1 Probabilités L2 AES
2 Dans ce cours, j’ai mis l’accent sur l’intuition, j’ai essayé de décrire le langage des probabilités et les idées sous-jacentes à ce langage. J’espère ne pas avoir trop transigé avec la rigueur. Vos commentaires éventuels me le diront. Certaines démonstrations sont difficiles, on peut lire ce cours sans les regarder, et utiliser les propriétés données dans les exercices. Je n’en demanderai aucune à l’examen.
Par contre, j’y ai mis beaucoup d’exemples et d’exercices corrigés. Il est vivement recommandé de les maîtriser parfaitement.
J’ai cherché souvent des exemples « simples » utilisant le dé à six faces, et le jeu de cartes de 32 cartes. Si, venant de cultures différentes, ces jeux vous sont inconnus, je vous invite à télécharger ou imprimer ou acheter un jeu de 32 cartes et un dé à 6 faces.
Ce cours donne les bases nécessaires pour suivre les cours de statistique inférentielle et d’économétrie de L3. Bonne lecture
3 Ι Depuis l’antiquité, jusqu’au 𝑋𝑉𝐼𝐼𝑒 siècle, les mathématiciens et astronomes utilisaient leur science pour calculer la distance entre les étoiles afin de prédire l’avenir. Ils étaient astrologues.
Un des derniers astrologues et astronomes fut Johannes Kepler. L’astrologie s’est ensuite détachée des sciences exactes. Au même moment, les probabilités apparaissent grâce entre autres, aux mathématiciens Blaise Pascal et Pierre De Fermat. Une nouvelle manière de contrôler le hasard, et donc en quelque sorte de contrôler ou prévoir l’avenir vient d’être créée.
Bien entendu, les premiers évènements à être contrôlés ou prévus par les probabilités sont les résultats de jeux d’argent. Le vocabulaire des probabilités gardera en mémoire un lien avec l’univers du jeu.
Ce langage sera définitivement établi dans les années 1930 par le mathématicien russe Andreï Kolmogorov. Ce langage est celui de la théorie des ensembles. En voici les rudiments :
1) Une expérience est dite aléatoire si son résultat est dû au hasard.
Exemple : le lancer d’un dé (à 6 faces) est une expérience aléatoire. Le lancer d’une pièce de monnaie en est une autre.
2) L’issue d’une expérience aléatoire est un résultat possible de cette expérience.
Exemple : {1} est une issue du lancer d’un dé. {4} en est une autre. {Pile} et {Face} sont les deux issues du lancer d’une pièce de monnaie.
3) L’ensemble des issues d’une expérience aléatoire s’appelle l’univers de cette expérience. On note souvent cet univers Ω.
Exemple : {1,2,3,4,5,6} est l’univers du lancer d’un dé. {Pile,Face} est l’univers du lancer d’une pièce de monnaie.
4) Un évènement d’une expérience aléatoire est un ensemble d’issues de cette expérience.
Exemple : {2,5} est un évènement du lancer d’un dé. Il signifie en fait : « obtenir un 2 ou un 5 lors du lancer d’un dé ». « Obtenir un nombre pair » en est un autre, il s’écrit : {2,4,6}.
« Obtenir un 6 » est un évènement qui peut s’écrire {6}. C’est donc à la fois un évènement et une issue (comme le « a » est à la fois une lettre et un mot), par contre, {2,4,6} n’est pas une issue (tout comme « miel » n’est pas une lettre).
5) L’évènement certain est composé de toutes les issues de l’univers.
Exemple : {1,2,3,4,5,6} est l’évènement certain du lancer d’un dé. En effet, on est sûr d’obtenir 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 en lançant un dé !
6) Tout évènement impossible à réaliser se note ∅ (c’est l’ensemble vide)
Exemple : « obtenir un nombre à la fois pair et impair » en lançant un dé est impossible, on note cet évènement ∅.
Le lancer d’une pièce de monnaie a donc 4 évènements que l’on note : {Pile,Face}, {Pile}, {Face} et ∅ Le lancer d’un dé a 26 = 64 évènements différents (essayez de les écrire)
7) On considère qu’une pièce n’est pas truquée, qu’un dé n’est pas truqué, si toutes les issues ont le même nombre de chance d’apparaître. De manière plus générale si on considère que toutes les issues d’une expérience aléatoire ont les mêmes chances d’apparaître, on calcule ainsi la probabilité d’un évènement 𝐴 :
4 𝑝(𝐴) =𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑′𝑖𝑠𝑠𝑢𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑′𝑖𝑠𝑠𝑢𝑒𝑠
C’est en fait la proportion des issues favorable parmi toutes les issues. Le nombre obtenu est toujours entre 0 et 1 c’est-à-dire : 0 ≤ 𝑝(𝐴) ≤ 1 Exemple :
𝑝("obtenir un nombre pair en lançant un dé") =3 6 𝑝("obtenir un 5 en lançant un dé") =1
6
Par contre, si on veut le résultat sous forme d’un pourcentage, il faut rajouter une multiplication par 100 dans formule précédente.
Exercice corrigé 1 :
On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. Calculer la probabilité d’obtenir a) un roi de trèfle b) un roi c) un trèfle d) un roi ou un trèfle e) ni roi ni trèfle Réponses
a) 𝑝(obtenir un roi de trèfle) =321 b) 𝑝(obtenir un roi ) = 4
32
c) 𝑝(obtenir un trèfle) =328 =1
4= 0,25
d) 𝑝(obtenir un roi ou un trèfle) =1132 (attention, ne pas compter deux fois le roi de trèfle) e) 𝑝(obtenir ni roi ni trèfle) =32−1132 =21
32
Exercice corrigé 2 :
Dans une urne, il y a 30 boules indiscernables au toucher dont 12 rouges, 7 noires et 11 blanches. On tire au hasard une boule.
a) Quelle est la probabilité d’obtenir une boule noire ?
b) Quelle est la probabilité d’obtenir une boule noire ou une boule blanche ? c) Quelle est la probabilité de ne pas obtenir une boule rouge ?
Après avoir obtenu une boule noire au premier tirage, on effectue un deuxième tirage d) Quelle est la probabilité d’obtenir une boule noire ?
e) Quelle est la probabilité d’obtenir une boule rouge ? Réponses : a) 𝑝(𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑏𝑜𝑢𝑙𝑒 𝑛𝑜𝑖𝑟𝑒) = 7 30 b) 𝑝(𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑏𝑜𝑢𝑙𝑒 𝑛𝑜𝑖𝑟𝑒 𝑜𝑢 𝑢𝑛𝑒 𝑏𝑜𝑢𝑙𝑒 𝑏𝑙𝑎𝑛𝑐ℎ𝑒) =7+1130 =18 30 c) 𝑝(𝑛𝑒 𝑝𝑎𝑠 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑏𝑜𝑢𝑙𝑒 𝑟𝑜𝑢𝑔𝑒) =1830 d) 𝑝(𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑏𝑜𝑢𝑙𝑒 𝑛𝑜𝑖𝑟𝑒 𝑎𝑢 𝑑𝑒𝑢𝑥𝑖è𝑚𝑒 𝑡𝑖𝑟𝑎𝑔𝑒) =296 e) 𝑝(𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑏𝑜𝑢𝑙𝑒 𝑟𝑜𝑢𝑔𝑒 𝑎𝑢 𝑑𝑒𝑢𝑥𝑖è𝑚𝑒 𝑡𝑖𝑟𝑎𝑔𝑒) =1229
5 Exercice corrigé 3 :
Dans une urne, il y a 50 jetons numérotés de 1 à 50. On en tire un au hasard. a) Quelle est la probabilité de tirer un numéro pair ?
b) Quelle est la probabilité de tirer un multiple de 5 ?
c) Quelle est la probabilité de tirer un numéro supérieur ou égal à 21 ? Réponses a) 𝑝(𝑡𝑖𝑟𝑒𝑟 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚é𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑖𝑟) =25 50= 1 2= 0,5 b) 𝑝(𝑡𝑖𝑟𝑒𝑟 𝑢𝑛 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑒 𝑑𝑒 5) =10 50= 1 5= 0,2
car les multiples de 5 sont 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50. c) 𝑝(𝑡𝑖𝑟𝑒𝑟 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚é𝑟𝑜 𝑠𝑢𝑝é𝑟𝑖𝑒𝑢𝑟 𝑜𝑢 é𝑔𝑎𝑙 à 21) =30
50= 3 5= 0,6
Exercice corrigé 4
Dans une compagnie d’assurance, à partir des fiches de 1000 assurés, on a dressé le tableau d’effectifs suivant : Â𝑔𝑒 ℎ𝑜𝑚𝑚𝑒𝑠 𝑓𝑒𝑚𝑚𝑒𝑠 [18 ; 25[ 51 49 [25 ; 35[ 93 98 [35 ; 45[ 102 94 [45 ; 55[ 80 83 [55 ; 65[ 91 85 65 𝑎𝑛𝑠 𝑜𝑢 𝑝𝑙𝑢𝑠 100 74
On tire au hasard l’une des 1000 fiches. Quelle est la probabilité que la fiche tirée soit a) celle d’un homme
b) celle d’une femme
c) celle d’un homme et d’une femme d) celle d’un homme ou d’une femme e) celle d’une personne de moins de 45 ans f) celle d’une personne d’au moins 45 ans g) celle d’une femme d’au plus 25 ans h) celle d’une femme de plus de 25 ans i) celle d’un homme d’au moins 65 ans j) celle d’un homme de plus de 55 ans Remarque :
« au moins » signifie « au minimum », « au plus » signifie « au maximum ». Réponses a) 𝑝(𝐻) =51+93+102+80+91+1001000 =1000517 = 0,517 b) 𝑝(𝐹) =1000−5171000 = 483 1000= 0,483 c) 𝑝(𝑡𝑖𝑟𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑐ℎ𝑒 𝑑′𝑢𝑛 ℎ𝑜𝑚𝑚𝑒 𝑒𝑡 𝑑′𝑢𝑛𝑒 𝑓𝑒𝑚𝑚𝑒) = 0 1000= 0 d) 𝑝(𝑡𝑖𝑟𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑐ℎ𝑒 𝑑′𝑢𝑛 ℎ𝑜𝑚𝑚𝑒 𝑜𝑢 𝑑′𝑢𝑛𝑒 𝑓𝑒𝑚𝑚𝑒) =1000 1000= 1 e) 𝑝(𝑡𝑖𝑟𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑐ℎ𝑒 𝑑′𝑢𝑛𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑛𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑖𝑛𝑠 𝑑𝑒 45 𝑎𝑛𝑠) =51+49+93+98+102+94 1000 = 487 1000= 0,487 f) 𝑝(𝑡𝑖𝑟𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑐ℎ𝑒 𝑑′𝑢𝑛𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑛𝑒 𝑑′𝑎𝑢 𝑚𝑜𝑖𝑛𝑠 45 𝑎𝑛𝑠) =1000−487 1000 = 513 1000= 0,513
6 g) 𝑝(𝑡𝑖𝑟𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑐ℎ𝑒 𝑑’𝑢𝑛𝑒 𝑓𝑒𝑚𝑚𝑒 𝑑’𝑎𝑢 𝑝𝑙𝑢𝑠 25 𝑎𝑛𝑠) =100049 = 0,049 h) 𝑝(𝑡𝑖𝑟𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑐ℎ𝑒 𝑑’𝑢𝑛𝑒 𝑓𝑒𝑚𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑙𝑢𝑠 𝑑𝑒 25 𝑎𝑛𝑠) =98+94+83+85+741000 =1000434 = 0,434 i) 𝑝(𝑡𝑖𝑟𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑐ℎ𝑒 𝑑’𝑢𝑛 ℎ𝑜𝑚𝑚𝑒 𝑑’𝑎𝑢 𝑚𝑜𝑖𝑛𝑠 65 𝑎𝑛𝑠) =1000100 = 0,1 j) 𝑝(𝑡𝑖𝑟𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑐ℎ𝑒 𝑑’𝑢𝑛 ℎ𝑜𝑚𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑙𝑢𝑠 𝑑𝑒 55 𝑎𝑛𝑠) =91+1001000 = 191 1000= 0,191
8) Dans tous les cas où l’on pas la possibilité de compter le nombre d’issues favorables, on doit répéter un très grand nombre de fois l’expérience aléatoire, noter la fréquence d’apparition de chaque issue. On obtiendra ainsi une bonne approximation des probabilités de chaque issue. Cette règle s’appelle la loi des grands nombres.
