Chap. 4

(1)

Chapitre 4 : Alg` ebres de Lie, centralisateurs de tores, tores maximaux et groupe de Weyl

R´ef´erences pour ce chapitre :

[Bo] Armand Borel, Linear algebraic groups (2nd enlarged edition), Springer-Verlag, 1991.

[Hu] James E. Humphreys, Linear algebraic groups (corrected 2nd printing), Springer-Verlag, 1981.

[Po] Patrick Polo, Cours de M2 `a l’UPMC 2005-2006, disponible sur la page de l’auteur : www.imj-prg.fr/

e

patrick.polo/M2 (§§12 & 15-16 )

[Sp] Tonny A. Springer, Linear algebraic groups (2nd edition), Birkh¨auser, 1998.

Et aussi :

[SGA3] Schémas en groupes (SGA 3), t. I, nouvelle édition recomposée et annotée, Documents Mathéma- tiques 7, Soc. Math. France, 2011. (II,§§4-5 et VIB,§6)

[DG] Michel Demazure & Pierre Gabriel, Groupes alg´ebriques, Masson & North-Holland, 1970. (§§II.1.3, II.5.2 & IV.2)

11. Alg`ebre de Lie d’un k-sch´ema en groupes

Soit k un corps et G un k-sch´ema en groupes (affine de type fini, comme d’habitude).

PosonsA =k[G] et notonsm l’id´eal d’augmentation de A.

11.1. Premi`ere d´efinition. —

Définition 11.1 (Espaces tangents de Zariski). — Soient X un k-schéma de type fini et x un point rationnel de X i.e. un point dont le corps résiduelκ(x) est k.⁽¹⁾ Soit mx

l’id´eal maximal de l’anneau local OX,x.

(i) L’espace tangent (de Zariski) `a X en x est le k-espace vectoriel T_xX = (m_x/m²_x)^∗.

(CommeX est de type fini,m_x est un id´eal de type fini doncm_x/m²_x etT_xX sont de dimension finie.)

(ii) Sif :X →Y est un morphisme dek-schémas, alors y=f(x) est un point rationnel deY etf induit un morphisme de k-algèbres φ:OY,y →OX,x; on a m_y =φ⁻¹(m_x) donc φ induit une application linéaire m_y/m²_y →m_x/m²_x. Sa transposée

T_xX = (m_x/m²_x)^∗ ^//(m_y/m²_y)^∗ =T_yY

est notée d_xf et appelée la différentielle de f en x. SiU est un ouvert de X contenant x, on a T_xU =T_xX.

Définition 11.2 (Algèbre de Lie de G). — (i) On note Lie(G) le k-espace vectoriel T_eG, il ne dépend que de la composante neutre G⁰, i.e. on a Lie(G⁰) = Lie(G). Il est muni d’une structure de G-module, déduite de l’action par conjugaison de G sur lui-même : i.e. le morphisme G×G→ G, (g, h) 7→g ·h= ghg⁻¹ munit A =k[G] d’une structure de G-module, qui laisse stable l’idéal d’augmentationm, donc induit sur m/m² et sur son dual Lie(G) une structure de G-module, appelée «l’action adjointe» deG sur Lie(G).

(ii) Il résulte de la définition que siKest un corps contenantketG_K = Spec(A⊗K), alors Lie(G_K) est leK-espace vectoriel Lie(G)⊗K. Donc : «la formation de Lie(G) commute à l’extension des scalaires de k à K ».

(1)Ceci équivaut à se donner l’élément deX(k) donné par le morphisme Spec(k) = Spec(κ(x))→X.

1

(2)

(iii) Si π : G → H est un morphisme de k-schémas en groupes, l’application linéaire d_eπ: Lie(G)→Lie(H) est notée Lie(π) ; c’est un morphisme de G-modules. En effet, faisant agirGsurH parg·h=π(g)hπ(g⁻¹), le comorphismeπ^]:k[H]→k[G] est un morphisme deG-modules, ainsi que les applications linéaires induites entremH etmG, puis entremH/m²_H et mG/m²_G et enfin entre Lie(G) et Lie(H).

On peut montrer, et l’on admettra, le résultat d’algèbre commutative suivant, où k désigne une clôture algébrique de k :

Th´eor`eme 11.3. — (i) On a toujours dim Lie(G)≥dim(G).

(ii) L’égalité dim Lie(G) = dim(G) a lieu si et seulement si G est géométriquement réduit, i.e. si G×k= Spec(A⊗k) est réduit. Dans ce cas, on dit que Gest lisse.

Exemples 11.4. — (1) Si G = Ga,k ou Gm,k alors Lie(G) = k et l’action adjointe est triviale, car G est commutatif. De mˆeme si G = G^ra,k ×G^sm,k alors Lie(G) = k^r+s avec action triviale de G.

