Pierre Lissy April 24, 2010

Pierre Lissy April 24, 2010

Lemme 1. Les facteurs premiers deΦa(n)(pour n non égal à 0,1,-1) sont soit ceux dea, soit de la formeak+ 1.

Proof. On sait que les polynômes cyclotomiques sont à coecients entiers. Donc commeZest un anneau on a déjàΦ(n)∈Z. De plus, on a|ϕ(n)|>2 par l'inégalité suivante que je vais prouver:

Lemme 2. Pour tout réel|x|>1, on a|Φ(x)|(|x| −1)^ϕ(n).

Proof. Φ_n(x) =Q(x−ξ_i)où lesξ_i sont les racines n-ièmes de l'unité. Or un dessin montre à peu près trivialement que|x−ξ_i|>1 dans le cas qui nous intéresse.

On a donc bien ce qu'on voulait. Φa(n) =n^ϕ(n)+. . .+ 1. Soitpun facteur premier de Φa(n), dansZ/pZon aΦa(n) = 0donc compte tenu de la relationX^a−1 =Q

d|aΦd(X), nest racine de X^a−1. On a donc que n vérie dansZ/pZ^∗ que n^a = 1. Si on suppose que p ne divise pasa, alors on a quenest une racine simple du polynôme. Soitsl'ordre den. Si on supposaits < a, on auraita^s= 1et donc, commeX^a−1 = (X^k−1)Φa(X)R(X), ce la signierait quenserait racine multiple de X^a−1 ce qui est faux. Ainsi s= aet nécessairement par le théorème de Lagrange queadivisep−1. Comme annoncé ,ak+ 1 =p.

On en déduit maintenant le théorème. On noteF ={q1, . . . q_m}l'ensemble des facteurs premiers dea. Supposons que l'ensemble E des nombres premiers de la forme ak+ 1soit ni, d'élements p₁, . . . p_s. Considérons n=q₁. . . q_mp₁. . . p_s. D'après le sous-lemme précédent, on a |Φ_a(n)|>2. De plus,Φ(n) =n^ϕ(n)+. . .+ 1doncϕ_a(n)est congru à1modulo lesp_i et lesq_j. Soitqun facteur premier deϕa(n), par dénition, on aϕa(n)≡0[q], donc q6∈E et q6∈F au vu de ce qu'on a dit précédemment. Mais d'après le lemme 1 on devrait avoir soit q qui divise a, soitq de la forme ak+ 1, autrement dit q∈E ouQ∈F. On obtient bien une contradiction.

References

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