��� EXPONENTIELLE DE MATRICES. APPLICATIONS.
SoitK=RouC. On munitMn(K)d’une norme d’algèbreÎ.Î.
I. Convergence et propriétés algébriques de l’exponentielle de matrices
[Rom��, Ch��, p���] [Ave��, Ch�, p��]Définition de la série exponentielle
Convergence normale sur tout compact, donc convergence deexp(A) Exemple :exp(0),exp(I)
Exponentielle de la somme de matrices qui commutent, contre-exemple. On en déduit que exp(A)est inversible et l’expression deexp(A)≠1
exp(P AP≠1) = Pexp(A)P≠1,exp(A€) = exp(A)€,exp(A) = exp(A),det(exp(A)) = exp(Tr(A))
exp(A)œK[A]commute avecA
II. Calcul pratique de l’exponentielle
[Rom��, Ch��, p���] [Gou��, §�.�, p���]
Matrice diagonale, nilpotente, puis utilisation de la décomposition deD������ou de la dé- composition deJ�����
T��������. [������������� ��D������]
Soitf œL(E)de polynôme caractéristique scindé. Alors il existe un unique couple(d, n)œ L(E)2tel quedest diagonalisable,nest nilpotent,f =d+netdcommute avecn.
De plus,detnsont des polynômes enf.
A�����������. SoitM œMn(K)de polynôme caractéristique scindé. On note⁄1, . . . ,⁄r
de multiplicités–1, . . . ,–rouµ1, . . . , µnles racines de‰M. Soit(D, N)la décomposition deD������deM. SoitP œ GLn(K)telle queP≠1DP = = diag(µ1, . . . , µn)soit diagonale. Soitpile projecteur surker(f≠⁄iId)–iparallèlement àm
j”=iker(f≠⁄jId)–j. Alors on a :
exp(M) =Pdiag(eµ1, . . . ,eµn)P≠1qn≠1 k=0 Nk
k! =qr
i=1e⁄iË q–i≠1
p=0 (A≠⁄iId)k k!
ÈPi
Si‰Aest scindé,Aest diagonalisable si et seulement si son exponentielle l’est Utilisation de la décomposition deJ�����
III. Propriétés analytiques de l’exponentielle
III. A. Di�érentiabilité
[Ave��, Ch�/�, p��/��] [Rom��, Ch��, p���]expestCŒ(admis), expression de la di�érentielle expest unC1-di�éo local de0surIn
III. B. Injectivité et surjectivité
[Rom��, §��.�, p���] [CG��, §VI.�.�, p���–���]Fonction log définie surB(In,1), qui vérifieexp¶log = Id lnbien définie sur les matrices unipotentes
Homéomorphisme deNpsurUp, d’inverse le logarithme
expest surjective (surGLn(C)) siK=C: il existe mêmeQœC[X]tel queexp(Q(A)) =A Connexité par arcs deGLn(C)
expest non injective, de noyau les matrices diagonalisables de spectre inclus dans2ifiZ [FGN��, §�.��, p���]
SurR, on a injectivité, mais plus surjectivité :exp(A) = exp(A/2)2doncexpest à valeurs dans GL+n(C)
T��������. exp :Sn(R)≠æSn++(R)est un homéomorphisme.
P�����������. exp :Hn(C)≠æHn++(C)est un homéomorphisme.
Décomposition polaire : on déduit les homéomorphismesGLn(R) ƒ On ◊Rn(n+1)/2 et GLn(C)ƒUn◊Rn2
IV. Application aux équations di�érentielles linéaires
[Ber��, Ch�/�, p��/���]
Remarque : la fonctiont‘≠æetAestCŒsurRet de dérivéet‘≠æAetA
Étude deYÕ=AY [Dem��]
Remarque : on peut toujours se ramener à une équation di�érentielle matricielle d’ordre1! Solutions sous forme intégrale
Théorèmes de stabilité selon les valeurs propres deA Exemples
ÉNS Paris-Saclay –����/���� AntoineB������–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page��sur���
Agrégation – Leçons ���– Exponentielle de matrices. Applications.
���������
Q A-t-on
3 ≠1 1 0 1
4 et
3 ≠1 1
≠1 1 4
dansexp(M2(R))?
R La première matrice a pour déterminant≠1, donc n’est pas un carré dansGL2(R). Or si A= exp(B), on aA= exp(B/2)2doncAest un carré.
Pour la deuxième, on regarde le spectre de la matrice et on aboutit à une contradiction.
Q SoitM ayant une seule valeur propre, qui est réelle et strictement positive. A-t-onM œ exp(Mn(R))?
R On a‰M = (X≠⁄)nest scindé. Écrivons sa décomposition deD������: on aM =D+N, avecD=⁄Inet donc⁄1M =In+1⁄N. SiA= Log(In+1⁄N), on aexp(A) =M. Q expest-elle injective surD(R)l’ensemble des matrice diagonalisables deR?
R SoitA, Bdiagonalisables telles queexp(A) = exp(B). On vérifie queA, Bcommutent, et donc sont co-diagonalisables, ce qui implique alors queA=Ben regardant ce que donne exp(A) = exp(B)dans une base de co-diagonalisation.
Pour montrer le commutativité, on montre queAest un polynôme enB.
Q Montrer queGLn(C)est connexe par arcs.
Q Montrer queexpde{Aœ Mn(R)|eSp(A)flR=?}est à valeurs dansGLn(R).
R Penser à utiliser la réduction deJ�����.
�������������
[Ave��] A.A���:Calcul di�érentiel. Masson,����.
[Ber��] F.B��������:Equations di�érentielles. Cassini,����.
[CG��] P.C������et J.G������: Histoires hédonistes de groupes et de géométries - Tome�.
Calvage et Mounet,����.
[Dem��] J.-P.D�������: Analyse numérique et équations di�érentielles. Collection Grenoble Sciences,����.
[FGN��] S.F��������, H.G�������et S.N������:Oraux X-ENS - Algèbre�. Cassini,����.
[Gou��] X.G������:Les maths en tête - Algèbre. Ellipses,�èmeédition,����.
[Rom��] J.-E.R�������: Mathématiques pour l’agrégation : Algèbre et géométrie. De Boeck,
����.
ÉNS Paris-Saclay –����/���� AntoineB������–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page��sur���
