PCSI 2- CPGE Med V - Casablanca
Série 7 : Structures algébriques élémentaires
Mercredi 10 Novembre 2004
Exercice 1:
Soit E un ensemble non vide .On dénit sur P(E) la LCI suivante ; A∗B=A∪B . 1. Est -elle : associative ; commutative ?
2. admet - elle : un élément neutre ; des éléments inversibles ; des éléments réguliers ? Justiez vos réponses .
Exercice 2:
Soit (E, .) un magma tel que :
( ∀x∈E :x.x=x
∀(x, y, z)∈E3 : (x.y).z= (y.z).x Montrer que . est commutative .
Exercice 3:
SoitE ensemble ni non vide muni d'uneLCI associative et commutative , dont tous les éléments sont réguliers , montrer que c'est un groupe .
même question on supposant cette fois que laLCI est seulement associative . Indication :On pourra étudier l'injection de la fonction : ϕa:E −→E
x7−→a.x où a ∈ E xé pour justier l'existence de l'élément neutre et des éléments inversibles .
Exercice 4:
SoitE un ensemble ni non vide muni d'uneLCIassociative et commutative vériant la propriété suivante :∀(x, y)∈E2;∃a∈E tel que : y=a.x.Montrer que c'est un groupe .
Même question on supposant cette fois que laLCI est seulement associative . Indication :On pourra utiliser l'exercice précédent.
Exercice 5:
Soit (E, .) un magma , pour toute partie A de E on pose : c(A) = {x ∈ E/a.x = x.a,∀a∈A}qu'on appelle centre de A.Montrer les propriétés suivantes :
1. ∀A∈P(E) on a :A⊂c(c(A)).
2. ∀(A, B)∈P(E)2:A⊂B=⇒c(B)⊂c(A).
3. ∀A∈P(E) :c(A) =c(c(c(A))). 4. (E, .) groupe=⇒(c(E), .) groupe .
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Exercice 6:
Soit (G, .) un groupe , (a, b, c) ∈ G3 xes et e neutre pour . ; montrer les résultats suivants :
1. a5=b4=e, ab=ba3
=⇒ a2b=ba, ab3 =b3a2 2. b6 =e, ab=b4a
=⇒ b3=e, ab=ba 3. a5=e, aba−1=b2
=⇒b31=e
4. (ab)−1 =a−1b et (ba)−1 =b−1a=⇒ a2 =b2, a2b2 =e 5. a−1ba=b−1, b−1ab=a−1
=⇒a4 =b4 =e 6. (aba) =b3, b5 =e
=⇒ ab=ba, a2=b2
Rappel : dans un groupe (G,.) pour : x∈G, n∈Z on pose xn=
x.x...x
| {z }
nf ois
, si n >0
e si n= 0 x−1.x−1...x−1
| {z }
|n|f ois
, si n <0
Exercice 7:
Sur R∗ xRon dénit laLCI suivante :(a, b)∗(c, d) = (ac,da+bc) montrer que ça dénit une structure de groupe,s'agit-il d'un groupe abelien ?
Exercice 8:
Soit Gun groupe , pour tout a∈G, pour toutes parties H etK deG on pose : aH l'ensemble des éléments de Gqui s'écrivent sous la forme a.xoù x∈H
Hal'ensemble des éléments de Gqui s'écrivent sous la forme x.aoù x ∈H
HK l'ensemble des éléments de Gqui s'écrivent sous la forme x.yoù (x, y)∈HxK 1. Soita∈GetH sous groupe de G montrer que :aH sous groupe de G⇐⇒ a∈H 2. Soita∈GetH sous groupe de G montrer queHasous groupe de G⇐⇒ a∈H
3. soientH etK deux sous groupes de Gmontrer queHK sous groupe de G⇐⇒HK=KH
Exercice 9:
Soit (G,+) un groupe abélien .
1. Montrer que :∀(m, n)∈N2,∀s∈Z,∀(x, xn, xn+1, , xn+m)∈Gm+2 on a :
n+m
P
i=n
(sxi+x) =s n+m
P
i=n
xi
+ (m+ 1)x
2. En déduire que :∀(m, n)∈N2 on a :n+mP
i=n
(2i+ 1) = (m+ 1)(2n+m+ 1)
3. En déduire que :∀m∈N:m2 est la somme desm premiers nombres impairs :
”T h´eor`eme de T HEON DE SM Y RN E, math´ematicien grec”
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Exercice 10:
Soit (A,+, .) un anneau commutatif∀(x, n)∈AxN∗ on pose :
f0(x) = 1A, f1(x) =x, f2(x) =x(x−1A)..., fn(x) =x(x−1A). . .(x−(n−1)1A)
Montrer que :
∀(x, y)∈AxAon a :fn(x+y) =
n
P
k=0
Cnkfn−kxfk(y). Rappel : Dans un anneau A pour n∈N∗ on a : n1A= 1A+ 1A+...+ 1A
| {z }
n f ois
Exercice 11:
Soit (A,+, .) un anneau commutatif on dit qu'un élément x ∈ A est nilpotent si :
∃n ∈ N∗ : xn = 0A.Montrer que la somme et le produit de deux éléments nilpotents sont aussi nilpotents.
Indication :On pourra montrer que xn=ym = 0A=⇒xyn+m = (x+y)n+m = 0A .
Exercice 12:
Soit (A,+, .) un anneau tel que x2 = x,∀x ∈ A. Montrer alors que : ∀x ∈ A; 2x = 0A,en déduire ensuite que Aest commutatif .
Indication : on pourra développer (x+y)2
Exercice 13:
L'ensemble R2 des couples de réels est muni de deux lois notées+ et∗dénies de la façon suivante :
(a, b) + (a0, b0) = (a+a0, b+b0) ; (a, b)∗(a0, b0) = (aa0, ab0+ba0).
1. Montrer que(R2,+,∗) est un anneau commutatif. Quel est son élément unité ?
2. Quels sont les éléments inversibles de cet anneau ? Lorsque l'élément(a, b)est inversible, quelle est l'expression de son inverse(a, b)−1?
3. Soitn∈N∗, soit (a, b)∈R2. On note
(a, b)n= (a, b)∗(a, b)∗ · · · ∗(a, b)
| {z }
n f ois
Donner une expression simple de(a, b)n. a
FIN
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