(2) Lie(GL_n,k) = M_n(k) et l’action adjointe est l’action par conjugaison, i.e. pour tout X ∈M_n(k), toute k-algèbre R etg ∈GL_n(R), on a dansM_n(k)⊗R=M_n(R) l’égalité :

g·(X⊗1) =g(X⊗1)g⁻¹

(3) Supposons car(k) = p et G = α_p,k = Spec(k[T]/T^p). Alors Lie(G) = k avec action triviale de G. Noter qu’ici dim Lie(G) = 1 > dim(G) = 0. Idem si G = µ_p,k = Spec(k[T]/T^p−1).

(3 bis) Soitk un corps non parfait, par exemple k =F^p(T), et soit t un élément de k qui n’est pas une puissance p-ième, par exemple t=T. Soit Gle sous-groupe de G²a,k défini par l’équation X^p =tY^p, i.e.G = Spec(A) où A = k[X, Y]/X^p−tY^p). Soit u une racine p-ième de t dans k, alors le polynôme X^p−tY^pse factorise dansk[X, Y] en (X−uY)^pet l’on en déduit qu’il est irréductible dansk[X, Y]. Donc Aest intègre, a fortiori réduite, maisA⊗k n’est pas réduite. On voit par ailleurs que les images deX et Y dansm/m² en forment une base, donc dim Lie(G) = 2>dim(G) = 1.

Notation 11.5. — Si V est unk-espace vectoriel de dimension finie, on notera V le foncteur qui à toute k-algèbreR associe V ⊗R. Il est représenté par lek-schéma Spec(S(V^∗)), que l’on désignera aussi par V.

11.2. Deuxième définition. — On note une variable de carré nul, i.e. pour toute k-algèbre R, R[] désigne R[T]/(T²). (Ne pas confondre cet avec l’augmentation ε: A →k. Au tableau, on écriratau lieu de). On va donner une seconde définiton de Lie(G).

Définition 11.6 (λ-dérivations). — (i) SoientB une k-algèbre de type fini,λ:B →k un morphisme de k-algèbres et m son noyau, qui correspond à un point rationnel x de X = Spec(B). Pour toute k-algèbre R, on note Der_λ(B, R) l’ensemble des applications k-linéaires δ:B →R qui vérifient, pour tout a, b∈B :

(∗) δ(ab) = λ(a)δ(b) +λ(b)δ(a).

Ceci entraˆıne, d’une part, que δ(1) = δ(1·1) = 2δ(1) d’où δ(1) = 0 et, d’autre part, que δ(m²) = 0. Réciproquement, pour tout ξ ∈ Homk(m/m², R) notons δξ l’application linéaire A → R définie par δξ(1) = 0 et δξ(a) = ξ(a modm²) pour tout a ∈ m. En utilisant que a⁰ =a−λ(a)·1 est dansm, on voit sans difficulté queδξ est uneλ-dérivation, i.e. vérifie (∗). Désignant par Der_λ(B, R) l’ensemble de cesλ-dérivations, on a donc une identification canonique (fonctorielle enR) :

T_xX⊗R= Hom_k(m/m², R) = Der_λ(B, R).

(3)

(ii) Notons p_R le morphisme de R-alg`ebres R[] → R envoyant sur 0 et notons π l’application X(R[]) → X(R) d´efinie par g 7→ p_R◦g pour tout g ∈ X(R[]). Alors, on a une bijection, fonctorielle en R :

Der_λ(B, R) ={g ∈X(R[])|π(g) = λ}.

En effet, un élément du membre de droite est un morphisme de k-algèbresg :B →R⊕R de la forme g(b) = λ(b) +δ(b), et la condition que g soit un morphisme de k-algèbres s’écrit, pour tout a, b∈B :

λ(ab) +δ(ab)= λ(a) +δ(a)

λ(b) +δ(b)

=λ(ab) + λ(a)δ(b) +λ(b)δ(a) , ce qui ´equivaut `a la condition δ ∈Der_λ(B, R).

(iii) Revenons `a notrek-alg`ebre de HopfA=k[G], munie de son augmentationε:A→k.

Pour toute k-algèbre R, l’application π : G(R[]) → G(R) est un morphisme de groupes, et comme l’élément neutre de G(R) estε : A →R, on obtient que Lie(G)(R) = T_eG⊗R s’identifie, comme ensemble, à :

{g ∈G(R[])|π(g) = e}= Ker

G(R[])→G(R) .

De plus, d’apr`es le lemme ci-dessous, cette identification respecte la structure de groupe, i.e. pour tout x, y dans le R-module T_eG⊗R, la sommex+y correspond au produit des

´

el´ements correspondants deG(R[]).

Lemme 11.7. — (i) Pour tout x∈m, on a ∆(x)≡x⊗1 + 1⊗x mod m⊗m.

