I140- Perdu dans la forêt Solution
Trois figures permettent de comprendre comment arriver au chemin le plus court :
- dans la figure 1, c’est le parcours qui ne réclame aucun effort d’imagination. On prend une direction quelconque en ligne droite pendant 5 kilomètres, OA par exemple. Arrivé au point A, on décrit un cercle (C) centre O et de rayon OA, par exemple dans le sens des aiguilles d’une montre. Comme le chemin forestier est à 5 kilomètres du point O, on est certain qu’il est tangent au cercle (C) .On rencontrera donc le chemin en un point de la circonférence du cercle. La distance parcourue maximale est de 5.(1 + 2π ) = 36,4159…
kilomètres.
- dans la figure 2, on prend en compte le fait que tous les chemins forestiers situés au sud de la ligne BC et tangents au cercle (C) coupent systématiquement deux segments verticaux AB et DC de longueur égale au rayon du cercle (C). Partant du point O, on prend la direction du sud-ouest pour aller en A situé à 5 2 kilomètres puis on se dirige vers le nord pour atteindre B après 5 kilomètres de marche. Le triangle OAB est rectangle isocèle avec B sommet de l’angle droit. Ce parcours en ligne brisée et notamment le premier tronçon OA permettent de repérer tous les chemins tangents au cercle (C) dans sa partie sud-ouest (voir point d’intersection P). On parcourt ensuite le demi-cercle nord de centre O et de rayon 5 kilomètres de façon à repérer les chemins forestiers tangents au cercle dans la partie nord (voir tracé du chemin forestier en vert) puis arrivé en C diamétralement opposé à B par rapport à O, on prend la tangente CD ( aux sens réel et figuré..) sur une distance de 5 kilomètres qui permet d’identifier le chemins tangents au cercle dans sa partie sud-est (voir point d’intersection Q). La distance parcourue
maximale est de 5.(2 + 2 + π ) = 32,775..kilomètres. C’est un schéma plus satisfaisant que le précédent car on fait l’économie de 2,7 kilomètres environ sur la distance
maximale.
- dans la figure 3 enfin, on optimise le début du trajet précédent et on cherche un point A situé sur la tangente au point le plus bas H du cercle (C ) tel que la parcours OABC = OA + AB + BC soit minimal avec AB tangente issue de A en B au cercle (C ) et BC arc de cercle appartenant à (C). Soit x = angle AOH. Le parcours OABC a pour longueur L = R/cos(x) + R.tang(x) + (π /2 - 2x). Une condition nécessaire pour que L soit minimum est dL/dx=0 sin(x) = cos(2x). D’où la solution x = π /6 = 30°. On vérifie que cette valeur donne bien le minimum de L. Il en découle que les trois angles AOH, AOB et BOC sont tous égaux entre eux et valent 30°. La figure 3 étant un réaménagement de la figure 2 dans sa partie sud-ouest, on constate que ce nouveau parcours ne modifie en rien le repérage de tous les chemins forestiers dans cette zone. La distance parcourue maximale est alors de 5.(1+ 3+7π /6) = 31,985..kilomètres. C’est la distance maximale la plus courte que l’on puisse envisager.
