G118 Treize à table avec un télékinésiste [** à la main]
Solution Question n°1
C’est le problème très classique qui est connu sous différents noms : problème des chapeaux (s’il y a n individus, quelle est la probabilité pour qu’aucun individu ne retrouve son chapeau) ou problème de Chicago (n couples se présentent à un concours de danse et chaque danseur choisit un partenaire au hasard, quelle est la probabilité pour que personne ne danse avec son conjoint). Nous renvoyons le lecteur à la littérature abondante sur le sujet et donnons
directement le résultat :
La probabilité pour qu’aucun convive ne retrouve sa place est égale à
k 13
0 k
k
k!
1)
p ( qui
converge vers e
1 quand k devient très grand.
D’où l’expression développée
13!
1 12!
1 11!
1 10!
1 9!
1 8!
1 7!
1 6!
1 5!
1 4!
1 3!
1 2!
1 1!
1 1
p =
800 020 227 6
932 792 290
2 =
400 918 518
411 899
190 = 0,367879441… déjà très proche de e 1.
Question n°2
Quand l’expert en télékinésie fait tourner la table, celle-ci prend 13 positions différentes obtenues par des rotations successives de 360°/13 chacune. Chaque convive voit ainsi défiler les 13 cartons et il y a une position et une seule de la table pour laquelle il retrouve sa propre carton et se trouve ainsi assis à la bonne place.
Comme il n'y a aucun convive assis initialement à la bonne place avant rotation de la table, il en résulte qu'il y a au maximum 12 positions de la table pour lesquelles un convive au moins est à la bonne place. Comme les13 convives retrouvent tous une fois et une seule leur propre carton en étant assis à la bonne place , d'après le principe des tiroirs ou principe de Dirichlet il y a donc une position de la table telle que deux convives au moins sont assis à la bonne place.
L’événement « au moins deux convives retrouvent leur propre carton au cours de la rotation de la table » étant certain, sa probabilité est donc égale à 1.
