2 Rayon de convergence

1 D´ efinition et premi` eres propri´ et´ es

1.1 Notion de s´erie enti`ere

D´efinition 1 On appelle s´erie enti`ere toute s´erie d’applications P

n>0

f_n telle qu’il existe une suite (a_n)_n∈N d’´el´ements de Ctelle que :

∀n∈N, ∀z∈C, f_n(z) =a_nzⁿ. On note alors P

n>0

anzⁿ cette s´erie enti`ere.

1.2 Rayon de convergence

Lemme 1 Lemme d’Abel Soient P

n>0

anzⁿ une s´erie enti`ere, ρ ∈R^∗

+ tel que (anρⁿ)n∈N soit born´ee. Alors pour tout z∈C tel que |z|< ρ, P

n>0

anzⁿ est absolument convergente.

Preuve - (anρⁿ)_n∈^N´etant born´ee, il existe M ∈R₊ tel que :

∀n∈N, |anρⁿ|6M.

Alors :

∀n∈N, ∀z∈C, |anzⁿ|=|an||zⁿ|6M |z|

ρ n

. Pourzv´erifiant|z|< ρ, on a ^|z|_ρ <1. P

n>0|anzⁿ|et P

n>0

|z|

ρ

n

sont deux s´eries `a termes positifs telles que :

∀n∈N, |anzⁿ|6 |z|

ρ n

.

Comme P

n>0

|z|

ρ

n

est une s´erie convergente (s´erie g´eom´etrique de raison inf´erieure `a 1), on en d´eduit que P

n>0|anzⁿ| converge (voir r´esultats des s´eries `a termes positifs), c’est-`a-dire P

n>0

anzⁿ converge

absolument. 2

Th´eor`eme 1 Soit P

n>0

a_nzⁿ une s´erie enti`ere. Il existe un unique ´element R ∈ R₊ =R∪ {+∞}

tel que pour tout z∈C : – |z|< R⇒ P

n>0

anzⁿ converge absolument ; – |z|> R⇒(anzⁿ)_n∈N n’est pas born´ee.

Preuve - Existence : SoitE={ρ∈R₊, (anρⁿ)_n∈^N est born´ee}.E ⊂R₊.E 6=∅car 0∈E. Si ρ ∈E, alors [0;ρ]⊂E.E est donc un intervalle de R₊ contenant 0. Soit R = sup(E). Si E est un intervalle born´e, alors R∈R. Dans le cas contraire, R= +∞(c’est-`a-direE = [0; +∞[).

Soit z∈Ctel que|z|< R. Soit ρ∈R₊ tel que|z|< ρ < R.ρ∈E donc (anρⁿ)_n∈N est born´ee et donc P

n>0

a_nzⁿ converge absolument d’apr`es le lemme 1.

Soitz∈Ctel que|z|> R. Alors|z|∈/ E(par d´efinition de R) et donc (anzⁿ)n∈Nn’est pas born´ee.

Unicit´e :Supposons qu’il existeR₁, R₂, ´el´ements deR₊satisfaisant aux conditions du th´eor`eme.

Supposons R₁ 6=R₂, avec par exempleR₁ < R₂. Soit ρ ∈ R₊ tel que R₁ < ρ < R₂. ρ < R₂ donc P

n>0

anρⁿconverge absolument. ρ > R₁ donc P

n>0

anρⁿ n’est pas born´ee. Contradiction. 2

D´efinition 2 Le nombre R d´efini pr´ec´edemment est appel´e rayon de convergence de la s´erie P

n>0

anzⁿ.

Cons´equence : SiR = 0, alors P

n>0

anzⁿ ne converge que pour z= 0. Si R= +∞, alors P

n>0

anzⁿ converge pour tout z∈C.

