Livre Précis de mathématiques Analyse 2 PDF - Web Education

y,

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1

Îj

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1

-CHAPITRE

1 -

Espaces vectoriels normés

1- Topologie des espaces vectoriels normés 7

11-Limite - Continuité - Dérivation 16

111-Complets - Compacts - Connexes 27

Exercices-types, Indications, Solutions 38

Exercices proposés 45

CHAPITRE

2 -

Applications

linéaires

sur les espaces vectoriels normés

1- Continuité des applications linéaires 47

11-Espaces vectoriels de dimension finie 54

Exercices-types, Indications, Solutions 60

Exercices proposés 69

CHAPITRE

3 -

Fonctions

de

plusieurs variables réelles

Calcul dilTérentiel

1- Applications partielles Dérivées partielles 73

11-Différentielle d'une application de classe

el

:.

78

111-Différentiabilité 88

IV- Fonctions implicites 96

V- Difféomorphismes 99

VI- Inégalité des accroissements finis 103

VII- Formule de Taylor-Young, Extremums 105

Exercices-types, Indications, Solutions 111

Exercices proposés 121

CHAPITRE

4 -

Séries numériques

et

vectorielles

1- Généralités 123

11-Sériesàtermes réels positifs 132

111-Séries absolument convergentes 142

IV- Sériesàtermes quelconques Semi-convergence 144

Exercices-types,Indications, Solutions 150

Exercices proposés 160

CHAPITRE

5 -

Suites

et

séries

de

fonctions

1- L'espace vectoriel normé'!Ji, (A, F) 163

11-Convergence d'une suite ou d'une série de fonctions 164

111-Limite - Continuité Intégration - Dérivation 174

IV- Méthodes pratiques 181

Exercices-types, Indications, Solutions 191

Exercices proposés 205

CHAPITRE

6

c

Intégrale

corn.pl~ments

I-Intégration d~sfonctions continuès pa/morceàux'.'-<'." .. '- , . 207

Il::''Fôri'~tions de la forme.',

x ~ .['cf": : '.. ;:

. a ~ •.

:: : .. ;

, .. :

,

216

111-.Intégrales impropres et sérieS':, ,".; ,•...••~, , .. '., : '.' . , 218

'x ..

IV- Fonctions ~eïa forme.

x

~Ia

.!(x, ~;

,dt , ...•... : .. : 222

Exercices"types, Indications, Solutions

t.

,

:

';""

:

226

II-Intégrale curviligne .

111-Compacts mesurables. Aire etvolume , .

IV- Intégrale d'une fonction sur un compact mesurable de [Rn .

V- Intégrale double - Aire plane .

VI- Aire d'un morceau de surface .

VII- Intégrale triple - Calcul devolumes .

VIII- Masse, centre et moment d'inertie , .

Exercices proposés .

IlPITRE

8 -

Séries

entières

1- Définition - Rayon de convergence .

11-Convergence uniforme Continuité de la somme .

111-Séries entières d'une variable réelle, Intégration - Dérivation .

IV- Développement en série entière .

V- Fonctions usuelles d'une variable complexe .

VI- Exponentielle d'un endomorphisme, d'une matrice .

Exercices-types, Indications, Solutions .

Exercices proposés .

IlPITRE

9 -

Séries

de

Fourier

1- L'espace préhilbertien D .

11-Séries de Fourier , .

111-Développement en série de Fourier .

Exercices-types, Indications, Solutions .

Ji',' ,

/"'X:~roposes ,i ••••••••••••••••••••••••••

\PITRE 10--

Equations düJérentielles

JL-1- Equations linéaires .

// 11-Equations non linéaires - Théorème de Cauchy-Lipschitz .

Exercices-types, Indications, Solutions : .

Exercices proposés . 239 242 245 247 255 259 264 272 275 281 284 287 300

Q~=>

310 321 323 326 332 336 346 347 362 370 381

EX

"

.

383

-[

G.

t.

O.

J:. IClltüphonesi

~l

1

D.Ini'l>a~ no.

1

11.1-,-

-'--.

,

.

2srtl!

_,"..h

~

+

,11) __

_.

₁

_

~I..._

...•

-

1

Espaces vectoriels

~

normes

1-

Topologie des espaces

vectoriels normés

~=[Fgou iC;E est un Kespace vectoriel.

Définitions :

•

•

•

On appelle nonne sur E une application N :E --+[Fg+ vérifiant, pour tous

vecteurs x,y de E et tout scalaire À de ~ :

N(x) =0

{=?

x =0

N(À x) =IÀI N(x) N(x + y) oS; N(x) +' N(y)

Le couple (E,N) est un espace vectoriel nonné . d.2 Distance associée a une norme

d.1

Soit (E,N) un espace vectoriel normé, l'application d définie par:

d : E2--+[Fg+, (x, y)I-è>d(x, y) = N(x - y)

eSt appelée distance associée ala norme N.

Remarque

SiF est un sous-espace vectoriel deE, la restriction àFde la norme deEest une norme

surF. (F,N) est un espace vectoriel normé.

On considère désormais un espace vectoriel normé (E,N). d.3

il

La boule ouverte de centre

a

E E et de rayon rE[Fg+est:

B(a,r)=={x E E/N(a - x)<r}

ii / La boule fermée de centre

a

E E et de rayon rE[Fg+, est:

BJ(a,r)= {x E EIN(a - x) oS;r}

iii / La sphère de centre

a

E E et de rayon rE[Fg+est:

S(a,r)= {x E E/N(a - x) =r}

Remarque

dA

On appelle voisinage d'un point

a

de E toute partie

X

de E contenant une boule ouverte de centre a.L'ensemble des voisinages de aest noté 'V(a)

XE

'V(a) {==:?3 r> 0, B(a,r)

eX

Remarque

Pour tout réel r> 0, la bouleB(a,r) est un voisinage (jea.

d.5 Vôisinag~telatif

SiAest une partie de

E

et aun point deA,l'intersection avecAd'un voisinage X de

a

s'appelleYoisrn!;j.geÔ.éadans

{l.

L'ensemble des voisinages de

a

dans

A est noté 'VA(a)

'VA(a) =

{X

nA/X E 'V(a)}

Ainsi YE'VA(a) {==:?3r>0, AnB(a,r)cY.

d.6

i / On appelle ses points

toute partie X de E qui est voisinage de chacun de

iil

On appelle un ouvert de E

X ouvert de E {==:?VX EX, XE 'V(x)

toute partie de E dont le complémentaire dans E est X fermé de E {==:?E\X ouvert de E

toute partie Yde A, dont 1e complémentaire dans A

d.?

d.S

1

i / SiAest mie partie de E, on appelle toute partie X deAvoisinage de chacun de ses points dans A.

X ouvert deA {==:?VX EX, XE 'VA(X)

ii/ On appelle

est un ouvert de E .

• Soit

X c

A,

X

est un ouvert deA si et seulement si il existe

Xl

ouvert de E tel que

X=AnXl·

• SoitY

c

A, Y est un fermé deA si et seulement si il existe Yl fermé de E tel que

Y=AnYl·

On appelle intérieur d'une partie

A

de E la réunion de la famille des ouverts de E inclus dans A.On note

A

l'intérieur deA.

On appelle adhérence d'une partie

A

de E l'intersection de la famille des fermés de E contenant A. On note

A

l'adhérence deA.

C'est le plus petit fermé de E contenant A. Un point de

A

est dit adhérent

à

A.

d.9

1

o

C'est le plus grand ouvert de E inclus dans A.Un point deAest dit intérieur àA.

\

\

1

d.10

On appelle frontière d'une partie A de E l'ensemble, noté Fr(A), formé <les

points de E adhérents

à A

et

à

son complémentaire dans E : /

d.11

1

Partie dense

On dit qu'une partie A deEest dense dans Esi l'adhérence deAest E :

A

== E.

On dit qu'une partie B de A est dense dans A siA

c

B.

d.12

1

Point d'accumulation

On appelle point d'accumulation d'une partie A deEtout point

x

de E

adhé-rent àA\{x}.