(ii) Par cons´equent, si R est une k-alg`ebre et si g = ε +δ et g⁰ = ε+δ⁰ sont deux

´

el´ements de Ker G(R[])→G(R)

alors leur produit est l’´el´ement gg⁰ =ε+(δ+δ⁰).

D´emonstration. — (i) Soit x∈m. Comme A=k·1⊕m on peut ´ecrire de fa¸con unique

∆(x) =t·(1⊗1) +y⊗1 + 1⊗z+u

avec t ∈ k, y, z ∈ m et u ∈ m⊗m. Comme x = (ε⊗id)∆(x) = (id⊗ε)∆(x) on obtient t= 0 et y=x=z. Ceci prouve (i).

(ii) On a bien sˆur (gg⁰)(1) = 1 = ε(1), et pour tout x ∈ m, notant m_R[] (resp.mR) la multiplication de R[] (resp.R), on a :

(gg⁰)(x) =m_R[](g⊗g⁰)∆(x) = δ(x) +δ⁰(x) +²m_R(δ⊗δ⁰)(u) et comme ² = 0 ceci ´egale(δ+δ⁰)(x).

D´efinitions 11.8. — (i) On d´efinit le foncteur Lie(G) comme le sous-foncteur en groupes R 7→ Ker G(R[]) → G(R)

du foncteur en groupes T G : R 7→ G(R[]). D’après ce qui précède, il est représenté par le k-schéma Spec(S(m/m²)), i.e. pour tout R on a

Lie(G)(R)'Hom_k(m/m², R)'Lie(G)⊗R.

C’est un sous-foncteur en groupes distingu´e de T G. Par ailleurs, on a Lie(G⁰) = Lie(G) puisque Lie(G⁰) = Lie(G).

(ii) Pour tout morphisme de k-sch´emas en groupes φ : G → H, on a un diagramme commutatif `a lignes exactes :

1 ^//Lie(G)(R)

//G(R[])

φ_R[]

//G(R)

φ_R

1 ^//Lie(H)(R) ^// H(R[]) ^//H(R)

(4)

Il en résulte que φ_R[] induit un morphisme de groupes Lie(G)(R) → Lie(H)(R), qu’on notera Lie(φ)(R).De plus, sif :k[H]→k[G] est le morphisme dek-algèbres de Hopf correspondant à φ, on voit que si (δ1, . . . , δn) est unek-base de Lie(G) alors

Lie(G)(φ)(R)(ε+X

i

δi⊗ri) =ε+X

i

(δi◦f)⊗ri

donc Lie(G)(φ)(R) est simplement l’applicationR-lin´eaire Lie(G)⊗R→Lie(H)⊗Rinduite par l’application lin´eaire Lie(φ) : Lie(G)→Lie(H).

(iii) La suite de foncteurs en groupes :

(?) e ^//Lie(G) ^//T G ^π ^// G ^//e

où π est induit par la projection p_R : R[] → R envoyant sur 0, est exacte. En effet l’inclusion i_R:R ,→R[] est une section de p_R (i.e.p_R◦i_R = id_R), fonctorielle en R, donc induit par fonctorialité un scindage i:G ,→T Gde π. Donc la suite est bien exacte, et de plus scindée, donc T G est le produit semi-direct de Lie(G) parG.

On laisse au lecteur le soin de v´erifier que l’action «par conjugaison» de G sur Lie(G) ainsi obtenue co¨ıncide avec la structure deG-module sur Lie(G) d´efinie en 11.2

(iv)T Gest représentable par unk-schéma en groupes Lie(G)oG, produit semi-direct de Lie(G) etG, et appelé lefibré tangent deG.

Tirons maintenant des conséquences de la définition précédente.

Proposition 11.9. — Soit φ : G → G⁰ un morphisme de k-sch´emas en groupes et soit H = Ker(φ). On a Lie(H) = Ker(Lie(φ)).

Démonstration. — D’après ce qui précède, pour toute k-algèbre R, on a Lie(H)(R) ={g ∈H(R[])|π(g) =e_H_(R)}

={g ∈G(R[])|π(g) =eG(R) et φ(g) =eH(R[])}= Ker(Lie(φ))(R)

On utilisera plus bas le corollaire suivant. On rappelle qu’un k-schéma en groupes est dit lisse s’il est géométriquement réduit. Dans ce cas, on dira que c’est un «k-groupe algébrique lisse».

Corollaire 11.10. — Soit φ:G→G⁰ un morphisme de k-groupes alg´ebriques lisses. On suppose G⁰ connexe et Lie(φ) surjective.

(i) Alors on a G⁰ 'G/H, o`u H = Ker(φ).

(ii) D’autre part, H est un k-groupe alg´ebrique lisse.

