Montrer que (i,(xj)) 7→ (xj+i) (les indices étant pris modulo p) définit une action du groupe Z/p sur l’ensembleX

École polytechnique 2012-2013 Théorie de Galois

Feuille d’exercices 2 Les anneaux sont supposés commutatifs et unitaires.

Exercice 1. (Lemme de Cauchy) Soient G un groupe fini et p un nombre premier divisant |G|. On se propose de montrer queGcontient un élément d’ordrep.

i. On considèreX ={(x₁, . . . , xp)∈G^p, x1· · ·xp= 1}. Calculer|X|.

ii. Montrer que (i,(xj)) 7→ (xj+i) (les indices étant pris modulo p) définit une action du groupe Z/p sur l’ensembleX.

iii. Conclure en utilisant la congruence|X|=|X^Z/p| mod p.

Exercice 2. Soitp un nombre premier. Montrer que tout p-groupe fini est résoluble.

Exercice 3. (Contenu de Gauß d’un polynôme)

On dit qu’un polynômeP(T)∈Z[T]non nul est primitif si ses coefficients sont premiers entre eux dans leur ensemble.

i. Montrer que le produit de deux polynômes primitifs est primitif. (On pourra réduire modulo des nombres premiers ou utiliser le résultat de l’exercice 5.)

ii. Montrer que tout polynôme non nul P de Q[T] s’écrit de manière unique sous la forme P =c(P)Qavec Q dansZ[T] primitif etc(P)∈Q>0. Vérifier que c(P)∈Zsi P ∈Z[T].

Le rationnel c(P) s’appelle le contenu de P.

iii. Montrer que pourP, Q∈Q[T],c(P Q) =c(P)c(Q).

iv. (Lemme de Gauß, forme usuelle) Un polynômeP ∈Z[T]est dit irréductible dans Z[T]si il ne se factorise pas sous la forme P =QR avec Q etR différents de ±1. Montrer que si P est irréductible dansZ[T], alors il est irréductible dans Q[T].

Exercice 4. (Lemme de McCoy-永田)

SoitA un anneau commutatif. On veut montrer qu’un polynômeP ∈A[X]non nul est diviseur de zéro si et seulement si il existea6= 0 dansA tel que aP = 0.

i. ÉcrivonsP =a₀+a₁X+· · ·+a_nXⁿ et considéronsQ=b₀+b₁X+· · ·+b_mX^m 6= 0 tel queP Q= 0. Montrer que siP bm 6= 0, il existe un plus grand indiced≤ntel queadQ6= 0.

ii. Montrer que le degré deadQ est strictement inférieur àm.

iii. Conclure par récurrence sur le degré deQ.

Exercice 5. (Anneaux quotients et lemme de Gauß universel)

Soientnetmdes entiers etRl’anneau quotient deZ[a0, . . . , an, b0, . . . , bm, A0, . . . , An, B0, . . . , Bm] par l’idéal engendré par les éléments1−Pn

0a_iA_i,1−Pm

0 b_mB_m et lesC_k =P

i+j=kA_iB_j pour 0≤k≤n+m. Enfin, soientA=Pn

0A_iXⁱ etB=Pm

0 B_jX^j les polynômes dans R[X].

i. Montrer queAB= 0.

ii. Montrer que les coefficients de A(resp. B) engendrent l’idéal unité deR.

iii. En déduire, en utilisant le lemme de McCoy-永田, que l’anneauR est nul.

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iv. On dit un polynôme à coefficients dans un anneau (quelconque) est primitif si l’idéal engendré par ses coefficients est l’anneau tout entier. Déduire de ce qui précède que le produit de deux polynômes primitifs est primitif.

Exercice 6. (Critère de [Schönemann-]Eisenstein)

i. SoitP =a₀+a₁T+· · ·+a_nTⁿ∈Z[T]un polynôme non constant. Supposons qu’il existe un nombre premier p tel que p divise a0, a1,· · · , an−1, p ne divise pas an, et p² ne divise pasa₀. Montrer queP est irréductible dansQ[T]. (On pourra utiliser le lemme de Gauß.) ii. Montrer que pour tout entiern, il existe un polynôme irréductible de degré ndansQ[T].

Exercice 7. (Comptage et réduction modulo p)

i. Lister les polynômes irréductibles unitaires de degré≤3dans F₂[T]et ceux de degré≤2 dans F₃[T].

ii. Montrer queT⁴+T²+T+ 1est irréductible dans F₃[T].

iii. Montrer que le polynômeT⁵+ 3T⁴−2T³+ 4T²−2T+ 3est irréductible dansQ[T].

iv. Soitpun nombre premier. Montrer que le nombre de polynômes irréductibles unitaires de degré ≤3 dansF_p[T]est ¹₃p³+ ¹₂p²+¹₆p.

v. Est-il vrai que le nombre de polynômes irréductibles unitaires de degré d dans Fp[T] est un polynôme en p?

Exercice 8.

i. Montrer queK =Q(√ 5,√⁵

2)est de degré 10sur Q.

ii. En déduire queK est isomorphe à la Q-algèbreQ[X, Y]/(X²−5, Y²−5).

iii. En déduire un procédé permettant de trouver un polynôme annulateur deα=√ 5 +√⁵

2.

iv. Comment pourrait-on vérifier que le polynôme

P =X¹⁰−25X⁸+ 250X⁶−4X⁵−1250X⁴−200X³+ 3125X²−500X−3121 convient ?

Exercice 9.

i. Soientkun corps etAunek-algèbre de dimension finie. Montrer que l’ensembleSpecmax(A) des idéaux maximaux deA est fini, de cardinal au plus[A:k] = dimk(A). (Indication : on pourra utiliser le théorème chinois.)

ii. À quelle condition a-t-on égalité ?

Exercice 10. SoitA un anneau commutatif. On rappelle qu’unidempotent deA est un élémentetel que e² =e.

i. Montrer que l’ensemble B = Idem(A) muni de l’addition ee⁰ := (e−e⁰)² et de la multiplication ee⁰ :=ee⁰ est un anneau.

ii. Montrer que tout idéal premierpde B est maximal, et queB/pest isomorphe à F2. iii. Montrer que l’ensemble π₀(A) = Spec(Idem(A)) des idéaux premiers de Idem(A) est un

singleton si et seulement si Aa exactement deux idempotents.

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