Un tel point est caractérisé par le fait que, pour tout voisinage V de x, l'ensemble

A

n

V\

{x}

n'est pas vide ouA

n

Vest infini. d .13 Point isolé

On appelle point isolé d'une partie A de E tout point

a

de A possédant un voisinage Vdont l'intersection avec Aest le singleton {a} :

apoint isolé deA Ç=? 3

V

E 'V(a), A n

V

== {a}

d.14 1 d.15 1

d.16

1 d.17 1 d.18 Partie bomée

Une partie A deE est dite bornée s'il existe une boule de Econtenant A.

Diamètre

Soit Aune partie non vide et bomée deE. On appelle diamètre deAle réel:

8 (A)==sup{N(x - y)/(x, y) EA2} Distance d'un point

à

une partie

On appelle distance d'un point

x

de E

à

une partie non vide Ade E,le réel:

d(x,A) ==inf{N(x - Y)/Y E A}

On appelle distance de deux parties nop vides Aet B, le réel

d(A. B)== inf{NCx - y)/x EA, yE B}

Fonction bomée

Soit Aun ensemble non vide et (E,N) un espace vectoriel normé.

Une fonctionj :A ---+ Eest dite bomée si sonimagej(A) est une partie bomée

deE:

Remarque

L'ensembleCZJ3(A. E)des fonctions bornées deAdansEest un sous-espace vectoriel de ~, il est normé par Ilj 1100 ==sup_XEA

N(1(x)).

SiA=1\1ils'agit de l'espace des suites bornées deE.

d.19 Normes équivalentes

On dit que deux normes NI et N2 sur Esont équivalentes si les fonctions

NI t N2 d'fi . {} t "

N2 e NI e mes sur E \ OE son maJorees.

Remarque

Cette définition peut se traduire par l'existence de deux réelsexet13strictement positifs tels que ex NI "" N2""13 NI·

Exemples - Travaux pratiques

1

de IR- Norme usuelle de iC

•

• Norme usuelle deIR : valeur absolue IR---;-IR+,

x ~

Ixl

Les boules sont les intervalles bornés.

• Norme usuelle deiC :le module iC---;-IR+, z ~ Izl

Les boules deiCsont les disques, les sphères deiCsont les cercles.

exemple 2

1 Nature des boules d'un espace vectoriel normé

•

• Une boule ouverte est un ouvert de E, elle est convexe.

Pour tout x, y de B(a, r)ettE [0,1], notons z=(1 - t)x +ty et montrons que zE B(a, r).

N(z - a) =N[(l - t)(x - a) +t(y - a),l ~

(1 -

t)N(x - a) +tN(y - a)<r

car N(x - a) <1; N(y - a) <

r ,

(1 - t) >0 ett> O.

• Une boule fermée est un fermé de E.

Notons C=E \BJ(u,

r)

son complémentaire et, pour tout point

x

de C, notons

R=N(x - a) -

r>

O. La boule B(x,R)est incluse dans C; en effet, pour chaque y de B(x, R) minorons:

N(a - y) ~ N(a.-,x) - N(x - y) > N(a - x) - R =

r

l'inégalitéN(a - y) >r équivaut à y ~ BJ(a, r).

Ainsi, C est voisinage de chacun de ses points, C est un ouvert de E.

• Un point est donc un fermé de E.

• Ces normes sont deuxàdeux équivalentes (ce qui est le cas dès que l'espace est de dimension finie), et les inégalités suivantes donnent les coefficients optimaux:

Noo ~ N2 ~ N1 ~

.;n

N2 ~

n

Noo

sup

Ixi!

1"'(""11

Voir Algèbre 2

,xn) E(Kn.

sur

(Kn

par les expressions suivantes:

1

N2(X) =

(t

L~l !Xd2) 2

(Kn

attachée au produit scalaire:

N2

est la

j

1

~

"

il'

1

1

,

'1.

exemple 4

classiques sur l'espace vectoriel il<:[X] des polynômes

=

sup

lail

O""i""n

n

Nl(P) =

L

lail

i=O

P

=ao+alX + ... +anXn,

on définit trois nOrInes sur

il<:[X] :

1

N2(P) =

(t

,=0 lad2) :2

est la norme préhilbertienne

canonique de

il<:[X])

•

• Ces normes sont comparables en un sens: Noo o<S N2o<S NI,

pas dans l'autre sens: on montre que les fonctions NN200 et NNI2 ne sont pas majorées en leur appliquant la suite de polynômes(Pn)nEN définie par Pn(X) =1+X + ... +Xn.

~ N2 NI ~

NI(Pn)=n+l, N2(Pn)=yn+l, Noo(Pn)=l, Nx(Pn)=N2(Pn)=vn+1

Les normes NI, N2, Nx ne sont pas équivalentes.

• En associant àP sa fonction polynôme, on définit de nouvelles normes sur IK[X] par les expressions suivantes:

sup

IP(t)1

tE[O,l]

sup

IP(z)1 Izl=1

exemple 5

classiques sur l'espace C([O, 1], il<:)des fonctions continues

à

valeurs dans

cet espace, on définit trois normes par:

Iii

III

=Jo

rI

Lf(t)1dt , Iii Ilex:=tE[O,l]

sup

Lf(t)1

est la norme préhilbertienne,

attachée au produit scalaire sur C([ü,1],

IK) :

(fg)1---'7

Vlg)

=11](t)g(t)dt

•

• Ces normes sont comparables dans un sens:

Iii III o<S Iii 112o<S Iii 1100 (égalité pour les fonctions constantes)

mais pas dans l'autre sens: on montre que les fonctions

i

1---'7

iij

ii~

et

li&I:~

ne sont pas majorées en considérant une suite de fonctions Vn)nd'J définie par in(t) = tn.

Le calcul donne _{Ilin Ilex:=}

₁

et les suites

1

Ilin III =

n

+

1

Ilin 112

n+

1

nl---'7 --~-Ilin III -

v2n

+

1

1

Ilin 112 =

v2n~1

Ilin lico =

v2n

+

1

et

n

1---'7 Ilin 112

E est un espace vectoriel normé.

p.1

1 Pour tout x et yde E : !N(x) - N(y)1 ~ N(x - y)

p.2

Précis d'Analyse Il

il

La réunion d'une famille quelconque de voisinages d'un même point

x

de E est un voisinage de

x.

ii1L'intersection de deux voisinages de

x

est un voisinage de

x.

~ Toute partie qui contient un voisinage d'un point

x

de E est aussi un voisinage de

x

(conséquence de la définition de voisinage). Le

il

en découle.

Prenons deux voisinages UetVd'un même point

x

de E- Ilexiste alors deux réelsexet

[3>

°

tels que:

p.3

1

pA

B(x, ex) c U et B(x, (3)c V

Supposons queex~[3, alors B(x, ex) c B(x, (3) et B(x, ex) c U (î V,

ce qui fait deU(î V un voisinage dex, même si[3~ex bien sûr.

Soit Aune partie de E.

A est un ouvert de E si et seulement si: Vx E A,::3r EIR:, B(x, r)cA

CaraGt~I'isationdel'adh~reAêê d'une partie Anon vide de E.

Pour tout point

x

de E, les trois propriétés suivantes sont équivalentes:

il x

est adhérent

à

A:

x

E

A,

ii1Toute boule de centre x rencontre A :V r> 0,A(î B(x, r);t

0,

D

D

iii

1

Tout voisinage de x rencontre A : V VE OV(x),A (î V;t

0.

~ il =? iil Supposons au contraire, qu'il existe une bouleB(x, r) incluse dans E \A,alors

A est inclus dans le fermé F =E \B(x, r), ce qui donnex E A.

iil=?iiii Tout voisinage

V

dexcontient une bouleB(x, r), doncA (î

V:)

A (î B(x, r) etA(î V n'est pas vide.

iiii =? il par contraposition. Si

x

EA, ilexiste un fermé F contenant Aet pas

x.

