(1) (1)
Grandes oscillations du pendule pesant
(cf : Landau et Lifchitz - Physique théorique - vol 1 - p 39)
Méthode de calcul
En notant w0 = g
l la pulsation propre de l'oscillateur harmonique correspondant et α l'amplitude d'oscillation, le principe fondamental de la dynamique en coordonnées polaires conduit à la relation :
d
d t q= 2 w0 cos q Kcos a On en déduit par séparation des variables :
T= 4
0 a
1 dt=
2 2
0
a 1
cos q Kcos a dq
w0 =T0
0 a
1
p sin a
2 1C
sin q 2
2
sin a 2
2
dq
Il est alors possible d'utiliser le changement de variable :
sin u =
sin q 2 sin a 2 d
d q u=
cos q 2 2 cos u sin a
2
T T0 =
0 a
1 p sin a
2 cos u
dq=
0 p 2
2 p cos q
2
du=
0 p 2
2 p 1Ksin a
2
2
sin u 2 du
Expression du résultat par développement limité
TTdInt 2
p 1K sin a
2 sin u
2 1 2
,u= 0 ..1 p
2 ,'continuous'
Int 2
p 1Ksin 1
2 a 2 sin u 2
,u= 0 .. 1
2 p,continuous
(2) (2)
(3) (3) simplify series TT,a= 0, 16
1C 1
16 a2C 11
3072 a4C 173
737280 a6C 22931
1321205760 a8C 1319183
951268147200 a10 C 233526463
2009078326886400 a12C 2673857519
265928913086054400 a14CO a16 TTsd1C 1
16 a2C 11
3072 a4C 173
737280 a6C 22931
1321205760 a8C 1319183
951268147200 a10
C 233526463
2009078326886400 a12C 2673857519
265928913086054400 a14 1C 1
16 a2C 11
3072 a4C 173
737280 a6C 22931
1321205760 a8C 1319183
951268147200 a10 C 233526463
2009078326886400 a12C 2673857519
265928913086054400 a14 plot TT,TTs ,a= 0 ..p,y= 0 ..4
a
0 1 2 3
y
0 1 2 3 4
Variante
Remarquant que la fonction est paire, on peut préférer l'étudier en fonction de a2 (noté β)
(6) (6) (4) (4)
(5) (5)
TTdInt 2
p 1K sin b
2 sin u
2 1 2
,u= 0 .. 1 p
2 ,'continuous'
Int 2
p 1Ksin 1
2 b 2 sin u 2
,u= 0 .. 1
2 p,continuous
simplify series TT,b= 0, 8 1C 1
16 bC 11
3072 b2C 173
737280 b3C 22931
1321205760 b4C 1319183 951268147200 b5 C 233526463
2009078326886400 b6C 2673857519
265928913086054400 b7CO b8 TTsd1C 1
16 bC 11
3072 b2C 173
737280 b3C 22931
1321205760 b4C 1319183 951268147200 b5
C 233526463
2009078326886400 b6C 2673857519
265928913086054400 b7 1C 1
16 bC 11
3072 b2C 173
737280 b3C 22931
1321205760 b4C 1319183 951268147200 b5 C 233526463
2009078326886400 b6C 2673857519
265928913086054400 b7 plot TT,TTs ,b= 0 ..p2,y= 0 ..4
b
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y
0 1 2 3 4
