Théorème de transfert de Gauss (Perrin)
Pierre Lissy April 29, 2010
Dénition 1. On considère un polynôme P = PaiXi à coecients dans A. Par dénition le contenu de ce polynôme est un pgcd des coecients deP, notéc(P). Un polynôme est dit primitif ssi c(P) = 1. Le polynôme est clairement multiplicatif sur les scalaires car si a ∈ A, alors les coecients de aP sont lesaai et c(aP) =pgcd(aai) =apgcd(ai) =ac(P).
Lemme 1 (Gauss). c(P Q) =c(P)c(Q)
Proof. Il sut de le faire pour des polynômesP et Qentre eux. En eet, si on pose p= c(P) et q = c(Q), alors les polynômes P0 = P/p et Q0 = Q/q sont encore à coecients dans A et sont clairement primitifs. On aura donc que c(P0Q0) = 1,et donc C(P Q) = C(pqP0Q0) = pq = C(P)C(Q).
Considérons donc P et Q primitifs. Supposons c(P Q) 6= 1. Alors comme l'anneau A est factoriel, on a existence d'unpirréductible qui divse c(P Q). Or c(P) =c(Q) = 1donc il existe un certain i0 et un certain j0 tels que pour i < i0 et j < j0 on a p|ai et p|bj mais p 6 |ai0, p 6 |bj0. Par hypothèse c divise le coecient numéro i0 +j0 de P Q, ie p|P
i+j=i0+j0aibi = ai0bj0+P
i+j=i0+j0,i<i0ouj<j0aibi, ce qui implique quep|ai0bi0et donc vu quepest irréductible et Afactoriel on ap|ai0oup|bj0ce qui est supposé être faux par hypothèse. D'où la contradiction.
Voici comment nous allons procéder pour la démonstration. CommeAest intégre, alors on peut considérer le corps des fractionsK deA, et l'anneauK[X]aura la bonen idée d'être lui principal, ce qui nosu simpliera la vie. Commençons grâce au contenu par déterminer les irréductibles de A[X] en fonction de ceux deK[X].
Corollaire 1. Les irréductibles de A[X] sont les constantes irréductibles et les polynômes irré- ductibles dansK[x] primitifs
Proof. D'abord, ces éléments sont irréductibles. En eet, une constante irréductible est pqui se factorise sous la formeP(X)Q(X)est tel pour une raison de degré que les polynômesP etQsont de degré 0. Donc p= ab et forcément soit a soit b est inversible dans A donc dans A∗[X] (les inversibles deA∗[X]sont ceux deA. Si l'on considère un polynôme primitif irréductible dans K[X]
et qu'on le factorise sous la formeQ(X)R(X) dansA[X] alors au moins un des deux polynômes QouR est inversible dansK[X], par exempleQ=aconstante. Mais alors commeP est primitif on a1 = aC(Q)donc nécessairement aest un inversible de l'anneau. Ainsi, ona bien que notre élément est irréductible dansA[X].
Ensuite, ce sont les seuls. En eet d'abord si le polynôme est de degré 0 et irréductible c'est clair qu'il doit être égal à un élément irréductible deA. Ensuite, si l'on considère dorénavantP de degré plus grand que1, alors si P est irréductible il doit être primitif (sinon on factorise P sous la formec(P)P0 et c(P) est une constante non irréductible). SupposonsP non irréductible dans K[X] Alors P =QR avecQ et R à coecients dans K. des polynômes non constants. Posons Q(X) =P
ai/biXi etR(X) =P
a0i/b0i. Alros en posant aun pgcd desai,b un ppcm desbi, de mêmea0 etb0, on écritQ=a/bQ0 avecQ0 à coecients entiers et primitif, de mêmeR=a0/b0R0. Quitte à simplier on peut supposeraetbpremiers entre eux, de même poura0 etb0. On obtient alorsl'égalité dansA[X] bdP =acQ0R0. En passant aux contenus cela donne bd=ac modulo un inversible deA. Ainsi, bd/ac∈A∗ et P =λQ0R0 avecλ∈A∗. CommeP est irréductible sur A on obtientQ0 ouR0 inversible donc de degré0 et dansA∗, ce qui est supposé faux.
Corollaire 2. A[X] est factoriel.
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Proof. pour l'existence de la décomposition, on commence par considérer le cas des polynômes primitifs. On décompose notre P en éléments irréductibles dans K[X], P = f1α1frαr. On écrit comme précedemmentfiαi =ai/bifi0 avecfi0 a coecients deA primitif. En passant au contenu, on ac(Q
biP) =c(Q aiQ
fi0αi). et donc on écrit P sous la formeP =uQ
fi0αi. et c'est ce qu'on veut. DAns le cas général, on écrit P sous la forme dP0 avec P0 primitif qu'on décompose dans A|X] etdqu'on décompose dansA.
Pour l'unicitéé, on montre queP irréductible implique que l'idéal(P)est premier.
1. Sipest une constante irréductible alors par théorème d'isomorphisme des anneauxA[X]/(p)' A/(p)[X] (considérer le morphisme de réduction modulop).
2. SiPest irréductible de degré supérieur. Alors grâce aà une manipulation sur les contenus sim- ilaire à des choses déjà faites, on montre très facilement queP K[X] =∩A[X] =P A[X]. Donc par théorème sur les anneaux on a un morphisme injectif deA[X]/P A[X]dansK[X]/P K[X]
et cet anneau eétant intègre, tout sous-anneau l'est aussi.
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