cours 17, le mercredi 23 mars 2011 Mesure de Lebesgue sur R

cours 17, le mercredi 23 mars 2011 Mesure de Lebesgue sur R²

Si les deux facteurs du produit F×G sont ´egaux `a (R,B, λ) (la mesure de Lebesgue), on obtient une mesure λ2 =λ⊗λ sur (R²,B ⊗ B) qui v´erifie

(1) λ₂([a, b]×[c, d]) = (b−a)(d−c)

pour tout rectangle dans R². Comme la famille des rectangles est stable par intersection finie, que R² est r´eunion d’une suite croissante de rectangles, on d´eduit des r´esultats d’unicit´e du chapitre III qu’il ne peut exister qu’une seule mesure sur (R²,B⊗B) v´erifiant la propri´et´e (1). C’est la mesure de Lebesgue sur R²; on rappelle de plus que la tribu produit B ⊗ B est ´egale `a la tribu bor´elienne BR².

Pour noter les int´egrales par rapport `a la mesureλ2, on peut employer une notation globale dλ<sub>2</sub>(x), o`u x = (x₁, x₂) d´esigne un point de R², ou bien repr´esenter λ₂ `a l’aide des deux coordonn´ees r´eelles, en ´ecrivant que dλ2(x) = dx1dx2,

Z

R²

fdλ₂ = Z

R²

f(x) dλ₂(x) = Z

R²

f(x₁, x₂) dx₁dx₂.

La mesure de Lebesgue sur R² est invariante par translation, par retournement, et par

´echange des coordonn´ees : cela r´esulte du fait que la mesure des rectangles n’est pas modifi´ee par ces op´erations, et de la caract´erisation de λ2 `a partir de la mesure des rectangles.

Produits de plus de deux facteurs

Consid´erons par exemple le produit de trois facteurs E1,E2,E3, qui soient munis de tribus F1, F2, F3 et de mesures σ-finies µ₁, µ₂ et µ₃; si on pose G = E₂ ×E₃, muni de la mesure µ2 ⊗µ3, on peut ensuite consid´erer que E1 ×E2 ×E3 est naturellement isomorphe `a E₁×G, et introduire la mesureξ=µ₁⊗(µ₂⊗µ₃), consid´er´ee comme mesure sur E1×E2×E3; cette mesure ξ v´erifie, pour tous A1 ∈ F¹, A2 ∈ F² et A3 ∈ F³, (∗) ξ(A₁×A₂×A₃) =µ₁(A₁)µ₂(A₂)µ₃(A₃).

On voit que les produits A₁×A₂×A₃ de mesure finie forment une classe stable par inter- section qui contient, d’apr`es les conditions deσ-finitude, une suite croissante d’´el´ements dont la r´eunion est l’espace entier. Grˆace au th´eor`eme d’unicit´e, on voit qu’il existe une seule mesure ξ qui v´erifie (∗) ; elle est donc ´egale aussi `a (µ<sub>1</sub> ⊗µ<sub>2</sub>)⊗µ<sub>3</sub>, o`u encore au dernier cas plus difficile `a<sup>hh</sup>´ecrire<sup>ii</sup>o`u on groupe d’abord E₁ et E₃. On notera simplement cette mesure par ξ=µ1⊗µ2⊗µ3.

Pour cette mesure ξ produit de trois mesures, on peut calculer les int´egrales en appliquant deux fois le th´eor`eme de Fubini pour les produits de deux, dans l’ordre donn´e par le regroupement choisi. Il y a autant de fa¸cons de calculer R

fdξ par int´egrations it´er´ees que de permutations de trois objets, c’est-`a-dire 3! = 6.

On peut g´en´eraliser la discussion aux produits d’un nombre fini arbitraire n de facteurs. On s’int´eressera particuli`erement `a la mesure de Lebesgue λn sur Rⁿ, qu’on peut consid´erer comme le produit tensoriel de n exemplaires de la mesure de Lebesgue sur R.

Exemple : mesure gaussienne sur Rⁿ. Pour la fonction positive d´efinie sur Rⁿ par

∀x= (x₁, . . . , x_n)∈Rⁿ, g(x) = e^−kxk2/2 = e^{−(x21+···+x2n)/2} =

n

Y

j=1

e^−x2j/2, on trouve par int´egrations it´er´ees

Z

Rⁿ

e^−kxk2/2 dλ_n(x) =

n

Y

j=1

Z

R

e^−x2j/2 dλ(x_j)

= (2π)^n/2.

Autrement dit, on peut d´efinir une probabilit´e sur Rⁿ donn´ee par dγ_n(x) = e^−kxk2/2

(2π)^n/2 dλ_n(x).

V.2.2. Th´eor`eme de Fubini ^hhg´en´eralⁱⁱ

Par g´en´eral, nous entendons que les fonctions ne sont plus astreintes `a ˆetre positives dans cette section.

