Pierre Lissy April 29, 2010

Pierre Lissy April 29, 2010

SoitK un corps de décomposition de Φn surQ. et ζ ∈K une racine n-ième primitive de 1. Soitpun nombre premier, ne divisant pasn. Alorsζ^p est encore une racine primitive de l'unité.

Considérons dorénavantf ∈Q[X](resp g) le polynôme minimal deζ(resp. ζ^p) surQ. Alorsf etgsont nécessairement des polynômes à coecients entiers. En eet, par le théorème de transfert de Gauss, l'anneauZ[X]est factoriel et on aΦ_n(X) =f₁(X)^α1. . . f_r^αr avecf_i∈Z[X]irréductible.

CommeΦ_n est unitaire, on peut supposer quitte à multiplier par -1 que les f_i le sont aussi. Mais alorsζ est nécessairement racine de l'un de ses f_i unitaire irréductible surZ, donc sur Q, et le polynôme minimal est cef_i. De même pourg.

Montrons que f =g. Sinon, comme f etg sont irréductibles et distincts, le produit f gdivise Φn. Par ailleurs,comme g(ζ^p) = 0, ce signie quef diviseg(X^p)dansQ[x]. f h=g. Posons de la manière habituelleh=a/bh⁰ avecaetbpremiers entre eux eth⁰ à coecients entiers primitif (on prend sih=Pai/biXⁱ, pourbun ppcm desbi, pouraun pgcd desaiet on simplie eventuellemetn la fraction obtenue). En passant au contenus, on aac(f)c(h⁰) =bc(g)et donc comme f etg sont unitaires ils sont primitifs et on obtienta=b, et donch=h⁰ ethest bien à coecients entiers.

On projette alors l'égalité dansF^p: on note ¯g,¯h,f¯les polynômes correspondant et on utilise le morphisme de Frobenius qui dit que modulopon a ¯g(X^p) = (¯g(X))^p. Donc ¯g(X)^p = ¯f¯h. De plus, par propriété de la réduction modulop,Si l'on considère un facteur irréductibleϕdef¯, par le lemme d'Euclide on aϕ|¯g. Comme f g divise Φn sur Z, f¯g¯ divise P hi¯ n sur Fp, mais on sait que la réduction du polynôme cyclotomique correspond au polynôme cyclotomique dansF_p. Donc ϕ² divise Φ_n,Fp, mais dans un corps de décomposition ϕ a forcément une racine, on obtiendrait donc queΦ_n,Fp aurait une racine double dans un corps de décomposition, ce qui est impossible par propriété des polynômes cyclotomiques lorsque la caractéristiquep est premières àn. Ainsi, f =g.

On conclut de la manière suivante. Soitζ⁰ =ζ^m une racine primitive n-ième de l'unité, avec m tel que m et n sont premiers entre eux. On écrit m = p^α₁¹. . . p^α_r^r. Aucun des pi ne divise n, donc d'après le point précédent, on a avec une récurrence assez immédiate queζ⁰ a le même polynôme minimal queζ, à savoirf. En eet, on récritm sous la formem⁰p1. Alors on a encore m⁰ et n premiers entre eux, donc ζ^m0 est une racine primitive n-ième de l'unité et par ce qu'on a fait précedemment les nombresζ^m0 et ζ^m ont même polynôme minimal. On amorce donc une récurrence sur P

pvp(m), qui est déjà initialitée et dont la transmission se fait comme indiquée au-dessus. Ainsi, f a au moinsϕ(n racines et divise un polynôem de degréϕ(n)qu iestΦn, donc nécessairementf = Φn et ce dernier est irréductible.

References

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