Alors E \ F est un voisinage ouvert de

x

qui ne rencontre pas A.

p.5 Ouverts etfermes

1

il

E et

0

sont,

à

la fois, ouverts et fermés de E.

iil • La réunion d'une famill~ quelconque d'ouverts de E est un ouvert de E. • L'intersection d'une famille quelconque de fermés de E est un fermé

deE.

iii1 • L'intersection de deux parties ouvertes de E est un ouvert de E. • La réunion de deux parties fermées de E est un fermé de E.

p.6 Intérieuretadhérênce Soit Aet Bdeux parties de E.

il

Si

A

c

B

alors A.cBo 0

et

Ac B.

o

iil • Si Ac B et Aouvert, alors Ac B

p.? Produit d1espaces vectoriels normes

1

Soit (E, N) et (El, NI) deux espaces vectoriels normés.

On définit trois normes classiques sur l'espace produit E x Fi :

1

Il(x, Xl)111 =N(x) +NI(XI) , Il(x, Xl)112= (N2(x) +d2(x») 2:

Il(x.x) lico = sup (N(x), NI(X») Ces trois normes sont deux

à

deux équivalentes.

~ Aucune difficulté hormis l'inégalité triangulaire de la norme Il.112'

En utilisant les inégalités triangulaires deN et deNI :

N(x +y) ~ N(x) +N(y) et NI(x+y) ~ NI (x) +NI (y)

et l'inégalité triangulaire de ([R2,N2) :

v(a +b)2+(al +b/)2 ~ va2 +al2+vb2 +b/2

on obtient:

VN2(x +y)+NI2(XI +yI) ~

VN2(;;)+

N/2(XI) +y'N2(y) +N/2(yl)

L'équivalence de ces normes tient aux inégalités suivantes:

Il(x, Xl)lico ~ Il(x, Xl)112 ~ Il(x, Xl)111 ~ v'211 (x, Xl) 112 ~ 211(x, Xl)lico

D

Remarques

1) On définit de façon analogue (par récurrence) des normes équivalentes sur un produit de plusieurs espaces vectoriels normés, en particulier surEn.

Désormais, tout produit d'espaces vectoriels normés sera muni de l'une de ces normes.

Parties bornées. d'un espace vectoriel normé (E, N)

Soit Aet B deux parties non vides deE.

i / Si A

c

Bet B bornée alors A est bornée et /) (A) ~ /) (B)

2)

p.8

ii / Si A et B sont bornées alors A u B et A+B sont bornées iii / Si Aest bornée alors il est bornée et /) (A) = /)CA)

~ il Si x et y EA alors N(x - y) ~ /) (B) , Ac B( x, /)(E») et /) (A) ~ /) (B) ii 1 Soit (a, x) E A2 et (b, y) E B2. L'inégalité triangulaire donne:

N(x - y) ~ N(x - a)+N(a - b) +N(b - y) ~ /) (A)+N(a - b)+ /)(B) N(x +y - a - b) ~ N(x - a)+N(y - b) ~ 0 (A)+ /) (B)

C·e qUi permetde conc ure1 { /)/) (A + B) ~ /) A + /) B(A

u

B) ~ /)()(A) + d(A, B)+ /) (B)() iii1Soit

x

ety deux points deA.

Alors, pour tout r> 0, il existe aE An B(x, r) et bEAn B(y, r) L'inégalité triangulaire fonctionne comme en iil :

N(x - y) ~ N(x - a)+N(a - b) +N(b - y) ~ r+ /) (A) +r

Ce qui montre que A est bornée avec /)CA) ~ /)(A) +2r, pour tout r> 0,

donc /)CA) ~ /) (A) .

.L'inclusion A

c

Aetildonne l'égalité /)(A) = /)CA)

• SoitE un espace vectoriel muni de deux normesNl etN2telles que Nl ~ N2. Notons Bi(a, r)

la boule ouverte de centre

a

et de rayon

r

définie par la normeNi pour i=1 ou 2. Ces boules vérifient B2(a, r) c Bl(a, r). (Nl(a,x) ~ N2(a,x) <r).

Si U est un ouvert de (E,Nl), alors U est aussi un ouvert de (E, N2). En effet,xétant un point de U il existe un réel

r>

0 tel que Bl(x,

r) c

U,

les inclusions B2(X,

r) c

Bl(X,

r) c

U prouvent que U est un voisinage de x dans l'espace

(E, N2).

Supposons que ces deux normes soient équivalentes: il existe a> 0 et [3> 0 tels que:

a

Nl ~ N2 ~ [3 Nl·

Alors, les espaces vectoriels normés (E,Nl)etCE,N2) ont les mêmes ouverts.

Dans ces conditions, les notions de limite et de continuité coïncident sur ces deux espaces.

• Il suffit de vérifier qu'un point x de la sphère S(a,r)est adhérent àla boule ouverte B(a, r).

Notons y = a+ 1.1(x - a) l'image de x par l'homothétie de centre a et de rapportfLE ]0,1[.

Calculons les deux normes:

IIy - aIl =1.1Ilx - aII =1.1r et Ily - x Il = II

(1-

fL)(a - x) Il =

(1-

fL)r

a

Pour toutaE]0, r[ avec 1 -

r

<1.1<1, on a 1.1r<r et (1- fL)r<a et donc y E B(a, r) (î B(x, a).

exemple 8

sous-espaçe \fectoriel

cedeE;'~spa.ce vectoriel norrné.

~er~~e$qn~.(ihérence

Fest un sous-espa.ce \téctbriel de E.

En déguire ql.l'"Unhyp~rplan est soit fermé soit dense dans E.

• 1) Il s'agit de vérifier que, pour tous x ety deJi'etÀEIK, alors x+y E Ji'etÀx E F.

La caractérisation de points adhérents àF indique, pour tout r> 0, l'existence de points

a

et b de F tels que Il

x - a

Il < r et Ily -

a

Il < r. Alors les majorations:

II(x +y) - (a+b)II ~ IIx - aIl+Il y - bII <2r

II À

x-

À

a

Il = IÀI·II

x - a

Il ~ IÀI r suffisentàprouver que

x

+yet À

x

sont adhérentsàF.

2) Supposons maintenant que

F

soit un hyperplan non fermé de

E,

c'est dire qu'il existe un point cde If \ F et que la droite lK,cest un supplémentaire de

F (caractérisation d'un hyperplan) :E =lKc EB F signifie que tout vecteur

x

de Es'écrit

x

=lec+y avecleEIK ety E F.

CommeF

c

If et queIf est un sous-espace deE,

x

=lec+y E F.

AinsiIf = E, Fest dense dansE.

exemple 9

Distance

à

une partie

Soit A une partie non vide de

E,

espace

A

={x E E/d(x,A) =O}

, \f X,yE E, Id(x,A)- d(y,A)1 ~

Ilx-

yll

• 1) L'égalité d(x, A) =0 se traduit par \f r> 0, 3 a E A, Il x - a Il < r.

Ceci caractérise

x

E A.

2) Fixons deux points

x

ety deE.Alors pour tout point z de A:

Il

x -

zIl - Ily - zIl ~ Il

x -

y Il (seconde inégalité triangulaire)

d(x, A) - Ily - zIl ~ Ilx - yIl (une borne inférieure est un minorant)

d(x,A) - d(y,A) ~ Ilx - yIl (elle est le plus petit des minorants)

d(y,A) - d(x,A) ~ Ily - x Il=Ilx - yIl (échange de x et y)

Id(x,A) - d(y,A)1 ~ Il

x -

yIl

(±

À~I-L =? IÀI ~I-L)

exemple 10

et adhérence d'un convexe

Aune partie non vide et convexe d'un espace vectoriel normé E.

o _

que

A

et

A

sont convexes .

• 1)

o

Prenons deux points x ety de

A

et vérifions que, pour tout réeltE [0,1], le point

z =

(1 -

t)x +ty est intérieur àA. D'après la propriété 3, il existe r> 0 tel que, pour tout

vecteur u vérifiant IluIl< r, alors x+u et y +u sont dans A. Comme A est convexe

(1 -

t)(x + u) + t(y + u) =z + u est aussi dans A,

o

donc B(z, r)

c

A. Ainsi z est intérieuràA; A est convexe.

2) Reprenons les notations précédentes avec, cette fois-ci,

x

ety dansA.

Pour tout r> 0, il existe deux points aE An B(x, r) et bE An B(y, r).