Th´eor`eme de Fubini. On suppose que µ et ν sont deux mesures σ-finies sur (F,F) et (G,G) respectivement. Pour toute fonction f `a valeurs r´eelles ou complexes qui est µ⊗ ν-int´egrable sur F ×G, la fonction y → f(x, y) est ν-int´egrable pour µ-presque tout x ∈ F; la fonction µ-presque partout d´efinie x → R

Gf(x, y) dν(y) est µ-int´egrable

et Z

F×G

fd(µ⊗ν) = Z

F

Z

G

f(x, y) dν(y)

dµ(x).

On a aussi, avec les mˆemes pr´ecautions de langage,

Z

F×G

fd(µ⊗ν) = Z

G

Z

F

f(x, y) dµ(x)

dν(y).

Preuve. — La fonction |f(x, y)|est mesurable positive, d’int´egrale finie par l’hypoth`ese du th´eor`eme ; par le th´eor`eme de Fubini positif on a

Z

F×G|f|d(µ⊗ν) = Z

F

Z

G|f(x, y)|dν(y)

dµ(x)<+∞. Puisque l’int´egrale en dµ(x) pr´ec´edente est finie, l’ensemble

N = {x∈F : Z

G|f(x, y)|dν(y) = +∞} ∈ F

est de mesure nulle pour µ. Pour tout x /∈ N, la fonction y → f(x, y) est ν-int´egrable.

Montrons le cas r´eel avec f⁺ et f⁻ (la discussion sera analogue dans le cas complexe avec Ref et Imf). Comme N est µ-n´egligeable

Z

F×G

f⁺dξ = Z

F

Z

G

f⁺(x, y) dν(y)

dµ(x) = Z

F\N

Z

G

f⁺(x, y) dν(y) dµ(x)

et pareil pour l’int´egrale de f⁻. Si x n’est pas dans N, Z

G

f⁺(x, y) dν(y)<+∞, Z

G

f⁻(x, y) dν(y)<+∞; en faisant la diff´erence on obtient une fonction x → R

Gf(x, y) dν(y) d´efinie µ-presque partout sur F, bien d´efinie sur F\N ; d’apr`es les calculs pr´ec´edents, et par les conventions sur les int´egrales des fonctions d´efinies presque partout, on a

Z

F×G

fdξ = Z

F×G

f⁺dξ− Z

F×G

f⁻dξ = Z

F\N

Z

G

f⁺(x, y)−f⁻(x, y)

dν(y) dµ(x)

= Z

F\N

Z

G

f(x, y) dν(y)

dµ(x) = Z

F

Z

G

f(x, y) dν(y)

dµ(x).

Exemple :convolution de deux fonctions int´egrables. Supposons que les deux fonctionsf et g soient Lebesgue-int´egrables sur R; on a vu que la fonction |f| ∗ |g|d´efinie par

(|f| ∗ |g|)(x) = Z

R|f(x−y)||g(y)|dy,

`a valeurs dans [0,+∞], a une int´egrale finie puisque Z

R |f| ∗ |g|

dλ =Z

R|f|dλZ

R|g|dλ

<+∞,

donc (|f| ∗ |g|)(x) est fini pour presque tout x; ainsi, la fonction y → f(x −y)g(y) est int´egrable sur R pour presque tout x. On peut donc introduire la fonction f ∗g, convolution de f et deg, qui est d´efinie pour presque toutx par la formule

(f ∗g)(x) = Z

R

f(x−y)g(y) dy.

Quand (f ∗g)(x) est d´efini, on voit que |(f ∗g)(x)| ≤ (|f| ∗ |g|)(x). Il en r´esulte que la fonction f ∗g est int´egrable sur R, et

kf ∗gkL¹(R)≤ kfkL¹(R)kgkL¹(R).

V.3. Changement de variables

V.3.1. Changement de variable lin´eaire (affine)

On a d´ej`a vu au chapitre III le cas de la dimension un : si la fonction f est bor´elienne de R dans [0,+∞], sia, b sont r´eels et a6= 0, on a

Z

R

f(y) dy= Z

R

f(ax+b)|a|dx.

On passe maintenant `a la dimension finie quelconque.

Th´eor`eme. Soient A une application lin´eaire bijective de R<sup>n</sup> sur R<sup>n</sup> et b ∈ R<sup>n</sup> un vecteur fix´e ; on consid`ere le changement de variable affine y = Ax+b, o`u x, y ∈ Rⁿ. Pour toute fonction f :Rⁿ →[0,+∞] bor´elienne, on a

Z

Rⁿ

f(y) dλ_n(y) = Z

Rⁿ

f(Ax+b)|det A|dλ_n(x).

On notera que le changement de mesure dy = |a|dx provenant du changement de variable y = ax+b en dimension un est remplac´e par dλ_n(y) = |det A|dλ_n(x) quand y= Ax+ben dimension n.

Preuve. — Elle se fait par r´ecurrence sur la dimensionn. On connaˆıt le casn= 1, on va expliquer comment d´eduire le cas de dimension n+ 1 du cas de la dimension n, `a l’aide du th´eor`eme de Fubini et d’un peu d’alg`ebre lin´eaire.

