L3–Ann´eeuniversitaire2004–2005 MahdiBenJelloul Dynamiquenonlin´eaireetchaos

Dynamique nonlin´ eaire et chaos

Mahdi Ben Jelloul

Laboratoire de Physique des Oc´eans Universit´e de Bretagne Occidentale

L3 – Ann´ee universitaire 2004–2005

Plan

1 Introduction-D´efinitions

2 Notions g´en´erales sur la stabilit´e

3 Syst`eme dynamique unidimensionnel

4 Syst`eme dynamique bidimensionnel

5 Syst`eme `a plus de deux dimensions – Chaos

Stabilit´ e lin´ eaire

Lin´earisons le syst`eme bidimensionnel : x˙₁

˙ x₂

=

f₁(x₁,x₂) f₂(x₁,x₂)

autour d’un point fixexe : η˙₁

˙ η2

=



 ∂f1

∂x1

xe

∂f1

∂x2

xe

∂f2

∂x1

xe

∂f2

∂x2

xe



 η₁

η2

La stabilit´e lin´eaire est donn´ee par l’´etude de lamatrice jacobienne ∂fi

∂xi

i,j . Dans la suite on noteraL l’op´erateur lin´eaire et L la matrice jacobienne.

Valeurs propres

La stabilit´e du point fixe d´epend des valeurs propres de L.

Elles sont solutions de det (L−λI) = 0

Comme L est un op´erateur r´eel, ses valeurs propres complexes sont complexes conjugu´ees et leurs modes propres associ´es complexes conjugu´es.

La somme des valeurs propres est ´egale `a la trace de la matrice jacobienne et le produit `a son d´eterminant.

Valeurs propres

La stabilit´e du point fixe d´epend des valeurs propres de L.

Elles sont solutions de det (L−λI) = 0

Comme L est un op´erateur r´eel, ses valeurs propres complexes sont complexes conjugu´ees et leurs modes propres associ´es complexes conjugu´es.

La somme des valeurs propres est ´egale `a la trace de la matrice jacobienne et le produit `a son d´eterminant.

Valeurs propres

La stabilit´e du point fixe d´epend des valeurs propres de L.

Elles sont solutions de det (L−λI) = 0

Comme L est un op´erateur r´eel, ses valeurs propres complexes sont complexes conjugu´ees et leurs modes propres associ´es complexes conjugu´es.

La somme des valeurs propres est ´egale `a la trace de la matrice jacobienne et le produit `a son d´eterminant.

Valeurs propres

La stabilit´e du point fixe d´epend des valeurs propres de L.

Elles sont solutions de det (L−λI) = 0

Comme L est un op´erateur r´eel, ses valeurs propres complexes sont complexes conjugu´ees et leurs modes propres associ´es complexes conjugu´es.

La somme des valeurs propres est ´egale `a la trace de la matrice jacobienne et le produit `a son d´eterminant.

Classification

Illustration

Portrait de phase

Unicit´e d’une trajectoire.

Les trajectoires ne se coupent jamais.

Tracer les “nullclines” aident a d´ecrire la dynamique Tracer les vari´et´es stables, trajectoire atteignant un point stable `a t= 0 d´ecrite pourt→ −∞ et lesvari´et´es instables, trajectoire rejoignant un point stable `at = 0 d´ecrite

pourt → ∞ et les

Portrait de phase

Unicit´e d’une trajectoire.

Les trajectoires ne se coupent jamais.

Tracer les “nullclines” aident a d´ecrire la dynamique Tracer les vari´et´es stables, trajectoire atteignant un point stable `a t= 0 d´ecrite pourt→ −∞ et lesvari´et´es instables, trajectoire rejoignant un point stable `at = 0 d´ecrite

pourt → ∞ et les

Portrait de phase

Unicit´e d’une trajectoire.

Les trajectoires ne se coupent jamais.

Tracer les “nullclines” aident a d´ecrire la dynamique Tracer les vari´et´es stables, trajectoire atteignant un point stable `a t= 0 d´ecrite pourt→ −∞ et lesvari´et´es instables, trajectoire rejoignant un point stable `at = 0 d´ecrite

pourt → ∞ et les

Portrait de phase

Unicit´e d’une trajectoire.

Les trajectoires ne se coupent jamais.

Tracer les “nullclines” aident a d´ecrire la dynamique Tracer les vari´et´es stables, trajectoire atteignant un point stable `a t= 0 d´ecrite pourt→ −∞ et lesvari´et´es instables, trajectoire rejoignant un point stable `at = 0 d´ecrite

pourt → ∞ et les

Ensembles limite et attracteurs

On s’int´eresse aur´egime permanent atteint apr`es extinction du r´egime transitoire.

Unpoint est dit non errant si les trajectoires initialis´ee dans son voisinage y reviennent. L’ensemble des points non errants pris en t→ ±∞ forme unensemble limite.

On d´efinitl’ entrant (le sortant) d’un ensemble limite comme

´

etant l’ensemble des points qui s’accumulent sur lui pour t → ∞ (t → −∞).

Si un ensemble limite contient son sortant alors c’est un attracteur.

Son entrant, si non vide, est alors le bassin d’attraction.

Ensembles limite et attracteurs

On s’int´eresse aur´egime permanent atteint apr`es extinction du r´egime transitoire.

Unpoint est dit non errant si les trajectoires initialis´ee dans son voisinage y reviennent. L’ensemble des points non errants pris en t→ ±∞ forme unensemble limite.

On d´efinitl’ entrant (le sortant) d’un ensemble limite comme

´

etant l’ensemble des points qui s’accumulent sur lui pour t → ∞ (t → −∞).

Si un ensemble limite contient son sortant alors c’est un attracteur.

Son entrant, si non vide, est alors le bassin d’attraction.

Ensembles limite et attracteurs

On s’int´eresse aur´egime permanent atteint apr`es extinction du r´egime transitoire.

Unpoint est dit non errant si les trajectoires initialis´ee dans son voisinage y reviennent. L’ensemble des points non errants pris en t→ ±∞ forme unensemble limite.

On d´efinitl’ entrant (le sortant) d’un ensemble limite comme

´

etant l’ensemble des points qui s’accumulent sur lui pour t → ∞ (t → −∞).

Si un ensemble limite contient son sortant alors c’est un attracteur.

Son entrant, si non vide, est alors le bassin d’attraction.

Ensembles limite et attracteurs

On s’int´eresse aur´egime permanent atteint apr`es extinction du r´egime transitoire.

Unpoint est dit non errant si les trajectoires initialis´ee dans son voisinage y reviennent. L’ensemble des points non errants pris en t→ ±∞ forme unensemble limite.