Démonstration. — Comme G et G⁰ sont des k-groupes algébriques lisses, on sait que φ induit un isomorphisme de G/H sur un sous-groupe fermé lisse G⁰⁰ de G⁰. Il s’agit donc de montrer que G⁰⁰ =G⁰. Comme G⁰ est irréductible, il suffit de montrer que dim(G⁰⁰) ≥ dim(G⁰). Or dim(G⁰⁰) = dim(G/H) = dim(G)−dim(H) et, d’après le théorème 11.3 et l’hypothèse que G est géométriquement réduit, on a :

(∗) dim(G)−dim(H) = dim(g)−dim(H)≥dim(g)−dim(h) = dim(g/h),

où l’on a poség= Lie(G) eth= Lie(H). Et, comme Lie(φ) :g→g⁰ = Lie(G⁰) est supposée surjective et que h est son noyau, on a donc, en utilisant encore 11.3

dim(g/h) = dim(g⁰) = dim(G⁰).

(5)

Il en résulte que dim(G⁰⁰) ≥ dim(G⁰), d’où G⁰⁰ = G⁰, ce qui prouve (i). Mais l’égalité dim(G⁰⁰) = dim(G⁰) entraˆıne que l’inégalité dans (∗) est aussi une égalité, et donc H est lisse, d’après 11.3 à nouveau.

Remarques 11.11. — (1) Dans le corollaire précédent, il est nécessaire de supposer G⁰ connexe, car siG⁰ n’est pas connexe etidésigne l’inclusion deG=G⁰⁰ dansG⁰, alors Lie(i) est un isomorphisme, Ker(i) ={e}et G⁰ 6'G.

Si car(k) = p >0, il est n´ecessaire de supposerGlisse, car par exemple siiest l’inclusion deG=α_p,k dans G⁰ =Ga,k, alors Lie(i) est un isomorphisme, Ker(i) ={e} et G⁰ 6'G.

Par contre, l’hypothèse queG⁰ soit lisse n’est pas indispensable et découle des hypothèses.

(2) Si car(k) =p >0, il se peut aussi que φ soit la projection canonique de G sur G/H mais que Lie(φ) ne soit pas surjective : c’est le cas par exemple pour φ : Ga,k → Ga,k, x 7→ x^p, dont le noyau est H = α_p,k. Dans ce cas, Lie(H)→ Lie(G) est un isomorphisme et Lie(φ) = 0.

Définition 11.12 (Centralisateurs, normalisateurs et points fixes) Soient G un k-schéma en groupes, H un sous-schéma en groupes fermé de G.

(i) Le centralisateur CG(H) de H dans G est le sous-foncteur en groupes de G d´efini par : pour toute k-alg`ebre R,

C_G(H)(R) =

g ∈G(R)

pour toute R-alg`ebre R⁰ eth∈H(R⁰), on a g_R⁰h g_R⁻¹0 =h

o`ug_R⁰ est l’image de g dans G(R⁰), et lenormalisateur deH dans G est d´efini par : N_G(H)(R) =

g ∈G(R)

pour toute R-alg`ebre R⁰, on a g_R⁰H(R⁰)g_R⁻¹0 =H(R⁰)

(ii) D’autre part, siE est un foncteur sur lequelH agit (i.e. pour toute k-alg`ebreR on a une action de H(R) sur E(R), ceci de fa¸con fonctorielle en R), on d´efinit le sous-foncteur E^H des points fixes (ou des invariants) par :

E^H(R) =

x∈E(R)

pour toute R-alg`ebre R⁰ eth ∈H(R⁰), on a h·x_R⁰ =x_R⁰

o`uxR⁰ d´esigne l’image de xdansE(R⁰). SiE est un foncteur en groupes et siH y agit par automorphismes de groupe, alors E^H est un sous-foncteur en groupes de E.

Théorème 11.13 (Centralisateurs et normalisateurs). — Soient G un k-schéma en groupes et H un sous-schéma en groupes fermé de G.

(i) C_G(H) et N_G(H) sont représentés par des sous-schémas en groupes fermés de G.

(ii) D’autre part, si H agit par automorphismes de groupes sur un k-schéma en groupes E, alors E^H est représenté par un sous-schéma en groupes fermé de E.

(iii) Si H est lisse, on a : ⁽²⁾

C_G(H)(k) ={g ∈G(k)| ∀h∈H(k), gh=hg}

N_G(H)(k) = {g ∈G(k)|gH(k)g⁻¹ =H(k)}

E^H(k) ={x∈E(k)| ∀h∈H(k), h·x=x}

(iv) Si G est lisse et H diagonalisable, alors C_G(H) et N_G(H) sont lisses.

(v) On aLie(C_G(H)) = Lie(G)^H = Lie(G)^H.

(2)Noter que le cas deC_G(H) est un cas particulier deE^H, car si on fait agitH surGpar conjugaison, on aG^H =C_G(H).