On va d’abord montrer que si un changement de variable affiney=a(x) = Ax+best la composition de deux changementsz = a₁(x) = A₁x+b₁, suivi dey =a₂(z) = A₂z+b₂, et si la formule de changement de variable est d´emontr´ee pour les deux changements interm´ediaires, alors elle est vraie pour la composition. On a ici

y=a₂(a₁(x)) = A₂(A₁x+b₁) +b₂ = A₂A₁x+ (A₂b₁+b₂) = Ax+b,

donc la partie lin´eaire A du changement de variable est A = A₂A₁, et on sait que det A = det A2 det A1. Posons g(z) =f(a2(z)) ; puisque la formule est suppos´ee d´emontr´ee pour le premier changement affine z =a₁(x), de partie lin´eaire A₁, on sait que

Z

Rⁿ

f(Ax+b)|det A₁|dλ_n(x) = Z

Rⁿ

f a₂(a₁x)

|det A₁|dλ_n(x)

= Z

Rⁿ

g(a₁x)|det A₁|dλ_n(x) = Z

Rⁿ

g(z) dλ_n(z),

donc Z

Rⁿ

f(Ax+b)|det A|dλ_n(x) = Z

Rⁿ

g(z)|det A₂|dλ_n(z)

= Z

Rⁿ

f(a₂(z))|det A₂|dλ_n(z) = Z

Rⁿ

f(y) dλ_n(y)

puisque la formule de changement de variable est suppos´ee vraie ´egalement pour le changement y=a₂(z).

Montrons le passage de la dimension n `a la dimension n+ 1 ; on va d´ecouper le changement de variable affine y = Ax+b en changements plus simples. D´eveloppons l’expression de y = Ax+b : on a

y₁ =a_1,1x₁ +· · ·+a_1,nx_n +a_1,n+1x_n+1 +b₁ ...

y_n =a_n,1x₁ +· · ·+a_n,nx_n +a_n,n+1x_n+1 +b_n yn+1 =an+1,1x1+· · ·+an+1,nxn+an+1,n+1xn+1+bn+1.

Comme la matrice A est suppos´ee inversible, il existe au moins un coefficient non nul dans la derni`ere colonne de la matrice, disonsa_i0,n+1. Le premier changement que nous intro- duisons n’a pas vraiment de sens math´ematique, mais plutˆot un int´erˆet typographique :

en effet, il est assez difficile de rep´erer, en calcul matriciel, les op´erations qui portent sur une coordonn´ee sp´ecifi´ee i₀ qui ne soit pas aux extr´emit´es, c’est-`a-dire qui ne soit pas i<sub>0</sub> = 1 ou bien i<sub>0</sub> = n+ 1. On va simplement d´eplacer par un ´echange de lignes le coefficient non nul `a la derni`ere ligne en posant, dans le cas o`u i₀ 6=n+ 1, w_n+1 = y_i0, w_i0 = y_n+1 et w_i = y_i sinon. En fonction de x, on a maintenant w = Cx +d, avec γ := c_n+1,n+1 = a_i0,n+1 6= 0. Pour tout i /∈ {i₀, n+ 1} on a simplement c_i,j = a_i,j, d_i = b_i (en termes d’´equations, on a simplement d´eplac´e la i₀`eme ´equation pour qu’elle devienne la derni`ere ´equation, pour la commodit´e de l’´ecriture).

Ensuite, on applique la m´ethode du pivot pour annuler tous les coefficients de la derni`ere colonne de C, sauf γ =c<sub>n+1,n+1</sub>, en pratiquant des combinaisons de lignes. On pose `a cet effet pour tout i≤n,

z_i =w_i− c_i,n+1 γ w_n+1

=

c_i,1− ci,n+1

γ c_n+1,1

x₁+· · ·+

c_i,n− ci,n+1

γ c_n+1,n

x_n+d_i− ci,n+1

γ d_n+1, et z_n+1 = w_n+1. On note que z_i, pour i ≤ n, ne d´epend pas de x_n+1, ce qui permet d’´ecrire en notation par blocs

z = Γx+d, o`u Γ =

Γ⁰ 0 β γ

,

avec Γ⁰ carr´ee de taillen×n. On voit que det Γ =γdet Γ⁰ (d´evelopper suivant la derni`ere colonne de Γ). Continuons l’exploitation de la repr´esentation par blocs en ´ecrivant

x= (x⁰, x_n+1)∈Rⁿ×R, x⁰ = (x₁, . . . , x_n), et de mˆeme pour z = (z⁰, z_n+1), d = (d⁰, d_n+1). On a

z = Γx+d, z⁰ = Γ⁰x⁰+d⁰, z_n+1 = βx⁰+γx_n+1+d_n+1

(le produitβx⁰ est le produit matriciel d’une matrice ligne par une matrice colonne, qui donne un r´esultat scalaire). On a ainsi d´ecompos´e le changement de variable y= Ax+b en trois changements : d’abord x −→ z = Γx+d, suivi du changement z −→ w d´efini par

w_n+1 =z_n+1, et pour i≤n, w_i =z_i+ ci,n+1

γ z_n+1, et pour finir w−→y d´efini pary_n+1 =w_i0, y_i0 =w_n+1 et y_i =w_i sinon.