On d´efinitl’ entrant (le sortant) d’un ensemble limite comme

´

etant l’ensemble des points qui s’accumulent sur lui pour t → ∞ (t → −∞).

Si un ensemble limite contient son sortant alors c’est un attracteur.

Son entrant, si non vide, est alors le bassin d’attraction.

Dynamique asymptotique

En deux dimensions, les ensembles non-errants qui d´ecrivent la dynamique asymp- totique sont limit´es :

les points fixes les cycles limites les connexions-cols (boucles homoclines ou h´et´eroclines)

Dynamique asymptotique

En deux dimensions, les ensembles non-errants qui d´ecrivent la dynamique asymp- totique sont limit´es :

les points fixes les cycles limites les connexions-cols (boucles homoclines ou h´et´eroclines)

Dynamique asymptotique

En deux dimensions, les ensembles non-errants qui d´ecrivent la dynamique asymp- totique sont limit´es :

les points fixes les cycles limites les connexions-cols (boucles homoclines ou h´et´eroclines)

Bifurcations

Il y a bifurcation si la partie r´eelle d’une valeur propre traverse l’axe des ordonn´ees, i.e. devient positive.

En dimension deux, les valeurs propres sont soit toutes les deux r´eelles, soit complexes conjugu´ees.

Le cas des valeurs propres r´eelles distinctes se ram`ene au cas `a une dimension car une des deux valeurs r´eelles restera

n´egative.

Dans le cas des valeurs propres r´eelles complexes conjugu´ees qui traversent simultan´ement l’axe des ordonn´ees, on a une bifurcation de Hopf.

Bifurcations

Il y a bifurcation si la partie r´eelle d’une valeur propre traverse l’axe des ordonn´ees, i.e. devient positive.

En dimension deux, les valeurs propres sont soit toutes les deux r´eelles, soit complexes conjugu´ees.

Le cas des valeurs propres r´eelles distinctes se ram`ene au cas `a une dimension car une des deux valeurs r´eelles restera

n´egative.

Dans le cas des valeurs propres r´eelles complexes conjugu´ees qui traversent simultan´ement l’axe des ordonn´ees, on a une bifurcation de Hopf.

Bifurcations

Il y a bifurcation si la partie r´eelle d’une valeur propre traverse l’axe des ordonn´ees, i.e. devient positive.

En dimension deux, les valeurs propres sont soit toutes les deux r´eelles, soit complexes conjugu´ees.

Le cas des valeurs propres r´eelles distinctes se ram`ene au cas `a une dimension car une des deux valeurs r´eelles restera

n´egative.

Dans le cas des valeurs propres r´eelles complexes conjugu´ees qui traversent simultan´ement l’axe des ordonn´ees, on a une bifurcation de Hopf.

Bifurcations

Il y a bifurcation si la partie r´eelle d’une valeur propre traverse l’axe des ordonn´ees, i.e. devient positive.

En dimension deux, les valeurs propres sont soit toutes les deux r´eelles, soit complexes conjugu´ees.

Le cas des valeurs propres r´eelles distinctes se ram`ene au cas `a une dimension car une des deux valeurs r´eelles restera

n´egative.

Dans le cas des valeurs propres r´eelles complexes conjugu´ees qui traversent simultan´ement l’axe des ordonn´ees, on a une bifurcation de Hopf.

Bifurcation de Hopf supercritique

La forme normale est :

˙

x₁=σx₁+ωx₂− g₁⁰x₁+g₁⁰⁰x₂

x₁²+x₂² +. . . ,

˙

x2 =−ωx₁+σx2− −g₁⁰⁰x1+g₁⁰x2

x₁²+x₂² +. . . , que l’on peut mettre sous forme complexe :

z =x₁+i x₂, g₁ =g₁⁰ +i g₁⁰⁰, z˙ = (σ−iω)z −g₁|z|²z.

En notantz(t) =ρ(t)e^iφ(t), il vient :

˙

ρ=σ ρ−g⁰ρ³, φ˙=−ω−g⁰⁰ρ².

Sig⁰ >0, c’est une bifurcation de Hopf supercritique.

Cycle limite

La bifurcation de Hopf supercritique d´estabilise un point fixe en un cycle limite.

L’amplitude des oscillations varie comme la racine carr´ee de l’´ecart au seuil µ^1/2 ∝(r−rc)^1/2.

La p´eriode des oscillations `a la bifurcation est celle donn´ee par la partie imaginaire de la valeur propre au seuil + termes ∝µ.

Cycle limite

La bifurcation de Hopf supercritique d´estabilise un point fixe en un cycle limite.

L’amplitude des oscillations varie comme la racine carr´ee de l’´ecart au seuil µ^1/2 ∝(r−rc)^1/2.

La p´eriode des oscillations `a la bifurcation est celle donn´ee par la partie imaginaire de la valeur propre au seuil + termes ∝µ.

Cycle limite

La bifurcation de Hopf supercritique d´estabilise un point fixe en un cycle limite.

L’amplitude des oscillations varie comme la racine carr´ee de l’´ecart au seuil µ^1/2 ∝(r−rc)^1/2.

La p´eriode des oscillations `a la bifurcation est celle donn´ee par la partie imaginaire de la valeur propre au seuil + termes ∝µ.

Bifurcation de Hopf sous-critique

˙

ρ=σ ρ−g⁰ρ³, φ˙=−ω−g⁰⁰ρ².

Sig⁰ <0, il manque des termes nonlin´eaires d’ordre plus ´elev´e n´ecessaires `a la saturation de l’instabilit´e.

˙

ρ=σ ρ−g⁰ρ³−g5ρ⁵, φ˙=−ω−g⁰⁰ρ².

La bifurcation est souscritique. On passe d’un point fixe + cycle limite instable + cycle limite stable `a un seul cycle limite stable.

Bifurcation noeud-col d’un cycle

˙

ρ=rρ+ρ³−ρ⁵, φ˙=ω+bρ².

0>r>rc

r=rc

r<rc

Pour r <r_c =−1/4, un point fixe stable.

Pourr =rc, Un point fixe stable + un cycle limite semi-stable.

Pour r >r_c =−1/4, un point fixe stable et coexistence de 2 cycles limites stable et instable.

Bifurcation noeud-col d’un cycle

˙

ρ=rρ+ρ³−ρ⁵, φ˙=ω+bρ².

0>r>rc

r=rc

r<rc

Pour r <r_c =−1/4, un point fixe stable.

Pourr =rc, Un point fixe stable + un cycle limite semi-stable.

Pour r >r_c =−1/4, un point fixe stable et coexistence de 2 cycles limites stable et instable.

