
Les th´ eor` emes produits
Il est assez facile de voir quels sont tous les th´eor`emes qu’il est possible de produire avec ce syst`eme formel.
Une premi` ere s´ emantique possible
On peut consid´erer que :
A est le nombre 0 ; B est le signe = C est l’op´erateur «successeur» not´e →
Ainsi : →0 le successeur de 0 repr´esente 1 ; →→→5 repr´esente 8 On constate que ce syst`eme peut ˆetre, dans ce cas, interpr´et´e comme la formalisation axio- matique de l’´egalit´e de chaque nombre entier avec lui-mˆeme.
Une autre s´ emantique possible
On peut consid´erer que :
A est, cette fois, le nombre 1 ; B est toujours le signe = C est l’op´erateur usuel«oppos´e» not´e −
On constate que ce syst`eme formel produit aussi des«v´erit´es», mais, pas toutes . . . Ainsi, par exemple, dans ce syst`eme : − −1 = 1 est un non-th´eor`eme.
♣♦♥
♠ ♣
♦♥
♠