Commen¸cons par l’´etude du cas le plus s´erieux, le changement z = Γx+d. En em- ployant la notation par blocs, examinons pour une fonction bor´elienneg(z) =g(z⁰, z_n+1) d´efinie sur Rⁿ×R, `a valeurs dans [0,+∞], l’int´egrale

I :=

Z

Rⁿ⁺¹

g(Γx+d)|γ|dλ_n+1(x) qui devient par Fubini

Z

Rⁿ

Z

R

g(Γ⁰x⁰+d⁰, βx⁰+γx_n+1+d_n+1)|γ|dx_n+1

dλ_n(x⁰).

Dans l’int´egrale int´erieure Z

R

g(Γ⁰x⁰+d⁰, βx⁰+γx_n+1+d_n+1)|γ|dx_n+1,

le vecteurx⁰ ∈Rⁿest fix´e et on effectue un changement de variable affinex_n+1 →z_n+1en une dimension,z_n+1 =γx_n+1+βx⁰+d_n+1; d’apr`es l’´etude d´ej`a faite de la dimension 1, l’int´egrale int´erieure vaut

Z

R

g(Γ⁰x⁰+d⁰, z_n+1) dz_n+1. Posons

G(z⁰) = Z

R

g(z⁰, z_n+1) dz_n+1; reprenant l’int´egrale I et le calcul pr´ec´edent, on obtient

Z

Rⁿ⁺¹

g(Γx+d)|det Γ|dλ_n+1(x) =|det Γ⁰|I

= Z

Rⁿ

Z

R

g(Γ⁰x⁰+d⁰, z_n+1) dz_n+1

|det Γ⁰|dλ_n(x⁰) = Z

Rⁿ

G(Γ⁰x⁰+d⁰)|det Γ⁰|dλ_n(x⁰) qui vaut par l’hypoth`ese de r´ecurrence

Z

Rⁿ

G(z⁰) dλ_n(z⁰) = Z

Rⁿ

Z

R

g(z⁰, z_n+1) dz_n+1

dλ_n(z⁰) = Z

Rⁿ⁺¹

g(z) dλ_n+1(z).

On a prouv´e que la formule de changement de variable est correcte pour le premier changement. Le changement z −→w est plus simple, sa matrice est de la forme















1 0 . . . 0 u₁ 0 1 . .. ... ...

... . .. ... 0 ...

0 . . . 0 1 un

0 . . . 0 1















=

In u

0 1

.

Le changement est donc w⁰ = z⁰+uz_n+1, w_n+1 = z_n+1, qu’on traite par une variation de la m´ethode pr´ec´edente : il faut maintenant que l’int´egrale int´erieure porte sur z⁰, si on donne h bor´elienne positive,

Z

Rⁿ

h(z⁰+uz_n+1, z_n+1) dλ_n(z⁰) = Z

Rⁿ

h(w⁰, z_n+1) dλ_n(w⁰)

en utilisant tout simplement l’invariance de la mesure de Lebesgue par translation ; on compl`ete en int´egrant dans la derni`ere variable. Finalement le dernier changement est une permutation des coordonn´ees, et on sait que la mesure de Lebesgue est invariante par ce type d’op´eration.

Remarque. La m´ethode de la preuve pr´ec´edente est reli´ee au r´esultat g´en´eral suivant : si A est une matrice n×n inversible, on peut ´ecrire A = PLU, o`u P est une matrice permutation, L une matrice triangulaire inf´erieure et o`u U est une matrice triangulaire sup´erieure. On aurait pu aller beaucoup plus vite en admettant ce r´esultat matriciel : il suffisait alors de d´eduire de Fubini que la formule de changement de variable est vraie dans le cas triangulaire.

En r´ealit´e, le ^hhvraiⁱⁱ r´esultat sur la d´ecomposition LU est le suivant : pour pouvoir d´ecomposer la matrice A inversible sous la forme LU, il faut et il suffit que tous les d´eterminants mineurs principaux de la matrice A soient non nuls. Ces d´eterminants sont les d´eterminants des sous-matrices A¹, . . . ,An o`u A¹= (a¹,1), An = A, et Ak est la matrice de taillek×k obtenue en ne gardant que les coefficientsai,j de A d’indices i, j≤k.

Si une matrice inversible A ne v´erifie pas cette condition, on peut la transformer, soit en permutant ses lignes, soit en permutant ses colonnes, en une matrice A⁰ dont les mineurs principaux sont non nuls, donc A⁰ est de la forme LU. Toute matrice inversible peut donc s’´ecrire PLU ou bien LUP. Si on prend (en, en−1, . . . , e¹) pour nouvelle base de l’espace, au lieu de (e1, . . . , en), on voit facilement que les endomorphismes qui avaient une matrice triangulaire inf´erieure ont maintenant une matrice triangulaire sup´erieure, et inversement.