Bifurcation noeud-col d’un cycle

˙

ρ=rρ+ρ³−ρ⁵, φ˙=ω+bρ².

0>r>rc

r=rc

r<rc

Pour r <r_c =−1/4, un point fixe stable.

Pourr =rc, Un point fixe stable + un cycle limite semi-stable.

Pour r >r_c =−1/4, un point fixe stable et coexistence de 2 cycles limites stable et instable.

Bifurcation de p´ eriode infinie

Consid´erons le syst`eme suivant :

˙

ρ=ρ(1−ρ²), φ˙ =r−sinφ.

r>1 r<1

Pour r >1, pr´esence d’un cycle limite stable.

Pour r = 1, La p´eriode du cycle limite devient infinie T ∝(r−r_c)^−1/2 avec la pr´esence d’un point semi-stable.

Apparition d’un couple de points fixes stable/instable.

Bifurcation de p´ eriode infinie

Consid´erons le syst`eme suivant :

˙

ρ=ρ(1−ρ²), φ˙ =r−sinφ.

r>1 r<1

Pour r >1, pr´esence d’un cycle limite stable.

Pour r = 1, La p´eriode du cycle limite devient infinie T ∝(r−r_c)^−1/2 avec la pr´esence d’un point semi-stable.

Apparition d’un couple de points fixes stable/instable.

Bifurcation de p´ eriode infinie

Consid´erons le syst`eme suivant :

˙

ρ=ρ(1−ρ²), φ˙ =r−sinφ.

r>1 r<1

Pour r >1, pr´esence d’un cycle limite stable.

Pour r = 1, La p´eriode du cycle limite devient infinie T ∝(r−r_c)^−1/2 avec la pr´esence d’un point semi-stable.

Apparition d’un couple de points fixes stable/instable.

Bifurcation homocline

Peut ˆetre en TP.

Stabilit´ e structurelle

Th´eor`eme de Peixoto :

Seuls sont structurellement stables (robustes) les points fixes et cycles limites non marginaux.

Les boucles homoclines, h´et´eroclines sont structurellement instables

Stabilit´ e structurelle

Th´eor`eme de Peixoto :

Seuls sont structurellement stables (robustes) les points fixes et cycles limites non marginaux.

Les boucles homoclines, h´et´eroclines sont structurellement instables

Syst` emes m´ ecaniques

G´en´eralement les syst`emes m´ecaniques conservatifs peuvent se mettre sous une forme hamiltonienne. `A deux dimensions on a alors :

d dt

p q

= −^∂H_∂q,

∂H

∂p

! , o`u H =H(p,q) est le hamiltonien du syst`eme.

Le hamiltonien est un invariant du syst`eme. En physique, le hamiltonien est souvent l’´energie du syst`eme.

Syst` emes m´ ecaniques

G´en´eralement les syst`emes m´ecaniques conservatifs peuvent se mettre sous une forme hamiltonienne. `A deux dimensions on a alors :

d dt

p q

= −^∂H_∂q,

∂H

∂p

! , o`u H =H(p,q) est le hamiltonien du syst`eme.

Le hamiltonien est un invariant du syst`eme. En physique, le hamiltonien est souvent l’´energie du syst`eme.

Advection

Pour un ´ecoulement incompressible bidimensionnel : divu=∇·u= 0 =⇒ u=−∂_yψ, v =∂xψ, o`u ψ est la fonction courant de l’´ecoulement bidimensionnel.

Autre exemple : la position d’un point mat´eriel advect´e par l’´ecoulement est r´egit par :

˙

x =u =−∂_yψ, y˙ =v=∂_xψ.

Advection

Pour un ´ecoulement incompressible bidimensionnel : divu=∇·u= 0 =⇒ u=−∂_yψ, v =∂xψ, o`u ψ est la fonction courant de l’´ecoulement bidimensionnel.

Autre exemple : la position d’un point mat´eriel advect´e par l’´ecoulement est r´egit par :

˙

x =u =−∂_yψ, y˙ =v=∂_xψ.

Equation du mouvement ´

On consid`ere un pendule de massem, de longueur l dans le champ de gravit´e g.

Le th´eor`eme du moment cin´etique nous conduit `a : θ¨+g

l sinθ= 0

Pour des faibles amplitudes (approximation lin´eaire), le syst`eme se r´eduit `a :

θ¨+ g lθ= 0

dont les solutions sont des fonctions harmoniques de p´eriode ω =p

g/l.

Dans la suite, on adimensionne le temps par 1/ω et on se contentera d’´etudier : ¨θ+^g_l sinθ= 0.

Equation du mouvement ´

On consid`ere un pendule de massem, de longueur l dans le champ de gravit´e g.

Le th´eor`eme du moment cin´etique nous conduit `a : θ¨+g

l sinθ= 0

Pour des faibles amplitudes (approximation lin´eaire), le syst`eme se r´eduit `a :

θ¨+ g lθ= 0

dont les solutions sont des fonctions harmoniques de p´eriode ω =p

g/l.

Dans la suite, on adimensionne le temps par 1/ω et on se contentera d’´etudier : ¨θ+^g_l sinθ= 0.

Equation du mouvement ´

On consid`ere un pendule de massem, de longueur l dans le champ de gravit´e g.

Le th´eor`eme du moment cin´etique nous conduit `a : θ¨+g

l sinθ= 0

Pour des faibles amplitudes (approximation lin´eaire), le syst`eme se r´eduit `a :

θ¨+ g lθ= 0

dont les solutions sont des fonctions harmoniques de p´eriode ω =p

g/l.

Dans la suite, on adimensionne le temps par 1/ω et on se contentera d’´etudier : ¨θ+^g_l sinθ= 0.

Formulation hamiltonienne

R´e´ecrivons ¨θ+^g_l sinθ= 0 sous la forme : d

dt θ

ν

=

ν,

−sinθ

,

Le syst`eme est donc hamiltonien pourH= <sup>ν</sup><sub>2</sub><sup>2</sup> −cosθ.E =H est l’´energie du syst`eme, c’est un invariant.

Les points fixes sont (θ, ν) = (kπ,0).

Pour le point fixe (0,0) la matrice jacobienne vaut : 0 1

−1 0

,

Formulation hamiltonienne

R´e´ecrivons ¨θ+^g_l sinθ= 0 sous la forme : d

dt θ

ν

=

ν,

−sinθ

,

Le syst`eme est donc hamiltonien pourH= <sup>ν</sup><sub>2</sub><sup>2</sup> −cosθ.E =H est l’´energie du syst`eme, c’est un invariant.

Les points fixes sont (θ, ν) = (kπ,0).