Notons c=

(1 -

t)a +tb et vérifions que, zE B(c, r) :

Il

z -

cil =Il(1 - t)(z - a) +t(z - b)Il ~ (1 - tlIl

z -

a Il+tll z - bIl < r Ainsi zE

A, A

est convexe.

II - Limite - Continuité - Dérivation

A. Suites

•

•

•

•

d.20

La notion de suiteàvaleurs dans un corpsIf{ a été vue en Analyse 1.

Etant donné un IK-espace vectoriel E, on définit de manière analogue: les suites deE,: applications de N dansE, notations: u,(un), (Un)N,

l'ensemble des suites deE est notéEN

les suites deE définies à partir d'un certain rangTl{) EN: applications de [Tl{), +00 [

dansE, notation :(Un)n~no

les opérations surEN :addition et produit par un scalaire.EN est un IK-espace vectoriel les suites extraites d'une suite donnée(Un)F\j E EN.

SiE estun espace vectoriel normé,(Un)N E EN est born~e si et seulement siilexiste AE[R* tel que\:j nE N,IlUnIl "" A.

L'ensemble@ (E) des suites bornées deE est un sous-espace vectoriel deEN.

§u.ite~qIlvétg~nte dans un espace vectoriel normé CE, Il.11) Soit U une suite et

a

un point deE.

On dit que la suite U a pour limite

a,

ou converge vers

a,

si la suite réelle

nf-7> IlUn - aIl a pour limite O.

On écrit alors _n~+oolim Un =a Ç==} _n~+oolim IlUn - aIl=0

Remarques

1) Une suite convergente a une seule limite. 2) Une suite convergente est bornée.

3) L'ensembleC(S CE)des suites convergentes de E est un sous-espace vectoriel de@(E).

L'application L: C(S(E) --+ E,x f-7> lim Xn est linéaire.

4) Si la suite U converge versaalors on peut définir, pour toutnEN: rn=sup Ilup - aIl

p~n

On constate que la suite réelle

n

f-7> rnest positive, décroissante et converge versO.

d.21

1

§uitéq.eCauchy dans un espace vectoriel normé (E,II.11)

Soit Uune suite bornée deE,notons on= sup{11Up - Uq

II/p?

n,

q?

n}.

On dit que U est une suite de Cauchy si la suite réelle (On\"d converge vers O.

Remarques

1) Onest le diamètre de la partie An ={up/p? n}.

La suite(An)F\j est décroissante, (On)N aussi. 2) La définition s'écrit traditionnellement:

\:js> 0,3 nE N,\:j p? n, \:j q? n, Il up - UqIl <s 3) Il est commode aussi d'introduire Sn= sup Il un+p - Un II·

p~n

l

U est une suite de Cauchy si et seulement si lim Sn= O.

n--++oo

d.22

Valeur d'adhérence d'une suite

Soit

U

une suite de

E,

espace vectoriel normé.

On dit qu'un point a de

E

est une valeur d'adhérence de la suite

U

s'il existe

une suite extraite de

U

qui converge vers

a.

d.23

Un espace vectoriel normé est dit confplet si, dans cet espace, toute suite de

1

Cauchy est convergente. On dit alors que c'est un

d.24

Une partie

A

de E est dite complète,

A

c

E, si toute suite de Cauchy formée

1

de points de

A

est convergente dans

A.

p.9

il

Une suite convergente est une suite de Cauchy.

iil

Une suite extraite d'une suite convergente

U

est convergente et a la même

limite.

iiii

Une suite extraite d'une suite de Cauchy est encore une suite de Cauchy.

iv

1

Une suite de Cauchy a au plus une valeur d'adhérence a et, dans ce cas, elle

converge vers a.

~ Pouril,ii! et Iii!, les démonstrations sont analoguesàcelles vues en Analyse 1,Chapitre 1 (propriété 14,théorèmes 17et18).

Ivl Si a est valeur d'adhérence de la suite de Cauchy (Un), il existe une suite extraite (~(n» de limitea.

La conclusion résulte alors de :

Il Un - a Il ~ Il Un - ~(u) Il+Il~(U) - a Il

~

sup

Il up - Uq Il+Il~(n) - a Il p~n q~n

o

p.10

Soit

A

une partie non vide de

E,

espace vectoriel normé.

il

Si une suite de points de

A

converge dans

E,

alors sa limite est un point de

il, adhérence de A.

ii

1

Un point de

E

est adhérent à A s'il existe une suite de A qui converge vers ce

point.

iii

1

A est un fermé de

E

si et seulement si A contient la limite de toute suite

convergente de

E

qui est formée de points de

A.

~ il Avec(un) E AN et lim Un =c, écrivons:

n---:-+co

o ~ d(c,A) ~ Il

c -

Un Il et n-++co

lim

Il

c -

Un Il=

0

donc d(c, A) =0 ce qui signifie CE

il

(cf.exemple

9)

Ii 1 Supposons cE

il.

Donc, pour toutnEF\j*, il existe un poi~tande A tel que:

Ilc - anIl< ~ car A (1B ( c, ~) n'est pas vide La suite(an)N converge vers c.

iii1Cas oùAest un fermé de

E :

utiliser il.

des.suÎtes bornées sur un espace vectoriel normé E,muni de la

(.E)~iR+, U f-7>sup Il UnIl.

nEN

Eest complet alors 'lJ3 (E)co l'est aussi . • Notons une suite comme une fonction J E 'lJ3(E), i f-7>JCi) ;

considérons alors une suite de Cauchy (fn)N deÇi]3(E), c'est-à-dire que la suite

n

f-7>On=sup IlJn+p - JnIl:::0 converge vers O.

pEN

Comme IIJn+p - Jn[[co = supIlJn+pCi) - Jn(i) [l, on obtient: iEN

'ï/iEN,'ï/pEN, lfn+pCi) - JnCi)1~ On (1)

donc

n

f-7>JnCi) est une suite de Cauchy deE, Eétant complet, elle converge; notons g(i) =

hm

Jn(i) pour tout iEN.

n--++co

9 est une suite sur E, Ig(i) - Jn(i)[ ~ On (2) (fairep ~ +00 dans (1 )). 9 est bornée: 'ï/i EN, IgCi)1 ~ IIJo11+00

(fn)N converge vers 9 dans (Çi]3(E), Il.[Ico) car Il9 -Jnlico ~ On d'après (2).

B.

Limite - Continuité d'une fonction

Soit (E,Il.11) et(F.I.I)deux IK-espaces vectoriels normés.

Etant donné Dpartie non vide E,

'ji

(D,F) désigne l'ensemble des applications deD

dans F ou ensemble des fonctions deEdans F, dont l'ensemble de définition estD.

'ji

(D, F) est un IK-espace vectoriel pour les opérations usuelles, somme de deux

fonc-tions et produit d'une fonction par un scalaire:

Cf,g)E'ji (D,F)2 J + 9 : x f-7>J(x) + g(x)

"-EIK "-J : x f-7>,,-J(x)

Dans le cas particulier où F =IK, on dispose de l'opération produit de deux fonctions et

'ji

(D, IK) est une IK-algèbre :

Cf,g)E'!F (A, 1K)2 Jg : x f-7>J(x)g(x)

Définitions :

J(U) eV (2)

(3). ou aussià

d.25

Limite d'une fonction en un point Soit J E'ji (D,

F),

Ac

D et

a

EA. On dit queJ admet une limite en

a

suivant As'il existe un point b de F tel que:

'ï/8>0,30'> 0,'ï/x EA, Ilx- ail <0' =? lf(x) - b[<8 (1)

On note alors

hm

J(x) = b.

x--+a.xEA

Remarques

1) S'il existe b etbldans F vérifiant (1) alors b = b' ce qui justifie la notation

hm

J(x) = b

X--+a.XEA

(voir Analyse l, Chapitre III, propriété 1, définition 2). 2) La proposition (1) équivaut à :

'ï/ V EV (b),

3

UEVA (a),

d.26

1

Continuité d'une fonction en un point

f

E3i (D, F) est continue en un point

a

de D si

f

admet une limite en

a

suivant D.

