r = K " ( = Ht . zr\

CHAPITRE 2 : LA MODÉLISATION Note aux lecteurs:

Dans la réalisation de ce chapitre, nous avons puisé abondamment dans trois ouvrages; ce chapitre se veut un résumé de la démarche de modélisation et est essentiellement une synthèse tirée de ees ouvrages. Nous avons donc utilisé, par ordre d'importance:

W A L L T S E R , B . ( 1 9 7 7 ) .

Systèmes et modèles - Introduction critique à I'analyse de systèmes.

Éditions du Seuil, Paris, 24t p.

C L A R K E , P . T . ( 1 9 7 3 ) .

Mathematical models in hydrology. Food and Agricultural Organization of the united Nations (Imigation and drainage, paper 19), Rome,282 p.

c o L I N , L . ( 1 9 ? 3 ) .

Models in planning - an introduction to the use of quantitative models in planning. Press, Oxford, L42 P.

Avant d'entreprendre ce chapitre sur la modélisation, faisons lfassertion évidente et commune suivante; I'EAU en tant que ressource est un sous-système qui fait partie drun autre sous-système plus grand, la Terre' Cette assertion' en elle-même très simple, constitue et contient une démarche qui fait appel à la connaissance et à la compréhension d'une façon d'organiser les structures et dtinterrelier Ies ehoses, les événements et les processus ' Elle est propre à l,analyste de systèmes et fait donc partie de la conception qutil se fait des êtres et des choses. Mais cette démarche, {ui détermine une manière de voir, de repré- senter et de eonceptualiser, se traduit par un résultat, par une image' qu'on appelle MODÈLE.

on comprendra alors pourquoi il existe un si grand nombre de modèles de la même réalité, aussi valable en soi les uns que les autres' On comprendra que les modèles ne sont pas applicables n'importe où et ntimporte comment et que ehaque application est un cas particulier. On comprendra aussi que dans la démarche de la modélisation et dans I'application, on doive respecter certaines règles.

2.I Définition

La notion de modèle est souvent associée à une représentation formalisée et, plus souvent qu'autrement, restreinte à un ensemble d'équations mathématiques' Cependant, dans sa définition la plus large, un modèle est une représentation mentale ou physique des caractéristiques les plus significatives d'un système ou d,une partie drun système réel et que I'on traduit sous forme verbale, graphique ou mathématique. Un modèle prend cependant toute sa valeur et sa signification Iorsqutil permet, dtune part, dtaméliorer notre connaissance du système et de ses éléments êt, drautre part, d'étudier et de vérifier le comportement du système dans des conditions ou des situations impossibles à réaliser en pratique pour des raisons techniques, économiques ou politiques '

un modèle apparaÎt donc lui-même comme un système 9ui, à I'image d'un système donné, met en évidence certaines de ses caractéristiques. Il peut donc exister une infinité de modèles qui sont plus ou moins complets et qui diffèrent essentiellement par I'aecent mis sur telle ou telle caraetéristique du système '

De par leur nature matérielle, on peut distinguer deux catégories de modè- les: les modèles physiques et les modèles symboliques ' Ces deux catégories de modèles sont largement utilisées dans la gestion et I'aménagement de la ressource EAU, et dans l'étude des ouvrages qui s'y rapportent'

2.2 Modèles phvsiques ou symboliques

Les modèles peuvent être elassifiés de différentes façons, mais une distinction essentielle existe entre les modèles physiques et les modèles symboliques. On peut donc distinguer:

- Ies modèles phvsiques qui traduisent le système sous forme de modèles réduits ou analogiques;

- les modèles symboliques qui traduisent le système dans un langage symbolique plus ou moins abstrait.

Les modèles physiques sont plus faeiles à comprendre et sont ceux qui nous sont les plus familiers. Ils sont des répliques à échelle réduite des objets que I'on utilise. Les hydrauliciens, par exemple, utilisent des modèles réduits de déversoir, de barrage, de quai, de digues, etc. Les mesures effectuées sur ces moclèles permettent d'obtenir des résultats qui eorrespondent en général aux caraetéristiques des ouvrages eux-mêmes. Le modèle symbolique, pour Sa part, est celui dans lequel le monde réel ou les situations réelles sont représentés par des symboles. Les hydrologues utilisent des modèles constitués d'équations mathématiques qui permettent de simuler le débit. Ce dernier tSpe de modèle est très utile au planificateur et au gestionnaire qui stattardent aux relations fonc- tionnelles et aux processus fondamentaux (gestion de bassin hydrologique' aménagement urbain, planification de développement, etc.)'

Le modèle de type symbolique est, en fait, beaucoup plus commun que celui de t5rpe physique, mais parce qutil a plusieurs formes de représentation, il est mal reconnu comme tel. Il peut être une image mentale ou verbale ou une descrip- tion écrite, mais peu importe sa forme, ctest le moyen par lequel nous nous décrivons à nous-mêmes ou aux autres un système réel ou un Processus.

2.2.L Un tvpe particulier de modèIe svmbolique: Le modèle mathématiQue

Comme les autres modèles abstraits, uD modèle mathématique est une description du système qu'il représente; cependant, il est écrit dans Ie langage des symboles mathématiques. La notation mathématique est un langage beaucoup plus précis que le langage parlé car il ntautorise pas d'ambiguÏté. Puisqutil est plus précis, le modèle mathématique est une deseription qui a une plus grande clarté que la plupart des modèles verbaux. Notons, cependant, que plus précis ne veut pas dire plus exact. La formulation mathématique est simplement une traduction de ce que nous avons perçu du monde réel dans un autre langage et il n'y a rien d'inhérent au s5rmbole mathématique qui puisse garantir I'exactitude.

Cependant, la précision qui est requise pour traduire les mots en symboles peut souvent révéler les imprécisions de la description verbale, ee qui peut alors conduire à augmenter I'acuité ou la elarté de I'image mentale, et de la façon dont nous percevons le système réel et ses opérations. Cette exigence d'une analyse précise est un des avantages les plus significatifs de I'utilisation des modèles ma- thématiques.

2.3 Les modèles analvtiques 2 . 3 . L R e m a r q u e s g é n é r a l e s

U n m o d è l e a n a l y t i q u e e s t c o n s t i t u é d ' u n e n s e m b l e d ' é q u a t i o n s l i a n t différentes variables, xi, et différents trraranÈtre_s' tri:- Ut;nranntre est une quantité à fixer librement,' maintenue constante et dont âépend le résultat d'une fonction de variables indépendantes d'une équation ou d'une expression mathématique. Par contre, une variable est un symbole ou un terme auquel on peut attribuer plusieurs valeurs numériques.

On distingue deux grandes catégories de variables: les variables eg!919, définies par une modalité unique et les variables aléatoires, définies par une distribution de probabilité sur I'ensemble des modalités . De plus, dans le cas de grandeurs mesurables dépendant du temps, on distingue deux grands types de variables; les variables de flux, traduisant un flux d'objet (débit instantané ou quantité par période) et les variables de stock (ou dtétat), traduisant un montant d'objet (quantité instantanée ou quantité moyenne). Ainsi, la variable Itvolume dteau dtun lactt est une variable de stock et la variable ttdébitrr en est une de flux.

Outre ces définitions de catégorisation des variables, un modèle analytique i n c o r p o r e h a b i t u e l l e m e n t d e s v a r i a b l e s d e d é c i s i o n , d e s v a r i a b l e s . d'environnement (ou de commande) et des variables internes. Les variables de décision sont celles sur lesquelles on peut agir et qui conditionnent le comportement du système. Par exemple, la variable "débit minimal à soutenir en aval d'un barrage'f conditionne le fonctionnement d'un modèle de gestion de r é s e r v o i r . À I ' o p p o s é , l e s v a r i a b l e s d r e n v i r o n n e m e n t s o n t c e l l e s q u i caractérisent le système réel et sur lesquelles on ne peut agir. La température, la précipitation et lrévapotranspiration en sont des exemples . Par contre, la précipitation peut constituer une variable de décision si on utilise un simula- teur de ptuie. Les variables internes sont des variables intermédiaires dépendantes des variables d'entrée et conditionnant les variables de sortie. Par

exemple, si on considère un modèle de bassin (chapitre 13) dont les variables d'entrée sont Ia précipitation et l'évapotranspiration et dont la variable de sortie est le débit, alors la valeur calculée de la variable infiltration, qui est un résultat intermédiaire nécessaire à l'évaluation des grandeurs de la variable débit, constitue une grandeur de variable interne.