Pour le point fixe (0,0) la matrice jacobienne vaut : 0 1

−1 0

,

Formulation hamiltonienne

R´e´ecrivons ¨θ+^g_l sinθ= 0 sous la forme : d

dt θ

ν

=

ν,

−sinθ

,

Le syst`eme est donc hamiltonien pourH= <sup>ν</sup><sub>2</sub><sup>2</sup> −cosθ.E =H est l’´energie du syst`eme, c’est un invariant.

Les points fixes sont (θ, ν) = (kπ,0).

Pour le point fixe (0,0) la matrice jacobienne vaut : 0 1

−1 0

,

Oscillations

Dans la limite des petites oscillations au voisinage de (0,0), E = 1

2ν²+1 2θ²−1

. On a des oscillations au voisinage du minimum d’´energie.

Leur rayon dans l’espace des phase vautν²+θ²= 2(E + 1).

C’est un cas particulier d’un th´eor`eme plus g´en´eral qui dit qu’autour d’un point fixe isol´e correspondant `a un minimum local d’une quantit´e conserv´ee, toutes les trajectoires sont ferm´ees.

Le fait de parler d’un voisinage n’implique pas que l’on soit dans une dynamique lin´eaire ! !

Oscillations

Dans la limite des petites oscillations au voisinage de (0,0), E = 1

2ν²+1 2θ²−1

. On a des oscillations au voisinage du minimum d’´energie.

Leur rayon dans l’espace des phase vautν²+θ²= 2(E + 1).

C’est un cas particulier d’un th´eor`eme plus g´en´eral qui dit qu’autour d’un point fixe isol´e correspondant `a un minimum local d’une quantit´e conserv´ee, toutes les trajectoires sont ferm´ees.

Le fait de parler d’un voisinage n’implique pas que l’on soit dans une dynamique lin´eaire ! !

Oscillations

Dans la limite des petites oscillations au voisinage de (0,0), E = 1

2ν²+1 2θ²−1

. On a des oscillations au voisinage du minimum d’´energie.

Leur rayon dans l’espace des phase vautν²+θ²= 2(E + 1).

C’est un cas particulier d’un th´eor`eme plus g´en´eral qui dit qu’autour d’un point fixe isol´e correspondant `a un minimum local d’une quantit´e conserv´ee, toutes les trajectoires sont ferm´ees.

Le fait de parler d’un voisinage n’implique pas que l’on soit dans une dynamique lin´eaire ! !

Stabilit´ e structurelle

Lorsque l’on perturbe de fa¸con conservative un syst`eme dynamique conservatif, ses centres sont structurellement stables.

Le fait de rester conservatif est fondamental car sinon ce serait le th´eor`eme plus g´en´eral de Peixoto qui s’appliquerait et les centres ne seraient pas robustes (exemple du pendule amorti).

Stabilit´ e structurelle

Lorsque l’on perturbe de fa¸con conservative un syst`eme dynamique conservatif, ses centres sont structurellement stables.

Le fait de rester conservatif est fondamental car sinon ce serait le th´eor`eme plus g´en´eral de Peixoto qui s’appliquerait et les centres ne seraient pas robustes (exemple du pendule amorti).

voir reproductions

Crit` ere de non existence

Syst`eme gradient :

˙

x=−∇V.

Le long d’une orbite ferm´ee, la variation deV vaut :

∆V = I

C

∇V ·dl= 0 = Z T

t0

∇V ·xdt˙ =− Z T

t0

|x|˙ ²dt, donc l’orbite ferm´ee se r´eduit `a un point fixe.

Existence d’une fonctionnelle de Lyapunov : s’il existe une fonction d´efinie positive qui d´ecroˆıt au cours du temps, alors le point o`u la fonction s’annule est un point fixe stable et il n’existe pas d’orbite p´eriodique.

En pratique ces crit`eres sont peu exploitables.

Crit` ere de non existence

Syst`eme gradient :

˙

x=−∇V.

Le long d’une orbite ferm´ee, la variation deV vaut :

∆V = I

C

∇V ·dl= 0 = Z T

t0

∇V ·xdt˙ =− Z T

t0

|x|˙ ²dt, donc l’orbite ferm´ee se r´eduit `a un point fixe.

Existence d’une fonctionnelle de Lyapunov : s’il existe une fonction d´efinie positive qui d´ecroˆıt au cours du temps, alors le point o`u la fonction s’annule est un point fixe stable et il n’existe pas d’orbite p´eriodique.

En pratique ces crit`eres sont peu exploitables.

Crit` ere de non existence

Syst`eme gradient :

˙

x=−∇V.

Le long d’une orbite ferm´ee, la variation deV vaut :

∆V = I

C

∇V ·dl= 0 = Z T

t0

∇V ·xdt˙ =− Z T

t0

|x|˙ ²dt, donc l’orbite ferm´ee se r´eduit `a un point fixe.

Existence d’une fonctionnelle de Lyapunov : s’il existe une fonction d´efinie positive qui d´ecroˆıt au cours du temps, alors le point o`u la fonction s’annule est un point fixe stable et il n’existe pas d’orbite p´eriodique.

En pratique ces crit`eres sont peu exploitables.

Existence d’orbite ferm´ ee : Th´ eor` eme de Poincar´ e-Bendixon

Supposons que

1 R est un domaine ferm´e born´e duplan,

2 x˙ =f(x) est un champ de vecteur continˆument diff´erentiable dans un ouvert contenant R,

3 R ne contient aucun point fixe,

4 et il existe un trajectoire C confin´ee dansR (qui se trouve dans R `a l’instant initial et y reste jusqu’`a t→+∞,

Existence d’orbite ferm´ ee : Th´ eor` eme de Poincar´ e-Bendixon

Supposons que

1 R est un domaine ferm´e born´e du plan,

2 x˙ =f(x) est un champ de vecteur continˆument diff´erentiable dans un ouvert contenant R,

3 R ne contient aucun point fixe,

4 et il existe un trajectoire C confin´ee dansR (qui se trouve dans R `a l’instant initial et y reste jusqu’`a t→+∞,

Existence d’orbite ferm´ ee : Th´ eor` eme de Poincar´ e-Bendixon

Supposons que

1 R est un domaine ferm´e born´e du plan,

2 x˙ =f(x) est un champ de vecteur continˆument diff´erentiable dans un ouvert contenant R,

3 R ne contient aucun point fixe,

4 et il existe un trajectoire C confin´ee dansR (qui se trouve dans R `a l’instant initial et y reste jusqu’`a t→+∞,

Existence d’orbite ferm´ ee : Th´ eor` eme de Poincar´ e-Bendixon

Supposons que

1 R est un domaine ferm´e born´e du plan,

2 x˙ =f(x) est un champ de vecteur continˆument diff´erentiable dans un ouvert contenant R,

3 R ne contient aucun point fixe,

4 et il existe un trajectoire C confin´ee dansR (qui se trouve dans R `a l’instant initial et y reste jusqu’`a t→+∞,

Existence d’orbite ferm´ ee : Th´ eor` eme de Poincar´ e-Bendixon

Supposons que

1 R est un domaine ferm´e born´e du plan,

2 x˙ =f(x) est un champ de vecteur continˆument diff´erentiable dans un ouvert contenant R,

3 R ne contient aucun point fixe,

4 et il existe un trajectoire C confin´ee dansR (qui se trouve dans R `a l’instant initial et y reste jusqu’`a t→+∞, alorsC est une orbite ferm´ee, ou C va converger vers une orbite ferm´ee (ne se r´eduisant pas `a un point fixe).