Remarque

La limitedef enasuivantDne peut êtrequef(a), (voirAnalyse 1,ChapitreIII,théorème

1),f est donc continue ena E

D

si et seulement silÏE1f(~) =f(a). XED

Continuité d'une fonction

f E3i (D, F) est continue sur Ac D sif est continue en tout point de A. Continuité uniforme

f

E3i (D. F) est uniformément continue sur A

c

Dsi :

Ife>O.3coO,If(x,y)EA2·llx-yll<a: =? Lf(x)-f(y)l<e

Remarque

1) Sif: A ~ Fest une fonction bornée, on peut définir la fonction:

8: IR+-IR+, h>--">8 (h) =sup{lf(x) - f(y)1 /(x, y) EA2, Ilx - yII ~ h}

d.27

1

d.28

1

Cette fonctionhest positive décroissante.

L'uniformecontinuité de

f

sur A est caractérisée par lim 8(h) =O. h---;.O

2)

f

reste uniformément continue si on change la norme de

E

ou celle de

F

en une norme équivalente.

d.29 Fonction lipschitzienne

f

E3i (D. F) est dite lipschitzienne sur A

c

D si l'ensemble

{ Lf(x) - f(y)i .

2.}

..

R= Ilx _ yi! /(x. y) EA ,x '*y est maJore.

Si le réel k est un majorant de R ou si k=sup R, on dit quef est lipschitzienne de rapport k ou k-lipschitzienne sur A.

~ Dans ces conditions If (x, y) EA2, lf(x) - f(y)l ~ kllx - yIl

d.30 Homéomorphisme

Soit Aune partie de

E,

B une partie de

F,

etf une bijection deAsur B. On dit quef est un homéomorphisme si f: A ----;.B et f-1: B ----;.A

sont continues.

d.31 Isométrie

Soit Aune partie de E, B une partie de F, etf une application deAdans B. On dit quef est une isométrie si, pour tout couple (x,y) E A2 :

Ilf(y) - f(x) W = Ily - x II

On dit qu'une isométrie conserve la norme.

li'ropriétés :

p.11 Soitf E3i (D, F) et

Ac

D. Les propositions suivantes sont équivalentes: i /

f

est continue sur A.

ii/ pour tout ouvert V de F,f-1(V) est un ouvert de A iii / pour tout fermé W de

F,

f-1 (W) est une fermé de A.

p.12

Soit] E'!Ji (D, F) et

Ac

D et les propriétés suivantes:

il]

est lipschitzienne sur Ade rapport k,

ii

1]

est uniformément continue sur A,

iii

1]

est continue sur A,

Alors

p.13

o

Soit] E'!Ji (D, F),

Ac

D et a E A; les propriétés suivantes sont équivalentes

il]

admet une limite en a suivant A

iil

pour toute suite (an) de A qui converge vers a, la suite (t(an») de Fest convergente.

ll2F VoirAnalyse l, Chapitre III,propriétés 2 et 3,

• il =? iil Notons

b

= lim ](x) et considérons une suite(an)deAqui converge

x--+a,xEA

vers a,

L'hypothèse 'ris> 0, 30'> 0,'rix E A

(î

B(a, 0') =? Lf(x) - bl<s donne 3pEN, 'ri

n

?

p,lI an - aIl<0' =? Lf(an) - bl<s

c'est-à-dire que la suite (t(an») converge vers b,

• iil =? il Si(an) et(a~) sont deux suites deA qui convergent vers a, alors les suites

(t(an») et(t(a~») convergent dans F; vérifions que leurs limites b etbl sont égales, Pour cela, ilsuffit de mixer les suites (an) et(a~) en notant:

{ C2n+lc2n == ana~

Alors _n-++colim Cn=a et _n--++cohm ](C2n) = b=_n--++O()hm ](C2n+l) = bl,

" s'ensuit que b est la seule limite possible de] en a. Par l'absurde, si] n'admet pas b pour limite en a :

3s>0,'riO'>0, 3Xu E A

(î

B(a,0') tel que Lf(Xu) - bl ?s On peut alors former une suite(an) qui converge vers a :

'rinEN*,3 an EAtel que Ilan - aIl< ~

_n

et Lf(an) - bl ?s sans que la suite (t(an») converge vers b, ce qui est contradictoire,

Remarque

Avec] : A---t F, a E Aet b= lim ](x), on a bE](A), (d'après la caractérisation

x--+a,xEA

de l'adhérence par les suites).

p.14 (F,1.1) étant complet, soit] E'!Ji (D,F), Ac D et a E A.

Pour que] admette une limite en a suivant A,il faut et il suffit que:

'ris> 0,30'> 0, (x,y) E (A

(î

B(a, 0'»)2 =? lf(x) - ](y)1 <

s

C'est le CritèredeCal.1chy pour l'existence d'une limite.

1&' i / L'hypothèse b= lim

1(t)

donne:

t--+a,tEA

D

10

\je> 0, 3a> 0, \j t E A (1 B(a, a),Lf(t) - bl< "2

d'où par inégalité triangulaire:

\j

(x, y) E (A(1B(a, a)) 2,lf(x) - l(y)1 ~ Lf(x) - bl +Lf(y) - bl<10

Ce qui prouve que

1

satisfait au critère de Cauchy,

ii /Pour la réciproque, prenons une suite quelconque (Xn) de

A

qui converge vers a et vérifions que (j(Xn)) est une suite de Cauchy:

\je> 0, 3 r EN, \j n ~ r,IXn - al <a

et donc

\j

(p, q) E N2,p ~ r etq ~ r, donne Lf(xp) - I(Xq)1<10,

Comme F est complet, la suite de Cauchy (j(Xn)) est convergente. On conclut avec la propriété13.

•M'

1P: 15 :prülo:ngement d\me application

(F, 1.1)étant complet, soit

1:

A --+ F uniformément continue sur A.Alors il

existe une unique application

J :

il --+ F continue qui prolonge

1;

J

est uniformément continue sur A.

J prolonge

1

signifie que JIA=

1·

1&' L'uniformecontinuité de

1

donne l'existence de la fonction:

of : IR+-+IR+, af-7of (a) = sup {lf(x) - l(y)I/(x, y) E A2, Il x - y Il ~ a} avec lim of (a) =O.

0'--+0

On en déduit que

1

vérifie le critère de Cauchy en tout point

a

E A.

En effet, soit10>0, il existe a>

°

tel que of (a) <10; et pour toutx,y dans B (C' ; ) ,

on obtient:

Il

x -

y II ~ II

x - a

Il+IIy -

a

II<

a

Le critère de Cauchy donne l'existence de

et donc lf(x) - l(y)1 ~ of (a) <10

J(a)

= lim

l(x)

x-+a,xEA

En notant queJCA) =I(A), ilvient:

0I (a) =sup{ V(u) - J(v)I/(u, v) EA2, IIu - vII ~a} =of (a)

Alors 0'--+0lim 0f- (a) =

°

assure l'uniforme continuité de J sur A. D

p.16

_,

Composition de fonctionsCQPtinnes

Soit E,F, G trois espaces vectoriels normés, A une partie de E, B une partie de

G,1

une application deAdans F et 9une application de B dans

G.

Si, de plus,I(A)

c

B, on dispose de l'application composée go

1

deAdans G.

il

LÜnite Soit

a

E

A

un point oùl admet une limite b= hm

l(x),

alors

x--+a,xEA

bE 13 :supposons que 9 admette une limite en b, c= hm g(y), alors go

1

y--+b,YEB

admet c pour limite en

a :

c= hm go

l(x).

x-+a,xEA

ii1 Continuité Si

1

est continue sur A et 9 continue sur B, alors 9

01

est continue sur A.

trW i1On sait que bEJ(A) et J(A)

c

B donc bE B.

Utilisons deux fois la propriété 3: «suite et limite».