Exemple : si on lance 1000 fois ou 10 000 fois une pièce de monnaie, on devrait (presque à coup sûr) obtenir à peu près 50% de piles et 50% de face, c’est-à-dire une fréquence d’apparition de pile à peu près égale à 0,5 et une fréquence d’apparition de face à peu près égale à 0,5.
Bien sûr, au plus l’expérience aléatoire est répétée, au plus l’approximation sera bonne.
9) L’évènement contraire d’un évènement 𝐴 se note 𝐴̅. Il se calcule grâce à la formule : 𝑝(𝐴) + 𝑝(𝐴̅) = 1
que l’on peut utiliser aussi sous la forme :
𝑝(𝐴̅) = 1 − 𝑝(𝐴) ou sous la forme :
𝑝(𝐴) = 1 − 𝑝(𝐴̅)
Exemple : 𝐴 = « obtenir un 1 en lançant un dé », donc 𝐴̅ = « obtenir un 2, un 3, un 4, un 5 ou un 6 en lançant un dé ». On a 𝑝(𝐴) =1 6, 𝑝(𝐴̅) = 5 6 et donc 𝑝(𝐴) + 𝑝(𝐴̅) = 1 6+ 5 6= 6 6= 1
10) Soient 𝐴 et 𝐵 deux évènements, l’évènement 𝐴 ∩ 𝐵 (qui se lit 𝐴 « inter » 𝐵, inter signifiant en fait
intersection) est l’évènement contenant les issues qui sont à la fois dans 𝐴 et dans 𝐵. On peut aussi dire que l’évènement 𝐴 ∩ 𝐵 est réalisé lorsque les évènements 𝐴 et 𝐵 sont réalisés en même temps.
Exemple : si 𝐴 = « obtenir un nombre plus grand ou égal à 3 en lançant un dé » et si 𝐵 = « obtenir un nombre plus petit ou égal à 3 en lançant un dé » alors 𝐴 ∩ 𝐵 = « obtenir le nombre 3 en lançant un dé »
11) Soient 𝐴 et 𝐵 deux évènements, l’évènement 𝐴 ∪ 𝐵 (qui se lit 𝐴 « union » 𝐵) est l’évènement contenant les issues qui sont dans 𝐴 ou dans 𝐵. On peut aussi dire que l’évènement 𝐴 ∪ 𝐵 est réalisé lorsque au moins un des deux évènements 𝐴 ou 𝐵 est réalisé.
Exemple : si 𝐴 = « obtenir un nombre plus grand ou égal à 3 en lançant un dé » et si 𝐵 = « obtenir un nombre plus petit ou égal à 3 en lançant un dé » alors 𝐴 ∪ 𝐵 = « obtenir un nombre de 1 à 6 en lançant un dé »
On utilise souvent le schéma suivant pour visualiser les intersections et les unions. Les croix représentent les issues d’un univers :
7 12) La formule reliant les probabilités des évènements précédents est :
𝑝(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑝(𝐴) + 𝑝(𝐵) − 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) En effet : 𝑝(𝐴 ∪ 𝐵) =𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑 ′𝑖𝑠𝑠𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝐴 𝑜𝑢 𝐵 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑′𝑖𝑠𝑠𝑢𝑒𝑠 =𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑 ′𝑖𝑠𝑠𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝐴 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑′𝑖𝑠𝑠𝑢𝑒𝑠 + 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑′𝑖𝑠𝑠𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝐵 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑′𝑖𝑠𝑠𝑢𝑒𝑠 −𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑 ′𝑖𝑠𝑠𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝐴 𝑒𝑡 𝐵 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑′𝑖𝑠𝑠𝑢𝑒𝑠 = 𝑝(𝐴) + 𝑝(𝐵) − 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵)
La soustraction vient du fait qu’on ne veut pas compter deux fois les issues qui sont dans 𝐴 et 𝐵 Reprenons les évènements 𝐴 et 𝐵 de l’exemple précédent, on obtient :
𝑝(𝐴) =4 6 , 𝑝(𝐵) = 3 6 , 𝑝(𝐴 ∪ 𝐵) = 6 6 et 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) = 1 6 On a bien : 6 6= 4 6+ 3 6− 1 6 Si on prend l’exemple du schéma avec les croix, on a cette fois :
𝑝(𝐴) = 8 24 , 𝑝(𝐵) = 8 24 , 𝑝(𝐴 ∪ 𝐵) = 13 24 et 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) = 3 24 Et on a bien : 13 24= 8 24+ 8 24− 3 24
13) Un évènement A est certain si 𝑝(𝐴) = 1 En effet,
𝑝(𝐴) =𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑
′𝑖𝑠𝑠𝑢𝑒𝑠
𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑′𝑖𝑠𝑠𝑢𝑒𝑠 = 1
14) Deux évènements A et B sont dits incompatibles si ils ne peuvent être réalisés en même temps, c’est-à-dire si 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ c’est-à-dire si 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) = 0
Exemple : Si on tire au hasard une carte d’un jeu de 32 cartes, les évènements 𝐴 = « la carte tirée est une dame » et 𝐵 = « la carte tirée est l’as de cœur » sont incompatibles.
8 Dans ce cas-là, on a la formule simplifiée :
𝑝(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑝(𝐴) + 𝑝(𝐵) Car 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) = 0
C’est toujours le cas si 𝐴 et 𝐵 sont deux issues différentes, par exemple :
Si 𝐴 = « obtenir un 3 en lançant un dé », 𝐵 = « obtenir un 4 en lançant un dé » alors 𝑝(𝐴 ∪ 𝐵) =26 est bien égale à 𝑝(𝐴) + 𝑝(𝐵) =16+1
6 .
15) Soient 𝐴 et 𝐵 deux évènements, alors 𝐴 ∪ 𝐵
̅̅̅̅̅̅̅ = 𝐴̅ ∩ 𝐵̅ et 𝐴 ∩ 𝐵̅̅̅̅̅̅̅ = 𝐴̅ ∪ 𝐵̅
En effet, l’évènement 𝐴 ∪ 𝐵 est réalisé lorsque au moins un des deux évènements 𝐴 ou 𝐵 est réalisé, donc 𝐴 ∪ 𝐵 n’est pas réalisé lorsque ni l’évènement 𝐴, ni l’évènement 𝐵 n’est réalisé, donc l’évènement 𝐴 ∪ 𝐵̅̅̅̅̅̅̅ est réalisé lorsque ni l’évènement 𝐴, ni l’évènement 𝐵 n’est réalisé, ainsi : 𝐴 ∪ 𝐵̅̅̅̅̅̅̅ = 𝐴̅ ∩ 𝐵̅.
De même pour 𝐴 ∩ 𝐵̅̅̅̅̅̅̅ = 𝐴̅ ∪ 𝐵̅ : le contraire de « 𝐴 et 𝐵 sont réalisés », c’est « 𝐴 n’est pas réalisé ou 𝐵 n’est pas réalisé ».
Par exemple, prenons l’expérience aléatoire : tirer une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes, 𝐴 : « la carte tirée est une dame », 𝐵 : « la carte tirée est un cœur »
Alors 𝐴 ∪ 𝐵 = « la carte tirée est une dame ou un cœur », 𝐴 ∪ 𝐵̅̅̅̅̅̅̅ = « la carte tirée n’est ni une dame, ni un cœur » = 𝐴̅ ∩ 𝐵̅.
Et 𝐴 ∩ 𝐵 = « la carte tirée est la dame de cœur », 𝐴 ∩ 𝐵̅̅̅̅̅̅̅ = « la carte tirée n’est pas la dame de cœur » = « la carte tirée n’est pas une dame ou la carte tirée n’est pas un cœur » = 𝐴̅ ∪ 𝐵̅
16) L’ensemble des issues d’une expérience aléatoire ainsi que leurs probabilités s’appelle la loi de probabilité de l’expérience aléatoire.