Existence d’orbite ferm´ ee : Th´ eor` eme de Poincar´ e-Bendixon

Supposons que

1 R est un domaine ferm´e born´e duplan,

2 x˙ =f(x) est un champ de vecteur continˆument diff´erentiable dans un ouvert contenant R,

3 R ne contient aucun point fixe,

4 et il existe un trajectoire C confin´ee dansR (qui se trouve dans R `a l’instant initial et y reste jusqu’`a t→+∞, alorsC est une orbite ferm´ee, ou C va converger vers une orbite ferm´ee (ne se r´eduisant pas `a un point fixe).

Le th´eor`eme de Poincar´e-Bendixon ne concerne que la dynamique dans le plan. C’est un r´esultat th´eorique tr`es important car il exclue tout ph´enom`ene chaotique dans le plan.

Syst` emes de Li´ enard

L’´equation diff´erentielle du second ordre :

¨

x+f(x) ˙x+g(x) = 0 estl’´equation de Li´enardo`u

−g(x) joue le rˆole d’une force nonlin´eaire de rappel.

−f(x) ˙x est une force d’amortissement nonlin´eaire.

Syst` emes de Li´ enard

L’´equation diff´erentielle du second ordre :

¨

x+f(x) ˙x+g(x) = 0 estl’´equation de Li´enardo`u

−g(x) joue le rˆole d’une force nonlin´eaire de rappel.

−f(x) ˙x est une force d’amortissement nonlin´eaire.

Syst` emes de Li´ enard

L’´equation diff´erentielle du second ordre :

¨

x+f(x) ˙x+g(x) = 0 estl’´equation de Li´enardo`u

−g(x) joue le rˆole d’une force nonlin´eaire de rappel.

−f(x) ˙x est une force d’amortissement nonlin´eaire.

Th´ eor` eme de Li´ enard

Supposons que les fonctionsf et g v´erifient :

f(x) et g(x) sont continˆument diff´erentiables pour toutx; g(−x) =−g(x),g est un fonction impaire ;

g(x)>0 pour toutx >0 ;

f(−x) =f(x),f est un fonction paire ; La fonction impaire F(x) =Rx

0 f(u)du exactement une seule racine positivex=a, est n´egative pour 0<x<a,

est positive and non d´ecroissante pour x>aet F(x)→ ∞quandx→ ∞

Th´ eor` eme de Li´ enard

Supposons que les fonctionsf et g v´erifient :

f(x) et g(x) sont continˆument diff´erentiables pour toutx; g(−x) =−g(x),g est un fonction impaire ;

g(x)>0 pour toutx >0 ;

f(−x) =f(x),f est un fonction paire ; La fonction impaire F(x) =Rx

0 f(u)du exactement une seule racine positivex=a, est n´egative pour 0<x<a,

est positive and non d´ecroissante pour x>aet F(x)→ ∞quandx→ ∞

Th´ eor` eme de Li´ enard

Supposons que les fonctionsf et g v´erifient :

f(x) et g(x) sont continˆument diff´erentiables pour toutx; g(−x) =−g(x),g est un fonction impaire ;

g(x)>0 pour toutx >0 ;

f(−x) =f(x),f est un fonction paire ; La fonction impaire F(x) =Rx

0 f(u)du exactement une seule racine positivex=a, est n´egative pour 0<x<a,

est positive and non d´ecroissante pour x>aet F(x)→ ∞quandx→ ∞

Th´ eor` eme de Li´ enard

Supposons que les fonctionsf et g v´erifient :

f(x) et g(x) sont continˆument diff´erentiables pour toutx; g(−x) =−g(x),g est un fonction impaire ;

g(x)>0 pour toutx >0 ;

f(−x) =f(x),f est un fonction paire ; La fonction impaire F(x) =Rx

0 f(u)du exactement une seule racine positivex=a, est n´egative pour 0<x<a,

est positive and non d´ecroissante pour x>aet F(x)→ ∞quandx→ ∞

Th´ eor` eme de Li´ enard

Supposons que les fonctionsf et g v´erifient :

f(x) et g(x) sont continˆument diff´erentiables pour toutx; g(−x) =−g(x),g est un fonction impaire ;

g(x)>0 pour toutx >0 ;

f(−x) =f(x),f est un fonction paire ; La fonction impaire F(x) =Rx

0 f(u)du exactement une seule racine positivex=a, est n´egative pour 0<x<a,

est positive and non d´ecroissante pour x>aet F(x)→ ∞quandx→ ∞

Th´ eor` eme de Li´ enard

Supposons que les fonctionsf et g v´erifient :

f(x) et g(x) sont continˆument diff´erentiables pour toutx; g(−x) =−g(x),g est un fonction impaire ;

g(x)>0 pour toutx >0 ;

f(−x) =f(x),f est un fonction paire ; La fonction impaire F(x) =Rx

0 f(u)du exactement une seule racine positivex=a, est n´egative pour 0<x<a,

est positive and non d´ecroissante pour x>aet F(x)→ ∞quandx→ ∞

alors le syst`eme `a un unique cycle limite autour de l’origine dans l’espace des phases.

Oscillations de relaxation

Consid´erons l’oscillateur de van der Pol :

¨

x+µ(x²−1) ˙x+x = 0.

Pour µ >0, on a un syst`eme de Li´enard : on a donc des oscillations autour de l’origine (point fixe instable).

Dans le cas µ→ ∞ on a des oscillations de relaxation, successions de mouvements lents puis tr`es rapides.

Oscillations de relaxation

Consid´erons l’oscillateur de van der Pol :

¨

x+µ(x²−1) ˙x+x = 0.

Pour µ >0, on a un syst`eme de Li´enard : on a donc des oscillations autour de l’origine (point fixe instable).

Dans le cas µ→ ∞ on a des oscillations de relaxation, successions de mouvements lents puis tr`es rapides.

Oscillations de relaxation

Consid´erons l’oscillateur de van der Pol :

¨

x+µ(x²−1) ˙x+x = 0.

Pour µ >0, on a un syst`eme de Li´enard : on a donc des oscillations autour de l’origine (point fixe instable).

Dans le cas µ→ ∞ on a des oscillations de relaxation, successions de mouvements lents puis tr`es rapides.

Variation de µ

Solutions de l’´equation de van der Pol pourµ= 0.1, µ= 1, µ= 10.

Analyse de vdP

On peut ´ecrire :

¨

x+µ(x²−1) ˙x = d dt

˙ x+µ

x³ 3 −x

. Pour :

F(x) = x³

3 −x, w = ˙x+µF(x), il vient :

˙

w = ¨x+µ(x²−1) ˙x=−x. L’oscillateur de van der Pol peut donc se r´e´ecrire :

˙

x =w −µF(x),

˙

w =−x.

Analyse de vdP

On peut ´ecrire :

¨

x+µ(x²−1) ˙x = d dt

˙ x+µ

x³ 3 −x

. Pour :

F(x) = x³

3 −x, w = ˙x+µF(x), il vient :

˙

w = ¨x+µ(x²−1) ˙x=−x. L’oscillateur de van der Pol peut donc se r´e´ecrire :

˙

x =w −µF(x),

˙

w =−x.

Analyse de vdP

On peut ´ecrire :

¨

x+µ(x²−1) ˙x = d dt

˙ x+µ

x³ 3 −x

. Pour :

F(x) = x³

3 −x, w = ˙x+µF(x), il vient :

˙

w = ¨x+µ(x²−1) ˙x=−x. L’oscillateur de van der Pol peut donc se r´e´ecrire :

˙

x =w −µF(x),

˙

w =−x.

Prenons la limiteµ−>∞:

˙

x =w −µF(x),

˙

w =−x.

Afin de garder des variables d’ordre 1 quandµ→ ∞, posons w =µy.

˙

x=µ[y−F(x)],

˙ y =−1

µx.

Au premier ordre enµ, La dynamique de x est rapide et consiste en une relaxation vers F⁻¹(y) tel quey =F(x), donc x(t) estasservi`ay(t).

La dynamique dey(t) est lente.

Prenons la limiteµ−>∞:

˙

x =w −µF(x),

˙

w =−x.

Afin de garder des variables d’ordre 1 quandµ→ ∞, posons w =µy.

˙

x=µ[y−F(x)],

˙ y =−1

µx.

Au premier ordre enµ, La dynamique de x est rapide et consiste en une relaxation vers F⁻¹(y) tel quey =F(x), donc x(t) estasservi`ay(t).

La dynamique dey(t) est lente.

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2

−3 −2 −1 0 1 2 3

y=F(x) rapide

lent

lent

rapide

Echelles de temps ´

Dans ce probl`eme on a donc deux ´echelles de temps :

Echelle de temps rapide : dynamique de´ x(t) sur l’´echelle de temps O(µ⁻¹)1.

Echelle de temps lente : dynamique de´ y(t) sur l’´echelle de temps O(µ)1 .

Echelles de temps ´

Dans ce probl`eme on a donc deux ´echelles de temps :

Echelle de temps rapide : dynamique de´ x(t) sur l’´echelle de temps O(µ⁻¹)1.

Echelle de temps lente : dynamique de´ y(t) sur l’´echelle de temps O(µ)1 .

D´ efinition et exemples

On d´efinit les oscillateurs faiblement nonlin´eaires les syst`emes d´ecrit par des ´equations de la forme :

¨

x+x+h(x,x) = 0,˙

o`u h(x,x) est un fonction suffisamment diff´˙ erentiable et 1 un petit param`etre.

Les ´equations diff´erent de celle de l’oscillateur harmonique par un terme n´egligeable au premier ordre.

Exemples d’oscillateurs faiblement nonlin´eaires :

¨

x+x+(x²−1) ˙x= 0, oscillateur de van der Pol,

¨

x+x+x³= 0, oscillateur de Duffing,

D´ efinition et exemples

On d´efinit les oscillateurs faiblement nonlin´eaires les syst`emes d´ecrit par des ´equations de la forme :

¨

x+x+h(x,x) = 0,˙

o`u h(x,x) est un fonction suffisamment diff´˙ erentiable et 1 un petit param`etre.

Les ´equations diff´erent de celle de l’oscillateur harmonique par un terme n´egligeable au premier ordre.

Exemples d’oscillateurs faiblement nonlin´eaires :

¨

x+x+(x²−1) ˙x= 0, oscillateur de van der Pol,

¨

x+x+x³= 0, oscillateur de Duffing,

D´ efinition et exemples

On d´efinit les oscillateurs faiblement nonlin´eaires les syst`emes d´ecrit par des ´equations de la forme :

¨

x+x+h(x,x) = 0,˙

o`u h(x,x) est un fonction suffisamment diff´˙ erentiable et 1 un petit param`etre.

Les ´equations diff´erent de celle de l’oscillateur harmonique par un terme n´egligeable au premier ordre.

Exemples d’oscillateurs faiblement nonlin´eaires :

¨

x+x+(x²−1) ˙x= 0, oscillateur de van der Pol,

¨

x+x+x³= 0, oscillateur de Duffing,

D´ eveloppements perturbatifs

Consid´erons l’oscillateur faiblement nonlin´eaire suivant :

¨

x+ 2x˙+x = 0, x(0) = 0, x(0) = 1,˙ dont on peut calculer la solution exacte :

x(t;) =

e^−tsin√

1−²t

√

1−² .

On va chercher un solution sous la forme d’un d´eveloppement en perturbations :

x=x₀(t) +x₁(t) +²x₂(t) +³x₃(t) +. . .

D´ eveloppements perturbatifs

Consid´erons l’oscillateur faiblement nonlin´eaire suivant :

¨

x+ 2x˙+x = 0, x(0) = 0, x(0) = 1,˙ dont on peut calculer la solution exacte :

x(t;) =

e^−tsin√

1−²t

√

1−² .

On va chercher un solution sous la forme d’un d´eveloppement en perturbations :

x=x₀(t) +x₁(t) +²x₂(t) +³x₃(t) +. . .

R´ esolution ordre par ordre

Ordre z´ero :

¨

x₀+x₀ = 0, x₀(0) = 0, x˙₀(0) = 1, se r´esout :x₀(t) = sint

Ordre 1 :

¨

x₁+x₁+ 2 ˙x₀= 0, x₁(0) = 0, x˙₁(0) = 0,

¨

x₁+x₁ =−2 cost, x₁(0) = 0, x˙₁(0) = 0, se r´esout en sommant une solution de l’´equation homog`ene avec une solution particuli`ere (variation de la constante) :

x₁^h(t) =s₁sint+c₁cost, x₁^p(t) =S1(t) sint+C1(t) cost,

Finalement : x1=−tsint car le for¸cage estr´esonnant.