L'ensemble d'équations du modèle analytique fait intervenir ou non des dérivées en distinguant:

. les modèIes différentiels q.ui se présentent sous la forme d'un système dréquations aux dérivées partielles que nous écrivons:

fx

Par exemple, en hydrologie, en milieux poreux (équation de chapitre 10):

l'équation de Laplace représente les écoulements diffusivité, aquifère captif, régime permanent -

(,i)

f*

Lréquation de Green-Ampt qui exemple:

( x r ) = o

décrit lrinfiltration (chapitre 6) en est un

r = K " ( = Ht . zr\

TI

On passe des modèles différentiels aux modèles intégraux en résolvant le système dréquations d.ifférentielles; en sens inverse, un modèle intégral peut être traduit de diverses façons en modèle différentiel.

Dans les modèles analytiques, on privilégie souvent la variable temps "tt', t o u t e s l e s v a r i a b l e s x , é t a n t i n d i c é e s p a r l e t e m p s q u i p e u t ê t r e c o n s i d é r é comme continu ou non (llgigg_gynamislue):

ô 2 h a 2 h ô t h _ ^

F ' 5 F ' æ - u

les modèles intégraux qui se présentent sous forme d'un système d'équations simples que nous écrivons:

. les modèles en temps continu font intervenir les variables et leurs dérivées par rapport au temps:

/r^*, . \ f u [ # , t l = o

\ a t m I

Lréquation de Boussinesq (chapitre 10) en constitue un bon exemple:

ô 2 h a 2 h s ô h o

6 ' F * ô y z = K ô t * Ë

. les modèles en temps discret font intervenir les variables avec des décalages temporels:

f u ( x t , t - r l , t ) = o

On passe des modèles en temps continu aux modèles en temps discret (et inversement) en faisant correspondre aux dérivées des différenees temporelles:

ô * i t

' Ë t * ( * i , a * , - * i , 1 )

Les modèles en temps continu ou discret sont dits d'ordre n s'ils font intervenir des dérivées d'ordre n au plus, ou des décalages de n périodes au plus.

Les modèles dynamiques sont dits stationnaires stils ne font pas intervenir le temps de façon explicite (et non stationnaire dans le cas contraire):

f'. (hi = o en tenps continu K \ a t m I

fU (xt,t-*) = Q en tarPs diseret

A j o u t o n s q u e l e s m o d è l e s d y n a m i q u e s s o n t d i t s s o i t c e r t a i n s ( o u déterministes), soit aléatoires (ou incertains) selon que leurs relations sont certaines ou aléatoires. Très souvent, I'aléa dtune relation est résumé dans un écart aléatoire, tkt:

t- H) = Ekt en tarps continu

Fk (Xi,t-rl, t) = tft en tarPs discret

On passe des modèles aléatoires aux modèles certains en transformant les variables aléatoires en variables certaines et, en particulier, en annulant lrécart aléatoire des relations.

2.9.2 Propriétés et tvpes de modèles analytiques dvnamiques

Considérons la variable x(t) comme étant une donnée drentrée du modèle au temps t et considérons y(t) comme étant la sortie du modèle au même temps.

On peut alors écrire la formulation mathématique suivante qui décrit un modèle analytique dynamique :

f [ x ( t ) , y ( t ) ; ô x / ô t , à y / ô t i a ' x / a ( , è ' y / ô t " ; . . . I 0 1 , o z . . . ] = Q

Dans cette équation, f ( . ) est une fonction explicite i Or , 02 sont les paramètres du modèle et ces paramètres sont des grandeurs caractéristiques du modèle qui demeurent constantes dans le temps.

En pratique, les variables x(t) et y(t) sont mesurées à différents intervalles; on les remplace donc dans la description mathématique ci-haut par x t e t y 1 g u i s o n t l a v a l e u r d e x ( t ) e t y ( t ) a u t e m p s t . s i , d e p l u s , o n rèmplace ies dérivées par leurs approximations obtenues à I'aide de la méthode des différences finies centrées, on a ainsi:

ôx

ô t = x ( t + ^ t ) - x ( t - A t ) / 2 A t

# = x(t + ^t) - 2x(t) + x(t - At) / nt'

On peut alors réécrire notre fonction f (. . .) :

f ( x , , Y t i * t - 1 , Y t - l i * t - 2 , Y v z ; . . . o r , o , . . . ) = 0

On appelle ordinairement ce type de modèle, modèle "entrée-sortie".

Quand le système que lron déerit est très eomplexe, on est alors obligé dradapter une formulation plus simple où l'éeart dfajustement entre les valeurs caleulées et les v a l e u r s o b s e r v é e s e s t p r i s e n c o m p t e p a r " e J ' q r ' o n a p p e l l e l e r é s i d u o u I'erreur entre lrajustement et la valeur mesurée au temps t. Alors f(...) de- v i e n t f * ( . . . ) :

1 * ( x t , y 1 i * t - 1 , y t - t i x t - z , Y t - z i

L'équation, telle quton la retrouve ci-haut, est une équation implicite. On peut la réécrire d'une façon qui est plus convenable en explicitant y en fonction des différentes variables. Alors, lréquation devient la suivante:

y t = f * * ( x t , * t _ 1 , x t _ 2 . . . i y t _ t , y 1 _ 2 , . o r , o , . . . ) * . t

Dans cette équation, O, et O2 sont des paramètres du modèle et sont habituellenent déterminés à lnrtir de calctùs ou en effectr.rant des nesures. t'.,t' e s t u n r é s i d u e t i l e s t é g a l à l a d i f f é r e n c e e n t r e l a v a l e u r y 1 e t l a v a l e u r donnée par la fonction f**. Lrart de ehoisir la fonction f** qui permet d'évaluer la valeur de y1, crest-à-dire [a valeur de la nariable dépendante au temps t, de façon à ce qde cette équation soit satisfaisante pour le but que I'on poursuit en fabriquant le modèle ou en établissant une description mathématique du système, s'appelle I'ART DE MODÉLISER

Si les variables *t , Yt ou .t peuvent être considérées comIIE ayant une distribution de probabilité, certains auteurs disent que le modèle est un modèle STOCHASTIQUE; dans le cas contraire, le modèle est appelé DETERMINISTE.

Si la fonction f** est établie à partir des considérations du processus physique, c'est-à-dire en essayant de décrire ce qui se passe physiquement ou en essayant de décrire les relations physiques entre les variables, on dit alors que le modèle f** est un MODELE CONCEPTUEL. Dans le cas contraire, le modèle est appelé MODELE EMPIRIQUE. Les MODELES EMPIRIQUES sont aussi appelés MODELES SYNTHETIQUES ou encore BOITE NOIRE.

Si, dans un modèle, le principe de superposition peut être vérifié, on dit alors que le modèle est linéaire selon la théorie des systèmes, ee qui se traduit d e l a f a ç o n s u i v a n t e : c o n s i d é r o n s q u e y , e s t l a r é p o n s e d u n n d è l e à l a

s o l l i c i t a t i o n * t ; et que, Vtt est la ré1rcnse du nrcdèle à la sollicitation *tt i le principe de linéarité selon lathéorie des systèrres signifie quer yt * y1, est l a r é p o n s e d u s y s t è m e à l a s o l l i e i t a t i o n * t * * t t . E n u n r n t , s i l a s o m n e d e s r é p o n s e s d u m o d è l e e s t é g a l e e t i d e n t i q u e à l a s o m m e d e s e n t r é e s correspondantes, oD dit alors que le modèle est linéaire selon la théorie des systèmes.

On doit, cependant, distinguer un autre type de linéarité qui est souvent utilisé dans la littérature; il s'agit de la linéarité par rapport aux paramètres du modèle. Quant un modèle est linéaire, par rapport aux paramètres à estimer, on dit qu'il est linéaire selon le sens de la régression statistique.

y = a + b X + c X ,

L'équation précédente est du type linéaire selon le sens de la régression statistique alors qu'elle est non-linéaire selon le sens de la théorie des systèmes.