On peut par exemple l’exprimer sous forme d’un tableau : La loi de probabilité d’un lancer de pièce de monnaie est :
issue pile face probabilité 0,5 0,5 Exercice corrigé 5 :
On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. On définit les évènements suivants : 𝐴 : « la carte tirée est un as »
𝐶 : « la carte tirée est un cœur »
Calculer les probabilités des évènements 𝐴, 𝐶, 𝐴̅, 𝐶̅, 𝐴 ∩ 𝐶, 𝐴 ∪ 𝐶, 𝐴̅ ∩ 𝐶̅ Réponse 𝑝(𝐴) = 4 32= 1 8= 0,125 𝑝(𝐶) = 8 32= 1 4= 0,25 𝑝(𝐴̅) = 1 − 𝑝(𝐴) = 1 −1 8= 7 8 𝑝(𝐶̅) = 1 − 𝑝(𝐶) = 1 −1 4= 3 4
9 𝑝(𝐴 ∩ 𝐶) = 1 32 𝑝(𝐴 ∪ 𝐶) = 𝑝(𝐴) + 𝑝(𝐶) − 𝑝(𝐴 ∩ 𝐶) = 4 32+ 8 32− 1 32= 11 32 𝑝(𝐴̅ ∩ 𝐶̅) = 𝑝(𝐴 ∪ 𝐶̅̅̅̅̅̅̅) = 1 − 𝑝(𝐴 ∪ 𝐶) = 1 −11 32= 21 32 Exercice corrigé 6 :
On considère deux événement A et B tels que 𝑝(𝐴) = 0,3 ; 𝑝(𝐵̅) = 0,6 et 𝑝(𝐴 ∪ 𝐵) = 0,5 Calculer 𝑝(𝐴̅) ; 𝑝(𝐵); 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) et 𝑝(𝐴̅ ∪ 𝐵̅) Réponse 𝑝(𝐴̅) = 1 − 𝑝(𝐴) = 0,7 𝑝(𝐵) = 1 − 𝑝(𝐵̅) = 0,4 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑝(𝐴) + 𝑝(𝐵) − 𝑝(𝐴 ∪ 𝐵) = 0,3 + 0,4 − 0,5 = 0,2 𝑝(𝐴̅ ∪ 𝐵̅) = 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵̅̅̅̅̅̅̅) = 1 − 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) = 0,8
ΙΙ Historiquement, les expériences aléatoires étudiées ont d’abord été liées aux jeux d’argent. Il a donc été naturel de porter l’étude, non pas sur l’issue du jeu, mais sur le gain du joueur. Ainsi, une fonction, appelée variable
aléatoire a été inventée. On la note souvent 𝑋 ∶ Ω → ℝ où Ω est l’univers de l’expérience aléatoire et ℝ est
l’ensemble des nombres réels (c’est-à-dire l’ensemble des nombres positifs ou négatifs), et est telle que 𝑋(issue) = gain
Par exemple, si Ω = {Pile, face} et 𝑋(Pile) = −1, 𝑋(face) = 1, cela signifie que le joueur gagne 1 euro s’il fait face et perd 1 euro s’il fait pile. On aura alors 𝑝(𝑋 = −1) =12 et 𝑝(𝑋 = 1) =12
Si Ω = {ensemble des cartes d′un jeu de 32 cartes} et 𝑋(dame de coeur) = 15, 𝑋(𝑎𝑠) = 2
𝑋(une carte qui n′est ni un as, ni la dame de coeur) = −1, cela signifie que le joueur gagne 15 euros si il tire la dame de cœur, gagne 2 euros si il tire un as et perd 1 euro si il tire n’importe quelle autre carte. Ici, 𝑝(𝑋 = −1) =27
32
𝑝(𝑋 = 2) = 4
32 et 𝑝(𝑋 = 15) = 1 32
1) La loi de probabilité d’une variable aléatoire 𝑋 est l’ensemble des valeurs prises par X ainsi que leurs probabilités. On peut par exemple l’exprimer sous forme d’un tableau :
Pour le premier exemple précédent, on obtient :
𝑋 = 𝑔𝑎𝑖𝑛 −1 1
𝑝(𝑋 = 𝑔𝑎𝑖𝑛) 1
2
1 2 Pour le deuxième exemple, on obtient :
𝑋 = 𝑔𝑎𝑖𝑛 −1 2 15 𝑝(𝑋 = 𝑔𝑎𝑖𝑛) 27 32 4 32 1 32
10 Si les issues d’une expérience aléatoire restent les mêmes, mais que les gains changent de manière affine, on peut transformer la variable aléatoire en l’écrivant 𝑌 = 𝑎𝑋 + 𝑏 où 𝑎 et 𝑏 sont deux nombres réels avec toujours 𝑌: 𝛺 → ℝ
Choisissons 𝑎 = 3 et 𝑏 = 2
Pour le premier exemple précédent, on obtient :
𝑌 = 3𝑋 + 2 = 𝑔𝑎𝑖𝑛 −1 5
𝑃(𝑌 = 𝑔𝑎𝑖𝑛) 1
2
1 2 Pour le deuxième exemple, on obtient :
𝑌 = 3𝑋 + 2 = 𝑔𝑎𝑖𝑛 −1 8 47 𝑃(𝑌 = 𝑔𝑎𝑖𝑛) 27 32 4 32 1 32 Ou plus simplement 𝑎 = 1 et 𝑏 = −1
Pour le premier exemple précédent, on obtient :
𝑌 = 𝑋 − 1 = 𝑔𝑎𝑖𝑛 −2 0
𝑃(𝑌 = 𝑔𝑎𝑖𝑛) 1
2
1 2 Pour le deuxième exemple, on obtient :
𝑌 = 𝑋 − 1 = 𝑔𝑎𝑖𝑛 −2 1 14 𝑃(𝑌 = 𝑔𝑎𝑖𝑛) 27 32 4 32 1 32
Il est intéressant pour un joueur de savoir si en jouant plusieurs fois, ou plutôt un grand nombre de fois, il a plus de chance de gagner de l’argent ou de perdre de l’argent, pour cela il peut calculer l’espérance de ses gains :
2) L’espérance d’une variable aléatoire 𝑋, notée 𝐸(𝑋) est la moyenne des gains (ou des valeurs prise par X) pondérés(es) par leurs probabilités
Pour le premier exemple, on obtient :
𝐸(𝑋) =1
2× (−1) + 1
2× 1 = 0 Cela signifie que l’espérance des gains est nulle ou que le jeu est équitable. Pour le deuxième exemple, on obtient :
𝐸(𝑋) =27 32× (−1) + 4 32× 2 + 1 32× 15 = − 4 32
Cela signifie que l’espérance des gains est négative ou que le jeu est défavorable au joueur.
3) Si 𝑌 = 𝑎𝑋 + 𝑏 alors
𝐸(𝑌) = 𝑎𝐸(𝑋) + 𝑏 que l’on peut aussi écrire
11 On vérifie cette formule sur le deuxième exemple :
𝐸(𝑎𝑋 + 𝑏) =27 32× (𝑎 × (−1) + 𝑏) + 4 32× (𝑎 × 2 + 𝑏) + 1 32× (𝑎 × 15 + 𝑏) =27 32× (−𝑎 + 𝑏) + 4 32× (2𝑎 + 𝑏) + 1 32× (15𝑎 + 𝑏) = −27 32× 𝑎 + 27 32× 𝑏 + 8 32× 𝑎 + 4 32× 𝑏 + 15 32× 𝑎 + 1 32× 𝑏 = − 4 32× 𝑎 + 𝑏 = 𝐸(𝑋) × 𝑎 + 𝑏 = 𝑎𝐸(𝑋) + 𝑏
4) La variable aléatoire 𝑌 =𝑋 − 𝐸(𝑋) est d’espérance nulle, on dit qu’elle est centrée.
En effet, 𝐸(𝑌) = 𝐸(𝑋 − 𝐸(𝑋)) = 𝐸(𝑋) − 𝐸(𝑋) = 0 en utilisant la formule précédente avec 𝑎 = 1 et 𝑏 = 𝐸(𝑋).
Bien entendu, cette espérance ne dit pas si le joueur peut perdre beaucoup ou pas, peut gagner beaucoup ou pas, c’est-à-dire s’il prend des risques ou non. Pour mesurer ces risques, on peut calculer l’écart-type de X :
5) L’écart-type d’une variable aléatoire 𝑋, notée 𝜎(𝑋) est la moyenne des écarts à la moyenne
Autrement dit, si 𝜎(𝑋) est petit, il y a aura peu de risques alors que si 𝜎(𝑋) est grand il y aura : soit le risque de perdre beaucoup d’argent, soit des chances d’en gagner beaucoup (soit les deux).
Pour des raisons calculatoires, la définition suivante a été choisie : 𝜎(𝑋) = √𝐸 ((𝑋 − 𝐸(𝑋))2) Pour le premier exemple précédent, on obtient avec 𝐸(𝑋) = 0 :
𝑋2= 𝑔𝑎𝑖𝑛 1
𝑃(𝑋² = 𝑔𝑎𝑖𝑛) 1
2+ 1 2= 1
En effet (−1)2= 1 donc la seule valeur de la variable aléatoire 𝑋² est 1. Finalement on obtient : 𝜎(𝑋) = √𝐸(1) = √1 = 1
Pour le deuxième exemple, on obtient avec 𝐸(𝑋) = − 4
32 : (𝑋 + 4 32) 2 = 𝑔𝑎𝑖𝑛 (−1 + 4 32) 2 =49 64 (2 + 4 32) 2 =289 64 (15 + 4 32) 2 =14 641 64 𝑃 ((𝑋 + 4 32) 2 = 𝑔𝑎𝑖𝑛) 2732 324 321 Finalement on obtient : 𝜎(𝑋) = √27 32× 49 64+ 289 64 × 4 32+ 14641 64 × 1 32≈ 2,89
Les mathématiciens préfèrent effectuer les calculs sans la racine carrée, ils ont donc inventé :
6) La variance est l’écart-type au carré c’est-à-dire :
12 Cette grandeur est moins pratique à interpréter que l’écart-type, mais elle permet d’avoir des calculs un peu plus simples, on a ainsi la formule :
7) Quels que soient les nombres réels 𝑎 et 𝑏, on a
𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑋 + 𝑏) = 𝑎2𝑉𝑎𝑟(𝑋)
Formule pratique lorsque 𝑎 = 1 puisqu’elle devient :
𝑉𝑎𝑟(𝑋 + 𝑏) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋)
Terminons par des formules importantes sur l’espérance et la variance qui faciliterons beaucoup de calculs :
8) L’espérance est linéaire, c’est-à-dire : si X et Y sont deux variables aléatoires, si a et b sont deux nombres réels alors
𝐸(𝑎𝑋 + 𝑏𝑌) = 𝑎𝐸(𝑋) + 𝑏𝐸(𝑌)
9) La définition de la variance (ou de l’écart-type) peut-être légèrement simplifiée grâce à : 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸 ((𝑋 − 𝐸(𝑋))2) = 𝐸(𝑋2) − (𝐸(𝑋))2
Exercice corrigé 7 :
Deux personnes A et B organisent deux tombolas différentes appelées aussi A et B. Pour la tombola A, 100 billets sont proposés parmi lesquels 5 sont gagnants. Le premier lot vaut 250 euros, les quatre suivants valent 50 euros.
Pour la tombola B, 100 billets sont également proposés parmi lesquels 30 sont gagnants.
Les 5 premiers lots valent 25 euros, puis les 10 suivants valent 15 euros, puis les 15 suivants valent 10 euros. Dans chaque tombola le prix du billet est de 5 euros.
Soient 𝑋 et 𝑌 les variables aléatoires donnant les gains réels (attention à la mise) liés à l’achat d’un billet de tombola A ou B.
a) Calculer pour chaque tombola, la probabilité d’avoir un billet gagnant b) Calculer pour chaque tombola, la probabilité de gagner au moins 10 euros c) Calculer pour chaque tombola, la probabilité de gagner au moins 50 euros d) Calculer l’espérance de 𝑋 et 𝑌, comparer et interpréter
e) Calculer la variance et l’écart type de X et Y. Réponses a) 𝑝(𝑎𝑣𝑜𝑖𝑟 𝑢𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑙𝑒𝑡 𝑔𝑎𝑔𝑛𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑙𝑎 𝑡𝑜𝑚𝑏𝑜𝑙𝑎 𝐴) = 𝑝(𝑋 > 0) =1005 𝑝(𝑎𝑣𝑜𝑖𝑟 𝑢𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑙𝑒𝑡 𝑔𝑎𝑔𝑛𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑙𝑎 𝑡𝑜𝑚𝑏𝑜𝑙𝑎 𝐵) = 𝑝(𝑌 > 0) = 30 100 b) 𝑝(𝑋 ≥ 10) = 5 100 𝑝(𝑌 ≥ 10) = 15 100 c) 𝑝(𝑋 ≥ 50) =1001 𝑝(𝑌 ≥ 50) = 0 100= 0
13 𝐸(𝑋) = 245 × 𝑝(𝑋 = 245) + 45 × 𝑝(𝑋 = 45) − 5 × 𝑝(𝑋 = −5) = 245 × 1 100+ 45 × 4 100− 5 × 95 100 = − 50 100= −0,5
Cela veut dire qu’en moyenne un joueur achetant un billet de tombola A perd 50 centimes d’euros Les quatre valeurs possibles de 𝑌 sont 20, 10, 5 et −5 donc
𝐸(𝑌) = 20 × 𝑝(𝑌 = 20) + 10 × 𝑝(𝑌 = 10) + 5 × 𝑝(𝑌 = 5) − 5 × 𝑝(𝑋 = −5) = 20 × 5 100+ 10 × 10 100+ 5 × 15 100− 5 × 70 100 = − 75 100= −0,75 Cela veut dire qu’en moyenne un joueur achetant un billet de tombola B perd 75 centimes d’euros e) 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − (𝐸(𝑋))2= 2452× 1 100+ 45 2× 4 100+ (−5) 2× 95 100− (−0,5) 2= 705 − 0,25 = 704,75 donc 𝜎(𝑋) = √𝑉𝑎𝑟(𝑋) ≈ 26,5 𝑉𝑎𝑟(𝑌) = 𝐸(𝑌2) − (𝐸(𝑌))2= 202× 5 100+ 10 2× 10 100+ 5 2× 15 100+ (−5) 2× 70 100− (−0,75) 2 =5125 100 − 56,25 100 = 50,6875 donc 𝜎(𝑌) = √𝑉𝑎𝑟(𝑌) ≈ 7,1 Exercice corrigé 8 :
Un jeu consiste à disposer au hasard deux jetons (un bleu et un rouge) sur deux des neuf cases du damier ci-dessous
a) Compter le nombre de positionnements possibles
b) On désigne par 𝑋 et par 𝑌 le nombre de jetons reposant sur une case blanche et sur une case marquée par une croix, respectivement. Déterminer la loi de probabilité de 𝑌
c) En déduire la loi de probabilité de 𝑋
d) En moyenne, combien de cases marquées par une croix se trouvent recouvertes par un jeton ? e) En moyenne, combien de cases blanches sont recouvertes par un jeton ?