D´efinition 3 Soit P

n>0

a_nzⁿ une s´erie enti`ere de rayon de convergence R. On appelle somme de la s´erie P

n>0

a_nzⁿ l’application S d´efinie pour tout z∈Ctel que |z|< R par :

S(z) =

+∞

X

n=0

anzⁿ.

Exemple 1 : P

n>0

zⁿ est une s´erie enti`ere dont le rayon de convergence est 1. Soitz∈C. Notons R le rayon de convergence de la s´erie.

Si|z|<1, alors P

n>0|z|ⁿ est une s´erie g´eom´etrique convergente donc P

n>0

zⁿ converge absolument.

Si|z|>1, alors (zⁿ)_n∈Nn’est pas born´ee donc R= 1.

Si|z|= 1, alors |zⁿ|ne tend pas vers 0 donc P

n>0

zⁿ diverge.

Pour |z|<1, on a : P

n>0

zⁿ= _1−z¹ . Exemple 2 : P

n>1 zⁿ

n². Si|z|61, alors ^z

n

n²

6 _n¹2. P

n>1

^z

n

n²

et P

n>1 1

n² sont deux s´eries `a termes positifs et P

n>1 1

n² est une s´erie de Riemann convergente donc P

n>1

^z

n

n²

converge.

Si|z|>1, ^z

n

n²

ne converge pas vers 0 lorsquen→+∞ donc P

n>1 zⁿ

n² diverge.

A travers ces deux exemples, on constate que l’ensemble {z∈C, |z|=R} est un ensemble d’in- certitude.

2 Rayon de convergence

Proposition 1 R`egle de d’Alembert pour les s´eries enti`eres Soit P

n>0

anzⁿ une s´erie enti`ere. S’il existe n₀∈Ntel que pour tout n>n₀,an6= 0 et

an+1

an

admet une limite l∈R₊, alors le rayon de convergence est ¹_l (avec la convention ¹₀ = +∞ et _+∞¹ = 0).

Preuve - Soitz∈C^∗.

a_n+1zⁿ⁺¹ a_nzⁿ

=

a_n+1 a_n

|z| −−−−−→_n→+∞ l|z|.

Sil∈R, d’apr`es la r`egle de d’Alembert pour les s´eries `a termes r´eels positifs, on a : – si l|z|<1 (c’est-`a-dire |z|< ¹_l), alors P

n>0|anzⁿ|converge ; – si l|z|>1 (c’est-`a-dire |z|> ¹_l), alors P

n>0|anzⁿ|converge.

Donc le rayon de convergence est ´egal `a ¹_l.

Si l = 0, alors l|z| < 1 pour tout z ∈ C^∗ donc P

n>0|anzⁿ| converge pour tout z ∈ C (c’est-`a-dire R= +∞).

Sil= +∞, alors l|z|>1 pour toutz∈C^∗ donc P

n>0|a_nzⁿ|diverge pour toutz∈C^∗ doncR= 0.2

Corollaire 1 Soit P

n>0

anzⁿune s´erie enti`ere telle qu’il existe une fonction rationnelle F non nulle,

`

a coefficients dans C telle que :

∀n∈N, an=F(n).

Alors le rayon de convergence de P

n>0

anzⁿ est ´egal `a 1.

Preuve - Il existe P, Q∈C[X]− {0} tels que F = ^P_Q. Notons αX^β le terme de plus haut degr´e de P etδX^γ le terme de plus haut degr´e deQ. Alors :

|an| ∼

∞

αn^β δn^γ c’est-`a-dire

|an| ∼_∞α δn^β−γ. On alors :

|a_n+1| ∼

∞

δ

δ(n+ 1)^β−γ∼

∞

α δn^β−γ.

Donc

a_n+1 a_n

∼

∞1

donc

a_n+1 an

−−−−−→

n→+∞ 1.

D’apr`es la proposition 1, on en d´eduit que P

n>0

anzⁿ a un rayon de convergence ´egal `a 1. 2

Exemples : P

n>0

zⁿ, P

n>0 zⁿ

n ont des rayons de convergence ´egaux `a 1.