Si, dans un modèle, on ne tient pas compte de la distribution spatiale de la variable drentrée ni de la variation spatiale des paramères, on dit alors que le modèle est du "typ" agrégé (lumped)". Par eontre, si, dans un modèle, on tient compte de la variabilité spatiale et même temporelle, on dit alors que le modèle est de type distribué (discrétisé). Dans ce cas, on distingue deux approches:

a) quand on décrit la variabilité spatiale sans tenir compte de la eonfiguration géométrique des points du réseau d'obsérvation des données d'entrée, ou encore, sans tenir compte de la configuration géométrique des points où I'on doit évaluer un paramètre, on dit alors que le modèle est distribué drune façon probabilistique ;

b) dans un modèle où la variabilité des paramètres ou encore des données d'entrée est exprimée en termes drorientation des points entre eux ainsi que de leur distance, on dit du modèle qu'il est géométriquement distribué.

Ces notions de discrétisation seront explicitées davantage au chapitre 13 dans lequel on discute des modèles de bassin.

2.4 Démarche théorique de la modéIisation

Un modèle M, quel qu'il soit, est en quelque sorte I'intermédiaire entre un champ théorique dont il est une interprétation et un champ expérimental dont il est une synthèse (Walliser, L977) .

Cette relation dfinterprétation et de synthèse est bien explicitée par le schéma de la figure 2 .1.

P R O B L E M E D ' I N T E R P R E T A T ] O N

PROBLEME DE VALIDATION

@ I

I ExPERT MENTAL I

Figure 2.1: Relation modèle, champ théorique et champ expérimental (draprès Walliser, L977).

La même démarche peut-être appliquée à une variable. En fait, une variable est un intermédiaire entre un concept qu'elle représente et des grandeurs observables sur lesquelles elle s'appuie (figure 2.2).

P R O B L E M E D E S I G N I F I C A T I O N

@ I

_ +

PROBLEME DE CONSTRUCTION

@ I

I oBSERVABLES I

Figure 2.2: Rôle drintermédiaire dfune variable (dtaprès Walliser, 19??)

Si I'on se base sur le rôle dfintermédiaire du modèle on peut distinguer quatre phases dans la démarche de modélisation que I'on peut présenter selon le schéma de la figure 2.3. Dans ce schéma, on eonstate comment, en eheminant à travers ees phases, le modèle peut être amélioré.

F O R M A L I S A T I O N

EXPERIMENTAT IO N

Figure 2.3: Schéma décrivant les phases de la modélisation (adaptée de Walliser, Ls77)

La phase déductive eonsiste à déduire dtun modèle théorique un modèle analytique, contenant aussi bien des variables observables que non observables, et donc susceptible drêtre testé, soit dans ses hypothèses, soit dans ses conclu- sions; le modèle déduit est un modèle hypothétique.

L a p h a s e p r é v i s i o n n e l l e e o n s i s t e , à p a r t i r d u m o d è l e h y p o t h é t i q u e précédent, à imaginer des expériences permettant de le tester.

La phase descriptive consiste à intégrer les observations dans un modèle analytique nouveau ou dans un modèle préexistant. On confirme ainsi les hypothèses faites sur les paramètres ou lfon calcule la valeur de ceux-ci.

H A N I P U L A T I O N C H A M P E X P E R I M E N T A L

L a p h a s e i n d u c t i v e c o n s i s t e à a n a l y s e r l e s é c a r t s e n t r e l e m o d è l e hypothétique et le modèle confirmé et à en induire les modifications à apporter au modèle théorique préalable.

Cette démarche nous amène à définir certaines qualités d'un modèle en fonction de son eontenu; il pourra être évalué selon les critères suivants:

- sa validité théorique, crest-à-dire sa plus ou moins grande compatibilité avec les modèles théoriques précédemment validés;

- sa validité anal5rtique, c'est-à-dire sa plus ou moins grande compatibilité avec des modèles analytiques eonfirmés, présents ou passés ;

- sa fécondité, crest-à-dire les possibilités qu'il ouvre par sa formulation, d'inductions ultérieures sur des modèles théoriques;

- sa falsifiabilité, c'est-à-dire sa capacité à engendrer des modèles analytiques qui soient réfutables par I'expérience;

- sa flexibilité, c'est-à-dire la possibilité plus ou moins grande qu'il offre de sradapter à de nouveaux modèles théoriques ou empiriques;

- sa simplicité, c'est-à-dire le nombre réduit drhypothèses et d'étapes de raisonnement qu'il utilise;

- son exhaustivité, c'est-à-dire sa capacité à décrire complètement des systèmes nombreux ou un même système sur une longue période, malgré leurs transitions éventuelles .

2.5 Démarche pratique de la modélisation

n est probablement vrai de dire que personne ne comprend vraiment comment nait un modèle. Cependant, quoi que I'on dise, il est possible de mettre en relief une approche générale qui peut être utile dans lfélaboration et le développement d'un modèle. Ltapplication d'un modèle au monde réel n'est pas simple. Chacune des étapes de recherche dans le développement du modèle pourra même suggérer la modification, voire I'abandon des idées premières. Il devient alors évident qu'une approche réaliste concernant la construction d'un modèle doit être une approche itérative, comme le suggèrent Hamilton et al.

(1969) et comme on peut le voir sur la figure 2.4.

Le processus itératif appliqué lors du développement de la structure dfun modèle peut être comparé à ce qui se passe dans un laboratoire ou dans un tunnel où les ingénieurs et les scientifiques utilisent les résultats drobservations pour améliorer la conception des modèles physiques. Dans notre cas, les tests physiques sont remplacés par les simulations faites sur calculateur. La simulation du modèle initial peut fournir des résultats qui sont inadéquats pour représenter le système réel que lron veut modéliser mais on peut quand même en

déduire des idées pour poursuivre des recherches additionnellds qui devraient alors conduire à de meilleurs résultats. Il convient de séparer le processus illustré sur la figure 2.4 en cinq principales étapes: définition du problème, formulation du modèle, simulation du modèle, validation du modèIe et application.

2.5.L Définition du problème

Le développement drun modèle pour la simulation dfun système devrait eommencer par la formulation du problème ou par l'établissement clair des objectifs de I'exerciee. On doit prendre bien soin de ne pas construire de modèle de système sans avoir un but précis dans lfesprit. On ne construit pas un modèle pour lui-même mais on le eonstruit bien dans un but précis. Ceci peut sembler une étape évidente mais la détermination du problème ou des problèmes et de leurs objectifs est la partie la plus eritique des activités de conception d'un modèle. Les questions auxquelles on doit répondre eontrôlent effectivement la structure et le coneept du modèle. Ces questions doivent être très claires si I'on veut que l'étude progresse d'une façon satisfaisante. Autrement, les décisions importantes qui doivent être prises durant ltétablissement ou la formulation du modèle seront impossibles à prendre correctement. Les questions critiques auxquelles le modèle devra répondre doivent être clairement établies, et raisonnablement détaillées, au début de la eonstruction du modèle, même si I'on s a i t q u ' e l l e s s e r o n t r e d é f i n i e s à m e s u r e q u e I ' e x e r c i c e d e c o n s t r u c t i o n progressera. Les questions trop générales peuvent empêcher lrétablissement drun cadre adéquat pour lfétude. Par contre, les questions trop précises peuvent réduire lrinvestigation à des domaines qui ne comprendront pas la réponse. Il serait, par exemple, parfaitement raisonnable d'avoir comme objectif de eonstruire un modèle pour comprendre le comportement drun système mais il est important dtaffirmer alors que I'on met I'accent sur la compréhension du phénomène et non sur le modèle lui-même.