Réponse
a) Le jeton bleu peut être posé sur neuf cases différentes. Quand le jeton bleu est placé, le jeton rouge a huit cases différentes pour être placé. Cela fait donc 9 × 8 = 72 possibilités.
b) 𝑌 peut prendre trois valeurs possibles : 0, 1 ou 2. Cela donne la loi de probabilité suivante :
𝑌 = ⋯ 0 1 2 𝑝(𝑌 = ⋯ ) 1 −36 72− 6 72= 30 72 18 + 18 72 = 36 72 6 72 La probabilité 𝑝(𝑌 = 0) a été calculée de la manière suivante :
𝑝(𝑌 = 0) = 𝑝({𝑌 = 1} ∪ {𝑌 = 2}̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) = 1 − 𝑝({𝑌 = 1} ∪ {𝑌 = 2}) = 1 − (𝑝(𝑌 = 1) + 𝑝(𝑌 = 2)) c) la variable aléatoire 𝑋 s’écrit 𝑋 = 2 − 𝑌.
En effet, si 𝑌 = 0, cela signifie que 𝑋 = 2. Si 𝑌 = 1, cela signifie que 𝑋 = 1. Et enfin, si 𝑌 = 2, cela signifie que 𝑋 = 0.
Donc sa loi de probabilité est la suivante
𝑋 = ⋯ 0 1 2 𝑝(𝑋 = ⋯ ) 6 72 36 72 30 72
14 d) 𝐸(𝑌) = 0 × 𝑝(𝑌 = 0) + 1 × 𝑝(𝑌 = 1) + 2 × 𝑝(𝑌 = 2) =3672+ 2 × 6 72= 48 72= 2 3≈ 0,66 e) 𝐸(𝑋) = 𝐸(2 − 𝑌) = 𝐸(2) − 𝐸(𝑌) = 2 −4872=4 3≈ 1,33 Exercice corrigé 9 :
Pour une mise de 2 euros, un joueur choisit un numéro compris entre 1 et 6, puis lance deux dés cubiques bien équilibrés et observe combien de fois le numéro est sorti. Le joueur gagne 13 euros si son numéro sort sur chaque dé, 5 euros s’il n’apparaît que sur un seul dé, et rien sinon.
On désigne par 𝑋 la variable aléatoire donnant le gain réel du joueur (ne pas oublier de compter la mise). a) Déterminer la loi de probabilité de 𝑋
b) Calculer 𝐸(𝑋) et 𝜎(𝑋)
c) Interpréter 𝐸(𝑋), et dire si le jeu est équitable
L’organisateur décide de diminuer la mise et les gains de 1 euro. On désigne par 𝑌 la variable aléatoire donnant le gain réel du joueur dans ces nouvelles conditions.
d) Déterminer la loi de probabilité de 𝑌 e) Calculer son espérance et son écart-type
f) Comparer avec la situation antérieure et interpréter
Après réflexion, l’organisateur décide de doubler la mise et les gains par rapport au jeu initial. On désigne par 𝑍 la variable aléatoire donnant le gain réel du joueur dans ces nouvelles conditions. g) Déterminer la loi de probabilité de 𝑍
h) Calculer son espérance et son écart-type
i) Comparer avec les situations antérieures et interpréter Réponse
a) La loi de probabilité de 𝑋 est la suivante
𝑋 = ⋯ 11 3 −2 𝑝(𝑋 = ⋯ ) 1 36 10 36 1 − 10 36− 1 36= 25 36 b) 𝐸(𝑋) = 11 × 𝑝(𝑋 = 11) + 3 × 𝑝(𝑋 = 3) − 2 × 𝑝(𝑋 = −2) = 11 ×361 + 3 ×10 36− 2 × 25 36= − 9 36= −0,25 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − (𝐸(𝑋))2= 112× 1 36+ 3 2×10 36+ (−2) 2×25 36− (−0,25) 2=311 36 − 1 16 =1244 144 − 9 144 = 1235 144 donc 𝜎(𝑋) = √𝑉𝑎𝑟(𝑋) =√1235 12 ≈ 2,93
c) 𝐸(𝑋) = −0,25 signifie qu’en moyenne un joueur perd 25 centimes d’euros. Le jeu est donc défavorable au joueur
d) La loi de probabilité de 𝑌 est la suivante
𝑌 = ⋯ 11 3 −1 𝑝(𝑌 = ⋯ ) 1 36 10 36 25 36 e) 𝐸(𝑌) = 11 × 𝑝(𝑌 = 11) + 3 × 𝑝(𝑌 = 3) − 1 × 𝑝(𝑌 = −1) = 11 ×361 + 3 ×1036− 1 ×2536=1636=49
15 1er tirage 2e tirage 3e tirage
2 × 2 × 2 = 23 = 8 𝑖𝑠𝑠𝑢𝑒𝑠 𝑉𝑎𝑟(𝑌) = 𝐸(𝑌2) − (𝐸(𝑌))2= 112×361 + 32×1036+ (−1)2×3625− (49)2=23636 −1681=2124324 −32464 = 2060 324 = 515 81 donc 𝜎(𝑌) = √𝑉𝑎𝑟(𝑌) =√515 9 ≈ 2,52 f) 𝐸(𝑌) =4
9≈ 0,44 signifie qu’en moyenne un joueur gagne 44 centimes d’euro.
Le jeu est donc favorable au joueur, l’organisateur s’est trompé dans ses calculs g) La loi de probabilité de 𝑍 est la suivante (car 𝑍 = 2𝑋)
𝑍 = ⋯ 22 6 −4 𝑝(𝑍 = ⋯ ) 1 36 10 36 25 36 h) 𝐸(𝑍) = 𝐸(2𝑋) = 2𝐸(𝑋) = 2 × (−0,25) = −0,50 𝑉𝑎𝑟(𝑍) = 𝑉𝑎𝑟(2𝑋) = 22𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 4 ×1235 144 = 1235 36 donc 𝜎(𝑍) = √𝑉𝑎𝑟(𝑍) =√1235 6 ≈ 5,86
i) 𝐸(𝑍) = −0,50 donc un joueur perd en moyenne 50 centimes, le jeu est bien défavorable au joueur, c’est le jeu à priori le plus favorable à l’organisateur…mais comme la mise est plus importante, il faudrait vérifier si l’organisateur arrive à avoir autant de joueurs. On peut penser que oui car les gains sont plus importants donc le jeu plus attractif.
ΙΙΙ Pour calculer la probabilité d’un évènement 𝐴 dans un univers Ω fini, on utilise souvent la formule
𝑝(𝐴) =𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑′𝑖𝑠𝑠𝑢𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑′𝑖𝑠𝑠𝑢𝑒𝑠 Il est parfois utile de connaître certaines formules de dénombrement
1) La répétition de 𝑛 lancers d’une pièce de monnaie (dont les deux issues sont piles ou face) donne 2𝑛 issues différentes comme le montre le début d’arbre suivant :
P F 𝑃 𝐹 𝑃 𝐹 P F P F P F P F
16 De la même manière, une expérience aléatoire a trois issues répétée 𝑛 fois donne 3𝑛 issues possibles
(imaginer une urne où l’on peut tirer une boule rouge, une verte, une bleue)
Et enfin de manière générale, une expérience aléatoire à 𝑝 issues répétée 𝑛 fois donne 𝑝𝑛 issues possibles
2) Le nombre de possibilités de ranger dans un ordre précis quatre boules (une rouge, une bleue, une verte et une noire) est 24, que l’on peut compter ainsi : 4 × 3 × 2 × 1 grâce à l’arbre (incomplet) suivant :
De manière générale, le nombre de possibilités de ranger n objets distincts dans un ordre précis (1er, 2e, 3e,
…) est 1 × 2 × 3 × … × 𝑛, nombre que l’on notera 𝑛 ! et qui se lit « n factorielle » Ainsi :
𝑛 ! = 1 × 2 × 3 × … × 𝑛
3) Soit Ω un ensemble à 𝑛 éléments, et 𝑝 un nombre entier tel que 0 ≤ 𝑝 ≤ 𝑛. On appelle combinaison à 𝑝 éléments de Ω, une partie de Ω formée de 𝑝 éléments (l’ordre ne compte pas).
Exemple : 3 caleçons pris au hasard dans un placard constitué de 22 caleçons (dans le cas d’un départ en week-end précipité) constitue une combinaison à 3 éléments des 22 caleçons du placard.
4) Le nombre de combinaisons à 𝑝 éléments d’un ensemble Ω à 𝑛 éléments est noté (𝑛𝑝) et est égal à : (𝑛
𝑝) =
𝑛 ! 𝑝 ! (𝑛 − 𝑝)! (𝑛𝑝) se lit « 𝑝 parmi 𝑛 ».
Avec la convention 0 ! = 1, la formule précédente a encore un sens lorsque 𝑝 = 0. Preuve :
Si on rajoute de l’ordre dans le nombre de possibilités de choisir p éléments parmi n, on obtient
𝑛 × (𝑛 − 1) × (𝑛 − 2) × … × (𝑛 − (𝑝 − 1)) possibilités de choisir p éléments parmi n dans un ordre précis (pour s’en convaincre, il suffit de faire un arbre similaire au précédent, avec 𝑛 possibilités à la première place, (𝑛 − 1) possibilités à la deuxième place… et 𝑛 − (𝑝 − 1) possibilités à la 𝑝𝑒 place).
On peut aussi écrire
𝑛 × (𝑛 − 1) × (𝑛 − 2) × … × (𝑛 − (𝑝 − 1)) = 𝑛 ! (𝑛 − 𝑝) ! Or il y a 𝑝 ! façons de ranger dans un ordre précis 𝑝 éléments. Donc
𝑝 ! × (𝑛 𝑝) =
𝑛 ! (𝑛 − 𝑝)!
1ère place 2e place 3e place 4e place R B V N R B N R B B 4 × 3 × 2 × 1 = 24 issues
17 Exemple : Il y a (497) = 49 !
7 ! × 42 != 85 900 584 combinaisons possibles au loto.
Remarque : L’ancienne notation de (𝑛𝑝) est 𝒞𝑛𝑝, on peut la retrouver dans certaines calculatrices ou dans des
livres écrits il y a quelques années.
5) Il y a autant de possibilités de choisir 3 caleçons parmi 22 (pour partir en week-end), que de choisir 19 caleçons parmi 22 (ce sont les caleçons qui restent dans le placard) donc
(22 3) = (
22 19) Et de manière plus générale, on a la formule :
(𝑛𝑝) = (𝑛 − 𝑝) ∀ 0 ≤ 𝑝 ≤ 𝑛 𝑛
6) La formule qui suit sert (entre autre) à construire le triangle de Pascal est : (𝑛 − 1𝑝 − 1) + (𝑛 − 1𝑝 ) = (𝑛𝑝) ∀ 1 ≤ 𝑝 ≤ 𝑛 − 1
En effet, si on veut compter le nombre de combinaisons à p éléments d’un ensemble à n éléments, on peut choisir un élément 𝑒 (quelconque), compter toutes les combinaisons qui ne contiennent pas e, il y en a (𝑛 − 1𝑝 ). Puis compter toutes les combinaisons qui contiennent 𝑒, il y en a (𝑛 − 1𝑝 − 1). Il reste à sommer les deux pour obtenir toutes les combinaisons à p éléments d’un ensemble à n éléments.