Soit(xn) une suite deAqui converge vers a,alors la suite (j(Xn») de B converge vers

b,et la suite (g(j(Xn»)) converge vers c

ii1Utiliserla définitionde la continuité en un point et le il

D

p.17 Propriétés des isométries 1

Soit (E,Il.11) et (F,1.1) deux espaces vectoriels normés, A une partie de E, B

une partie de F

etJ:

A-7 B une isométrie.

il

J

est lipschitzienne de rapport

1,

doncJ est uniformément continue sur A.

ii1J est injective; siJ, de plus, est smjective, J induit une bijection deA sur B, dont la bijection réciproque J-l :B ~ Aest une isométrie ;J est alors un homéomorphisme deAsur B.

iii1La composée de deux isométries est une isométrie. p.18 Opérations sur les limites

1

SoitJ :A -7 F, 9 :A ~ F et aE A ainsi que 'il: A-7K

il

L'existence de :

u = lim J(x) v= lim g(x)

x-a,xEA x~a.xEA

fournit les nouvelles limites:

fL= lim 'il (x)

x~a.xEA

lim J(x) + g(x) = u+ v et lim 'il(x)J(x) =fL u

x----,-a,xEA x---+a,xEA

ii/ Si F =FI x .,. xFpest un produit d'espaces vectoriels normés et siJ: A -7 F est donnée par ses applications composantes x f--+J(x) = (jl(X), ... ,fp(x»),

alors

J

admet une limite ben

a

suivant A si et seulement si chaque

fi,

i E

[1,

p] admet une limite bi en a suivant A.

Dans ce cas b= (bl,bz.···.bp).

trW il Pour la deuxième formule noter le découpage suivant:

ep(x)J(x)- fL U = [ep (x)- fL]J(x)+ fL[J(x) - u]

pour majorer lep (x)J(x)- fL ul par l'inégalité triangulaire.

ii1Pour montrer que l'existence de lim J(x) implique celle de lim fi(x), pour tout

x_a,xEA x~a,xEA

iE

[1,

p], utiliser la norme sur F définie par:

II(xl,x2,'" ,xp)llx = sup IlXi IIF;

l~i~p

L

oùIl ·IIF;est la norme surFi,

Pour la réciproque, utiliser la norme sur F définie par:

p

II(xl,x2···· ,xp)lll =

L

IlXi IIF;

i=1 D

p.19 Opérations sur les fonctions continues 1

i/ C(A, F) ensemble des fonctions continues de A dans F est un sous-espace

vectoriel de S!i(A, F).

ii/ C(A, X) est une sous-algèbre de S!i(A,X).

iii/ Sif A ~ F et c;:: A

-K

sont continues alors <il

f :

A ~ F est continue. iv / Sif A - F est continue alors

fi :

A-IR(, xf--'> lf(x) 1 est continue.

v / Si <p: A

-K

est continue et ne s'annule pas, alors ~ A --+~ est définie et <p

continue sur A,

vi / Si F =FI x ... xFpest un produit d'espaces vectoriels normés et sif :A --+ F

est donnée par ses applications composantes x f--'>f(x) = (1I(X),'" ,fp(x)) , alors

f

est continue sur A si et seulement si chaque fi: A --+ Fi est continue sur A (1,s; i ,s; pl.

(I:;;)f Ce sont des conséquence des opérations sur les limites.

Exemples - Travaux pratiques

E etF sont deux espaces vectoriels normés.

exemple 12

: E--+ F continue et A

c

E.

que, si A est dense dans E, alorsf(A) est dense dansf(E) .

• Nous utiliserons la caractérisation d'une partie dense suivante :A est dense dans E si et seulement si pour toutUouvert non vide deE, l'intersectionA ([ Un'est pas vide.

SoitV un ouvert deF tel que V ([ f(E)

*0.

Ils'agit de vérifier queV ([f(A) est non vide aussi.

Par hypothèse, il existex E E tel quef(x) EV: or,j est continue donc U = f-I(V) est un ouvert deE, non vide car ilcontient

x.

CommeAest dense dansE, U ([ Aest non vide: or feu ([ A) cf(U) ([f(A) et feu)

c

V,

donc V ([f(A) est non vide.

exemple 13

et9deux applications continues de Edans F.Montrer que:

{x E Elf(x) =g(x)} estfermé , B={x E Elf(x) <g(x)} est ouvert.

• On vérifie queAet B sont les images réciproques respectives par9 -

f

du fermé{o} de IRet de l'ouvert ]0, +oo[ de IR.

Commef - 9 est continue, A est un fermé de E et B est un ouvert.

uniformément continué.

unE) suite de Cauchy dé E.estune suite de Gauchy de F .

• Rappelons la caractérisation de l'uniforme continuité:

lim ~ (h) ==

°

avec ~ (h) ==sup{ lf(y) - f(x)1 /(x, y)E E2, Ily - xIl ,.0:; h}

h--O

D'autre part, (xn) E EN est une suite de Cauchy si et seulement si :

lim On==

°

avec On==sup{ Il xp - Xq II/p ;3n,q;3n}

n---++oo

Avec ces notations, pourp;3net q;3n, on a lf(Xq) - f(xp)1 ,.o:;~(On)

Si o~== sup{lf(Xq) - f(xp) 1 /p ;3n, q ;3n} alors o~,.o:;~ (On)

donc n---++oolim o~== 0, ce qui prouve que (f(xn») Nest une suite de Cauchy de F.

C.

Relation

de

comparaison au voisinage d'un point

Ces relations ont été introduites en Analyse l, Chapitre VII, dans le cadre des fonctions réelles d'une variable réelle.

E,F, G sont des espaces vectoriels normés de normes notéesIl . Il ' I·IF ' 1·1G' Aest une partie de E et

a

un point de E adhérentàA. Dans le cas où E ==IR;,

a

est un point

deIRadhérent à

A

(donc éventuellement

a

==+ex; ou

a

== - ex;).

Il.

Domination - Prépondérance 1

f

et

9

sont des fonctions définies sur

A

àvaleurs dans F et G :

f:A--+F, g:A--+G Définitions: d.32 1 d.33 1 1 ) 2)

f est dominée par 9au voisinage de a suivant A,et on notef ==Ca (g)

ouf ==C (g), lorsque: :3VE"IfA(a), :3ÀEIR;:, 'Ifx E"If A(e). lf(x) 1F ,.0:; Ig(x)jG

f

est négligeable devant 9(ou 9 prépondérante devantf), et on note

f ==oa(g) ouf ==o(g),

lorsque: 'Ife> 0, :3VE"V~A(a), 'Ifx E V, lf(x)IF,.o:;e Ig(x)IG

Remarques

Le cas E==R A ==N,

a

==+ex; donne les relations de comparaison entre suitesàvaleurs dans un espace vectoriel normé.

Les fonctions

f

et 9 considérées ont un ensemble de définition commun (ici A) mais ne prennent pas nécessairement leurs valeurs dans le même espace vectoriel (ici F et G). En fait, seules les fonctions normes interviennent:

lflF :

A

--+Rx f--?o lf(x) 1F et IglG :

A

--+IR;,xf--?o Ig(x)1G

Doncf ==Oa(g) s'interprète en lflF ==oa(!gIG)'

En particulier,f ==oaCl) signifie lim f(x) ==O. x __a.xEA

Il est d'usage courant de comparer, par exemple, une suite complexe ou vectorielle à

1

1

une suite réelle. (--.

_n

₊ =0(1) signifie lim -- = 0).

L n--HCXl

n

+i

Dans la mesure où les opérations sont légitimes dans les espaces vectoriels considérés, toutes les propriétés de la relation de prépondérance exposées en Analyse 1,Chapitre VII,sont valables.

12.

Equivalence

1

] et9sont des fonctions définies surAà valeurs dans le même espace vectoriel normé F.

d .34 ] est équivalente

à

9au voisinage de

a

suivant A,et on note] ~ g,_a lorsque: ] -

9

=Oa(g)

Remarques

1) Pour l'équivalence de fonctions ou de suites, il est impératif que l'espace d'arrivée soit commun (existencede](x) - g(x),deUn - Un).

2) La relation ~ est une relation d'équivalence sur l'ensemble des fonctions définies au_a voisinage de

a.

3) Ilest intéressant de traduire] ~_a9 par] = (1+<p)g avec<p=oa(1).

D.

Dérivation des fonctions d'une variable réelle

o

l

est un intervalle de IRtel que

l

*0.

Il.

Dérivation

1

d.35 On dit que]:

l

--+

E

est dérivableav.pqintci:é

l

si l'application

l \

{a} --+

E,

xf--+

_1_

x- a ~

r](x) - ](a)] admet une limite en a suivant

l \ {

a}.

