Pendule pesant
Méthode d'Euler
g [m.s-2] 9,81 θ0 [°] T/T0
L [m] 0,80 10 1,0 10
g/L [s-2] 12,26
Δt [s] 0,016 Δt [s] 0,004 Δt [s] 0,001
n t [s] θsin [°] θ [°] θ• [°.s-1] θ•• [°.s-2] n t [s] θ [°] θ• [°.s-1] θ•• [°.s-2] n t [s] θ [°] θ• [°.s-1] θ•• [°.s-2]
0 0,000 10,0 10,0 0,0 -122 0 0,000 10,0 0,0 -122 0 0,000 10,0 0,0 -122
1 0,016 10,0 10,0 -2,0 -122 1 0,004 10,0 -0,5 -122 1 0,001 10,0 -0,1 -122
2 0,032 9,9 10,0 -3,9 -122 2 0,008 10,0 -1,0 -122 2 0,002 10,0 -0,2 -122
3 0,048 9,9 9,9 -5,9 -121 3 0,012 10,0 -1,5 -122 3 0,003 10,0 -0,4 -122
4 0,064 9,7 9,8 -7,8 -120 4 0,016 10,0 -2,0 -122 4 0,004 10,0 -0,5 -122
5 0,080 9,6 9,7 -9,7 -118 5 0,020 10,0 -2,4 -122 5 0,005 10,0 -0,6 -122
6 0,096 9,4 9,5 -11,6 -116 6 0,024 10,0 -2,9 -122 6 0,006 10,0 -0,7 -122
7 0,112 9,2 9,3 -13,5 -114 7 0,028 10,0 -3,4 -122 7 0,007 10,0 -0,9 -122
8 0,128 9,0 9,1 -15,3 -112 8 0,032 9,9 -3,9 -121 8 0,008 10,0 -1,0 -122
9 0,144 8,8 8,9 -17,1 -109 9 0,036 9,9 -4,4 -121 9 0,009 10,0 -1,1 -122
10 0,160 8,5 8,6 -18,8 -105 10 0,040 9,9 -4,9 -121 10 0,010 10,0 -1,2 -122 11 0,176 8,2 8,3 -20,5 -102 11 0,044 9,9 -5,4 -121 11 0,011 10,0 -1,3 -122
12 0,192 7,8 8,0 -22,1 -98 12 0,048 9,9 -5,8 -120 12 0,012 10,0 -1,5 -122
13 0,208 7,5 7,6 -23,7 -93 13 0,052 9,8 -6,3 -120 13 0,013 10,0 -1,6 -122
14 0,224 7,1 7,3 -25,2 -89 14 0,056 9,8 -6,8 -120 14 0,014 10,0 -1,7 -122
15 0,240 6,7 6,9 -26,6 -84 15 0,060 9,8 -7,3 -120 15 0,015 10,0 -1,8 -122
16 0,256 6,2 6,4 -27,9 -79 16 0,064 9,8 -7,8 -119 16 0,016 10,0 -2,0 -122
17 0,272 5,8 6,0 -29,2 -73 17 0,068 9,7 -8,2 -119 17 0,017 10,0 -2,1 -122
18 0,288 5,3 5,5 -30,4 -67 18 0,072 9,7 -8,7 -118 18 0,018 10,0 -2,2 -122
19 0,304 4,8 5,0 -31,4 -62 19 0,076 9,7 -9,2 -118 19 0,019 10,0 -2,3 -122
20 0,320 4,4 4,5 -32,4 -55 20 0,080 9,6 -9,7 -118 20 0,020 10,0 -2,4 -122
21 0,336 3,8 4,0 -33,3 -49 21 0,084 9,6 -10,1 -117 21 0,021 10,0 -2,6 -122 22 0,352 3,3 3,5 -34,1 -43 22 0,088 9,6 -10,6 -117 22 0,022 10,0 -2,7 -122 23 0,368 2,8 2,9 -34,8 -36 23 0,092 9,5 -11,1 -116 23 0,023 10,0 -2,8 -122 24 0,384 2,2 2,4 -35,3 -29 24 0,096 9,5 -11,5 -116 24 0,024 10,0 -2,9 -122 25 0,400 1,7 1,8 -35,8 -22 25 0,100 9,4 -12,0 -115 25 0,025 10,0 -3,0 -122 26 0,416 1,1 1,2 -36,2 -15 26 0,104 9,4 -12,4 -114 26 0,026 10,0 -3,2 -122
27 0,432 0,6 0,7 -36,4 -8 27 0,108 9,3 -12,9 -114 27 0,027 10,0 -3,3 -121
28 0,448 0,0 0,1 -36,5 -1 28 0,112 9,3 -13,4 -113 28 0,028 10,0 -3,4 -121
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
t [s]
θ [°]
• On peut vérifier que la l'intégration numérique donne un résultat acceptable, au moins sur la première période et pourvu que le pas de calcul soit assez petit : on retrouve ainsi l'oscillation sinusoïdale pour les petites amplitudes.
• On constate alors que pour les grandes amplitudes la période augmente et les extrémums s'applatissent : la
comparaison des calculs pour trois pas différents permet d'apprécier la précision de l'intégration numérique.