On peut en d´eduire qu’on peut aussi exprimer A comme PUL : c’est en gros ce qu’on a fait dans la preuve qui pr´ec`ede. Le changement x→z´etait `a tendance triangulaire inf´erieure, z→w sup´erieure et w→y permutation.

V.3.2. Changement de variable g´en´eral

Si ϕest une bijection de classe C¹ d’un ouvert U de R sur un ouvert V de R, on a pour toute fonction bor´elienne f d´efinie sur V, `a valeurs dans [0,+∞],

Z

V

f(y) dλ(y) = Z

U

f(ϕ(x))|ϕ⁰(x)|dλ(x).

La formule revient `a affirmer qu’une certaine mesure image est la mesure de Lebesgue sur V. Pour cela, il suffit de regarder les segments [u, v] contenus dans V, qui forment une classe stable par intersection qui engendre la tribu bor´elienne de V. D´esignons parψ l’application inverse. Commeϕ(ψ(y)) =y, on aϕ⁰(ψ(y))ψ⁰(y) = 1, donc la d´eriv´ee deψ ne s’annule pas sur [u, v], la fonction ψ est monotone sur l’intervalle [u, v]. Supposons pour fixer les id´ees que ψ soit d´ecroissante sur [u, v].

Pour calculer ν([u, v]) o`u ν est l’image de dµ(x) = |ϕ⁰(x)|dλ(x) par ϕ, regardons l’image inverse de [u, v] : c’est l’intervalle I = [ψ(v), ψ(u)], et ϕ est d´ecroissante sur cet intervalle, donc

ν([u, v]) =µ ϕ⁻¹([u, v])

=µ([ψ(v), ψ(u)]) =

Z ψ(u)

ψ(v) |ϕ⁰(x)|dx

=−

Z ψ(u) ψ(v)

ϕ⁰(x) dx=ϕ(ψ(v))−ϕ(ψ(u)) =v−u.

La preuve du cas de dimension 1 est achev´ee.

Si Φ est une application de classe C¹ d´efinie sur un ouvert U de R^d, `a valeurs dans R^d, elle est donn´ee par ses d fonctions coordonn´ees,

Φ(x1, . . . , xd) =







ϕ₁(x₁, . . . , x_d) ...

ϕ_d(x₁, . . . , x_d)





,

fonctions r´eellesϕi dedvariables d´efinies sur U, o`uivarie de 1 `ad; la matrice jacobienne (JΦ)(x) de Φ en un point x ∈ U est la matrice dont la ligne i contient les coordonn´ees de la diff´erentielle de ϕi au point x, c’est-`a-dire, les valeurs des d´eriv´ees partielles

∂ϕ_i

∂xj

(x)

.

Th´eor`eme. On suppose que Φ est une bijection d’un ouvert U de R^d sur un ouvert V de R^d, de classe C¹ ainsi que son inverse ; si on pose y = Φ(x), on a pour toute fonction bor´elienne f : V→[0,+∞]

Z

V

f(y) dλd(y) = Z

U

f(Φ(x))|det JΦ(x)|dλd(x).

Sif est `a valeurs r´eelles ou complexes etλd-int´egrable surV, la mˆeme formule s’applique.

On pourra admettre ce th´eor`eme. On donnera une preuve plus loin, pour amateurs seulement. Pour tout le monde, mentionnons qu’il existe deux strat´egies de preuve.

— La premi`ere strat´egie est tr`es intuitive : on d´ecoupe l’ouvert U en tr`es petits morceaux, sur lesquels le comportement du changement de variable Φ est ^hhpresque le mˆemeⁱⁱ que celui de sa partie lin´eaire, donn´ee par la matrice jacobienne (JΦ)(x₀) en un point x₀ du ^hhpetit morceauⁱⁱ. On utilise alors sur chaque petit morceau la formule lin´eaire qu’on a montr´ee, appliqu´ee au changement affine approch´e

y= Φ(x₀) + (JΦ)(x₀)(x−x₀) ;

on doit contrˆoler la qualit´e de l’approximation, c’est la partie la plus d´elicate. On peut se contenter de prouver la formule pour f continue `a support compact. On introduit une subdivision du support de f en petits rectangles A<sub>j</sub>, un point x<sub>j</sub> dans chaque A<sub>j</sub>, y<sub>j</sub> = Φ(x<sub>j</sub>) et B<sub>j</sub> = Φ(A<sub>j</sub>) ; on consid`ere des sommes de Riemann, du cˆot´e de U et du cˆot´e de V, qui sont comparables grˆace au changement de variable du cas lin´eaire,

X

j

λ(A_j)f(ϕ(x_j))|det JΦ(x_j)|, X

j

λ(B_j)f(y_j), et qui convergent vers les deux int´egrales `a comparer.

