G118 : Treize à table avec un télékinésiste
La probabilité qu’aucun élément parmi n ne soit à sa place, est égale à la somme alternée des probabilités qu’au moins k éléments soient à leur place, pour k=0 à n, soit
∑(-1)k/k ! (avec la convention 0 !=1). En prolongeant jusqu’à l’infini, cette série alternée converge (très rapidement) vers 1/e, et pour n=13, la probabilité cherchée ne diffère de 1/e (36,79%) que de 10-11 environ.
Lorsque la table tourne, il y a 15 positions possibles, et lorsqu’on les parcourt, chacun va se retrouver une fois et une seule à sa place. Dans la position initiale, personne n’est à sa place ; donc il y aura 15 coïncidences dans les 14 autres positions. D’après le principe des tiroirs, il y a donc une position où 2 personnes sont à leur place.