P

n>0 zⁿ

n! : notons (an)_n∈^N la suite d´efinie par :

∀n∈N, an= 1 n!. On a :

a_n+1 an

= n!

(n+ 1)! = 1

n+ 1−−−−−→_n→+∞ 0 donc P

n>0 zⁿ

n! a un rayon de convergence ´egal `a +∞.

3 Op´ erations sur les s´ eries enti` eres

3.1 Produit par un scalaire Proposition 2 Soient λ∈ C^∗ et P

n>0

anzⁿ une s´erie enti`ere ayant pour rayon de convergence Ra

et pour somme Sa. Notons Rλa le rayon de convergence de la s´erie P

n>0

λanzⁿ et Sλa la somme de P

n>0

λanzⁿ. Alors :

Rλa =Ra et ∀z∈C, |z|< Ra⇒Sλa(z) =λSa(z).

Preuve - Soit z ∈ C tel que |z| < R_a. P

n>0

a_nzⁿ converge absolument donc P

n>0

λa_nzⁿ converge absolument et on a :

+∞

X

n=0

λanzⁿ=λ

+∞

X

n=0

anzⁿ (c’est-`a-direSλa(z) =λSa(z) ).

donc pour tout z tel que |z| < Ra, P

n>0

λanzⁿ converge absolument donc Ra 6 Rλa. P

n>0

λanzⁿ converge absolument donc P

n>0 1

λλanzⁿ converge absolument donc pour tout z tel que |z| < Rλa, P

n>0

anzⁿ converge absolument donc Rλa 6Ra. Par cons´equent,Rλa =Ra. 2

3.2 Somme de deux s´eries enti`eres

D´efinition 4 On appelle s´erie enti`ere somme de deux s´eries enti`eres P

n>0

anzⁿ et P

n>0

bnzⁿ la s´erie enti`ere P

n>0

(an+bn)zⁿ. Proposition 3 Soient P

n>0

anzⁿ et P

n>0

bnzⁿ deux s´eries enti`eres de rayons de convergence respectifs RaetRb, de sommes respectivesSaetSb. Le rayon de la s´erie somme P

n>0

(an+bn)zⁿest not´eR_a+b, la somme de cette s´erie est not´ee S_a+b. On a :

R_a+b>min(Ra, R_b) et

∀z∈C, |z|<min(Ra, Rb)⇒S_a+b(z) =Sa(z) +Sb(z).

De plus, si Ra6=Rb, alors R_a+b = min(Ra, Rb).

Preuve - Soit z ∈ C tel que |z| < min(R_a, R_b). Alors |z| < R_a et |z| < R_b. Par cons´equent, P

n>0

anzⁿ et P

n>0

bnzⁿ convergent. Il en r´esulte que P

n>0

(an+bn)zⁿconverge et on a :

+∞

X

n=0

(an+bn)zⁿ=

+∞

X

n=0

anzⁿ+

+∞

X

n=0

bnzⁿ. Donc

R_a+b >min(R_a, R_b).

Supposons maintenant R_a 6=R_b, avec par exemple R_a < R_b (on a alors min(R_a, R_b) =R_a). Mon- trons que R_a+b = Ra. D’apr`es ce qui pr´ec`ede, R_a+b > Ra. Soit ρ ∈]Ra;Rb[. Par d´efinition de Ra

et R_b, P

n>0

a_nρⁿ diverge et P

n>0

b_nρⁿ converge donc P

n>0

(a_n+b_n)ρⁿ diverge et donc R_a+b 6R_a. Par

cons´equent,R_a+b=R_a. 2

3.3 Produit de deux s´eries enti`eres

D´efinition 5 On appelle s´erie enti`ere produit (ou produit de Cauchy) de deux s´eries enti`eres P

n>0

anzⁿ et P

n>0

bnzⁿ la s´erie enti`ere P

n>0

cnzⁿ d´efinie par :

∀n∈N, cn=

n

X

k=0

akb_n−k.