— Factoriser le changement de variable en deux changements plus simples. Imitons la preuve lin´eaire, qui faisait intervenir une matrice fix´ee A. On va poser y = Φ(x), qui s’´ecrit en composantes sous la forme y_i = ϕ_i(x), i = 1,2,3. La matrice A(x) est maintenant variable, c’est la jacobienne de Φ au point x∈U. Il existe une sous-matrice 2×2 inversible s´electionn´ee dans les deux premi`eres colonnes, mais son choix d´epend

du point x. On va esquisser le cas simple o`u, comme on l’avait suppos´e dans la preuve lin´eaire, la sous-matrice A⁰(x) = A^(3,3)(x) reste inversible pour tout x∈U.

On commence par le premier changement de variable, qui comme dans le cas lin´eaire, consiste `a changer z<sub>1</sub>, z<sub>2</sub> mais `a garder z₃ = x₃ : on pose z₁ = y₁ = ϕ₁(x₁, x₂, x₃), z₂ =ϕ₂(x₁, x₂, x₃) et z₃ =x₃. La matrice jacobienne de z en fonction de x est ´egale `a

A⁰(x) a_1,3(x)

0 1

.

Comme on a suppos´e A⁰(x) inversible, on va pouvoir, grˆace au th´eor`eme des fonctions implicites (ou l’inversion locale), exprimer, pour chaque z₃ = x₃ fix´e, le couple (x₁, x₂) en fonction de (z1, z2, z3),

x₁ =c₁(z₁, z₂, z₃), x₂ =c₂(z₁, z₂, z₃) ;

on peut alors terminer la factorisation du changement de variable y= Φ(x) en posant y₁ =z₁, y₂ =z₂, y₃ =ϕ₃(c₁(z₁, z₂, z₃), c₂(z₁, z₂, z₃), z₃).

On obtient le produit de deux changements partiellement triangulaires. L’hypoth`ese de r´ecurrence (le th´eor`eme de changement de variable en dimension deux est suppos´e connu) et Fubini permettent de traiter le changement de x en z; la dimension un et Fubini traitent le changement de z en y.

On va donner une preuve compl`ete, qui n’est sans doute pas la plus courte, mais qui utilise assez peu de calcul diff´erentiel, et une bonne dose de techniques d’int´egration : convergence domin´ee et Fubini. Pour simplifier on va traiter le cas U = V =R²; on donneϕ:R²→R² bijection de classe C¹, et on d´esigne par ψ la bijection r´eciproque de ϕ, qui est aussi de classe C¹. On notera ϕ⁰(x) la diff´erentielle de ϕ au point x, et ϕ⁰(x) ·u ∈ R² l’action de l’application lin´eaire ϕ⁰(x) sur un vecteur u ∈ R². On munit l’espace R² de la norme euclidienne usuelle.

D’apr`es les r´esultats d’approximation des indicatrices de bor´eliens par des fonctions continues `a support compact, il suffit de d´emontrer la formule de changement de variable quandf est continue ≥0 et nulle en dehors d’une boule ferm´ee L d’un certain rayon r.

On va commencer par mettre en place les majorations dont on aura besoin, qui d´ecoulent de la compacit´e et de la continuit´e, ainsi que du calcul diff´erentiel. D´esignons par L¹ la boule ferm´ee de rayonr+ 1. Commeψ est de classe C¹, la norme deψ⁰(y) est born´ee par un certain τ quand y varie dans le compact L¹. Si y⁰ est dans L et si d(y⁰, y¹) ≤ 1, le segment [y⁰, y¹] est contenu dans L¹. Il r´esulte alors du th´eor`eme des accroissements finis que

(2) (y0∈L, ky1−y0k ≤1) ⇒ kψ(y1)−ψ(y0)k ≤τky1−y0k.

Posons K = ψ(L) ; c’est un compact de R², et K¹ = {x¹ ∈ R² : d(x¹,K) ≤ τ} est un compact aussi, sur lequel la fonction x → |detϕ⁰(x)| est continue, donc born´ee par une constanteσ. On retiendra que

(3) x∈K1⇒ |detϕ⁰(x)| ≤σ; y∈L1⇒ kψ⁰(y)k ≤τ.

On introduit une fonction θ ≥0 continue sur R², d’int´egrale 1 et nulle en dehors de la boule unit´e B ={u:kuk ≤1}. On d´efinit une suite de fonctions (θn)_n>1 en posant pour tout n≥1

∀u∈R², θn(u) =n²θ(nu) ;

les supports des θn sont de plus en plus petits : on a θn(u) = 0 quand kuk ≥ 1/n. Le changement de variable lin´eairev =nu, dont la matrice est le multiplenId² de la matrice identit´e Id², de d´eterminant n², permet de voir que

Z

R²

θndλ2=n² Z

R²

θ(nu) dλ2(u) = Z

R²

θ(v) dλ2(v) = 1

pour tout n ≥1. On va utiliser les fonctions θn pour montrer d’abord que la formule de changement de variable est vraie ^hh`a la limiteⁱⁱ, quand le support de la fonction int´egr´ee

hhtendⁱⁱvers un point fix´e.

Lemme. Pour chaque entiern≥1, on d´efinit la fonctionkn sur R² en posant

∀y∈R², kn(y) = Z

R²

θn(y−ϕ(x))|detϕ⁰(x)|dλ2(x).