7) Le triangle de Pascal, que l’on peut continuer jusqu’à l’infini est le suivant :
Il se construit simplement en ajoutant deux termes consécutifs d’une même ligne et en écrivant le résultat en-dessous sur la ligne suivante.
Par exemple : 3 + 3 = 6, 6 + 4 = 10, 10 + 5 = 15 …
Il représente en fait tous les (𝑛𝑝) où 𝑛 est la ligne et 𝑝 la colonne. Il peut aussi s’écrire : 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 … (0 0) (1 0) ( 1 1) (2 0) ( 2 1) ( 2 2) (3 0) ( 3 1) ( 3 2) ( 3 3) (4 0) ( 4 1) ( 4 2) ( 4 3) ( 4 4) (5 0) ( 5 1) ( 5 2) ( 5 3) ( 5 4) ( 5 5) …
18 Et on voit qu’on utilise la formule du 6), par exemple : (2
1) + ( 2 2) = ( 3 2) , ( 4 2) + ( 4 3) = ( 5 3) …
8) On se sert de ce triangle pour connaître les coefficients des identités remarquables. En effet, si 𝑎 et 𝑏 sont deux nombres réels :
(𝑎 + 𝑏)2= 𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏² = 1𝑎² + 2𝑎𝑏 + 1𝑏² = (2 0) 𝑎² + ( 2 1) 𝑎𝑏 + ( 2 2) 𝑏² Ou bien : (𝑎 + 𝑏)3= 𝑎3+ 3𝑎²𝑏 + 3𝑎𝑏² + 𝑏3 = 1𝑎3+ 3𝑎²𝑏 + 3𝑎𝑏² + 1𝑏3= (3 0) 𝑎 3+ (3 1) 𝑎²𝑏 + ( 3 2) 𝑎𝑏² + ( 3 3) 𝑏 3
De manière plus générale, on a la formule du binôme de Newton : (𝑎 + 𝑏)𝑛= (𝑛 0) 𝑎𝑛+ ( 𝑛 1) 𝑎𝑛−1𝑏 + ( 𝑛 2) 𝑎𝑛−2𝑏² + ⋯ + ( 𝑛 𝑛 − 1) 𝑎𝑏𝑛−1+ ( 𝑛 𝑛) 𝑏𝑛 Que l’on peut aussi écrire :
(𝑎 + 𝑏)𝑛= ∑ (𝑛
𝑝) 𝑎𝑛−𝑝𝑏𝑝
𝑝=𝑛
𝑝=0
Pour bien comprendre la formule précédente, je rappelle que 𝑎0= 1, 𝑎1= 𝑎, que ∑ signifie « somme » et que ∑𝑝=𝑛𝑝=0 signifie la somme de 𝑝 = 0 jusqu’à 𝑝 = 𝑛 (en ne prenant que des 𝑝 entiers).
Preuve :
(𝑎 + 𝑏)𝑛= (𝑎 + 𝑏) × (𝑎 + 𝑏) × … × (𝑎 + 𝑏)
En développant, on trouve des termes de la forme 𝑎𝑛−𝑝𝑏𝑝 avec 0 ≤ 𝑝 ≤ 𝑛.
Chaque terme 𝑎𝑛−𝑝𝑏𝑝 s’obtient en choisissant 𝑝 facteurs égaux à 𝑏 parmi les 𝑛 facteurs (𝑎 + 𝑏) , les 𝑛 − 𝑝
facteurs restants étant tous égaux à 𝑎. Il y a (𝑛𝑝) façons de choisir ces facteurs 𝑏 parmi les n facteurs (𝑎 + 𝑏).
Exemples : (2𝑥 + 1)4 = 1(2𝑥)4+ 4 × (2𝑥)3× 1 + 6 × (2𝑥)2× 12+ 4 × (2𝑥)1× 13+ 1 × 14 = 16𝑥4+ 32𝑥3+ 24𝑥4+ 8𝑥 + 1 (−3 + 𝑥)5= 1(−3)5+ 5(−3)4× 𝑥1+ 10(−3)3𝑥2+ 10(−3)2𝑥3+ 5(−3)1𝑥4+ 1𝑥5 = −243 + 405𝑥 − 270𝑥2+ 90𝑥3− 15𝑥4+ 𝑥5 Exercice corrigé 10 :
Dans un trousseau de 41 clefs, seule une des clefs ouvre un certain coffre-fort. En choisissant, une après l’autre, les clefs au hasard, quelle est la probabilité d’ouvrir la porte au k-ième essai ? (k entier compris entre 1 et 41)
19 𝑘 est un nombre fixé.
Il y a 41! façons de ranger les clefs dans un certain ordre (de la 1è𝑟𝑒 à la 41è𝑚𝑒).
Une fois la bonne clef rangée à la k-ième place, il y a 40! façons de ranger les clefs restantes (de la 1è𝑟𝑒 à la 41è𝑚𝑒 en sautant la k-ième).
La probabilité demandée est
40! 41!=
1 41 La probabilité est indépendante de la place k choisie.
Exercice corrigé 11 :
On tire au hasard 5 cartes dans un jeu de 32 cartes.
a) Combien de mains différentes peut-on former (une main est ici composée de 5 cartes) ? b) Quel est le nombre de mains différentes qui contiennent les 4 as ?
c) Quel est le nombre de mains contenant exactement un as ? Réponse
a) On peut former (32 5) =
32!
27!×5!= 201 376 mains différentes
b) Les 4 as étant fixés, il ne reste qu’à choisir une carte parmi 28, soit (28 1) =
28!
27!×1!= 28 mains
différentes contenant les 4 as
c) Si dans la main, il y a l’as de cœur, on doit choisir 4 cartes parmi 28 pour compléter la main, soit (28 4) =
28!
24!×4!= 20 475 mains différentes contenant un seul as, celui de cœur. Le raisonnement est le même
pour l’as de pique, l’as de trèfle et l’as de carreaux, donc il y a 4 × 20 475 = 81 900 mains différentes contenant un seul as.
Exercice corrigé 12 :
Une urne contient 20 boules rouges et 30 boules blanches. On tire au hasard 10 boules. Quelle est la probabilité d’obtenir 3 boules blanches et 7 boules rouges ?
Réponse :
Le nombre de façons de choisir 10 boules parmi 50 est (50 10). Le nombre de façons de choisir 3 boules blanches parmi 30 est (30
3) = 4 060 Le nombre de façons de choisir 7 boules rouges parmi 20 est (20
7) = 77 520 Donc la probabilité cherchée est
(30 3) × ( 20 7) (50 10) = 30! × 20! × 10! × 40! 3! × 27! × 7! × 13! × 50! =30 × 29 × 28 × 20 × 19 × 18 × 17 × 16 × 15 × 14 × 10 × 9 × 8 2 × 3 × 50 × 49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44 × 43 × 42 × 41 = 29 × 19 × 6 × 17 × 16 × 5 7 × 47 × 23 × 11 × 43 × 41= 4496160 146746831≈ 0,031
20 Ι𝘝 La recherche ou le calcul de la probabilité d’un évènement est souvent liée au temps, à des évènements
antérieurs (connus ou pas).
Par exemple, la probabilité d’un résultat de match de foot est différente si on l’estime avant le match, à la 15e minute de jeu, à la mi-temps ou à la 88e minute de jeu.
De même, la probabilité d’obtenir deux piles en lançant deux pièces de monnaie, l’une après l’autre, est différente avant les deux lancers ou après le premier lancer.
Il est donc naturel de parler de probabilités conditionnelles c’est-à-dire de probabilité d’un évènement 𝐵 sachant qu’un évènement 𝐴 est déjà réalisé.
1) Soit Ω un certain univers, 𝐴 et 𝐵 deux évènements de cet univers, tel que 𝑝(𝐴) ≠ 0, alors la probabilité de 𝐵 sachant que 𝐴 est réalisé est notée 𝑝𝐴(𝐵) ou 𝑝(𝐵 | 𝐴) et se calcule ainsi :
𝑝𝐴(𝐵) =
𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑝(𝐴)
L’hypothèse 𝑝(𝐴) ≠ 0 peut bien sûr se comprendre mathématiquement, car la division par 0 n’a pas sens. Elle peut aussi se comprendre de manière probabiliste : on ne peut pas parler de probabilité de 𝐵 sachant que 𝐴 est réalisé si 𝐴 n’a aucune chance de se réaliser.
Donnons maintenant une justification à cette définition : reprenons le schéma ensembliste représentant un univers fini Ω en bleu, et les évènements A et B en noir.
Dire que 𝐴 est réalisé, cela veut dire que le résultat de l’expérience aléatoire est une issue de 𝐴 (une croix dans 𝐴 sur le schéma), cela revient à changer d’univers : l’ensemble des issues de l’expérience aléatoire n’est plus Ω mais 𝐴, et l’ensemble des issues de 𝐵 se restreint aux issues qui sont dans 𝐵 et 𝐴 (on sait que le résultat de l’expérience aléatoire est forcément une issue de 𝐴).
Donc 𝑝𝐴(𝐵) = 𝑖𝑠𝑠𝑢𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑖 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝐴 𝑒𝑡 𝐵 𝑖𝑠𝑠𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝐴 = 𝑖𝑠𝑠𝑢𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑖 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝐴 𝑒𝑡 𝐵 𝑖𝑠𝑠𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑛𝑠 Ω 𝑖𝑠𝑠𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝐴 𝑖𝑠𝑠𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑛𝑠 Ω =𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑝(𝐴) Exemple : Si 𝑝(𝐴) =248 et 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) =243 alors 𝑝𝐴(𝐵) = 3 24 8 24 =3 8
On peut aussi utiliser la formule sous la forme 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑝𝐴(𝐵) × 𝑝(𝐴).
Exemple : Si 𝑝𝐴(𝐵) = 0,4 et 𝑝(𝐴) = 0,2 alors 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) = 0,4 × 0,2 = 0,08
21 0,95
0,92 0,05
0,08 0,75 0,25
2) C’est d’ailleurs cette forme qui rend très utile les arbres de probabilité. Donnons un exercice type lié aux probabilités conditionnelles :
Une fabrique artisanale de jouets en bois vérifie la qualité de sa production avant sa commercialisation. Chaque jouet produit par l’entreprise est soumis à deux contrôles : d’une part, l’aspect du jouet est examiné afin de vérifier qu’il ne présente pas de défaut de finition, d’autre part sa solidité est testée.
Il s’avère, à la suite d’un grand nombre de vérifications que : • 92% des jouets sont sans défaut de finition
• parmi les jouets qui sont sans défaut de finition, 95% réussissent le test de solidité • 2% des jouets ne satisfont à aucun des deux contrôles.
a) En notant F l’évènement : « le jouet est sans défaut de finition », et S l’évènement : « le jouet réussi le test de solidité », traduire les données de l’énoncé en utilisant les notations des probabilités.
𝑝(𝐹) = 92 100= 0,92 𝑝𝐹(𝑆) = 95 100= 0,95 et 𝑝(𝐹̅ ∩ 𝑆̅) = 0,02 = 𝑝(𝐹 ∪ 𝑆̅̅̅̅̅̅̅) b) Démontrer que 𝑝(𝑆̅|𝐹̅) = 0,25 𝑝(𝑆̅|𝐹̅) =𝑝(𝐹̅ ∩ 𝑆̅) 𝑝(𝐹̅) = 0,02 1 − 0,92= 0,25 c) Construire l’arbre pondéré correspondant à cette situation
3) Avant de finir cet exercice, détaillons la signification de chaque branche (en bleu) et de la probabilité qui va avec, et enfin, terminons par l’utilisation pratique de cet arbre pondéré :
Bien entendu, 𝑝(𝐹) = 0,92 et 𝑝(𝐹̅) = 1 − 0,92 = 0,08. Par contre, la branche suivante ne signifie pas que 𝑝(𝑆) = 0,95 et 𝑝(𝑆) = 0,75. Ce serait absurde. La branche suivante signifie 𝑝𝐹(𝑆) = 0,95. C’est une
probabilité conditionnelle !