En cas d'existence, cette limite s'appelledérivéëdefena. on la note d.36 On dit que]:

l

--+

E

est dérivable a ùrolte \resp.

à

gaUChe) au pOInt

a

E

1

SI

l'intervalle I~ = l ri [a,+oo[ (resp. I~ = ln] - 00,aD n'est pas réduit

à

{a} et si la restriction de]

à

I~ (resp. I~Dest dérivable en

a.

Si elle existe, une telle dérivée s'appelle délivÉ~e de f en a, on la note f~(a) (resp. i!;(a» .

d.37 On dit que] :

l

--+

E

est dérivable (resp. dérivable

à

droite,

à

gauche) si]

est dérivable (resp.

à

droite,

à

gauche) en tout point de I.

On définit alors l'application dérivée

def,

par:

f

: l

--+

E,x

f--+

f(x)

On définit de façon analogue les applications]~ : dérivée

à

droite,J; : dérivée

à

gauche.

Remarques

1) La dérivabilité reste acquise par changement de la norme en une norme équivalente. 2) f: l ---7 E est dérivable en a si et seulement si pour (tout)

J

E'V1 (a),JjJ est dérivable

en

a

(la dérivabilité est une propriété locale).

L'existencedef(a) équivaut à l'existence et l'égalité def~(a) etdef~(a), et dans ce casf~(a) =f~(a) =f(a).

3) La dérivabilité de

f :l

---7 E en

a

se traduit aussi par:

il existe€E E tel quef(a + h) =f(a)+ € h + o(h) quand htend vers O.

4) La dérivabilité en un point (resp. surI) entraîne la continuité en ce point (resp. surI).

Prbptiétés:

p.20 1 p.21 1 p.22

L'ensemble

V(J,

E) des applications dérivables de

l

dans E est un sous-espace

vectoriel de

C(J, E).

L'application «dérivation»

:

D(J,

E)

---7'Je (J, E),

f ~

f

est

linéaire.

Si E

=

El x ... x

Ep

et

f

E'Je (J,E),

alors

f

est dérivable

si et seulement si

toutes les applications composantesJj :

l ---7 Ej,

(1

";;j ,,;;p),

sont dérivables.

Das ce

cas,f{,···,f;

sont les applications composantes def.

Si E est de dimension

p,

muni d'une base

(ejh'0"Sp

et sif

E'Je (J,

E) est donnée

p

par

t ~

f(t) = 'L,Jj(t)ej,

alors

f

est dérivable

si et seulement si toutes les

j=l

P

applications coordonnéesfl"",fP

le sont et dans ce casf(t)

= 'L,Jj/(t)ej.

j=l

12.

Application

de classe

cP 1

Définitibns:

d.38

1

Comme dans le cas des fonctions réelles, pour

f :

l ~

E, on définit par

récurrence les dérivées successives à partir de:

f

=fOl

dérivée d'ordre

O.

On note

Vn(I,

E) l'ensemble des applications de

l

dans E n fois dérivables.

d.39

Pour

p E ~

et

f :

l ---7

E, on dit que

f

est de classe

cP

si

f

E VP(I,

E) avec

fp) :

l ~

E continue.

On

noteCP(I.

E) l'ensemble des applications de classe

cP

de

l

dans E.

On dit quef:

l ---7

E est de classe

C·:x)

si, pour tout

p

c

~,f

est de classe

CP,

Propriétés:

p.23

Pour tout

p

c ~"', -pP(I,E) et

CP(J,

E) sont des sous-espaces vectoriels de

C(I, E).

1

p.24

Formule de Leibniz

Sif

E CP(I, 11<)

et

9 E CP(I, E),

alors

f .

9E CP(I,

E) et, pour 0 ,,;;n ,,;;

p : n

(j'.

g)(n) =

'L,

C~fn-k)g(k)

k=O

p.25

Classe d'une composée

III - Complets - Compacts - Connexes

A. Propriétés

des espaces complets

D

La définitiond'un espace vectoriel normé complet est donnée en d.23. L'espace CR.I.I) est complet.

Le passage d'une normeà une norme équivalente ne modifie pas les suites de Cauchy, ni la nature «complète» de l'espace.

Prqpriétés:

.l'vI' 1P',26il Soit A une partie fermée d'un espace vectOliel normé complet de E.

Alors A est une partie complète de E.

ii1Soit Aune partie complète de E. Alors Aest un fermé de E

I].g' i / Une suite(an)", de Cauchy formée de points deAest une suite de Cauchy deE.

Eétant complet, cette suite est convergente, orAest un fermé deE,donc [a limite de la suite(an)', est dans A.

ii/ Soit(Xn):\ une suite convergente de

E

formée de points de A. Alors(Xn)'\ est une suite de Cauchy deE,donc aussi de A.

Aétant une partie complète deE,la suite(Xn)', converge dansA.

La propriété 10

iiii

prouve queAest fermé de E.

D

p.27 1

Les espaces !Mn et

en

sont complets

Notons qu'il s'agit d'espaces produits d'espaces vectoriels normés. Montrons queC=!M2 est complet; [a généralisation est facile.

Soitn - Zn =Xn +iYn une suite de Cauchy de C, alors [es suites réelles(Xn)r\ et

(Yn)7\j sont des suites de Cauchy.

En effetIXn+p - Xnl ~ IZn+p - Znl ~ ôn où 8n= sup IZn+p - Znl pE,"\;'

et lim ôn= 0car(zn) est une suite de Cauchy.

n---;.-+·::>:)

!Métant complet, les suites(Xn)'J et(Yn)'; convergent dans!M,vers xetyrespectivement. La suite(Zn)r:oi converge vers x +iy(opérations sur les suites convergentes).

Théorème'

-Tf

Théorème du point fixe

Soit A une partie complète d'un espace vectoriel normé (E,Il.11) et

f

une

application de A dans A telle que:

il existe un réel k de [O.l[ tel que, pour tout couple (x,y) deA2 :

Ilf(y) - f(x) Il ~ kllY - x il

Alorsf admet un point fixe

a

E A,celui-ci est unique et limite de toute suite

(Xn)7\jdeA définie par:

o

On dit que l'applicationf estcoÇltraqtâtÜe, et que(Xn)N est une sUitè récurreôte asso-ciée àf.

Ir§'

La méthode consiste à vérifier que:

i / la suite récurrente (Xn)N est une suite de Cauchy,

ii / sa limite est un point fixe def,

iii / ce point fixe est unique.

i / Pour tout nE l'J*: IlXn+l - Xn Il=Ilf(xn) - f(Xn-l) Il ~ ~IIXn - xn-lll

d'où IlXn+1 ~ xflll ~ knll Xl - XOII par récurrence.

p-l

Pour toutp El'J*, on a xn+p - Xn =

L

Xn+i+l - Xn+i

i=O

p-l

d'où IlXn+p - Xn Il ~

L

Ilxn+i+1 - Xn+i Il

i=O

p-l n

L

n+i k

et Ilxn+p - Xn Il ~ k IlXl - XOIl ~ --II

_{1- k}

Xl - XOIl i=O

Comme

lim

kn =0, la suiten f-7 sup Ilxn+p - Xn II converge vers 0 : la suite(Xn)N

n-++co pEN*

est une suite de Cauchy deA.

ii /Aétant une partie complète de E, la suite de Cauchy(Xn)N deAconverge vers a EA. L'applicationf est Iipschitzienne donc continue surA,d'où:

hm

f(xn) =f (

hm

xn) c'est-à-dire a =f(a)

n---++oo n---++oo

Ainsiaest un point fixedef.

iii / Envisageons deux points fixes

a

et b de

f :

Il b - a Il= Ilf(b) - f(a) Il ~ kll b - a Il donne 0 ~

(1 -

k)11b - a Il ~ 0 donc b=

a

;f admet

a

pour unique point fixe.

d.40

1

B.

Parties compactes d'un espace vectoriel normé

Définition :

Partie compacte

Une partie A d'un espace vectoriel normé est dite compacte si toute suite de

points de

A

admet une suite extraite qui converge dans

A.

Remarques

1) Le passage d'une norme à une norme équivalente conserve la nature compacte d'une partie.