Proposition 4 Soient P

n>0

a_nzⁿ et P

n>0

b_nzⁿ de s´eries enti`eres de rayons de convergence respectifs R_a et R_b, de sommes respectives S_a et S_b. Soit P

n>0

c_nzⁿ la s´erie produit, de rayon de convergence Rc et de sommeSc. Alors :

Rc >min(Ra, R_b)

et

∀z∈C, |z|<min(Ra, R_b)⇒Sc(z) =Sa(z)S_b(z).

Preuve - Soit z ∈ C tel que |z| < min(Ra, Rb). |z| < Ra donc P

n>0

anzⁿ converge absolument.

|z|< R_b donc P

n>0

bnzⁿ converge absolument. Alors P

n>0

cnzⁿ converge absolument (r´esultat sur les s´eries num´eriques) et

+∞

X

n=0

cnzⁿ=

+∞

X

n=0

anzⁿ

! _+∞

X

n=0

bnzⁿ

!

(c’est-`a-direSc(z) =Sa(z)Sb(z)).

Le fait que P

n>0

cnzⁿ converge absolument pour tout z v´erifiant |z| < min(Ra, Rb) indique que

Rc >min(Ra, Rb). 2

3.4 S´erie enti`ere d´eriv´ee

D´efinition 6 On appelle s´erie enti`ere d´eriv´ee d’une s´erie enti`ere P

n>0

anzⁿla s´erie enti`ere P

n>1

nanzⁿ⁻¹ Proposition 5 La s´erie enti`ere d´eriv´ee d’une s´erie enti`ere a le mˆeme rayon de convergence que celle-ci.

Preuve - Soient P

n>0

anzⁿ une s´erie enti`ere de rayon R et R<sup>′</sup> le rayon de sa s´erie enti`ere d´eriv´ee P

n>1

nanzⁿ⁻¹. On a :

∀n∈N^∗, |a_n|6n|a_n|. Par cons´equent, si z v´erifie |z| < R^′, P

n>1

nanzⁿ⁻¹ converge absolument et donc P

n>0

anzⁿ converge absolument. Donc R>R^′.

Soit z∈Ctel que|z|< R. Il existe ρ∈R₊ tel que|z|< ρ < R. On a alors :

∀n∈N, |nanzⁿ|=|anρⁿ|n |z|

ρ n

. ρ < R donc (anρⁿ)n∈Nest born´ee.

n

|z|

ρ

n

−−−−−→_n→+∞ 0 car ^|z|_ρ <1 donc nanzⁿ−−−−−→_n→+∞ 0. On en d´eduit que (nanzⁿ)_n∈N est born´ee et doncz6R^′. Par cons´equent,R6R^′. Finalement, on a R=R^′. 2

4 R´ egularit´ e de la somme

4.1 Convergence normale Th´eor`eme 2 Soit P

n>0

anzⁿ une s´erie enti`ere dont le rayon de convergence est R. Alors P

n>0

anzⁿ converge normalement sur toute partie compacte de {z∈C, |z|< R}.

Preuve - Soit K une partie compacte de {z∈C, |z|< R}. L’application N d´efinie sur C par N(z) =|z|est continue sur C donc sur K donc elle est born´ee et atteint ses bornes. Il existe donc r ∈[0;R[ tel que :

K ⊂ {z∈C, |r|< R}. r < R donc P

n>0

anrⁿ converge absolument. Or, sup

|z|∈K|a_nzⁿ|6|a_nrⁿ| donc P

n>0

sup

|z|∈K|anzⁿ| converge, c’est-`a-dire P

n>0

anzⁿ converge normalement sur K (et donc unifor-

m´ement). 2

Cette convergence uniforme permet d’appliquer les th´eor`emes sur la continuit´e et la d´erivation des s´eries d’applications.