De même, 𝑝𝐹(𝑆̅) = 1 − 0,95 = 0,05, 𝑝𝐹̅(𝑆̅) = 0,25 et donc 𝑝𝐹̅(𝑆) = 1 − 0,25 = 0,75.
On peut maintenant utiliser l’arbre pour calculer facilement les probabilités des évènements 𝐹 ∩ 𝑆, 𝐹 ∩ 𝑆̅, 𝐹̅ ∩ 𝑆 et 𝐹̅ ∩ 𝑆̅ grâce à la formule 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑝𝐴(𝐵) × 𝑝(𝐴).
En effet, il suffit de multiplier les probabilités des branches d’un même chemin pour obtenir la probabilité de l’intersection :
𝑝(𝐹 ∩ 𝑆) = 0,92 × 0,95 = 0,874 𝑝( 𝐹 ∩ 𝑆̅) = 0,92 × 0,05 = 0,046 𝑝( 𝐹̅ ∩ 𝑆) = 0,08 × 0,75 = 0,06
𝑝(𝐹̅ ∩ 𝑆̅) = 0,08 × 0,25 = 0,02
4) Soit Ω l’univers d’une certaine expérience aléatoire, et soit 𝐴 un évènement de cette expérience alors : 𝐴 ∪ 𝐴̅ = Ω
En effet, chaque issue qui n’est pas dans 𝐴 est dans 𝐴̅, donc toutes les issues de Ω sont soit dans 𝐴, soit dans 𝐴̅. De plus les évènements 𝐴 et 𝐴̅ sont incompatibles (une issue ne peut pas être dans 𝐴 et dans 𝐴̅) donc
𝐴 ∩ 𝐴̅ = ∅ On dit que 𝐴 et 𝐴̅ forment une partition de l’univers Ω.
5) Cette partition permet de donner un cas particulier très important de la formule des probabilités totales : 𝐹 𝐹̅ 𝑆 𝑆̅ 𝑆 𝑆̅
22 𝑞1 𝑝1 𝑝2 𝑝3
Soit Ω l’univers d’une expérience aléatoire, et soient 𝐴 et 𝐵 deux évènements de cette expérience alors, 𝑝(𝐵) = 𝑝(𝐵 ∩ 𝐴) + 𝑝(𝐵 ∩ 𝐴̅)
Preuve : 𝑝(𝐵) = 𝑝((𝐵 ∩ 𝐴) ∪ (𝐵 ∩ 𝐴̅)) (car chaque issue de 𝐵 est aussi dans 𝐴 ou dans 𝐴̅).
Or 𝐵 ∩ 𝐴 et 𝐵 ∩ 𝐴̅ sont incompatibles (aucune issue ne peut être dans 𝐵 ∩ 𝐴 et dans 𝐵 ∩ 𝐴̅, car aucune issue ne peut être dans 𝐴 et dans 𝐴̅ en même temps) donc (𝐵 ∩ 𝐴) ∩ (𝐵 ∩ 𝐴̅) = ∅ donc
𝑝(𝐵) = 𝑝(𝐵 ∩ 𝐴) + 𝑝(𝐵 ∩ 𝐴̅)
6) Terminons l’exercice type avec les questions : d) Calculer 𝑝(𝑆)
𝑝(𝑆) = 𝑝(𝑆 ∩ 𝐹̅) + 𝑝(𝑆 ∩ 𝐹) = 0,75 × 0,08 + 0,95 × 0,92 = 0,934
e) Un jouet a réussi le test de solidité, calculer la probabilité qu’il soit sans défaut de finition (on arrondira le résultat au millième). 𝑝𝑆(𝐹) = 𝑝(𝑆 ∩ 𝐹) 𝑝(𝑆) = 0,95 × 0,92 0,934 ≈ 0,936
7) On peut généraliser la formule des probabilités totales au cas où l’univers Ω est partagé en trois évènements deux à deux incompatibles, c’est-à-dire au cas où
{
Ω = 𝐴1∪ 𝐴2∪ 𝐴3
𝐴1∩ 𝐴2= ∅
𝐴1∩ 𝐴3= ∅
𝐴2∩ 𝐴3= ∅
Dans ce cas on dit encore que {𝐴1, 𝐴2, 𝐴3} est une partition de l’univers Ω. On peut ainsi calculer la
probabilité d’un évènement B grâce aux probabilités de 𝐵 ∩ 𝐴1, 𝐵 ∩ 𝐴2, et 𝐵 ∩ 𝐴3 :
𝑝(𝐵) = 𝑝(𝐵 ∩ 𝐴1) + 𝑝(𝐵 ∩ 𝐴2) + 𝑝(𝐵 ∩ 𝐴3) Preuve : 𝑝(𝐵 ∩ 𝐴1) + 𝑝(𝐵 ∩ 𝐴2) + 𝑝(𝐵 ∩ 𝐴3) =𝑖𝑠𝑠𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝐵 𝑒𝑡 𝐴1 𝑖𝑠𝑠𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑛𝑠 Ω + 𝑖𝑠𝑠𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝐵 𝑒𝑡 𝐴2 𝑖𝑠𝑠𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑛𝑠 Ω + 𝑖𝑠𝑠𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝐵 𝑒𝑡 𝐴3 𝑖𝑠𝑠𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑛𝑠 Ω = 𝑖𝑠𝑠𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝐵 𝑖𝑠𝑠𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑛𝑠 Ω = 𝑝(𝐵)
On pourra utiliser l’arbre suivant pour calculer les probabilités 𝑝(𝐵 ∩ 𝐴1), 𝑝(𝐵 ∩ 𝐴2), 𝑝(𝐵 ∩ 𝐴3) :
𝑞2 𝑞3 𝐴1 𝐴2 𝐵 𝐵̅ 𝐵 𝐵̅ 𝐴3 𝐵 𝐵̅
23 𝑝(𝐵 ∩ 𝐴1) = 𝑝1× 𝑞1, 𝑝(𝐵 ∩ 𝐴2) = 𝑝2× 𝑞2, 𝑝(𝐵 ∩ 𝐴3) = 𝑝3× 𝑞3
Exemple : on est dans ce type de situation si on a un plateau sur lequel tournent trois urnes 𝐴1, 𝐴2 et 𝐴3.
Quelqu’un qui a les yeux bandés a une probabilité 𝑝1= 0,2 de mettre la main dans l’urne 𝐴1, une probabilité
𝑝2= 0,3 de mettre la main dans l’urne 𝐴2 et une probabilité 𝑝3= 0,5 de mettre la main dans l’urne 𝐴3.
Chaque urne contient 10 boules. Parmi ces boules, l’urne 𝐴1 contient une blanche, l’urne 𝐴2 contient 2
blanches et l’urne 𝐴3 contient 6 blanches. Donc
𝑞1= 1 10= 0,1 𝑞2= 2 10= 0,2 𝑞3= 6 10= 0,6 Ainsi 𝑝(𝐵 ∩ 𝐴1) = 𝑝(𝐴1) × 𝑝𝐴1(𝐵) = 0,2 × 0,1 = 0,02 𝑝(𝐵 ∩ 𝐴2) = 0,3 × 0,2 = 0,06 𝑝(𝐵 ∩ 𝐴3) = 0,5 × 0,6 = 0,3
La formule des probabilités totales permet donc de calculer la probabilité de tirer une boule blanche : 𝑝(𝐵) = 𝑝(𝐵 ∩ 𝐴1) + 𝑝(𝐵 ∩ 𝐴2) + 𝑝(𝐵 ∩ 𝐴3) = 0,02 + 0,06 + 0,3 = 0,38
8) Il se peut aussi que la connaissance d’un évènement 𝐴 ne donne aucune information supplémentaire sur la réalisation d’un évènement 𝐵.
Par exemple, le fait qu’il y ait une tempête de vent au Japon n’a aucune influence sur le résultat du match de foot (joué en France) entre Paris et Marseille.
Ou bien, si j’ai deux pièces de monnaie, que je viens de lancer la première et que le résultat de ce lancer est « Pile », cela n’a aucune influence sur le résultat du lancer de la seconde pièce de monnaie !
Dans ces cas-là, on dit que les évènements 𝐴 et 𝐵 sont indépendants.
Cela veut dire en fait que 𝑝𝐴(𝐵) = 𝑝(𝐵), c’est-à-dire en utilisant la formule des probabilités conditionnelles :
𝑝(𝐵) =𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑝(𝐴) Cela nous permet de donner la définition suivante :
Soit Ω l’univers d’une certaine expérience aléatoire, 𝐴 et 𝐵 deux évènements de cet univers sont dits indépendants dès que
𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑝(𝐴) × 𝑝(𝐵)
L’exemple le plus simple est celui où une pièce de monnaie est lancée à deux reprises. 𝐴 = « J’obtiens pile au premier lancer », 𝐵 = « J’obtiens pile au deuxième lancer » 𝐴 ∩ 𝐵 = « J’obtiens pile au premier lancer, et pile au deuxième lancer »
Bien sûr, 𝑝(𝐴) = 𝑝(𝐵) = 0,5 et 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) = 0,25. On a bien 0,25 = 0,5 × 0,5. Mais nous savions déjà, de par l’expérience aléatoire que 𝐴 et 𝐵 étaient indépendants.
9) Il y a un petit abus de notation dans l’exemple précédent. En effet, écrire 𝐴 ∩ 𝐵 = « j’obtiens pile au premier lancer, et pile au deuxième lancer » est faux au point de vue ensembliste, il n’y a aucune issue commune à 𝐴 = « j’obtiens pile au premier lancer » et à 𝐵 = « j’obtiens pile au deuxième lancer », et pourtant on a besoin de parler de l’évènement « j’obtiens pile au premier lancer ET au deuxième lancer ». C’est pourquoi
24 les probabilistes préfèrent parfois noter 𝐴, 𝐵 au lieu de 𝐴 ∩ 𝐵. Ainsi, la formule d’indépendance peut s’écrire aussi :
𝑝(𝐴, 𝐵) = 𝑝(𝐴)𝑝(𝐵)
10) Parfois, c’est le calcul qui permet de dire si deux évènements sont indépendants ou non. En voici un exemple :
Le tableau suivant donne la répartition de 150 stagiaires en fonction de la langue étudiée et de l’activité choisie.
tennis équitation voile
anglais 45 18 27
allemand 33 9 18
Soient les évènements 𝐴, 𝐵 et 𝐶 suivants :
𝐴𝑛𝑔 = « le stagiaire étudie l’anglais », 𝐴𝑙𝑙 = « le stagiaire étudie l’allemand », 𝑉 = « le stagiaire pratique la voile », 𝑇 = « le stagiaire pratique le tennis », 𝐸 = « le stagiaire pratique l’équitation »
On a par exemple : 𝑝(𝐴𝑙𝑙) =33 + 9 + 18 150 = 60 150= 2 5= 0,4 𝑝(𝑇) =45 + 33 150 = 78 150= 13 25= 0,52 𝑝(𝐴𝑙𝑙 ∩ 𝑇) = 33 150= 0,22
Mais 0,4 × 0,52 = 0,208 ≠ 0,22, donc les évènements 𝐴𝑙𝑙 et 𝑇 ne sont pas indépendants. Par contre : 𝑝(𝑉) =27 + 18 150 = 45 150= 0,3 𝑝(𝐴𝑛𝑔) =45 + 18 + 27 150 = 90 150= 0,6 𝑝(𝑉 ∩ 𝐴𝑛𝑔) = 27 150= 0,18
Et on a bien 0,3 × 0,6 = 0,18, donc les évènements 𝐴𝑛𝑔 et 𝑉 sont indépendants. 11) Si 𝐴 et 𝐵 sont deux évènements indépendants alors 𝐴̅ et 𝐵 le sont aussi
C’est intuitivement évident. En effet, si la réalisation d’un évènement 𝐴 n’a aucune influence sur la réalisation d’un évènement 𝐵, Alors la non réalisation d’un évènement 𝐴 n’aura aucune influence sur la réalisation d’un évènement 𝐵. Donnons tout de même une preuve mathématique :
𝑝(𝐴̅ ∩ 𝐵) = 𝑝𝐵(𝐴̅) × 𝑝(𝐵) = (1 − 𝑝𝐵(𝐴)) × 𝑝(𝐵) = 𝑝(𝐵) − 𝑝𝐵(𝐴) × 𝑝(𝐵)
= 𝑝(𝐵) − 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑝(𝐵) − 𝑝(𝐴)𝑝(𝐵) (car 𝐴 et 𝐵 sont indépendants) = (1 − 𝑝(𝐴))𝑝(𝐵) = 𝑝(𝐴̅)𝑝(𝐵)
De même, 𝐴 et 𝐵̅ sont indépendants, ainsi que 𝐴̅ et 𝐵̅.