2.5.2 Formulation du modèle

La formulation du modèle peut être décomposée en cinq phases, à savoir, Ia sélection des variables, le choix du niveau approprié d'agrégation et de catégorisation, la décision pour le traitement de l'évolution dans le temps, la description et la calibration.

oÉnrurrrorv Du PRoBLÈME

FORMULATION DU

u o o È l g r N t T t a L

V A L I D A T I O N O U M O D E L E S I M U L A T I O N D U M O O Ë T E

R E F O R M U L A T I O N D U

u o o È l s

A P P L I C A T I O N D I . ' MOOÈLE

Figue 4

b-1 Sélection des variables

Une des plus grandes difficultés dans la construction des modèles, et qui demeure le problème de base, est de décider quelles sont les variables et les rela- tions importantes à inclure dans le modèle. Beaucoup de variables à inclure auront été déterminées lors de la définition du problème. Ce sont parti- culièrement les variables de sortie du modèle. Il y aura, cependant, des variables additionnelles qui bien qu'elles ne soient pas requises comme sortie du modèle, sont importantes parce qu'elles sont en relation avec les variables de sortie. Stil y a une relation importante de cause à effet entre une variable et une ou plusieurs des variables de sortie du modèle, alors celle-ci devrait être incluse dans la formulation du modèle. Le eonstrueteur de modèle doit aussi avoir I'imagination et la capacité de choisir les facteurs qu'il croit être importants, en se basant évidemment sur sa connaissance de la situation.

b-2 Niveau d'aFréAation et méthode de classification

Une fois qutil a été décidé d'inclure une variable, on doit décider comment la classifier et quel niveau dtagrégation est approprié. Le niveau d'agrégation qui est aeceptable au développement drun modèle dépend fondamentalement des réponses apportées aux deux questions suivantes:

- la question à laquelle le modèle doit répondre peut-elle être résolue en terme de variables qui soient agrégées ?

- les relations du monde réel peuvent-elles être adéquatement représentées par les agrégats ?

b-3 Le traitement du temps

La façon dont le temps est incorporé dans le modèle est un des points les plus critiques dans l'établissement drun modèle. Il est aussi malheureusement un des plus difficiles. Il y a deux aspects du traitement du temps qui sont significatifs; le premier est essentiellement une considération de planification et est relié à la période pendant laquelle le modèle sera utilisé. Le second aspect se rapporte à la manière dont le temps sera considéré à I'intérieur du modèle et ceei est beaucoup plus difficile. Crest en partie matière à eonsidération pour le planificateur et aussi en partie une question d'établissement du modèle. Des modèles décrivant une situation qui change continuellement devraient être une meilleure représentation du système que les modèles décrivant un système à un temps donné seulement. Il est aussi désirable d'avoir des résultats à partir des

modèles pour des points intermédiaires dans le temps de telle sorte que I'on pourra établir la façon dont le système se comportera dans le temps.

C e p e n d a n t , l e d é v e l o p p e r n e n t e t I ' o p é r a t i o n d e m o d è l e s q u i c h a n g e n t continuellement (modèle dynamique) sont beaucoup plus difficiles que la cons- truetion de modèles statiques, c'est-à-dire qui sont en équilibre. Bien que lrattention se porte maintenant sur des systèmes dynamiques, presque tous les modèles qui ont été utilisés jusqu'à maintenant sont des modèles de type statique.

b-4 Deseription

Jusqurà maintenant, des décisions ont été prises à propos des buts pour lesquels le modèle sera utilisé. Le besoin de spéeifier la variable à inclure et de choisir sur le niveau approprié d'agrégation et la méthode de classification pourra forcer le constructeur de modèle à faire eertaines hypothèses à propos de la structure et du eomportement du phénomène qu'il essaie de reproduire.

Lrétape suivante dans la construction du modèle implique une description explicite de lrhypothèse (ou des hypothèses du comportement du système) et la traduction de ces hypothèses en termes mathématiques. Une façon évidente de démarrer est drétablir une description verbale du système dont on se préoccupe.

Ce modèle verbal décrira les caractéristiques importantes du système et comment elles interagissent les unes avee les autres. II déterminera ce qui est raisonnable pour les hypothèses concernant la structure du système et son comportement. Lorsqu'elle sera complète, la description verbale peut alors être traduite en termes mathématiques pour le modèle. Ce sera rarement un processus direct. Cette étape implique le choix des techniques mathématiques les plus appropriées.

b-5 Calage du modèle

La description du modèle en termes mathématiques inclura normalement des constantes ou des paramètres qui ajoutent des dimensions arxx relations du modèle. Si la forme et la structure du modèle sont satisfaisantes, c'est-à-dire que si le modèle a déjà été utilisé et qu'il a prouvé son efficacité dans des occasions précédentes, le calage est relativement un processus direet pour déterminer les valeurs de paramètres qui permettront d'obtenir le meilleur ajustement entre le modèle et la situation observée. Quant un nouveau modèle doit être élaboré, les procédures de calage ne peuvent être conçues aussi simplement et doivent être choisies de deux étapes, soit la simulation et la valida-

tion . Dans ce eas, les ajustements concernent autant structure du modèle que la définition des valeurs des simple de calage n'est pas approprié.

2 .5.3 Simulation et validation du modèle

les relations de base et la paramètres et un concept

Une fois que la formulation initiale du modèle est achevée, sa capacité à reproduire les caractéristiques et le comportement du système réel doit être vérifiée. Il est important de réaliser que des détails de la formulation du modèle ont pu être modifiés ou que la compréhension du système n'était pas tout à fait exacte. Alors, une simulation sur calculateur avec le modèle initial peut contribuer à mieux comprendre le système. Le résultat dfune telle simulation pourra conduire à modifier ou changer la formulation initiale. Ceci pourrait être le eas, par exemple, quand les résultats dfune relation particulière à I'intérieur du modèle produisent des résultats qui semblent irraisonnables si I'on se base sur des données ou lrexpérience du passé. Si cela devait arriver, alors une recherche en profondeur sur la forme de cette relation peut sravérer nécessaire (eeci pourrait impliquer en plus une acquisition de données supplémentaires).

Alors, on devra vérifier à nouveau le modèle en fonction des nouvelles données.

Cette procédure itérative qui est le coeur même du processus de construction d'un modèle implique des vérifications fréquentes sur la validité du modèle. La partie de validation du modèle est extrêmement difficile. En général, il y a peu de domaine où lron a une information parfaite. Ainsi, nous ne pouvons jamais vraiment prouver qu'un modèle est une exacte reproduction de la réalité. De plus, il est souvent diffieile de valider un modèle en raison de la limitation et de la quantité des données disponibles.

En pratique, puisqu'il est impossible de dire si le modèle est une représentation exacte de la réalité, la validation devient alors une question de jugement. Ainsi, la justesse du modèle sera jugée en fonction de lfimage mentale ou de diverses autres représentations que I'on aurait pu utiliser à sa place. La question n'est plus seulement de savoir si le modèle est tout simplement valide ou pas. On peut penser qutun modèle est réussi s'il aide à améliorer lrexactitude avec laquelle nous pouvons représenter la réalité.

Vérifier la qualité de I'ajustement dans ce contexte est une étape critique dans le développement du modèle. Il s'agit de mesurer lfaptitude du modèle à répéter la performance du monde réel quril représente dans les limites qui sont accepta- bles. La validation ou l'évaluation de la qualité de I'ajustement du modèle sont en quelque sorte une assurance que le modèle fait ce pourquoi il a été eonstruit.

Il y a quatre critères de base qui peuvent permettre drévaluer un modèle:

c-1 Exactitude

On jugera, évidemment, qu'il est plus vraisemblable qu'un modèle donne une évaluation correcte du futur sfil peut recréer la situation actuelle d'une façon correcte. L'exactitude de Ia performance du modèle peut être évaluée avec I'aide de calculs statistiques en fonction de la structure du modèle qui est utilisée. On comparera alors certains comportements critiques du modèle face aux mêmes comportements dans le monde réel.

e-2 Validité

Bien que lrexactitude en termes de comportement du système soit d'une importance évidente, la validité de la structure du modèle en termes de relation entre les variables est au moins égale, sinon dtune plus grande importanee.

L'importance de la strueture du modèle tient au fait que si toutes les composantes du système sont adéquatement déerites dans le modèle et que si les interrelations sont adéquatement définies, alors la performance du modèle peut difficilement ne pas être exaete. En drautres mots, il n'est pas impossible qu'une variété de combinaisons ineorrectes de composantes et,/ou de relations produisent un comportement apparemment exact si on le compare au système existant.