4.2 Continuit´e Th´eor`eme 3 Soit P

n>0

anzⁿ une s´erie enti`ere dont le rayon de convergence est R. On note S la somme de cette s´erie. Alors S est une application continue sur B(0;R) ={z∈C;|z|< R}.

Preuve - Notons pour n∈N, f_n l’application d´efinie sur C parf_n(z) = a_nzⁿ. On a alors, pour

|z|< R :

X

n>0

anzⁿ=X

n>0

fn etS=

+∞

X

n=0

fn.

Soit z₀ ∈ B(0;R). il existe ρ ∈ R₊ tel que |z| < ρ < R. Pour tout n ∈ N, f_n est continue en z₀. P

n>0

fn converge normalement (donc uniform´ement) sur [0;ρ]. alors ^+∞P

n=0

fn est continue en z₀ (voir r´esultats sur les s´eries d’applications), c’est-`a-dire S est continue en z₀. 2

4.3 D´erivabilit´e Th´eor`eme 4 Soit P

n>0

anzⁿ une s´erie enti`ere r´eelle de rayon de convergence R >0 et de somme S. Alors S est une application de classe C^∞ sur ]−R;R[ et on a :

∀k∈N^∗, ∀x∈]−R;R[, S^(k)(x) =

+∞

X

n=k

n!

(n−k)!a_nx^n−k. En particulier :

∀k∈N^∗, ak = S^(k)(0) k! .

Preuve - Pour toutn∈N, notonsfnla fonction d´efinie surRparfn(x) =anxⁿ. On sait, d’apr`es la proposition 5 que pour toutk∈N, P

n>0

fn^(k) a pour rayon de convergenceR. Soitk∈N^∗. – pour tout n∈N,fn est de classe C^k sur ]−R;R[ ;

– pour tout i∈ {0,· · ·, k−1}, P

n>0

fn⁽ⁱ⁾ converge simplement sur ]−R;R[ ;

– P

n>0

fn^(k) converge uniform´ement (et mˆeme normalement) sur tout segment de ]−R;R[.

D’apr`es les r´esultats sur la d´erivaiton des s´eries d’applications, on en d´eduit queS est de classeC^k sur ]−R;R[ et queS^(k)=^+∞P

n=0

fn^(k). Par cons´equent,S est de classe C^∞ sur ]−R;R[ et on a :

∀k∈N^∗, ∀x∈]−R;R[, S^(k)(x) =

+∞

X

n=k

n!

(n−k)!a_nx^n−k. Pour x= 0, on a alors :

S^(k)(0) =akk!

c’est-`a-dire

a_k= S^(k)(0) k! .

2

5 Applications

5.1 L’exponentielle complexe D´efinition 7 La s´erie P

n>0 zⁿ

n! est de rayon infini. Sa Somme est appel´ee exponentielle complexe et est not´ee exp. on a alors :

∀z∈C, exp(z) =

+∞

X

n=0

zⁿ n!. Cons´equence : P

n>0 zⁿ

n! converge normalement sur tout bouleB(0;r), o`u r >0.

Proposition 6 P

n>0 zⁿ

n! est continue surC.

Preuve - Soitz₀ ∈C. soitr ∈R⁺tel que|z₀|< r. P

n>0 zⁿ

n! est normalement convergente surB(0;r) (donc uniform´ement convergente) et pour tout n∈N,z → ^z_n!ⁿ est continue en z₀. Par cons´equent,

exp est continue enz₀. 2

Proposition 7 Pour tous z, z^′ ∈C, exp(z+z^′) = exp(z)×exp(z^′).

Preuve - P

n>0 zⁿ n! et P

n>0 z^′n

n! sont absolument convergentes donc :

∞

X

n=0

zⁿ n!

! _+∞

X

n=0

z^′n n!

!