Pour touty⁰∈L, la suite(kn(y⁰))tend vers 1 quandn tend vers l’infini et

∀n≥1, 0≤kn(y0)≤στ²πkθk^∞.

Quand tout sera prouv´e, on verra en fait quekn(y) = 1 pour toutn≥1 et pour tout y, par la formule de changement de variable qu’on est en train de d´emontrer ! En effet, par cette formule, appliqu´ee poury fix´e au changement u=y−ϕ(x), on aura

1 = Z

R²

θn(u) dλ2(u) = Z

R²

θn(y−ϕ(x))|detϕ⁰(x)|dλ2(x) =kn(y).

Preuve. —On fixey0∈L. Posonsx0=ψ(y0), de sorte quex0∈K ety0 =ϕ(x0). Comme le support deθn est contenu dans une boule de rayon 1/n, il est naturel de proc´eder `a un changement d’´echelle pour y voir plus clair. Si on ´ecritx =x0−v/n, alors

kn(y0) =n² Z

R²

θ(n(y0−ϕ(x))|detϕ⁰(x)|dλ2(x)

= Z

R²

θ(vn(v))|detϕ⁰(x0−v/n)|dλ2(v) = Z

R²

hn(v) dλ2(v), o`u

vn(v) =n(ϕ(x⁰)−ϕ(x⁰−v/n)), hn(v) =θ(vn(v))|detϕ⁰(x⁰−v/n)|.

L’application du changement de variable lin´eaire est justifi´ee par le fait que la fonction sous l’int´egrale est continue ≥ 0. Quand n tend vers l’infini, par d´efinition de la diff´erentielle deϕen x⁰, on a que

vn(v) =n(ϕ(x0)−ϕ(x0−v/n))→ϕ⁰(x0)·v

et puisque ϕest de classe C¹, on voit que|detϕ⁰(x⁰−v/n)| → |detϕ⁰(x⁰)|, donc hn(v)→θ(ϕ⁰(x0)·v)|detϕ⁰(x0)|.

On veut maintenant justifier l’interversion de l’int´egrale et de la limite. Posons Bn ={v∈R²:θ(vn(v))6= 0}.

Siv∈Bn, on sait que kϕ(x⁰)−ϕ(x⁰−v/n)k ≤1/n≤1, ce qui entraˆıne, par l’in´egalit´e (2) des accroissements finis, appliqu´ee `a y⁰=ϕ(x⁰) ety¹=ϕ(x⁰−v/n), que

kv/nk=kψ(y⁰)−ψ(y¹)k ≤τky⁰−y¹k ≤τ /n.

Ainsi, tous les points v ∈ Bn sont dans la bouleτB, centr´ee en 0 et de rayon τ ; de plus, le pointx⁰−v/n est `a distance ≤τ du point x⁰ ∈K, donc x⁰−v/n∈K¹ et par (3), on obtient

0≤hn(v) =θ(vn(v))|detϕ⁰(x0−v/n)| ≤σkθk^∞1_B

n(v)≤σkθk^∞1_τB(v).

On a donc un majorant int´egrable ind´ependant de n pour la suite des fonctions hn(v).

Par l’application du th´eor`eme de convergence domin´ee, suivie du changement de variable lin´eairev→y =ϕ⁰(x0)·v, on obtient que

kn(y0)→ Z

R²

θ(ϕ⁰(x0)·v)|detϕ⁰(x0)|dλ2(v) = Z

R²

θ(y) dλ2(y) = 1, et de plus pour tout n≥1

0≤kn(y⁰)≤σkθk^∞ Z

R²

1_τB(v) dλ²(v) =σkθk^∞πτ², ce qui termine la preuve du lemme.

Continuons la preuve de la formule de changement de variable (4)

Z

R²

f(y) dλ2(y) = Z

R²

f(ϕ(x))|detϕ⁰(x)|dλ2(x)

pour la fonction f continue ≥ 0 nulle hors du compact L. On va introduire une int´egrale double In d´ependant de l’entiern, dont on montrera, avec Fubini, avec le lemme pr´ec´edent et des arguments de continuit´e, qu’elle converge, pour des raisons diff´erentes, vers l’un et l’autre des termes de l’´egalit´e (4) voulue. L’´egalit´e des deux expressions dans (4) sera ainsi d´emontr´ee. On pose pour toutn≥1

In = Z

R²

Z

R²

f(ϕ(x) +ϕ⁰(x)·u)θn(ϕ⁰(x)·u)|detϕ⁰(x)|²dλ2(x)dλ2(u).

Montrons d’abord que Inconverge vers le terme de gauche de (4). Pourxfix´e, le changement lin´eaireu→y =ϕ(x) +ϕ⁰(x)·uet Fubini (positif) conduisent `a

In = Z

R²

Z

R²

f(y)θn(y−ϕ(x))|detϕ⁰(x)|dλ2(x)dλ2(y) = Z

R²

f(y)kn(y) dλ2(y), o`ukn(y) est la fonction introduite dans le lemme. Quandf(y)kn(y) n’est pas nul, le pointy est dans L et par le lemme, on sait que

f(y)kn(y)→f(y), et 0≤f(y)kn(y)≤Ckfk^∞1_L(y), majorant int´egrable ind´ependant de n. Cela permet de d´eduire que

In → Z

R²

f(y) dλ²(y), comme annonc´e.