Cependant, il est peu probable qutune structure invalide fournisse un guide valide pour le comportement futur du système. ,Chaque équation dans le modèle doit au mieux exprimer une relation directe de cause à effet entre les variables qui sont incorporées dans le modèle. Le problème est de savoir comment identifier la ehaîne de cause à effet dans une situation complexe. Cependant, le comportement du modèle sera vraisemblablement correct s'il est formulé sur la base d'hypothèses bien pensées qui ont été soumises à des essais rigoureux.

c-3 Constance

Ce critère n'affecte pas la valeur du modèle comme modèle descriptif, mais il est dtune importance critique quand le modèle doit être utilisé pour des p r é d i e t i o n s . C e c r i t è r e c o n c e r n e l f a p t i t u d e d e s r e l a t i o n s q u i e x i s t e n t présentement à demeurer constantes au eours du temps. Pour certaines relations, il n'est pas évident de penser qu'elles vont changer ou de nier cette possibilité. n y en a où lron peut déceler des facteurs qui, n'étant pas inclus présentement dans le modèle, auront une importance beaucoup plus grande dans le futur. De plus, il peut aussi y avoir des changements dans I'importance de chacune des variables qui sont déjà incluses dans le modèle.

c-4 Disponibilité d'estimations des variables

L ' a p t i t u d e d ' u n m o d è l e à p o u v o i r p r é d i r e o u n o n I e f u t u r r e p o s e essentiellement sur la possibilité d'estimer des valeurs futures pour les variables principales. Une des considérations que I'on doit toujours garder à lresprit durant la description des variables qui doivent être incluses dans le modèle est la facilité et Ia précision avee lesquelles elles peuvent être évaluées ou prédites.

Evidemment, il est peu utile dravoir un modèle qui décrive très bien une situation existante, mais qui, lorsquril est utilisé pour prédire, repose sur des variables dont les valeurs futures ne sont rien de mieux que des suppositions.

2.6 Tvpes de modèles utilisés en pratique

Les différents types de modèles utilisés en pratique se regroupent en quatre principales catégories établies d'après les fonctions de base des modèles qui sont liées à la nature de lrutilisation de ceux-ci:

. Une fonction cognitive: le modèle sert à représenter les relations qui existent entre variables d'entrée et variables de sortie du système.

. Une fonction prévisionnelle: Ie modèle sert à prévoir comment évolueront les variables de sortie du s5rstème en fonction de l'évolution probable des variables externes et d'h5pothèses de fixation des variables de commande.

. Une fonction décisionnelle: le modèle sert à déterminer comment fixer les variables de commande pour atteindre les objectifs que lron s'est fixés sur les variables de sortie, compte tenu de l'évolution probable des variables externes

. Une fonction normative: le modèle sert à représenter les relations souhaitables entre variables d'entrée et de sortie du système.

It faut ajouter que ce ne sont pas là les seules fonctions des modèles. À c"s quatre fonctions primaire, on peut assoeier drautres fonctions liées plus profondément à lrutilisation des modèles: fonction pédagogique, fonction de recherche, fonction de concertation, fonction idéologique.

2.6.L Les modèles coAnitifs

A u s e n s l a r g e , u D m o d è l e c o g n i t i f a p o u r f o n c t i o n d e f o u r n i r u n e représentation plus ou moins conforme d'un système existant, mettant en évidence certaines de ses propriétés et permettant éventuellement d'en déduire dtautres

@ ) . A u s e n S r e s t r e i n t , u n m o d è l e c o g n i t i f d o i t f o u r n i r u n e

relation aussi bonne que possible entre les entrées et les sorties du système et,

en particulier, préciser I'influence

@ ) ( f i g u r e 2 . S ) :

relative des diverses variables d'entrée

Figure 2 .5: Schéma du modèle cognitif

on ne peut se construire un modèle cognitif de eomplexité donnée d'un système que si I'on possède une information qualitativement adéquate et quantitativement suffisante du système. Plus précisément, on dira qutun s y s t è m e e s t i d e n t i f i a b l e s i , s u r u n e p é r i o d e d o n n é e , I ' o b s e r v a t i o n d e * t e t y t , v a r i a b l e s d t e n t r é e e t d e s o r t i e , e t l a c o n n a i s s a n c e d e . t , v a r i a b l e d e commande, permettent de déterminer F de façon univoque.

2.6.2 Modèles prévisionnels

Au sens large, un modèle prévisionnel a pour fonction, à partir de la c o n n a i s s a n c e d t u n s y s t è m e d a n s d e s s i t u a t i o n s d o n n é e s , d t i n f é r e r s o n comportement dans des situations non eneore observées (modèle de simulation).

Au sens restreint, un modèle prévisionnel doit permettre, à partir de la connaissance des variables dfentrée et de la relation entrée-sortie du système, d'évaluer la valeur des sorties dans le futur (modèle de prévision) (figure 2.6).

Figure 2.6 : Schéma du modèle prévisionnel - t t

- -

Y

m 1

- t t

- -

Y

m 1

On ne peut construire un modèle prévisionnel que si I'on est capable de mettre en évidence des invariants du système assez profonds pour pouvoir être généralisés dans des domaines non encore explorés. Plus précisément, on dira qu'un systènæ est prévisible si, srlr une période donnée, la connaissance de rr1, l r e x t r a p o l a t i o n d e * t e t l a s t a b i l i t é t e m p o r e l l e d e F p e r m e t t e n t d e déterminer yt.

Tout modèle prévisionnel admet un degré de validité qui est drautant meilleur que lfon utilise Ie modèle dans des situations plus proches de celles où il a été testé. Dans le eas d'un modèle analytique aléatoire, la marge d'erreur de la sortie peut être précisée en fonction des variables d'entrée prévues et de I'horizon considéré.

2.6.3 Modèles décisionnels

Au sens large, un modèle décisionnel a pour fonction de fournir à un décideur des informations lui permettant d'éelairer une décision visant à modifier le système (modèle de décision). Au sens restreint, un modèle décisionnel doit permettre de fournir les valeurs optimales des variables de commande au regard de eertains objectifs, compte tenu des variables d'entrée (modèle d'optimisation) ( f i g u r e 2 . 7 ) .

Figure 2.7: Schéma du modèle décisionnel

On ne peut atteindre certains objectifs pour un système que si I'on possède, outre une eonnaissance suffisante de lrétat futur du système, des moyens dtaction qualitativement adaptés et quantitativement assez puissants. Plus précisément, on dira qu'un système est commandable si, sur une période donnée, il existe, pour des valeurs données de xa , des valeurs de rl1 perrnttant dratteindre les objectifs sur yt (en particrùier, de nnintenir ou d'atteindre un état donné).

2.64 Modèles normatifs

Au sens large, un modèle normatif a pour fonction de fournir une représentation plus ou moins idéale d'un système à créer, mettant en évidence certaines de ses propriétés souhaitables (modèle prescriptif ). Au sens restreint, un modèle normatif doit fournir une épure d'un système reliant en fonction de certaines propriétés des entrées et des sorties (modèle constructif) ( f i g u r e 2 . 8 ) .

Figure 2.8 : Schéma du modèle normatif

On ne peut construire un système d'après un modèle normatif que si ce système est physiquement cohérent et socialement acceptable et sril existe un moyen de I'assembler à partir d'éléments existants et à I'aide de teehniques existantes. PIus préeisément, on dira qu'un système est réalisable si, sur une p é r i o d e d o n n é e , l a d o n n é e d e x t , m t e t y l p e r n e t d e d é f i n i r u n e f o n c t i o n F qui puisse les rendre compatibles.

2 . 7 C O N C L U S I O N

La modélisation est un art et it n'y a pas de règle précise qui régisse ltétablissement d'un modèle. Comme on I'a vue précédemment, la modélisation est une démarche basée sur la perception, Ia connaissance et la compréhension de Itobjet de la modélisation. Si, dans cette démarche, les objectifs sont bien fixés, Ia description des processus exprimée clairement, ainsi que les hypothèses qui les sous-tendent, il serait surprenant que le modèle ne soit pas bon.

Comme cette démarche est très personnalisée, il est aussi normal de retrouver de nombreux modèles. Enfin, si lton retrouve dans la littérature un si grand nombre de modèles pour un même problème, cela démontre bien que ttLE M O D È L E " n ' a p a s e n c o r e é t é i n v e n t é e t q u r i l y a d u t r a v a i l p o u r l e s modélisateurs.