(6)

Démonstration. — On admet les points (i–iv). Prouvons (v). Appliquant la définition de E^H à E = Lie(G), sur lequel Get donc H agit par conjugaison, on obtient :

Lie(G)^H(R) =

g ∈G(R[])

π(g) =e et pour toute R-alg`ebre R⁰ et h∈H(R⁰), on a h·g_R⁰ =g_R⁰

D’autre part,

Lie(C_G(H))(R) = {g ∈C_G(H)(R[])|π(g) =e}

=

g ∈G(R[])

π(g) =e et pour toute R[]-alg`ebre R⁰ et h∈H(R⁰), on a h·gR⁰ =gR⁰

Or toute R-algèbre R⁰ est aussi une R[]-algèbre via la projection R[] →R, donc l’inclusion Lie(G)^H(R)⊂Lie(C_G(H))(R) est une égalité pour toutR. Ceci prouve la première

´

egalit´e de (v).

La seconde est aussi un fait g´en´eral. Notons π la projection de k[H] sur le quotient C =k[H]/k1. Si V est unH-module, i.e. un k[H]-comodule, posons ∆_V = (id_V ⊗π)◦∆_V ; alors on a une suite exacte :

0 ^// V^H ^//V ^∆^V ^// V ⊗C et pour toute k-alg`ebre R, la suite

0 ^// V^H ⊗R ^//V ⊗R ^∆^V^⊗id^R ^//V ⊗C⊗R

est exacte (tout k-ev est un k-module libre donc plat), donc V^H ⊗ R est le noyau de l’application R-lin´eaire

∆_V⊗R:V⊗ →V ⊗C⊗R'V ⊗R⊗C et il est clair que tout élément de ce noyau appartient à

V^H(R) =

x∈V_R=V ⊗R

pour toute R-alg`ebre R⁰ eth∈H(R⁰),

on a h(x⊗1) =x⊗1 dans V_R⊗_RR⁰ =V ⊗R⁰

Or, appliquant ceci àR⁰ =R⊗k[H] et au morphisme de k-algèbres h:k[H]→R⊗k[H], φ 7→ 1⊗φ, on obtient qu’un tel x vérifie ∆_V⊗R(x) = x⊗1, donc appartient au noyau de

∆_V⊗R. Ceci prouve que V^H(R) =V^H ⊗R, d’où la seconde égalité de (v).

12. Tores maximaux et groupe de Weyl

On suppose k =k et «k-groupe alg´ebrique» signifie : «k-groupe alg´ebrique lisse ».

Lemme 12.1. — Soit G un k-groupe alg´ebrique.

(i) Soit Γ un sous-groupe abstrait de G(k) et H son adh´erence dans G(k). Alors H est un sous-groupe ferm´e de G(k).

(ii) Soit S un ensemble d’éléments semi-simples de G(k) qui commutent, et H le sous- groupe fermé engendré par S, i.e. l’adhérence du sous-groupe Γ engendré par S. Alors H est un k-groupe algébrique diagonalisable.

D´emonstration. — (i) Soit g ∈Γ. Alors gΓ⊂Γ⊂H(k) donc l’image inverse deH(k) par l’application continuex7→gx contient Γ donc H(k). On a donc ΓH(k)⊂H(k).

Soit alors h ∈ H(k). Alors Γh ⊂ H(k) donc l’image inverse de H(k) par l’application continuex7→xhcontient Γ doncH(k). DoncH(k) est stable par multiplication. De même, notons ι le morphisme g 7→ g⁻¹. Alors ι(Γ) = Γ ⊂ H(k) donc, par continuité, H(k) est stable par ι. Ceci prouve que H est un sous-groupe fermé de G.

(7)

(ii) On peut supposer que G est un sous-groupe fermé d’un certain GL(V). Comme S est une famille commutative d’éléments semi-simples de GL(V), il existe une base de V formée de vecteurs propres communs. Identifiant GL(V) à GLn,k au moyen de cette base, on obtient queSest contenu dans le toreT des matrices diagonales, donc il en est de même de Γ et donc H(k) est un sous-groupe fermé de T(k), doncH est diagonalisable.

Théorème 12.2 (Structure des groupes résolubles connexes) Soit G un k-groupe algébrique résoluble connexe.

(i) Il existe un tore T de G tel que le morphisme de k-groupes alg´ebriques T ,→ G → G/G_u soit un isomorphisme.

(ii) Pour tout tel T, le morphisme de vari´et´es T ×G_u →G, (t, u)7→tu est un isomorphisme. En particulier, G_u est connexe.

(iii) Deux tels tores sont conjugués par un élément de G(k).

(iv) Tout sous-groupe ferm´e lisse diagonalisable S de G est contenu dans un tel tore.

(iv bis) Ces tores sont appel´es les tores maximaux de G.