R´ esolution ordre par ordre

Ordre z´ero :

¨

x₀+x₀ = 0, x₀(0) = 0, x˙₀(0) = 1, se r´esout :x₀(t) = sint

Ordre 1 :

¨

x₁+x₁+ 2 ˙x₀= 0, x₁(0) = 0, x˙₁(0) = 0,

¨

x₁+x₁ =−2 cost, x₁(0) = 0, x˙₁(0) = 0, se r´esout en sommant une solution de l’´equation homog`ene avec une solution particuli`ere (variation de la constante) :

x₁^h(t) =s₁sint+c₁cost, x₁^p(t) =S1(t) sint+C1(t) cost,

Finalement : x1=−tsint car le for¸cage estr´esonnant.

Terme s´ eculaire

La solution `a l’ordre ¹ vaut donc :

x(t;) = sint−tsint+O(²).

On retrouve bien le d´eveloppement `a l’ordre 1 de la solution exacte :

x(t;) =

e^−tsin√

1−²t

√

1−² .

Du fait du for¸cager´esonnant, la solution comporte un terme s´eculairequi croˆıt ind´efiniment.

La solution trouv´ee est le d´ebut d’un d´eveloppement en s´erie convergent de la solution exacte. Pourt donn´e, il faut que soit assez petit pour que l’approximation soit bonne.

Terme s´ eculaire

La solution `a l’ordre ¹ vaut donc :

x(t;) = sint−tsint+O(²).

On retrouve bien le d´eveloppement `a l’ordre 1 de la solution exacte :

x(t;) =

e^−tsin√

1−²t

√

1−² .

Du fait du for¸cager´esonnant, la solution comporte un terme s´eculairequi croˆıt ind´efiniment.

La solution trouv´ee est le d´ebut d’un d´eveloppement en s´erie convergent de la solution exacte. Pourt donn´e, il faut que soit assez petit pour que l’approximation soit bonne.

Terme s´ eculaire

La solution `a l’ordre ¹ vaut donc :

x(t;) = sint−tsint+O(²).

On retrouve bien le d´eveloppement `a l’ordre 1 de la solution exacte :

x(t;) =

e^−tsin√

1−²t

√

1−² .

Du fait du for¸cager´esonnant, la solution comporte un terme s´eculairequi croˆıt ind´efiniment.

La solution trouv´ee est le d´ebut d’un d´eveloppement en s´erie convergent de la solution exacte. Pourt donn´e, il faut que soit assez petit pour que l’approximation soit bonne.

Terme s´ eculaire

La solution `a l’ordre ¹ vaut donc :

x(t;) = sint−tsint+O(²).

On retrouve bien le d´eveloppement `a l’ordre 1 de la solution exacte :

x(t;) =

e^−tsin√

1−²t

√

1−² .

Du fait du for¸cager´esonnant, la solution comporte un terme s´eculairequi croˆıt ind´efiniment.

La solution trouv´ee est le d´ebut d’un d´eveloppement en s´erie convergent de la solution exacte. Pourt donn´e, il faut que soit assez petit pour que l’approximation soit bonne.

−3

−2

−1 0 1 2 3

0 10 20 30 40 50

solution ”perturbative”

solution exacte

x(t)

t =.1

La solution est erron´ee d`es que t O(1). Il nous faudrait une s´erieinfinie pour corriger cette d´erive.

La v´eritable solution ´evolue en fait sur deux ´echelles de temps : une ´echelle de temps rapide :t =O(1),

une ´echelle de temps lente : t=O(1/).

−3

−2

−1 0 1 2 3

0 10 20 30 40 50

solution ”perturbative”

solution exacte

x(t)

t =.1

La solution est erron´ee d`es que t O(1). Il nous faudrait une s´erieinfinie pour corriger cette d´erive.

La v´eritable solution ´evolue en fait sur deux ´echelles de temps : une ´echelle de temps rapide :t =O(1),

une ´echelle de temps lente : t=O(1/).

D´ eveloppements en ´ echelles (de temps) multiples

Comment trouver une solution qui :

Donne pour un 1 fix´e une solution valable pour tout t, ne n´ecessite pas de calculer beaucoup (un infinit´e) de termes.

En s’aidant de l’observation r´ev´elant la pr´esence de deux ´echelles de temps, on introduit une d´ependance explicite selon deux temps t=t₀ (temps rapide) et t=⁻¹t₁ (temps lent) :

x(t;) =x₀(t₀,t₁) +x₁(t₀,t₁) +O(²) Par cons´equent la d´erivation en temps s’´ecrit :

˙ x = dx

dt = ∂x

∂t₀

∂t0

∂t + ∂x

∂t₁

∂t1

∂t = ∂x

∂t₀ +∂x

∂t₁

D´ eveloppements en ´ echelles (de temps) multiples

Comment trouver une solution qui :

Donne pour un 1 fix´e une solution valable pour tout t, ne n´ecessite pas de calculer beaucoup (un infinit´e) de termes.

En s’aidant de l’observation r´ev´elant la pr´esence de deux ´echelles de temps, on introduit une d´ependance explicite selon deux temps t=t₀ (temps rapide) et t=⁻¹t₁ (temps lent) :

x(t;) =x₀(t₀,t₁) +x₁(t₀,t₁) +O(²) Par cons´equent la d´erivation en temps s’´ecrit :

˙ x = dx

dt = ∂x

∂t₀

∂t0

∂t + ∂x

∂t₁

∂t1

∂t = ∂x

∂t₀ +∂x

∂t₁

D´ eveloppements en ´ echelles (de temps) multiples

Comment trouver une solution qui :

Donne pour un 1 fix´e une solution valable pour tout t, ne n´ecessite pas de calculer beaucoup (un infinit´e) de termes.

En s’aidant de l’observation r´ev´elant la pr´esence de deux ´echelles de temps, on introduit une d´ependance explicite selon deux temps t=t₀ (temps rapide) et t=⁻¹t₁ (temps lent) :

x(t;) =x₀(t₀,t₁) +x₁(t₀,t₁) +O(²) Par cons´equent la d´erivation en temps s’´ecrit :

˙ x = dx

dt = ∂x

∂t₀

∂t0

∂t + ∂x

∂t₁

∂t1

∂t = ∂x

∂t₀ +∂x

∂t₁

Application au cas de l’oscillateur amorti

A l’ordre z´` ero O(⁰) :

∂t0t0x0+x0= 0, qui se r´esout en :

x0=A(t1)e^it0+ c.c.,

o`u A(t1) est l’amplitude complexe de l’oscillation, “constante”

sur le temps rapide t₀, mais d´epend du temps lent t₁. A l’ordre 1,` O(¹) :

∂_t0t0x₁+x₁=−(2∂_t0t1x₀+ 2∂_t0x₀).

