Examen normalisé de maths



Examen normalisé de maths

PROPOSITION N°4 Exercice 1 : (4 points)

Soit la suite (U_n) définie par

1/ Ecrire U_1,U2,U3 et U₄ sous la forme 2^{α avec .} 2/ a- Montrer par récurrence que :

b- Montrer que (Un) est une suite croissante, puis déduire qu’elle est convergente.

c- Déduire . Exercice 2 : (5 points) On considère le polynôme 1/ a- Vérifier que P(2)=0^.

b- Déterminer les réels a,b et c tel que :

c- Résoudre dans l’équation .

2/ Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct ; on considère les

points A,B,C et D d’affixes respectifs : ; ; et .

a- Construire les points A,B,C et D puis donner la forme exponentielle des

complexes Z_A,ZB,ZC,ZD et ; puis déduire que les points A,O et C sont colinéaire.

b- Déterminer la nature du quadrilatère ABCD.

Exercice 3 : (2 points) 1/ calculer les intégrales :

(on constate que : x2x1  x1 ) 2/ en utilisant une intégration par parties :

Problème :

Partie I : on considère la fonction g définie sur



^0;



^{par :}

g x 2x x  2 lnx .

1/ a- montrer que :



^x



^0;+

 

g x = 3 x +

 

¹

 x

  

b- déduire la monotonie de g sur



^0;



^.

 

0

1

1

n 2 n

U

n IN

U _ U

   

 



_{ }Q



 n IN



⁰Un ⁴ lim _n

x U





^{  z C}



^{P( )z   z3 2z4}



^{  z C}



^{P( )z }



^z2



^{az²bzc}



C P( )=0z



^{o u v, ,}



A 1

Z  i Z_B 2 Z_C  3 3i Z_D 2i

C A

Z Z

  

1

I 0

1 2 1

x dx

x x





 

 

 

1 0 3

J ln 1

1 x dx x

 







2/ calculer g 1 ; puis déduire que : ^{ x 1 g x}

 

^{0 .}

Partie II : on considère la fonction f définie par sur



^0;



^{par :}

  ^lnx 1

f x x

 x  

et soit

 

Cf sa courbe dans un repère orthonormé



^{o i j, ,}



^.

1/ a- calculer

 

lim0

x _ f x

 et interpréter géométriquement le résultat.

b- montrer que : _lim ^ln ₀

x

x

 x  puis déduire ^lim

 

x f x

 .

2/ a- montrer que la droite (δ) d’équation _{y  x 1} est asymptote oblique à

 

Cf au voisinage de +∞.

b- étudier la position relative de

 

Cf et la droite (δ).

3/ a- montrer que :

       

0;

2

x f x g x

x x

 

   

b- calculer f 1 puis donner une interprétation géométrique au résultat.

c- dresser le tableau de variation de f.

4/ construire la courbe

 

Cf .

Partie III : Soit (U_n) la suite numérique définie par :

1/ Montrer par récurrence que :

   n IN  U

n

 ¹

.

2/ Montrer que :

 ^{  n IN}  ^U

_n1

^{ f U}  

_n

^{ U}

_n puis déduire la monotonie de (Un).

3/ Déduire que la suite (Un) est convergente et calculer lim _n

n U

 . Partie IV : Soit F la fonction définie par : ^{F x}

 

^{xe2x  ex 1}

1/ Montrer que : ^{F x}

 

^{ f e}

 

^x

^

^{ x IR}

^

2/ a- Montrer que F est dérivable sur IR puis calculer F’(x) pour tout x dans IR b - Déduire le tableau de variation de F.

 

0

1

3 2

ln( )

n 1

n

n

U

n IN U U

 U

 

  

  