Exercice corrigé 13 :
Une enquête a montré que
_avant de passer l’épreuve théorique du permis de conduire (le code), 75% des candidats ont travaillé sérieusement cette épreuve ;
_lorsqu’un candidat a travaillé sérieusement, il obtient le code dans 80% des cas
25 0,80
0,75 0,20
0,25 0,30 0,70
On interroge au hasard un candidat qui vient de passer le code (on rappelle que les résultats sont connus dès la fin de l’épreuve)
On note 𝑇 l’événement « le candidat a travaillé sérieusement » ; 𝑅 l’événement « le candidat a réussi le code »
a) Modéliser cette situation grâce à un arbre de probabilités b) Donner les probabilités
𝑝𝑇(𝑅) ; 𝑝𝑇(𝑅̅) ; 𝑝𝑇̅(𝑅) = 𝑝(𝑅|𝑇̅) ; 𝑝𝑇̅(𝑅̅) = 𝑝(𝑅̅|𝑇̅)
c) Calculer 𝑝(𝑅), puis 𝑝(𝑅̅)
d) Calculer la probabilité que, sachant qu’il a échoué, un candidat ait travaillé sérieusement Réponse a) b) 𝑝𝑇(𝑅) = 0,8 ; 𝑝𝑇(𝑅̅) = 0,2 ; 𝑝(𝑅|𝑇̅) = 0,3 ; 𝑝(𝑅̅|𝑇̅) = 0,7 c) 𝑝(𝑅) = 𝑝((𝑅 ∩ 𝑇) ∪ (𝑅 ∩ 𝑇̅)) = 𝑝(𝑅 ∩ 𝑇) + 𝑝(𝑅 ∩ 𝑇̅) = 𝑝𝑇(𝑅) × 𝑝(𝑇) + 𝑝(𝑅|𝑇̅) × 𝑝(𝑇̅) = 0,8 × 0,75 + 0,3 × 0,25 = 0,675 donc 𝑝(𝑅̅) = 1 − 𝑝(𝑅) = 1 − 0,675 = 0,325 d) 𝑝(𝑇|𝑅̅) =𝑝(𝑇 ∩ 𝑅̅) 𝑝(𝑅̅) = 𝑝𝑇(𝑅̅) × 𝑝(𝑇) 𝑝(𝑅̅) = 0,2 × 0,75 0,325 = 0,15 0,325= 6 13≈ 0,46 Exercice corrigé 14 :
Le service comptable d’un magasin réalise une étude sur le fichier des clients qui ont fait des achats le premier samedi du mois de décembre dernier. Il constate que 15 % des clients ont effectué leurs achats avec une carte de fidélité. Parmi ceux-ci, 80 % ont réalisé des achats d’un montant total supérieur à 50 euros. Parmi les clients qui n’ont pas effectué leurs achats avec une carte de fidélité, 60 % ont réalisé des achats d’un montant total supérieur à 50 euros.
On choisit au hasard une fiche de ce fichier. On considère les évènements suivants : F : « la fiche choisie indique que le client a effectué ses achats avec une carte de fidélité »
S : « la fiche choisie indique que le client a réalisé des achats d’un montant supérieur à 50 euros » a) Modéliser cette situation grâce à un arbre de probabilités
b) Calculer 𝑝(𝐹 ∩ 𝑆) c) Calculer 𝑝(𝑆)
d) Les évènements 𝐹 et 𝑆 sont-ils indépendants ? Réponse 𝑇 𝑇̅ 𝑅 𝑅̅ 𝑅 𝑅̅
26 0,80 0,15 0,20 0,85 0,60 0,40 𝑝(𝐹) = 15 100= 0,15 𝑝𝐹(𝑆) = 80 100= 0,8 𝑝𝐹̅(𝑆) = 𝑝(𝑆|𝐹̅) = 60 100= 0,6 a) b) 𝑝(𝐹 ∩ 𝑆) = 𝑃𝐹(𝑆) × 𝑝(𝐹) = 0,8 × 0,15 = 0,12 c) 𝑝(𝑆) = 𝑝((𝑆 ∩ 𝐹) ∪ (𝑆 ∩ 𝐹̅)) = 𝑝(𝑆 ∩ 𝐹) + 𝑝(𝑆 ∩ 𝐹̅) = 0,12 + 0,6 × 0,85 = 0,63 d) 𝑝(𝐹) × 𝑝(𝑆) = 0,15 × 0,63 = 0,0945 ≠ 0,12 = 𝑝(𝐹 ∩ 𝑆)
donc les évènements 𝐹 et 𝑆 ne sont pas indépendants.
12) De la même manière, on pourra parler de deux variables aléatoires indépendantes 𝑋: 𝛺 → ℝ et 𝑌: 𝛺′ → ℝ lorsque les valeurs prises par 𝑋 n’ont aucune influence sur les valeurs prises par 𝑌 (et vice-versa).
Exemple 1 : Si dans un casino, 𝑋 ∶ 𝛺 → ℝ donne les gains d’un joueur jouant au poker, et 𝑌: 𝛺′ → ℝ donne les gains d’un autre joueur jouant au Black Jack, on peut comprendre qu’à priori les valeurs prises par 𝑋 au cours d’une soirée n’ont pas de lien avec les valeurs prises par 𝑌 au cours de la même soirée.
Dans ce cas là, on dira que les variables aléatoires 𝑋 et 𝑌 sont indépendantes.
Exemple 2 : Si un jeu consiste à lancer 3 fois une pièce de monnaie non truquée. On note 𝑋𝑖 la variable
aléatoire qui donne 1 si la pièce tombe sur pile au 𝑖è𝑚𝑒 lancer et 0 si la pièce tombe sur face au 𝑖è𝑚𝑒 lancer (𝑖 allant de 1 à 3).
On peut comprendre que le résultat 𝑋1 du premier lancer ne donne aucune information sur les résultats 𝑋2
et 𝑋3 du deuxième lancer et du troisième lancer ; de même, le résultat 𝑋2 du deuxième lancer ne donne
aucune information sur le résultat 𝑋3 du troisième lancer.
Dans ce cas là, on dira que les variables aléatoires 𝑋1, 𝑋2 et 𝑋3 sont indépendantes.
Pour exprimer ces idées dans le langage mathématique, on sera obligé de distinguer deux cas : a) Si une variable aléatoire 𝑋: Ω → ℝ ne prend qu’un nombre fini de valeurs (ou un nombre infini de
valeurs qui ne forment pas un intervalle), on dira que 𝑋 suit une loi de probabilité discrète.
Si deux variables aléatoires 𝑋 et 𝑌 sont discrètes, on dira qu’elles sont indépendantes si la condition 𝑝(𝑋 = 𝑎, 𝑌 = 𝑏 ) = 𝑝(𝑋 = 𝑎) × 𝑝(𝑌 = 𝑏 )
est vérifiée quelles que soient les valeurs 𝑎 prises par 𝑋 et 𝑏 prises par 𝑌 Autrement dit :
Deux variables aléatoires 𝑋 et 𝑌 discrètes sont indépendantes si et seulement si les évènements 𝑋 = 𝑎 et 𝑌 = 𝑏 sont indépendants quelles que soient les valeurs 𝑎 prises par 𝑋 et 𝑏 prises par 𝑌
𝐹 𝐹̅ 𝑆 𝑆̅ 𝑆 𝑆̅
27 Exemple :
On lance deux fois de suite une pièce équilibrée et on note 𝑋 le nombre de fois où « pile » est sorti. La variable aléatoire 𝑌 prend la valeur 1 si pile est sorti en premier, et la valeur 0 sinon.
𝑝(𝑋 = 0) =1 4; 𝑝(𝑌 = 1) = 1 2; 𝑝(𝑋 = 0, 𝑌 = 1) = 0 donc 𝑝(𝑋 = 0, 𝑌 = 1) ≠ 𝑝(𝑋 = 0)𝑝(𝑌 = 1) Les variables aléatoires 𝑋 et 𝑌 ne sont pas indépendantes.
Cette définition est mise en défaut lorsque les variables aléatoires 𝑋 et 𝑌 prennent toutes leurs valeurs dans un intervalle, il faut donc une définition plus générale.
b) Si une variable aléatoire 𝑋 ∶ Ω → ℝ prend un nombre infini de valeurs en formant un intervalle alors on dit que 𝑋 suit une loi de probabilité continue
Exemple : 𝑋 ∶ Ω → [0 ; 120] où Ω est la population française et 𝑋 la variable aléatoire qui donne l’âge exact d’une personne. L’âge exact est donné au jour près, à l’heure près, à la minute près, à la seconde près, au millième de seconde près…. Tous les âges appartenant à [0 ; 120] sont donc possibles. On a bien affaire à une variable aléatoire qui suit une loi continue.
La probabilité que 𝑋 prenne une valeur précise est forcément nulle, il y a une infinité d’âges entre 0 et 120 ans, donc
𝑝(𝑋 = 𝑎) = 1
∞= 0 ∀𝑎 ∈ [0,120]
On calculera plutôt dans ce cas-là, la probabilité que 𝑋 prenne ses valeurs dans un intervalle donné, par exemple 𝑝(𝑋 ∈ [20,21[ ) signifie « la probabilité que la personne choisie au hasard soit dans sa 20e année »
La définition précédente de variables aléatoires indépendantes est mise en défaut car 𝑝(𝑋 = 𝑎) = 0 quel que soit le nombre 𝑎, de même 𝑝(𝑋 = 𝑎, 𝑌 = 𝑏) = 0 quel que soit le nombre 𝑎.
On choisira donc la définition suivante (qui met en jeu des intervalles et non des nombres fixés) : Si (au moins une des) deux variables aléatoires 𝑋 et 𝑌 suivent des lois de probabilité continues, on dira qu’elles sont indépendantes si la condition
𝑝(𝑋 ≤ 𝑎, 𝑌 ≤ 𝑏 ) = 𝑝(𝑋 ≤ 𝑎) × 𝑝(𝑌 ≤ 𝑏 ) est vérifiée quelles que soient les valeurs 𝑎 prises par 𝑋 et 𝑏 prises par 𝑌 Autrement dit :
Deux variables aléatoires quelconques (discrètes ou continues) 𝑋 et 𝑌 sont indépendantes si et seulement si les évènements 𝑋 ≤ 𝑎 et 𝑌 ≤ 𝑏 sont indépendants quels que soient les nombres 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ ∪ {+∞}.
