Dans tout ce sujet, Ω d´ esigne un ensemble non vide muni d’une tribu T et d’une mesure positive µ.

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Universit´ e Bordeaux 1, N1MA5012 Int´ egration Mercredi 26 Octobre 2011

Devoir surveill´ e

Dans tout ce sujet, Ω d´ esigne un ensemble non vide muni d’une tribu T et d’une mesure positive µ.

I. Soit (A _k ) une suite d’´ el´ ements de T .

1) Montrer que si la suite (A k ) est croissante alors lim

k→∞ µ(A k ) = µ( [

k

A k ).

2) Quel ´ enonc´ e a-t-on pour les suites d´ ecroissantes (A _k ) ? 3) Montrer que µ( [

k

A k ) ≤ X

k

µ(A k ).

II. Soit φ : Ω → [0, +∞] une fonction mesurable. On d´ efinit pour tout A ∈ T , ν(A) =

Z

A

φ dµ.

1) Montrer que ν est une mesure positive sur (Ω, T ).

2) Sous quelle condition sur φ, ν est une mesure de probabilit´ es ? 3) Montrer que tout ensemble µ−n´ egligeable est ν−n´ egligeable.

4) Soit f : Ω → [0, ∞] une fonction mesurable. Exprimer R

Ω f dν en fonction d’une int´ egrale relativement ` a µ (indication : commencer par les fonctions ´ etag´ ees).

III. On suppose dans cet exercice que µ(Ω) < ∞.

Soit (f _n ) une suite de fonctions mesurables r´ eelles et convergeant µ-p.p. vers une fonc- tion mesurable f .

1) Soit δ > 0 fix´ e. On d´ efinit A n (δ) = [

j≥n

{x ∈ Ω, |f _j (x) − f(x)| > δ}. Donner la valeur de µ( \

n≥1

A n (δ)).

2) En observant que la suite (A _n (δ)) _n est d´ ecroissante, montrer que pour tout η > 0, il existe n ≥ 1 tel que µ(A _n (δ)) ≤ η.

3) Fixons > 0. Expliquer pourquoi on peut trouver une suite n k telle que pour tout k ≥ 1

µ( [

j≥n

{x ∈ Ω, |f _j (x) − f(x)| > 1

k }) ≤ 2 ^k . On pose

B = [

k≥1

[

j≥n

{x ∈ Ω, |f _j (x) − f (x)| > 1 k }.

4) En d´ eduire que µ(B) ≤ . 5) Montrer que pour tout k ≥ 1,

|f _j (x) − f (x)| ≤ 1

k ∀j ≥ n _k et ∀x ∈ Ω \ B.