(v) Si S est un sous-groupe ferm´e lisse diagonalisable de G, alors C_G(S) est connexe et

´

egal `a N_G(S).

Démonstration. — On procède par récurrence sur dim(G). On sait déjà que le théorème est vrai si tout élément semi-simple deG(k) est central. (Dans ce cas, toutS comme en (v) est central doncCG(S) =G.) On peut donc supposer qu’il existe un élément semi-simple s non central ; soit S le sous-groupe diagonalisable qu’il engendre.

Alors, d’après le point (iii) du théorème 11.13,H =CG(S)⁰ est un sous-groupe algébrique (lisse !) de G, résoluble connexe et de dimension <dim(G).

Notons D le quotient G/G_u, qui est un tore. Comme G_u est lisse, on a une suite exacte 0 ^//Lie(G_u) ^//Lie(G) ^//Lie(D) ^// 0

et ce sont des S-modules pour l’action adjointe de S. Comme S est diagonalisable et agit trivialement sur Ddonc sur Lie(D), on obtient en prenant les S-invariants (i.e. les espaces de poids χ pourχ= le caract`ere trivial de S) la suite exacte ci-dessous :

0 ^// Lie(G_u)^S ^//Lie(G)^S ^//Lie(D) ^// 0

Or, d’après le théorème 11.13, on a Lie(G)^S = Lie(CG(S)) = Lie(H) et, de plus,Hest lisse.

On déduit alors du corollaire 11.10 que le noyauH∩Gu deH →D=G/Gu, est lisse, donc co¨ıncide avec H_u, et que D'H/H_u. Alors, par hypothèse de récurrence, il existe un tore T de H tel que le morphisme composé T ,→ H → H/H_u = G/G_u soit un isomorphisme.

Ceci prouve (i).

Le point (ii) est clair. Prouvons (iii). SoitT⁰ un autre tel tore, alors dim(T⁰) = dim(D) = dim(T). D’autre part, T⁰ agit à gauche sur la variété G/T ' Gu et, d’après le th. 10.7, celle-ci est isomorphe à l’espace affine Aⁿk, où n = dim(G_u). D’après la proposition 12.3 plus bas, il en résulte que T⁰(k) possède un point fixe dans (G/T)(k) = G(k)/T(k) ; il existe donc g ∈ G(k) tel que T⁰(k)g ⊂ T(k) d’où T⁰(k) ⊂ gT(k)g⁻¹. Comme gT g⁻¹ est irréductible et que le fermé T⁰ est de même dimension, il en résulte que T⁰ =gT g⁻¹. Ceci prouve (iii).

Prouvons (iv) et (v) par récurrence sur dim(G). Observons d’abord que le morphisme composé S(k) → D(k) = G(k)/G_u(k) est injectif, d’après la décomposition de Jordan.

Donc c’est OK si S est central, car alors, d’une part, C_G(D) = G. D’autre part, le sous- groupe ferméS⁰ engendré par D(k) etT(k) est diagonalisable, et commeS⁰(k)→D(k) est injectif et que T(k)→D(k) est bijectif, on obtient S⁰(k) = T(k) d’où S ⊂T.

(8)

Donc on peut supposer que H =C_G(S)⁰ est de dimension <dim(G). Par hypoth`ese de r´ecurrence, S est contenu dans un tore maximal de T deH. Alors

CG(S) = T ·G^S_u.

Or on peut montrer queG^S_u est connexe ([DG,§IV.2.3, Cor. 3.10]), doncC_G(S) est connexe.

Ceci prouve (iv) et la premi`ere assertion de (v).

Enfin, soit n ∈ N_G(S)(k) et s ∈ S(k). Comme G/G_u = D est abélien, alors nsn⁻¹s⁻¹ est un élément de G_u(k) ; mais comme nsn⁻¹ ∈ S(k), c’est aussi un élément de S(k) donc un élément semi-simple. On a donc nsn⁻¹s⁻¹ =e d’où nsn⁻¹ = s. Ceci montre que n ∈C_G(S)(k), d’oùN_G(S) =C_G(S).

Proposition 12.3. — (k=k) Tout tore T op´erant sur un espace affine Aⁿk y poss`ede au moins un point fixe.

Démonstration. — à ajouter ultérieurement, ou à faire en TD.

On va déduire du théorème 12.2 un certain nombre de conséquences.

Définition 12.4. — Soit G un k-groupe algébrique connexe. Une paire de Borel est un couple (T, B) formée d’un tore de G qui est maximal pour l’inclusion (i.e. siT ⊂T⁰ où T⁰ est un tore, alors T =T⁰) et oùB est un sous-groupe de Borel de Gcontenant T.

Remarquons que tout tore, ´etant r´esoluble et connexe, est contenu dans un sous-groupe de Borel, donc tout tore maximal de Gfait partie d’une paire de Borel.