Passons `a l’autre expression. Le changement lin´eairev =nudans In conduit `a In =

Z

R²

Z

R²

f

ϕ(x) +ϕ⁰(x)· v n

θ(ϕ⁰(x)·v)|detϕ⁰(x)|²dλ2(x)dλ2(v) qui s’´ecrit

In= Z

R²

Z

R²

gn(x, v) dλ2(x)dλ2(v), o`u

gn(x, v) =f

ϕ(x) +ϕ⁰(x)· v n

θ(ϕ⁰(x)·v)|detϕ⁰(x)|².

Comme la fonction f est continue, la quantit´e gn(x, v) sous l’int´egrale tend simplement versf(ϕ(x))θ(ϕ⁰(x)·v)|detϕ⁰(x)|². Sous r´eserve de justifier l’interversion de l’int´egrale et de la limite, on obtient que

lim

n In= Z

R²

Z

R²

f(ϕ(x))θ(ϕ⁰(x)·v)|detϕ⁰(x)|²dλ2(x)dλ2(v) =

= Z

R²

f(ϕ(x))Z

R²

θ(ϕ⁰(x)·v)|detϕ⁰(x)|dλ2(v)

|detϕ⁰(x)|dλ2(x)

= Z

R²

f(ϕ(x)) Z

R²

θ(w) dλ²(w)

|detϕ⁰(x)|dλ²(x) = Z

R²

f(ϕ(x))|detϕ⁰(x)|dλ²(x), la deuxi`eme limite annonc´ee.

Passons `a la justification, par domination comme d’habitude. Si gn(x, v) n’est pas nul, la valeur deθ n’est pas nulle, donc kϕ⁰(x)·vk ≤1 ; la valeur def n’est pas nulle, donc le pointy0=ϕ(x) +ϕ⁰(x)·(v/n) est dans L, etx0=ψ(y0) est dans K ; de plus, on voit que ky⁰−ϕ(x)k ≤1/n≤1, donc le point y¹=ϕ(x) est dans L¹, et par (2)

kψ(y1)−ψ(y0)k=kx−x0k ≤τ,

ce qui implique quex est dans K¹ et|detϕ⁰(x)| ≤σ. Puisque y¹∈L¹, la norme deψ⁰(y¹) est born´ee parτ d’apr`es (3), etψ⁰(ϕ(x))·(ϕ⁰(x)·v) =v, donc

kvk=kψ⁰(y¹)·(ϕ⁰(x)·v)k ≤τ.

On a donc pour toutn≥1 et tousx, v

0≤gn(x, v)≤σ²kfk^∞kθk^∞1_K

1(x)1_τB(v).

On a trouv´e un majorant int´egrable pour gn(x, v), ind´ependant de n, et cela justifie l’interversion de l’int´egrale et de la limite, le dernier point qui manquait.

Coordonn´ees polaires

A` r ≥ 0 et θ r´eel on associe le point (rcosθ, rsinθ). Cette correspondance n’est pas bijective sur [0,+∞[×R. On doit pr´eciser un ouvert U sur lequel elle sera bijective. Il n’y a qu’un choix raisonnable pourr, c’est de prendre r >0, mais pour θ on doit choisir l’intervalle de longueur 2π o`u seront prises les valeurs des arguments.

On choisit pour U l’ensemble ouvert dans R² form´e des (r, θ), 0 < r <+∞ et (par exemple) −π < θ < π, et on pose

Φ(r, θ) = (rcosθ, rsinθ).

L’application Φ est une bijection de U sur l’ensemble ouvert V donn´e par V =R²\ {(x,0) :x ≤0}.

On a

(JΦ)(r, θ) =

cosθ −rsinθ sinθ rcosθ

dont le d´eterminant est r.

Le compl´ementaire de V est une demi-droite, dont la mesure est nulle pour λ2; on peut donc ´ecrire pour toute fonction bor´elienne positive f sur R²

Z

R²

f(x, y) dxdy= Z

V

f(x, y) dxdy= Z π

−π

Z +∞

0

f(rcosθ, rsinθ)rdr dθ.

Exemple : int´egrale gaussienne. En polaires, Z

R²

e^{−x2/2−y2/2} dxdy = Z π

−π

Z +∞

0

e^−r2/2 rdr

dθ = 2π Z +∞

0

e^−r2/2 rdr

= 2π Z +∞

0

e^−u du = 2π, et avec Fubini positif

Z

R²

e^{−x2/2−y2/2} dxdy =Z

R

e^−x2/2 dx2

,

ce qui donne le moyen le plus classique de calculer l’int´egrale gaussienne, Z

R

e^−x2/2 dx=√ 2π.