2) Une partie finie est compacte (théorème des tiroirs)

3) Voir Analyse l, Chapitre Il, Paragraphe V, pour l'étude des compacts de!Kt

Propriétés

p.28

Dans un espace vectoriel normé, une partie compacte est bornée et fermée.

1

~ Soit

A

une partie compacte d'un espace vectoriel norméE.

i / SupposonsAnon bornée et construisons une suite(an)'" de points deAréalisant il aj - ai Ii ~ 1 pour tout ioFJentiers

La construction est récurrente:

D • il existe ao etal dansA tels queIlao - al Il ~ 1 carA est non bornée,

• Siao,"', an-l sontn points deA tels queIlClj - ai Il ~ 1 pour 0"" i<J "" n -

l,A

étant non bornée, elle n'est pas incluse dans B, réunion des boulesB(ai,1), donc il existe

an EA \B et la famille(ao, ' , ' ,an-l' an) vérifieIlClj - ai Il ~ 1 pour 0 "" i <J ""

n,

Toute suite(a~h" extraite deAvérifie aussi il ~ - a~Il ~ 1 pour ioFJ, elle n'est donc

pas convergente, ce qui prouve queAn'est pas une partie compacte deE.

Ii / Si

A

c

A

alors

A

est fermée,

Soitx un point adhérent àA, donc limite d'une suite(an)r" formée de points de

A

A étant compacte, (anh admet une suite extraite (a~h convergente dansA ;mais toutes les suites extraites de

(anh

ont la même limite

x,

donc

x

E

A

D

p.29

1

p.30

Fermé dans un compact

Soit

A

une partie compacte d'un espace vectoriel normé

E.

Si

B

est une partie fermée de

A

alors

B

est aussi une partie compacte de

E. Aest compacte donc fermée dansE,alors B est aussi fermée dansE.

Comme

BeA,

une suite

(bnh

formée de points de B est une suite de

A

Or, A est une partie compacte de E donc il existe une suite(b~),'I:extraite de (bn),~ qui converge dans A; sa limite est dans B car B est fermée (dans A et dans E).

Produit de compacts

Soit

E

et

F

deux espaces vectoriels normés,

A

une partie compacte de

E,

B

une partie compacte de F.

Alors

A

x

B

est une partie compacte de

E

x F.

Soit(an', bn) une suite deA x B.A étant une partie compacte deE, il existe une suite

(U;p(n)N extraite de(an)~j qui converge vers un pointx de

A

La suite(bq;(n)i'; extraite de(bn)i'; estàvaleurs dans B, partie compacte de

F,

et admet donc aussi une suite extraite(bq;o8(n)):'\;convergente vers un pointy de B,

Alors la suite (aq;o8(n)'" est extraite de la suite convergente (U;p(n)i'\1et converge donc versx. Finalement (U;po8(n)' bq;o8(n))i'\1est une suite extraite de(an, bn)N qui converge

vers (x,y) E

A

x B.

AinsiA x B est une partie compacte deEx

F.

D

t.2

Theorème de Heine

Soit

A

une partie compacte de

E

etf

:

A--+

F

une application continue.

Alors

f

est uniformément continue sur

A

(Voir Analyse

l,

Chapitre

III,

théorème 8).

~ Raisonnons par l'absurde: dire que

f

n'est pas uniformément continue surAc'est dire que:

3s> 0,\;f

n

EN*, 3(xn, Yn) EA2• IlYn - Xn Il ~ ~

_n

et lf(Yn) - f(xn)1 ~s

A étant une partie compacte de E,A2 est compacte dansE2,

donc il existe (xq,(n). Y~(n») r:,; extraite de(xn, Yn)N convergente vers(a, b)E A2. • f étant continue, on a lf(b) - f(a)1 =n~rrco lf (Y~(n)) - f (x~(n)) 1

donc lf(b) - f(a)1 ~s (i)

• d'autre part, IIY~(n) - X~(n)11 ~ ~()cr

n

donne n~+x·lim ~IIY~(n) - Xq;(n)Il =

°

donc b =a et f(b) =f(a) (il)

Les résultats de (i) et (ii) sont contradictoires.

D t.3

~

Image continue d'un compact

Soit A une partie compacte de

E

etf : A ~

F

une application continue.

Alorsf(A)

est une partie compacte de F.

(Voir Analyse l, Chapitre III, théorème 6).

A toute suite(Yn)N def(A), on peut associer une suite(Xn)r:,;deA parf(xn) =Yn. A étant une partie compacte de E, il existe une suite(X~)N extraite de(Xn)r:,;qui converge vers un point

a

deA.

f étant continue, la suite (Yit) N= (f(x~)) N'extraite de(Yn)'\j, converge vers

f(a) Ef(A).

t.4

_{Fonction continue sur un compact}

Soit

A

une partie compacte de E etf :

A ~

F

une application continue.

i! Alors

f

est bornée et atteint sa borne: il existe a

EA

tel que:

lf(a)1 =

sup

lf(X) 1

XEA

ü! Cas d'une fonction réellef:

A~iR

continue sur

A

compact.

Alorsf

est majorée, minorée, il existe

a

et

b

dans

A

tels que:

f(x) =

inf

f(x)

et

f(b) = supf(y)

XEA !jEA

D ~ i / La propriété précédente indique quef(A) est une partie compacte de F, donc bornée

et fermée de F. On dispose donc du réel IlfilA =sup lf(x)l.

XEA

Introduisons une suite (Xn)\, deA telle que la suite (lf(xn)l) converge vers

Iif

liA

(propriété de la borne supérieure).

A étant une partie compacte de E, il existe une suite(x~)'\ extraite de la suite(xn)~, qui converge vers un point

a

deA.

La fonctionx f-7 lf(x) 1 étant continue ena, on obtient:

n~rrx

lf(x~)1 =lf(a)1 donc liA =lf(a)1

ii /Icif(A) est une partie bornée et fermée deR. elle admet un plus petit et un plus grand élément; c'est le résultat annoncé. (Voir Analyse L Chapitre III. théorème 7).

Exemples - Travaux pratiques

exemple 15 Cê?mplets et compacts

Dne

partie A compacte de E est complète .

• Prenons une suite de Cauchy de E formée de points de A.

Comme A est compacte, cette suite admet une suite extraite(X~)N qui converge dans A. Or, une suite de Cauchy ayant une suite extraite convergente est elle-même convergente. AinsiAest une partie complète deE.

exemple 16

PrOpriétés des compacts emboîtés

sçùt (Xn)r,; une suite décroissante de parties non vides et compactes deE.

MOntrer que l'intersection X =

(î

Xn est un compact non vide de E • NotonsXn un point deXn (non vide) pour chaque

n

E'\j.

Les Xn étant «emboîtés», est une suite du compact Xo, elle admet une suite extraite

(x<p(n)", convergente; notons c sa limite.

Comme Xp est aussi un fermé de E, nous avons l'équivalence:

CEXp

{=?

d(c,Xp)=O

Or, pour tout n ~ p :'P(n) ~ p, d(c.Xp) ~ Ilc - xcln)_, \1 et _n~+xlim Iic - x..cln)_' Il =o.

Ainsi, CE Xp pour tout pEN, donc X =

n

Xn n'est pas vide.

nE

Une intersection quelconque de fermés deE est un fermé deE,X est un fermé deE inclus dans le compact Xo, donc X est un compact deE.

Propriétés:

D

p.31

1

Parties compactes de Gin

Une partie de Gin est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée.

Rappel

Rappelons que[K=[!:R ouiC et queGinest normé par1/ .

Sur un espace vectoriel de dimension finie, deux normes sont équivalentes (cf Chapitre Il, théorème 5) donc le choix de la norme est indifférent.

Nous savons déjà que tout segment[a, b] de[!:Rest compact et que toute partie compacte

de [Kn est fermée et bornée.

Réciproquement, considérons une partieAdeGinfermée et bornée, il existe doncRE[!:R+

tel queA

c

[-R, R]n.

Un produit de compacts étant compact, [- R,R]n est un compact de[!:Rn.

Or, une partie fermée incluse dans un compact est elle-même compacte (propriété 29) donc A est une partie compacte de[Kn