Théorème 12.5 (Conjugaison des paires de Borel et des tores maximaux) Soit G un k-groupe algébrique connexe.

(i) Toutes les paires de Borel de G sont conjugu´ees sous G(k).

(ii) En particulier, tous les tores maximaux de de G sont conjugu´es.

Démonstration. — Soient (T, B) et (T⁰, B⁰) deux paires de Borel. Comme tous les Borel sont conjugués, il existe g ∈ G(k) tel que B⁰ = gBg⁻¹. Alors gT⁰g⁻¹ et T sont deux tores maximaux de B, donc il existe b ∈ B(k) tel que bgT⁰g⁻¹b⁻¹ = T. On a de plus bgB⁰g⁻¹b⁻¹ = bBb⁻¹ = B. Ceci prouve (i), et comme tout tore maximal fait partie d’une paire de Borel, (ii) en découle.

On admet le th´eor`eme suivant. Pour la preuve, voir [Po, 15.33] ou [Bo], [Hu] ou [Sp].

Théorème 12.6 (Union des sous-groupes de Borel). — Soit G un k-groupe algé- brique connexe. Alors G est la réunion de ses sous-groupes de Borel.

Théorème 12.7 (Sous-groupes de Borel du centralisateur d’un tore) Soit G un k-groupe algébrique connexe et S un tore de G.

(i) Le centralisateur C_G(S) est connexe.

(ii) Si B est un Borel de G contenant S, alors B∩C_G(S) = C_B(S) est un sous-groupe de Borel de C_G(S).

Démonstration. — (i) Soitg ∈C_G(S)(k). D’après le théorème 12.6, il existe un sous-groupe de BorelB₀ tel que g ∈B₀(k). Notons πla projection G→G/B₀, alors g fixe le pointπ(e) deX =G/B₀, donc la variété des points fixes

X^g(k) ={x∈X(k)|gx=x}

est non vide. C’est une sous-variété fermée de G/B₀, donc elle est projective. Comme g commute à S, alors X^g est stable par S, car pour tout s ∈ S(k) et x ∈ X^g(k) on a gsx =sgx=sx. Donc, d’après le théorème du point fixe de Borel, S(k) possède un point fixe dans X^g(k), donc il existe g₁ ∈ G(k) tel que le point g₁B₀(k) soit fixé par g et par

(9)

S; alors g et S sont contenus dans le sous-groupe de Borel B = g₁B₀g₁⁻¹. Mais alors g appartient àB∩C_G(S) =C_B(S) qui est connexe (d’après le théorème 12.2) donc contenu dans CG(S)⁰. Ceci prouve (i).

Esquissons la preuve de (ii). CommeB⁰ =B∩C_G(S) égaleC_B(S) il est lisse, résoluble et connexe. Pour montrer que c’est un Borel de C =C_G(S), il suffit de montrer que la variété C/B⁰ est projective. Notant π la projection G→G/B, on voit que C/B⁰ est isomorphe à laC-orbite du pointπ(e). Or on peut montrer que cette orbite est fermée dans G/B, donc projective. (Voir [Po, 15.37] ou [Bo], [Hu] ou [Sp].)

Le théorème suivant nous permettra de définir bientôt le groupe de Weyl d’un k-groupe algébrique réductif.

Théorème 12.8 (Rigidité des tores). — SoitS un tore deG. AlorsN_G(S)⁰ =C_G(S).

Esquisse de démonstration. — Posons N = N_G(S), H = N⁰ et C = C_G(S). On a S = Spec(kZ^d), où d = dim(S). D’après l’anti-équivalence de catégories entre les groupes abé- liens et les k-schémas en groupes diagonalisables, le groupe des automorphismes de S est le groupe abstrait Γ = GLd(Z).

Or, à tout groupe abstrait Γ, on peut associer unk-schéma discret Γ = réunion disjointe de copies de Spec(k) indexées par Γ, et où la loi de groupes est induite par celle de Γ.

On peut montrer (voir en TD) que l’action de N sur S induit, pour toutek-algèbre R, un morphisme de groupes N(R) → Γ(R) et d’après Yoneda ceci induit donc un morphisme de k-schémas en groupes φ : N → Γ. Or l’espace topologique sous-jacent à Γ est discret, i.e. tout point est ouvert et fermé. CommeHest connexe, on a nécessairementφ(H) = {e}, donc l’action de H sur S est triviale, et donc l’inclusion C_G(S)⊂H est une égalité.

On obtient de plus que lek-sch´ema en groupesN/H est isomorphe `aW, pour un certain sous-groupe fini W de Γ, ce qui prouve que H est lisse, en admettant que CG(S) l’est.

(Pour cela, voir [DG, §II.2, Th. 2.8].)