X +

m 1

t\

\

C h a p i t r e 1 3 - L a d ë m a r c h e d é c i s f o n n e l l e d a n s L a m o d . ê I i s o t i o n d , u n b a s s f n v e r s a n t T ABLE DES N:AT IÈRES

13-1 Choiæ, êlaboroti,on et utrlfsatton d'un modèle de bcssin 1 ï 2 T y p o l o g i e d e s m o d è l e s d e b o s s f n

1T3-3 DêfinËùon du bossfn de drainage

7f 4 Modêh satfon de la gêomêtri.e du bossrn de drainage lf 4' 7 lvlo dèle agr êg ê ( global-lump e d)

l f 4 - 2 M o d è l e d i s c r ê t t s é ( d j s t r i b u t e d ) I Y 4 - 3 M o d è l e à s o u s - b a s s f n s

ly4-4ModèIe discrêtisê en mailles 1Y4- 5 C atêgorisotion des modèles

' !

' - i ï 5 \ v r o a ê l i s a t i o n des processus physiques du bossfn de d.rai.nage 1 3 - 5 - 1 L e s f o n c t t o n s d e p r o d u c t t o n

lYf2Les fonctfons de transport 13-6 Le caloge des modèles

1 ï 6 - l L l i n a d ê q u a t i o n d e s c o m p o s o n t e s e t d . e la s t r u c t u r e d u m o d è l e lY 6- 2 Le s mêt, hode s d,o ptimf sotfo n

I.F6-3 Les mêt.hodes d,optimrsotùon utilfsées por les hydrologues 1y6-4 Les f onc/lons crûtère utilfsées

1 f 6 - 5 L e s t y p e s d e f ondions crtlùe

13-6-6 LEs fonctrons crftère utilisêes por les hydrologues 113.6-7 Les strotfotes de calage utilisées par les hydrologues .,,-13-6-8 Les mêt,hodes de vértfication utflf sées

7 1 7 U a n a l y s e d e s e n s f b i l û t é

1 ï 7 - l L e s p r i n c r p e s d e I ' c n o l y s e d e s e n s i b i l f t é 13-7-2 Les technrques d,e lanalyse de sensrbftité 1f7-3 Les utrlfsatfons de llanalyse de sensibitfté f3-8 Eæemples dapplication

13'8-1 Êtuae du système hydrologique ctulac Laflarnrne au Québec 13-8-2

A

13-1 Choiæ, êlaboration et utflfsation dtun modèLe de bassin

La structuration sous lo forme d'un modèle d,une combinarson de processus lfés ou cycle de lteau deffectue survant un ordre porticulie tel que le prêsente les êtapes du cheminement de modêlisation de la figure 13-1. Cependant, la mod,êIî.sation ne peut se faire scns identifier au prêalable les objectif s gênêrauæ et spêcifiques à ltfntérieur

desquels doft dfnscrire cette modêlisati,on. En effet, ce sont ces objectffs qui dêfini ront la nature et la vari.êtê des processus à modêliser, ofnsf que ltampleur et le niveou ' de précisron d.e leur modêtisation. Par eæemple, on ne mod,êIise pos pour un dêbit

mensuel d.e la mème façon que pour un d.êbit horaire. On ne fait pas le mème mod,èle pour lc gestion d'un batage que pour le calcul des dêversoirs de crue. On ne modêli- sera pqs les processus de fonte de neige dons une rêgion tropicale olors que dcns une autre (Quêbec) fls demeurent prêpondbonts pour la crue de prtntemps. Dans certats

nes rêgfons où ce sont les processus dtécoulement souterroins quf d.ominent, Uaccent sero mis sur Ithydrogêologie plutôt que sur Uhydrologie de surface.

D ê p e n d a m m e n t d u b u t p o u r s u r u r , si lc modêlisotion se pose dons Ie conteæte d'un ,. )zventcire gênêral pour des ffns de plonification ou bien dcns celui de ltamênagement d.u territoire ou encore dans celui du desf gn douvroge, la modêltsation dærra ètre plus ou moins compleæe et plus ou mofns prêcise en terme de reprêsentativitê de ltensemble des processus. Donc sf lc modétrsation a pour but d.e fournir une informatton prêlimi.naire cellect dqtra ètre simple et rapide. Sf por contre ltinf ormation d.ott ètre prêcise et com- plète pour fin de desfgn d.e type d,ouvrage ta mod.êlisatfon sera plus complète, plus c o m p l e æ e e t p l u s p r ê c i s e . D o r e s e t d ê j à o n d o t t c o m p r e n d r e e t c o n c l u r e q u e l ' u t i l i s a tion ultêrieure du modète justifie, conditionne et guide la dêmarche de Ia modêtisqtion.

ParallèIement o.uæ objectif s poursururs, la réalisction de la d.êmarche de modêlisctfon devra prendre en compte trods contraintes de mod.êIisation.

On notera en premier la nature, la qualitê et la quantitê de ttinf ormation disponfble sur le bassûn à modêliser. Si por exemple pour ltêvaluation d,une probabû.ttê de crue on n e d f s p o s e q u e d e 5 o u 6 , a n n ê e s d t o b s e n t a t i . o n , i l e s t f n u t i l e d t u t f l f s e r u n m o d è l e s t æ chasti.que de bossûn du type loi de probobf,,itê. Par contre, sf cette observation s'êtend s u r 2 5 o u 3 0 a n s , c e t t e a p p r o c h e s e m b l e to u t à fait approprilæ. Ileæpêrience acquise e r \ n m o d é l f s o t i o n d e s b o s s f n s v e s c n t ( D e s c h e s n e s e t V i l l e n e r m e , 1 9 8 3 ; L e d o u æ , 1 9 8 0 ;

Bachmat et al., 7980; Fleming 7979, 1975; Rcudkrvi, 7979 et Yfessman et al., 1977) dêmontre que le degrê de réussrte en mod.élfsotion des systèmes hydrologrques repose, dtune part, sur lthypothèse que I'information dêcrit au mieux la rêalitê du système et, dtautre part, sur le niveau de simplification que Uon peut faire du systàme rêel pour que le problème soû abordable mathêmatiquement, conf ormêment à ta rêotitê. Llinf ormt tion a aussf une importance copttale pour la dêfinitfon des pos de temps et d'espace.

Sf' par. eæemple, les d.onnêes obsentêes sur te bassfn (prbipttation, tempêrature, dêbit) sont au pcs de temps journatier fl seroût fllusoire de vouloir modêIier ou pas de temps horaire. Si, par eæemple, les donnfus sur l,êtendue de la gêologie de la nappe sont de I'ordre de 5 km, tl seraË hcscrdeuæ, a priorf, d,cvofr une discrâisation spa- ticle plus fine que 5 km.

La d.euæième contrainte à consf dber dcns la dêmarche de modétfsotion d'un bassfn verscnt est Aêtat actuel des conncûssonces des processus que l'on dtt prendre en compte dans la poursuûte des objectif s pour lesquels s,ef fectuent la modéUsotion. Ijêtat

L

des connafssonces inclut êvidemment toutes Les modêlisations dêjà acqufses et quf se veulent et se prêsentent comme une modêlisatron ef fi,coce du processus consf dérê.

Comme on a pu le voir dans les autres chcpitres, rl eæfste une grande variêtê de modèles de processus,' trors questions se posent olors dans lc dêmarche de lo modéltsa- tion du bcssfn où lton c chofsf dtinclure tel ou tel processus porûculier pormi ltensemble d e s o u t r e s .

Eæiste-t-fl. un ou plusfeurs modèles du processus suf fisamment êLaborê et prênis pour atteindre nos objecttf s de modélisation? Sf oui, lequel de ces modèles doit-on choisfr? Si non, les conncf sscnces actuelles sont-elles suffiscnte s pour amêIiorer ou dêvelopper un mod.ète d.e processus et est-ce que ttobjectif poursuivile justifte?

E n f i n , l a t r o i s i è m e c o n t r a i n t e à p r e n d r e e n c o m p t e d a n s l a m o d , ê l i s o t i o n d u b a s s i n est Ia nature du bcssfn et llimportance relative de chacun des processus qui s'y réali:

sent et ce par rapport auæ objectifs de lc modélrsotion. Dons certoines rêgions du Quêbec, par exemple, la varicbrlrtê d.es processus d,hyd.roiogie d.e surface sont domf- n a n t s p a r r d p p o r t à l c s t a b f , r t é d e s p r o c e s s u s s o u t e r r o û n s q u i . o n t u n e i m p o r t o n c e r e l r ,.-tfve. Ce sont donc les processus de surface, Cest-à-dire de transf ert verticaux et ''.-.lorizontcuæ à la surf ace qui recatront le plus dtottention. En France, pc,r contre,

dans certoines rêgi,ons où la géologte et la structure du bossf n f ont que l'écoulement est rêgi parle mfl,ieu souterradn, on attachera olors plus dtrnportance auæ modèles de præ c e s s u s q u i r é g i s s e n t c e t y p e d , ê c o u l e m e n t .