Remarques :
Si les univers 𝛺 et 𝛺′ sont les mêmes, on peut écrire la formule précédente 𝑝((𝑋 ≤ 𝑎 ) ∩ (𝑌 ≤ 𝑏 )) = 𝑝(𝑋 ≤ 𝑎 ) × 𝑝(𝑌 ≤ 𝑏 )
La définition 𝑝(𝑋 ≤ 𝑎, 𝑌 ≤ 𝑏 ) = 𝑝(𝑋 ≤ 𝑎) × 𝑝(𝑌 ≤ 𝑏 ) généralise bien la définition
𝑝(𝑋 = 𝑎, 𝑌 = 𝑏 ) = 𝑝(𝑋 = 𝑎) × 𝑝(𝑌 = 𝑏 ) et convient donc aussi aux variables aléatoires discrètes, même si la propriété est plus difficile à vérifier.
28 En effet : Si 𝑋 et 𝑌 sont des variables aléatoires discrètes, notons (𝑎𝑛)𝑛∈ℤ les valeurs prises par 𝑋 et
(𝑏𝑛)𝑛∈ℤ les valeurs prises par 𝑌 rangées dans l’ordre croissant.
Supposons qu’elles vérifient la propriété 𝑝(𝑋 ≤ 𝑎, 𝑌 ≤ 𝑏 ) = 𝑝(𝑋 ≤ 𝑎) × 𝑝(𝑌 ≤ 𝑏 ) ∀𝑎, 𝑏 Comme 𝑝(𝑋 = 𝑎𝑛) = 𝑝(𝑋 ≤ 𝑎𝑛) − 𝑝(𝑋 ≤ 𝑎𝑛−1) 𝑝(𝑌 = 𝑏𝑛) = 𝑝(𝑌 ≤ 𝑏𝑛) − 𝑝(𝑌 ≤ 𝑏𝑛−1) alors 𝑝(𝑋 = 𝑎𝑛)𝑝(𝑌 = 𝑏𝑛) = (𝑝(𝑋 ≤ 𝑎𝑛) − 𝑝(𝑋 ≤ 𝑎𝑛−1))(𝑝(𝑌 ≤ 𝑏𝑛) − 𝑝(𝑌 ≤ 𝑏𝑛−1)) = 𝑝(𝑋 ≤ 𝑎𝑛)𝑝(𝑌 ≤ 𝑏𝑛) − 𝑝(𝑋 ≤ 𝑎𝑛−1)𝑝(𝑌 ≤ 𝑏𝑛) − 𝑝(𝑋 ≤ 𝑎𝑛)𝑝(𝑌 ≤ 𝑏𝑛−1) + 𝑝(𝑋 ≤ 𝑎𝑛−1)𝑝(𝑌 ≤ 𝑏𝑛−1) = 𝑝(𝑋 ≤ 𝑎𝑛, 𝑌 ≤ 𝑏𝑛) − 𝑝(𝑋 ≤ 𝑎𝑛−1, 𝑌 ≤ 𝑏𝑛) − 𝑝(𝑋 ≤ 𝑎𝑛, 𝑌 ≤ 𝑏𝑛−1) + 𝑝(𝑋 ≤ 𝑎𝑛−1, 𝑌 ≤ 𝑏𝑛−1) = (𝑝(𝑋 ≤ 𝑎𝑛, 𝑌 ≤ 𝑏𝑛) − 𝑝(𝑋 ≤ 𝑎𝑛, 𝑌 ≤ 𝑏𝑛−1)) − (𝑝(𝑋 ≤ 𝑎𝑛−1, 𝑌 ≤ 𝑏𝑛) − 𝑝(𝑋 ≤ 𝑎𝑛−1, 𝑌 ≤ 𝑏𝑛−1)) = 𝑝(𝑋 ≤ 𝑎𝑛, 𝑌 = 𝑏𝑛) − 𝑝(𝑋 ≤ 𝑎𝑛−1, 𝑌 = 𝑏𝑛) = 𝑝(𝑋 = 𝑎𝑛, 𝑌 = 𝑏𝑛) Exemples :
𝑋 ∶ Ω → [0 ; 180] donne le temps d’attente en minutes d’un client à La Poste, c’est une variable aléatoire continue (le temps est continu)
𝑋 ∶ Ω → [10 ; 270] donne la taille exacte en centimètres d’une personne prise au hasard dans la population française, c’est une variable aléatoire continue.
𝑋 ∶ Ω → ℕ donne le nombre de personnes ayant fait un séjour en prison sur un échantillon de la population française, c’est une variable aléatoire discrète.
Je rappelle que ℕ est l’ensemble des nombres entiers naturels : {0; 1; 2; 3; … ; 1000; … }
𝑋 ∶ Ω → {0,1,2} donne le nombre de 3 obtenus après le lancer de deux dés, c’est une variable aléatoire discrète.
𝘝 La loi de probabilité d’une expérience aléatoire est la loi qui à chaque issue associe une probabilité. Certaines lois apparaissent dans tellement d’expériences aléatoires qu’elles portent des noms et ont été étudiées en détail.
1) Lois discrètes
c) Soit Ω un univers composé de deux issues que l’on nommera {𝑠𝑢𝑐𝑐è𝑠, é𝑐ℎ𝑒𝑐} et qui pourraient par exemple être {𝑝𝑖𝑙𝑒, 𝑓𝑎𝑐𝑒}. La loi de probabilité suivante s’appelle loi de Bernoulli de paramètre 𝑠 :
issue 𝑠𝑢𝑐𝑐è𝑠 é𝑐ℎ𝑒𝑐
probabilité 𝑠 1 − 𝑠
où 𝑠 est un nombre compris entre 0 et 1.
C’est-à-dire 𝑝(𝑠𝑢𝑐𝑐è𝑠) = 𝑠, 𝑝(é𝑐ℎ𝑒𝑐) = 𝑝(𝑠𝑢𝑐𝑐è𝑠̅̅̅̅̅̅̅̅̅) = 1 − 𝑠
Si une variable aléatoire 𝑋 ∶ Ω → {0,1} telle que 𝑋(𝑠𝑢𝑐𝑐è𝑠) = 1 et 𝑋(é𝑐ℎ𝑒𝑐) = 0 suit cette loi, elle vérifiera 𝑝(𝑋 = 1) = 𝑠, 𝑝(𝑋 = 0) = 𝑝(𝑋 = 1̅̅̅̅̅̅̅̅) = 1 − 𝑠 et on notera 𝑋 ↝ ℬ1,𝑠 pour dire que 𝑋 suit la
loi de Bernoulli de paramètre 𝑠. Son espérance 𝐸(𝑋) vaut :
29 En effet : 𝐸(𝑋) = 1 × 𝑝(𝑋 = 1) + 0 × 𝑝(𝑋 = 0) = 1 × 𝑠 + 0 × (1 − 𝑠) = 𝑠 Sa variance 𝑉𝑎𝑟(𝑋) vaut : 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝑠 × (1 − 𝑠) En effet : 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − (𝐸(𝑋))2= 12× 𝑝(𝑋2= 12) + 02× 𝑝(𝑋2= 0) − 𝑠2 = 12× 𝑠 + 02× (1 − 𝑠) − 𝑠2 = 𝑠 − 𝑠2 = 𝑠 × (1 − 𝑠)
d) Si on répète 𝑛 fois, de manière indépendante, une expérience aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètre 𝑠, on obtient la loi binomiale de paramètre 𝑛 et 𝑠, notée ℬ𝑛,𝑠
Plus précisément, une variable aléatoire 𝑋 ∶ Ω → {0,1,2 … , 𝑛} où Ω est l’ensemble des issues du type (𝑠𝑢𝑐𝑐è𝑠, 𝑠𝑢𝑐𝑐è𝑠, é𝑐ℎ𝑒𝑐, … , 𝑠𝑢𝑐𝑐è𝑠), suit une loi binomiale si 𝑋 donne le nombre de succès au cours de ces 𝑛 expériences.
Alors
𝑝(𝑋 = 𝑘) = (𝑛𝑘) 𝑠𝑘(1 − 𝑠)𝑛−𝑘 ∀𝑘 ∈ {0,1,2 … , 𝑛}
Preuve :
𝑝(𝑠𝑢𝑐𝑐è𝑠, 𝑠𝑢𝑐𝑐è𝑠, é𝑐ℎ𝑒𝑐, … , 𝑠𝑢𝑐𝑐è𝑠) = 𝑝(𝑠𝑢𝑐𝑐è𝑠) × 𝑝(𝑠𝑢𝑐𝑐è𝑠) × 𝑝(é𝑐ℎ𝑒𝑐) × … × 𝑝(𝑠𝑢𝑐𝑐è𝑠) car les expériences aléatoires sont répétées de manière indépendantes. Donc
𝑝(𝑠𝑢𝑐𝑐è𝑠, 𝑠𝑢𝑐𝑐è𝑠, é𝑐ℎ𝑒𝑐, … , 𝑠𝑢𝑐𝑐è𝑠) = 𝑠𝑘× (1 − 𝑠)𝑛−𝑘
s’il y a 𝑘 succès et 𝑛 − 𝑘 échecs. Or il y a (𝑛𝑘) façons de former 𝑘 succès et 𝑛 − 𝑘 échecs. Donc 𝑝(𝑋 = 𝑘) = (𝑛𝑘) 𝑠𝑘(1 − 𝑠)𝑛−𝑘
On notera 𝑋 ↝ ℬ𝑛,𝑠 pour dire que 𝑋 suit la loi binomiale de paramètres 𝑛 et 𝑠. Dans le cas où 𝑛 = 1,
c’est la loi de Bernoulli de paramètre 𝑠. Son espérance vaut
𝐸(𝑋) = 𝑛 × 𝑠 En effet : 𝐸(𝑋) = 0 × 𝑝(𝑋 = 0) + 1 × 𝑝(𝑋 = 1) + 2 × 𝑝(𝑋 = 2) + ⋯ + 𝑛 × 𝑝(𝑋 = 𝑛) = ∑ 𝑘 × 𝑝(𝑋 = 𝑘) 𝑘=𝑛 𝑘=1 = ∑ 𝑘 × (𝑛𝑘) 𝑠𝑘(1 − 𝑠)𝑛−𝑘 𝑘=𝑛 𝑘=1 = ∑ 𝑘 × 𝑛! 𝑘! × (𝑛 − 𝑘)!𝑠 𝑘(1 − 𝑠)𝑛−𝑘 𝑘=𝑛 𝑘=1 = ∑ 𝑛! (𝑘 − 1)! × (𝑛 − 𝑘)!𝑠 𝑘(1 − 𝑠)𝑛−𝑘 𝑘=𝑛 𝑘=1 = ∑ 𝑛! 𝑗! × (𝑛 − 1 − 𝑗)!𝑠 𝑗+1(1 − 𝑠)𝑛−1−𝑗 𝑗=𝑛−1 𝑗=0 = 𝑛 × 𝑠 × ∑ (𝑛 − 1)! 𝑗! × (𝑛 − 1 − 𝑗)!𝑠 𝑗(1 − 𝑠)𝑛−1−𝑗 𝑗=𝑛−1 𝑗=0 = 𝑛 × 𝑠 × ∑ (𝑛 − 1𝑗 ) 𝑠𝑗(1 − 𝑠)𝑛−1−𝑗 𝑗=𝑛−1 𝑗=0 = 𝑛 × 𝑠 × (𝑠 + 1 − 𝑠)𝑛−1 = 𝑛 × 𝑠 × 1 = 𝑛𝑠