Si l’on admet que H est lisse, on peut donner une autre démonstration de l’égalité H =C_G(S), voir [Po, Th. 8.16] ou [Bo], [Hu] ou [Sp].

Théorème 12.9 (Normalisateur d’un Borel ou parabolique) Soit G un k-groupe algébrique connexe.

(i) Pour tout Borel B de G, on a NG(B)(k) =B(k).

(ii) Un sous-groupe ferm´e lisse P de G est dit parabolique s’il contient un Borel. Dans ce cas, on a N_G(P)(k) =P(k) = P⁰(k).

D´emonstration. — On admet le point (i), voir [Po, Th. 15.39] ou [Bo], [Hu] ou [Sp].

Déduisons-en (ii). Supposons que P contienne un Borel B, on a alors B ⊂ P⁰. Soit x ∈ N_G(P)(k), alors xBx⁻¹ est aussi un Borel de P⁰ donc il existe p ∈ P⁰(k) tel que pxBx⁻¹p⁻¹ =B, doncpxest un élémentbdeB(k) et doncx=p⁻¹bappartient àP⁰(k).

Définition 12.10 (La variété des sous-groupes de Borel)

Soit Gun k-groupe algébrique connexe. NotonsB l’ensemble des sous-groupes de Borel de G. Alors G(k) agit par conjugaison sur B, et pour tout B ∈ B, le stabilisateur de B dans G(k) estN_G(B)(k) = B(k), donc B s’identifie à (G/B)(k), ceci pour tout choix d’un Borel B. On dira que B est la variété des sous-groupes de Borel de G, et aussi la variété des drapeaux deG; c’est une variété projective.

Pour tout sous-ensemble S de G(k), on note B^S l’ensemble des points fixes de S dans B; c’est une sous-variété fermée de B (éventuellement vide), formée des sous-groupes de Borel B qui contiennent S (car un point B de B est fixé par S ssi S est contenu dans NG(B)(k) = B(k)).

(10)

Théorème 12.11 (Sous-groupes de Cartan). — Soient G un k-groupe algébrique connexe et T un tore maximal. Alors C =C_G(T) est appelé un sous-groupe de Cartan.

(i) C est un k-groupe alg´ebrique connexe et nilpotent.

(ii) Tout sous-groupe de Borel B de G contenant T contient C.

Démonstration. — (i) On sait déjà que C = C_G(T) est lisse et connexe. Soit B un sous- groupe de Borel de C. Alors T est un tore maximal de B central, donc en particulier distingué. Donc, d’après le théorème 12.2,T contient tout élément semi-simple deB, donc ceux-ci sont centraux, donc B est isomorphe à T × B_u et B est nilpotent. D’après un exercice de la feuille de TD no. 3, ceci entraˆıne que B =C, donc C est nilpotent (a fortiori résoluble).

(ii) Soit maintenant B un sous-groupe de Borel de G. D’après le théorème 12.2, B ∩C est un Borel de C, donc égal à C puisque C est résoluble connexe. Donc C ⊂B.

Définition 12.12 (Groupe de Weyl de G). — Soient G un k-groupe algébrique connexe et T un tore maximal. On appelle groupe de Weyl de G le groupe fini W = WG = NG(T)/CG(T). On le note parfois W(G, T), mais comme tous les tores maximaux sont conjugués il ne dépend pas, à isomorphisme près, du choix de T.

Proposition 12.13. — Soient G un k-groupe algébrique connexe, B sa variété des drapeaux et T un tore maximal de G. Alors W(G, T) agit de fa¸con libre et transitive sur B^T.

Démonstration. — Posons N =N_G(T) et C =C_G(T). Si B appartient àB^T, i.e. si B est un Borel contenant T, il en est de même de n·B = nBn⁻¹ pour tout n ∈ N(k). Ceci montre que l’action de N(k) sur B laisse stableB^T.

Fixons B ∈ B^T. Son stabilisateur dans N(k) est le groupe des k-points de N ∩B = N_B(T). Or d’après le théorème 12.2, on aN_B(T) =C_B(T) = C∩B, et ceci égaleC d’après le théorème précédent (carC ⊂B). Le stabilisateur dansN(k) de chaqueB ∈B^T est donc C(k) et il en résulte queW(G, T) =N(k)/C(k) agit sur B^T et y agit librement (i.e. avec des stabilisateurs triviaux).

Enfin, soit B⁰ un autre élément de B^T. Comme les Borels sont conjugués, il existe g ∈ G(k) tel que B⁰ = gBg⁻¹. Alors g⁻¹T g et T sont des tores maximaux de B donc il existe b ∈B(k) tel que g⁻¹T g =b⁻¹T b. Alors gb⁻¹ est un élément n deN(k), d’oùg =nb et donc B⁰ = nBn⁻¹. Ceci montre que l’action de N(k) sur B^T est transitive, et donc l’action induite de W(G, T) l’est aussi.