E n f t n , n o t o n s q u e l e c a d r e d t u t r l r s c t i o n (c o n t r o i n t e s d e c a l c u l , n t v e a u t e c h n i q u e d e Ituttlrsoteur, etc.) dodt cussf faire partie des contrcintes de la modêlisation. Il faut olors tenir compte de lo capacttê d'obterttion des donnêes nêcessofres cu caloge et à la mtse cu poi.nt du modèle, du niveau de difftculté et de compleæitê tant pour ltutflûsotfon

et ltopêration du modèle que pour l'utilfsotron et l'interprêtation des données f ssues de ce modèIe

D u n e f açon gênêrale, on peut dire que Ie but ultime dtun modèle de bossin est daider par Ia comprêhensfon des phênomènes et de leur comportement à prendre des d é c i s i o n s p o u r l e m i . e u r è t r e d e s h u m a r n s . C e t t e u t ù l i s o t r o n d u m o d , è t e d e b a s s i n s t t n s c r f t d a n s l e c a d r e p l u s g ê n é r a l d e l o g e s t f o n d e s r e s s o u r c e s e n e a u o u l e b u t p o u r s u i v f ,-€-st une utflf sation rationnelle et optimale de la ressource eou.

(-i Pour attei,ndre ce but, diffêrents objectifs plus spêctfiques devront ètre fiæês par le planificoteur qui êtablit les polftûques d'utflfsatron, de gestion, devalorisctfon des ressources en ecu à court, à moyen et à long terme. Bien que ces potitiques soient gênbolement dêfinies pour Itensemble du pays, c,est au ntveau cu bassfn d.e drainage que se tradufsent dans les fcfts les actions à prendre (aménagement, construction, opbation) t en prenant en compte le mieuæ possible les interrelations entre bassfns.

13.2 Définitfon des types de modèles de bossfn

Dans les chcpftres qui précèdent, on dest penché sur modêlfsotfon de chacun des processus' et des êI&nents constitutifs du cycl e de l,eou. On a trattê de Ia prêcipitr tton, de Ltinterception, de l'êvapotranspirction, du ruùssellement, de ltinfiltration, de Aêcoulement en rtviùe, d.e l'êcoulement souterrof n et de la fonte de neige. On a alors modélisê ces processus et Cest à partir de ces modélisotrons, deleur regroupement, de Ieur intêgration et de ltétobltssement de leurs interactions, que I'on constitue un modèIe d e b q s s i n .

Uappellation modèIe de bqssin est une noti.on particulière en ce sens que le mod.èle ) d e b o s s i n s e v e u t u n e r e p r ê s e n t a t i o n m a c r o s c o p i q u e d e l l e n s e m b l e d e s p h é n o m è n e s h y d r o l o g i q u e s , d o n t l a r é a U s o t r o n co n d u t t à l a p r o d , u c t i o n d,un dêbtt d.êterminê e n quantitê et en qualitê. Le modèIe de bassin est une représentation opproæimative et g l o b a l r s c n t e d e s p r o c e s s u s s u r d e s é c h e l l e s d e t e m p s e t d , e s p a c e a s s e z g r c n d e s p o u r q u e les eff ets microscopiques soient amortis et intêgrés mccroscopi.quement. Le modèle de bossin est oussi une reprêsentotron incomplète de la rêalitê physrque; cotrrne on Ua dit précêdemment, il privilêgie les êlêments du cyde de Ueau qui sont les plus importants e n f onction de Ia noture du bosstn, de la rêgion et de la pêriode considêrêe ainsi que

des objectifs poursuivis lors de Uutili.sation ultérieure du modèle.

Le mod.ète de bcssfn est un intêgrateur des modèles dêcrivant les processus du cycle de l'eau. L'êIêment intêgroteur, Cest le domaine f ermê sur lequel on eff ectue le bilan hydrologique condufsont à l'êvaluation du dêbtt sortcnt. Dons cette intêgration, le mod,èIe de bassfn ne retient des modèles des processus d.u cycle de l!eou que les êlF ments de bose et significatif s en fonction de l,objectif global de la modêlisation. En - t e r m e d e s y s t è m e , le s ê I ê m e n t s q u i o n t p o u r m r s s i o n d e p r o d u i r e u n d é b i t c o n s t i t u e l e s ,. -;ous-systèmes dont la reprêsentati.on mathêmatique en est l,image et leur intêgration est

a p p e l é m o d è I e h y d r o l o g i q u e d e b o s s f n .

Il eæûste deuæ grrandes classes de modèle hyd.rologique d.e bossfn de drainage: les modèles physfques et les modèles mathêmatfques. En raison des d.ifficultés rencontrêes p o u r l e r e s p e c t d . e la s u n i l i t u d e , e t e n r c f s o n d e l , ê c h e l l e d e s p h ê n o m è n e s h y d r o l o g i q u e s , les modèles physdques sont de peu dttntêrèt, et ont une utrlfsation très limitée. Por contre, les modèles mathêmatrques, surtout avec ltavènement des orddnoteurs sont devenus dtune utrlfsotfon sfmple et frêquente. Ces modèles qui se veulent des proto- t y p e s d u b o s s f n d e d r a i n a g e d ê c r t v e n t , p o r une formulationmathêmotique, les processus de la production dtun dêbit à portrr d'une plute.

Lawson D.S. ( 1974). êtailit une classif ication fntéressonte des modèles mathêmati- ques de bossfns hydraulfques. On retrouve sur la figure 72-2 ce schêma de clcssrffca- tion.

Les modèles mathêmotfques hydrologiques peuvent ètre drvfsés en deuæ groupes:

,.les modèles dêtermfnistes et les modèles stochostf ques. Les modèles d.êterminfstes sont i l J e u æ q u f t r o n s f o r m e n t l e s e n t r ê e s e n u n e s o r t f e u n i q u e q u f e s t u n e s ê r i e d e d . ê b i t s .

Les modèles stochastiques quand à euæ, reproduisent des sêquences de dêbfts dont les c o r a c t ê r i s q u e s s t o t f s t r q u e s re s p e c t e n t e n m o y e n n e c e l l e s d e s s â t e s o b s e t r y ê e s s u r u n e bose hfstori,que. Les sêries de dêbits tssues des modèles stochostfques contiennent donc un certain êlêment d,incertitude et de hcsord.

Les modèles dêtermfnistes peuvent ètre sêparês en modèles mathêmatfques à base physique et en modèles paromêtriques. La dif férence entre ces deuæ types d.e modèIes

est tenue. Disons qu'habituellement Ie modète à Dcse physfque se dfstfngue du modèle paramêtrigue unûquement du fait que ses pararnètres ou coef ficients ont un sens physÈ que et qutils peuvent ètre êvaluês directement par des mesures en loboratoire ou sur le terrain. Les modèles paromêtrfques quant à euæ, yoient leurs paromètre=s ou coef ft- cfents'dêterminés par des technfques dtessofs et d!erceurs, ou pcr des technfques dtoptimdsctfon. Les modèles à base physique se yeulent une descrfption mathêmatique eæacte olors que les modèles paramêtriques se veulent des descrfptfons approchées vofr mème empirique des processus. Cepend.ant, on doit noter que lorsque lton ef fectue Ie calage d'un modèle à bose physique, on d.oit généralement ajuster ces coef ficients et on

tt

rêalise finalement que ces mo<Jèles devrof ent ètre consid.bês comme des modèl es poromê- t r i q u e s .