=

∞

X

n=0

wn

o`u

w_n=

n

X

k=0

z^k k!

z^′n−k (n−k)!. wn=

n

X

k=0

C_n^k

n!z^kz^′n−k= (z+z^′)ⁿ n! . Donc

exp(z)×exp(z^′) =

+∞

X

n=0

(z+z^′)ⁿ

n! = exp(z+z^′).

2

5.2 R´esolution d’une ´equation diff´erentielle

On s’int´eresse `a la r´esolution de l’´equation diff´erentielle : 2xy^′′+y^′ −y = 0. Notons (E) cette

´equation diff´erentielle.

Cherchons une solution de (E) d´eveloppable en s´erie enti`ere en 0. NotonsS la fonction d´efinie au voisinage de 0 par :

S(x) =

+∞

X

n=0

anxⁿ. Supposons queS est solution de (E). On alors :

2x

+∞

X

n=2

n(n−1)a_nxⁿ⁻²+

+∞

X

n=1

na_nxⁿ⁻¹−

+∞

X

n=0

a_nxⁿ= 0

+∞

X

n=1

2n(n−1)anxⁿ⁻¹+

+∞

X

n=1

nanxⁿ⁻¹−

+∞

X

n=0

anxⁿ= 0

+∞

X

n=1

(n(2n−1)an−a_n−1)xⁿ⁻¹= 0

+∞

X

n=0

((n+ 1)(2n+ 1)a_n+1−an)xⁿ= 0.

Par unicit´e du d´eveloppement en s´erie enti`ere :

∀n∈N, (n+ 1)(2n+ 1)a_n+1−a_n= 0.

On montre par r´ecurrence que pour tout n∈N,an= ²_(2n)!^na0. NotonsP(n) la propri´et´ean= _(2n)!^2na0 P(0) est vraie.

Soit n∈N. Supposons P(n) vraie. D’apr`es la relation liantan+1 etan, on a : a_n+1= a_n

(n+ 1)(2n+ 1). Appliquant l’hypoth`ese de r´ecurrence, on a :

a_n+1 = 2ⁿa₀

(2n+ 1)(n+ 1)(2n)! = 2ⁿ⁺¹a₀

(2n+ 2)(2n+ 1)(2n)! = 2ⁿ⁺¹a₀ (2(n+ 1))!

doncP(n+ 1) est vraie et doncP(n) est vraie pour tout n∈N. Par cons´equent, S(x) =

+∞

X

n=0

2ⁿa0

(2n)!xⁿ. 2ⁿ⁺¹a₀

(2(n+ 1))! : 2ⁿa₀

(2n)! = 2

(2n+ 1)(2n+ 2) −−−−−→

n→+∞ 0 donc le rayon de convergence de la s´erie P

n>0 2ⁿa0

(2n)!xⁿest +∞. Les solutions de l’´equation diff´erentielle d´eveloppable en s´erie enti`ere en 0 sont les fonctions S :x → a₀^+∞P

n=0 (2x)ⁿ

(2n)! (le rayon de convergence de ces s´eries ´etant +∞).

Six= 0, S(0) =a₀. Six <0,

S(x) =a₀

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ(−2x)ⁿ (2n)! =a₀

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ(√

−2x)²ⁿ

(2n)! =a₀cos(√

−2x).

Six >0,

S(x) =a₀

+∞

X

n=0

(√ 2x)²ⁿ

(2n)! =a₀cosh(√ 2x).

L’ensemble des solutions de (E) sur ]− ∞; 0[ est

x→λcos(√

−2x), λ∈R . L’ensemble des solutions de (E) sur ]0; +∞[ est

x→ξch(√

2x), ξ∈R . sachant que cos(0) = ch(0) = 1, il en r´esulte que l’ensemble des solutions de (E) continues sur R est ocnstitu´e des fonctions de la forme :

x→

( ξcos(√

−2x), x60 ξch(√

2x), x>0 o`u ξ∈R.