G118
1/ Soit dn le nombre de dérangements (permutations sans point fixe) de l’en- semble{1. . . n}.
Nous avons trivialementd1= 0et d2= 1.
Considérons un individui et supposons qu’il s’assied à la place normalement réservée à l’individuj.
Soit l’individu j s’assied à la place normalement réservée à l’individu i, au- quel cas on se ramène à dénombrer le nombre de dérangements de l’ensemble {1. . . n} \ {i, j}.
Soit l’individujs’assied à une autre place, auquel cas on se ramène à dénombrer le nombre de dérangements de l’ensemble {1. . . n} \ {i} en faisant comme si l’individu assis à la place normalement réservée à l’individuj était en fait assis à la place normalement réservée à l’individui.
Comme l’individuian−1choix possibles pour se placer, nous avons la relation de récurrencedn= (n−1) (dn−1+dn−2)valable pourn>3 .
Pourn>2, considéronsun=dn−ndn−1avecu2=d2−2d1= 1.
La récurrence précédente s’écrit égalementun=−un−1 valable pourn>3.
D’oùun= (−1)n valable pourn>2.
Après division par n!et une sommation téléscopique, on en déduit finalement quedn =n!
n
X
k=2
(−1)k k! .
Tous les placements étant équiprobables, la probabilité recherchée vaut donc p1= d13!13 =
13
X
k=2
(−1)k k! ≈ 1
e ≈0,37.
2/ Lorsque la table tourne, il existe toujours une position où au moins deux convives retrouvent leur propre numéro.
En effet, lors desn−1permutations circulaires, lesnindividus auront retrouvé leur propre numéro exactement une fois.
D’après le principe de Dirichlet, il existe donc une permutation avec au moins deux points fixes, CQFD.
Doncp2= 1.
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