C e r t o i n s m o d è l e s p a r a m ê t r i q u e s q u f e s s o f e n t d e r e p r ê s e n t e r a u m i e u æ I o p h y s f q u e d u processus pluie - dêbit, en reliant entre euæ les différents êIêments du cycle hydrolr g i q u e , s o n t a p p e l ê s n c o n c e p t u e l { . Si la conception d.u modèIe conceptuel est tel que les paramètres quf y sont utiUsês ont une signfficatton physrque, il devrait ètre consi- d . b ê c o m m e u n m o d è l e a y o n t u n e b a s e p h y s f q u e . Par contre, stfl ntc aucune base phy sdque, un modèle dit conceptuel ne sera en réalitê qutun modèle bdïte noire (empi- r i q u e ) .

Les modèles dêterministes paromêtriques rncluent les techniques stotdstiques (anæ l y s e m u l t t v a r i ê e , r é g r e s s f o n , c n o l y s e factorielle) etles mêthodes onolytiques (corrélation graphique, lomi,nage des crues, mêthode rati,onnelle, hydrograïtme unitaire). La corri lati,on graphique peut ètre considérêe eoïrme Ie prêdêcesseur de la régression, clors que la mêthode rationnelle et lthydrogramme unitai.re sont des modèles conceptuels très

êlêmentaires.

y'-"\ Les modèles conceptuels seront dits agrêgés stil s reprêsentent, en moyenne, ce qui i,.,'.u" poste spatialement sur l'ensemble du bossfn. Les modèles seront appetês dfstrfbués, s f I ' e s p c c e s u r l e q u e l û s s t c p p h q u e n t e s t s u b d r v i s ê e n ê l ê m e n t s o ù l e s c a r a c t ê r i s t i q u e s changent, ce qui entraînent des changements dans Ia voleur des paromètres.

Pour bi,en comprendre ce qutest un modèle de bassùn en hydrologie, il f aut dtabord d.êfinir Ia noti.on de bcssdn hydrologique, l'objet de la modêlisattonr le but de la modêli- sotion, Ies dif fêrents types de modèles, et ensufte prêsenter quelques cpplfcotfons.

13.3 Dêfinition du bassin de drainage

Le bassin de droinage est l!espace gêogrophique de la réalisation coniofnte des processus hydrologiques dont Uintêgration conduit en porticulier à la production d'un dêbit en un point. Ce potnt, srtué sur le porcours du cours deau, est l'eæutoire d'une surface topographique dêlimitêe por les lfgnes de crète pcsscnt par ce point de telle sorte que, sous Uactton des forces de grcvitê, toute Ueau tombcnt sur cette surface n.-p,'écouleratt par ce point, sr lc surface êtait impermêoble. Souvent on id.entifierales 'Limftes

du domoine soutercain à cettes du bossfn verscnt, parce quten prctfque les êchanges au droil des timites du domaine souterrain à celles du bassfn versont, parce qu'en protique les échanges ou drott de slimites sont sonrent nêgligeobles et sr elles ne le sont pos, on les prendra en compte en termes d'êchange. La surfoce ainsf déltmitée

e s t a p p e l é e b c s s f n v e r s o n t t o p o g r a p h t q u e . E n r ê a t i t ê l e s u b s t r o t n t e s t p o s t o u j o u r s impermêable et il arrive que Ia surface du bassin verscnt topographique et celle du

domaine souterrcin quf drai,nent les eouæ au potnt d,eæutotre, ne soient pos identf ques.

On doit-donc ajouter à lo notfon du bossin verscnt topographique, celle du bassfn versont soutemcin. Le bossfn versont soutercai.n est le domaihe en dessous de la

surface du bossfn versont topographdque quf contribue au dêbit au potnt deæutoire du

bassfn vel"sont topographique. 2

Pour prendre en compte les deuæ notfons de bassfn êtabties prênêd,emment, on a introduitla notion de bossfn de drainage. On dêfinitle bassin de drainage commele

domaine global (superficiel et souterrafn) quf sert de support à la cdrculation delteau vers lretutoire.

Puisque l'on a dêfini l'eæutoire comme un point sur le parcours d'un cours dteou, û peut e.rûster en thêorie une i.nfinttê de bossdns de drainage; cependant en pratique on

établira ce poi,nt d'eæutoire ô la stotfon hydromêtrique, à l,intersection d,e d.euæ cours

d ' e t u , à L ' a r c t v ê e d c n s u n l a c , à l t e n d r o i t o ù I e c o u r s d ' e a u s e j e t t e d o n s u n c o u r s d t e o u

S

plus important, etc. Lorsque l!on o étailt un bassfn de dratnage, tout bassin quf sty t r o u v e f n c l u s e s t a p p e l ê s o u s - b a s s f n d e d r a i n a g e .

13.4 Modêlisation de la gêomêtrie d.u bassin d.e drainage

Le bossin êta.nt le support physf qu e d.e Ia réali.sation des processus qui condufsent au dêbit, on dott d.onc en f aire une reprësentotion qui devra se comporter comme dans la rêalitê. Le bassdn est à lc fois une surface sur laquelle l'eau tombe, stêcoule, s'inffl- tre, s'êvapore et se stocke et à la fofs un milieu soutercain où l'eau circule, se stocke et est êvapotranspirêe. Cette reprêsentatf.on d.e la physfque du bcsstn liêe auæ prr cessus hydrologiques nous cond.uit à maintentr une distf nctfon des deur portdes consti- tutfves du bassin de d.roinage; le domaine de surfoce etle donatne du souterrain.

C e t t e s ê p a r a t i o n a c o n d u t t à d i f fêrencierles modèfes de bassin en fonction deLtem' p h o s e q u i e s t m f s e s o i t s u r l e s p r o c e s s u s d . e s u r f a c e s o i t s u r l e s p r o c e s s u s s o u t e r r c t n s .-o3. encore sur les deuæ à la fofs. On distf ngue ofnsi tes modèIes d'hydrotogie de

: -)urface, les modèles dthydrologie souterrcine et les modètes couplés. Les modèles dthydrologie de surface sont ceuæ oùl,accent est mrs sur le rufssellementr l'êvapotrcns piration et où le soutercain est consi.dérê cotrune un tout qui li,bère de l'eau dans sa contribution à la constitution du d.êbit. Les moctèles d'hydrologie souterrarner euant à euæ, prtvf,,êgientla circulati,on de ltecu dons les nappes et considèrentla surface uni- quement cortme une source dtapport à la nappe. Les modèles couplês ont comme objer tif s de modêliser à Ia /ofs les êcoulements de surface etles êcoulements souterroins (scns privilêgier l'un par rapport à l,autre) et de tenir compte des êchanges entre Ie domaine soutercoin et le domaine de surface.

O n d o i t d o n c d f s t i n g u e r t r o f s a p p r o c h e s d e m o d ê l f s o t i o n d e b o s s i n d , e d r a i n a g e e n s e bosqnt sur Itrmportance d.es processus de cheminement de l'eou, Cest-à-drre en

stappuyant sur l'importance relative des êcoulements superff ctels et des êcoulements souterrcins. Mafs cvcnt daller plus lofn dcns la discussfon de la modélisatton des prr c e s s u s d a n s l e c a d r e d u m o d è l e d e b a s s i n , o n d o t l c o n s i d b e r I a m o d ê l i s c t i o n d u b o s s f n ,-e,n tant qu'entitê physique, siège des processus. Pour êtoblir les d if f érents types de 'l.-rfodète

de bossdn, on se bose essentiellement sur les notions dthomogênêitê et d'hêtêre g ê n ê i t ê .

13.4. 7 Modèle agrêgê (global-lumped)

L a m o d é l i s o t f o n lc p l u s s t m p l e dtun bcssfn consrste à considber unif ormes toutes les caractéristrques physiogrophùques et gêomorphologiques sur Uensemble du bqssûn. De plus, les donnêes mêtêorologiques d,entrêe sont pondbêes sur I'ensemble de la surface d u D a s s i n l e t l e d ê b i t e s t c o l c u l ë e n u n s e u l p o f n t s o Ë à l ' e æ u t o t r e d e c e D c s s i n . L e s

caractêtistfques fondamentales d,un mod.èle global de bossfn, sont d.onc lthomogênéitê spctfale des données dtentrêe ainsr que l,homogênêitê spotiole des ccrcctâistûgues physfographiques et géomorphologrques. De plusr le temps de parcours de l!eau n'est pos prfs en compte d'une f açon exptictte. Cest d,onc un modèle où il nty a ni discrêti- sation spotfole ni dfscrétfsotfon po,r rapport au temps de parcours de Ueou. Ce type de