Application au cas de l’oscillateur amorti

A l’ordre z´` ero O(⁰) :

∂t0t0x0+x0= 0, qui se r´esout en :

x0=A(t1)e^it0+ c.c.,

o`u A(t1) est l’amplitude complexe de l’oscillation, “constante”

sur le temps rapide t₀, mais d´epend du temps lent t₁. A l’ordre 1,` O(¹) :

∂_t0t0x₁+x₁=−(2∂_t0t1x₀+ 2∂_t0x₀).

Elimination des r´ ´ esonances

Explicitons l’´equation `a r´esoudre sous forme d’unoscillateur forc´e par le second membre :

∂t0t0x1+x1=−(2∂t0t1x0+ 2∂t0x0) =−(2i∂t1A+ 2iA)e^it0+c.c. , Les termes proportionnels e^it0 et e^−it0 peuvent ˆetre vu comme des for¸cages r´esonnants qui vont donc induire une r´eponse x1

r´esonnante qui va diverger en tempst₀.

Afin de pouvoir garder un d´eveloppement coh´erent, il est n´ecessaire quex1 reste born´e.

On posera donc comme condition de solvabilit´e, l’´elimination des r´esonances qui se traduit par l’´equation d’amplitude :

2i∂_t1A+ 2iA= 0,

qui se r´esout en : A(t₁) =a e^−t1 o`u aest une constante.

Elimination des r´ ´ esonances

Explicitons l’´equation `a r´esoudre sous forme d’unoscillateur forc´e par le second membre :

∂t0t0x1+x1=−(2∂t0t1x0+ 2∂t0x0) =−(2i∂t1A+ 2iA)e^it0+c.c. , Les termes proportionnels e^it0 et e^−it0 peuvent ˆetre vu comme des for¸cages r´esonnants qui vont donc induire une r´eponse x1

r´esonnante qui va diverger en tempst₀.

Afin de pouvoir garder un d´eveloppement coh´erent, il est n´ecessaire quex1 reste born´e.

On posera donc comme condition de solvabilit´e, l’´elimination des r´esonances qui se traduit par l’´equation d’amplitude :

2i∂_t1A+ 2iA= 0,

qui se r´esout en : A(t₁) =a e^−t1 o`u aest une constante.

Elimination des r´ ´ esonances

Explicitons l’´equation `a r´esoudre sous forme d’unoscillateur forc´e par le second membre :

∂t0t0x1+x1=−(2∂t0t1x0+ 2∂t0x0) =−(2i∂t1A+ 2iA)e^it0+c.c. , Les termes proportionnels e^it0 et e^−it0 peuvent ˆetre vu comme des for¸cages r´esonnants qui vont donc induire une r´eponse x1

r´esonnante qui va diverger en tempst₀.

Afin de pouvoir garder un d´eveloppement coh´erent, il est n´ecessaire quex1 reste born´e.

On posera donc comme condition de solvabilit´e, l’´elimination des r´esonances qui se traduit par l’´equation d’amplitude :

2i∂_t1A+ 2iA= 0,

qui se r´esout en : A(t₁) =a e^−t1 o`u aest une constante.

Elimination des r´ ´ esonances

Explicitons l’´equation `a r´esoudre sous forme d’unoscillateur forc´e par le second membre :

∂t0t0x1+x1=−(2∂t0t1x0+ 2∂t0x0) =−(2i∂t1A+ 2iA)e^it0+c.c. , Les termes proportionnels e^it0 et e^−it0 peuvent ˆetre vu comme des for¸cages r´esonnants qui vont donc induire une r´eponse x1

r´esonnante qui va diverger en tempst₀.

Afin de pouvoir garder un d´eveloppement coh´erent, il est n´ecessaire quex1 reste born´e.

On posera donc comme condition de solvabilit´e, l’´elimination des r´esonances qui se traduit par l’´equation d’amplitude :

2i∂_t1A+ 2iA= 0,

qui se r´esout en : A(t₁) =a e^−t1 o`u aest une constante.

Satisfaction des conditions initiales

Les conditions initiales doivent ˆetre satisfaites `a tous les ordres.

La condition x(0) = 0 se traduit par : x₀(0) = 0, x₁(0) = 0, soit a+ c.c. = 0.

La condition ˙x= 1 se traduit par :

∂_t0x₀ = 1, ∂_t1x₀+∂_t0x₁ = 0, soit : ia+ c.c. = 1.

Il vient a=−i/2 d’o`u : x0 =−ie^it0−t1

2 + c.c. =e^−t1sint0

Satisfaction des conditions initiales

Les conditions initiales doivent ˆetre satisfaites `a tous les ordres.

La condition x(0) = 0 se traduit par : x₀(0) = 0, x₁(0) = 0, soit a+ c.c. = 0.

La condition ˙x= 1 se traduit par :

∂_t0x₀ = 1, ∂_t1x₀+∂_t0x₁ = 0, soit : ia+ c.c. = 1.

Il vient a=−i/2 d’o`u : x0 =−ie^it0−t1

2 + c.c. =e^−t1sint0

Satisfaction des conditions initiales

Les conditions initiales doivent ˆetre satisfaites `a tous les ordres.

La condition x(0) = 0 se traduit par : x₀(0) = 0, x₁(0) = 0, soit a+ c.c. = 0.

La condition ˙x= 1 se traduit par :

∂_t0x₀ = 1, ∂_t1x₀+∂_t0x₁ = 0, soit : ia+ c.c. = 1.

Il vient a=−i/2 d’o`u : x0 =−ie^it0−t1

2 + c.c. =e^−t1sint0

La solution approch´eeasymptotique(en opposition `a convergente) vaut donc :

x(t;) =e^−t1sint0+O() =e^−tsint+O().

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

0 10 20 30 40 50

exact asympt.

=.1

Oscillateur de Duffing

L’oscillateur de Duffing

¨

x+x+x³ = 0, est un oscillateur nonlin´eaire conservatif.

En effet, il conserve l’´energie : E = x˙²

2 +x² 2 +x⁴

4 .

On applique la m´ethode des d´eveloppements asymptotiques multi-´echelles en temps en cherchant une solution de la forme

x(t;) =x₀(t₀,t₁) +x₁(t₀,t₁) +O(²)