Feuilled ’ exercicesN 11

2002© www.chez.com/myismail

MPSI 1 2002-2003

CPGE Agadir

Feuille d’exercices N

11

Lundi le:2-Décembre-2002

Fonctions usuelles 1. Enoncer et démontrer la formule de Machin :

2. Résoudre les systèmes suivants :oùa,bsont deux nombres réels.

a. chx+chy = a shx+shy = b

b. chx+shy = a shx+chy = b

c. Déterminer les couplesx,y ∈ IR²tel que :arcsinsinx +arccoscosy = x+y 3. Résoudre les équations:

a. 2 arcsinx = arcsin 2x 1−x²

b. arctan^tan₂^2x+arctancotan²x = π−arctancotanaoùa ∈0,π.

c. λshx−xchxcha−1 = 0 oùa ∈ IR^∗+,λ ∈ IR⁺ d. arctan¹₂+arctan¹₄ = arctanx

e. 2arctan2−arctan¹₄ = arctanx

f. arccossinx +arcsincosx = 1 g. arcsin1 = arcsin₁₃⁵ +arcsinx h. arctan2x+arctanx = ^π₄

i. arcsinx+arcsin2x = arccosx+arccos2x

4. Etudier les fonctions definies par a. f : x → arccos sin 2x− ^π₃ b. f : x → arctan ¹₁⁻₊^sin_sin^_^x_x^_

5. Déterminer les points d’inflexion ( oùf”change de signe)def : x → a^ax,discuter leurs existence et chercher leur lieu quand a varie dansIR^∗+

6. Montrer que∀x,y ∈ − ^π₂, ^π₂on a :Arctanx+Arctany = Arctan ₁^x₋⁺_xy^y +poùpest un réel a déterminer

7. On considère la fonction :fx = ch ^2x_x+⁻₁¹

a. Etudier la fonctionfet tracer sa courbe représentative.

b. La courbe coupe l’asymptote parallèle à l’axe des abscisses en un pointA, calculer l’abscisse deA.

8. Simplifier les expressions suivantes : a. ln ¹₁⁺₋^th_th^_^x_x^_ .

b. ^1+th2x

1−th²x

9. Soitx ∈0, 1. On posey = arccosx

a. Exprimer en fonction dex:cosy,siny,tany.

b. En déduire quearccosx = arctan ¹⁻x^x2 . c. Six = 0, quelle est la valeur de arccosx?.

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10. On considère la fonction :fx = arcsin ^2x

1+x² −2arctanx.

a. Quel est l’ensemble de définition def.

b. Calculerf′.

c. En déduire une expression plus simple defsur chacun des intervalles où le raisonnement est valable.

d. Dessiner la représentation graphique def.

11. Soit la fonctiony = sinnArcsinx. Montrer que pour toutncette fonction vérifie l’équation différentielle :1−x²y”−xy′ +n²y = 0

a. Calculertanarctan¹₂+arctan¹₅+arctan¹₈

b. Quelle est la valeur dearctan ₃³  c. En déduire quearctan¹₂ ≤ ^π₆

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Mercredi le:4-Décembre-2002

Fonctions et suites a valeurs complexes 1. DS 99-20001.

Soita ∈ C\IR

a. Montrer qu’il existe un unique complexebde partie relle strictement positive tel que b² = a.

b. On poseP⁺ = z ∈ Ctel queRe ^z_b > 0,fz = ^z+₂^az montrer queP⁺ est stable parf.

c. On posez0 = a,zn+1 = fzn,wn = ^z_zⁿ_n⁻₊^b_bmontrer quezn,wnsont bien définies.

d. Exprimerwnen fonction dewn−1en déduire l’expression dewnen fonction dea,b,n.

e. Montrer que |w0| ≤ 1 , en déduire la limite dewnet celle devn

2. Montrer que : lim1+i^a_nⁿ = e^ia 3. Soit f : IR → C

t ↦ e^it

a. Montrer quefest de classeC¹surIRcalculer sa dérivée

b. Soita,b ∈ IR²tel quea ≤ bon suppose qu’il existea < c < btel que fb−fa = b−af′cmontrer que ça mène a une contradiction c. conclusion?