Simplicité de A n (Page du Lang)
Pierre Lissy March 22, 2010
D'abord,A3est simple puisqu'il est cyclique de cardinal premier. A4n'est pas simple: le groupe des doubles transpositions est un sous-groupe distingué.
Nous supposons donc dorénavantn>5. SoitN un sous-groupe distingué non trivial deAn. Si l'on montre queN contient un 3-cycle, alorzs commen>5, et que les 3-cycles sont tous conjugués,G contiendra tous les 3 cycles et donc comme les 3-cycles engendrentAn,N sera égal àAn et on a bien obtenu la simplicité. On considèreσ∈N admettant un nombre maximal de points xes, mais diérent de l'identité. Montrons que c'est nécessairement un 3-cycle. On décompose{1, . . . n}en orbites sous l'action de< σ >. Certaines orbites sont de cardinal supérieur à 1. Supposons toutes les orbites de cardinal2 (sauf les points xes). Commeσ est paire, il existe au moins deux telles orbites, qui donnent deux transpositions(i, j)et (r, s). Soit k qui est diérent de ces points (ce qui est possible puisquen>5). On poseτ := (r, s, k). CommeN est distingué le commutateur σ0=τ στ−1σ−1 ∈N. Orσ' laissei, j et tout élément xe pourσ(hormis k) l'est encore pourσ0. En eet,σ0(i) =τ στ−1σ−1(i) =τ στ−1(j) =τ σ(j) =τ(i) =i, de même pourj, et pour les autres points c'est clair. Donc σ0 a strictement plus de points xe, pas possible. Donc une des orbites au moins est de cardinal au moins 3, contenant par exemple i, j, k. Siσ n'est pas un 3-cycle de supporti, j, k,σdeplace au moins deux autres éléments (carσest paire), notésrets. On considère τ= (k, r, s)et σ0=τ στ−1σ−1 ∈N. iest xé par σ0: σ0(i) =τ στ−1σ−1(i) =τ σσ−1(i)τ(i) =iet tout point xe pourσl'est aussi pourσ0, contradiction. Doncσest un 3-cycle.
References
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