29 0,464 -0,5 -0,5 -36,5 6 29 0,116 9,2 -13,8 -113 29 0,029 10,0 -3,5 -121 30 0,480 -1,1 -1,1 -36,4 13 30 0,120 9,2 -14,3 -112 30 0,030 9,9 -3,7 -121 31 0,496 -1,7 -1,7 -36,2 21 31 0,124 9,1 -14,7 -111 31 0,031 9,9 -3,8 -121 32 0,512 -2,2 -2,3 -35,9 28 32 0,128 9,0 -15,2 -110 32 0,032 9,9 -3,9 -121 33 0,528 -2,7 -2,8 -35,5 35 33 0,132 9,0 -15,6 -110 33 0,033 9,9 -4,0 -121 34 0,544 -3,3 -3,4 -34,9 42 34 0,136 8,9 -16,0 -109 34 0,034 9,9 -4,1 -121 35 0,560 -3,8 -4,0 -34,2 49 35 0,140 8,9 -16,5 -108 35 0,035 9,9 -4,3 -121 36 0,576 -4,3 -4,5 -33,5 55 36 0,144 8,8 -16,9 -107 36 0,036 9,9 -4,4 -121 37 0,592 -4,8 -5,0 -32,6 62 37 0,148 8,7 -17,3 -107 37 0,037 9,9 -4,5 -121 38 0,608 -5,3 -5,6 -31,6 68 38 0,152 8,7 -17,8 -106 38 0,038 9,9 -4,6 -121 39 0,624 -5,8 -6,1 -30,5 74 39 0,156 8,6 -18,2 -105 39 0,039 9,9 -4,7 -121 40 0,640 -6,2 -6,6 -29,3 80 40 0,160 8,5 -18,6 -104 40 0,040 9,9 -4,9 -121 41 0,656 -6,6 -7,0 -28,0 86 41 0,164 8,4 -19,0 -103 41 0,041 9,9 -5,0 -121 42 0,672 -7,0 -7,5 -26,6 91 42 0,168 8,4 -19,4 -102 42 0,042 9,9 -5,1 -121 43 0,688 -7,4 -7,9 -25,2 97 43 0,172 8,3 -19,8 -101 43 0,043 9,9 -5,2 -121 44 0,704 -7,8 -8,3 -23,6 101 44 0,176 8,2 -20,2 -100 44 0,044 9,9 -5,3 -121 45 0,720 -8,1 -8,7 -22,0 106 45 0,180 8,1 -20,6 -99 45 0,045 9,9 -5,5 -121 46 0,736 -8,4 -9,0 -20,3 110 46 0,184 8,0 -21,0 -98 46 0,046 9,9 -5,6 -120 47 0,752 -8,7 -9,4 -18,6 114 47 0,188 8,0 -21,4 -97 47 0,047 9,9 -5,7 -120 48 0,768 -9,0 -9,7 -16,7 118 48 0,192 7,9 -21,8 -96 48 0,048 9,9 -5,8 -120 49 0,784 -9,2 -9,9 -14,8 121 49 0,196 7,8 -22,2 -95 49 0,049 9,9 -6,0 -120 50 0,800 -9,4 -10,2 -12,9 124 50 0,200 7,7 -22,6 -94 50 0,050 9,9 -6,1 -120 51 0,816 -9,6 -10,4 -10,9 126 51 0,204 7,6 -23,0 -93 51 0,051 9,8 -6,2 -120 52 0,832 -9,7 -10,5 -8,9 129 52 0,208 7,5 -23,3 -92 52 0,052 9,8 -6,3 -120 53 0,848 -9,9 -10,7 -6,8 130 53 0,212 7,4 -23,7 -91 53 0,053 9,8 -6,4 -120 54 0,864 -9,9 -10,8 -4,7 132 54 0,216 7,3 -24,1 -90 54 0,054 9,8 -6,6 -120 55 0,880 -10,0 -10,9 -2,6 133 55 0,220 7,2 -24,4 -88 55 0,055 9,8 -6,7 -120 56 0,896 -10,0 -10,9 -0,5 133 56 0,224 7,1 -24,8 -87 56 0,056 9,8 -6,8 -120 57 0,912 -10,0 -10,9 1,6 133 57 0,228 7,0 -25,1 -86 57 0,057 9,8 -6,9 -120
58 0,928 -9,9 -10,9 3,7 133 58 0,232 6,9 -25,5 -85 58 0,058 9,8 -7,0 -120
59 0,944 -9,9 -10,8 5,9 132 59 0,236 6,8 -25,8 -84 59 0,059 9,8 -7,2 -119
60 0,960 -9,8 -10,7 8,0 131 60 0,240 6,7 -26,1 -82 60 0,060 9,8 -7,3 -119
61 0,976 -9,6 -10,6 10,1 129 61 0,244 6,6 -26,5 -81 61 0,061 9,8 -7,4 -119 62 0,992 -9,5 -10,5 12,1 127 62 0,248 6,5 -26,8 -80 62 0,062 9,8 -7,5 -119 63 1,008 -9,3 -10,3 14,2 125 63 0,252 6,4 -27,1 -78 63 0,063 9,8 -7,6 -119 64 1,024 -9,0 -10,0 16,2 122 64 0,256 6,3 -27,4 -77 64 0,064 9,8 -7,7 -119
65 1,040 -8,8 -9,8 18,1 119 65 0,260 6,2 -27,7 -76 65 0,065 9,7 -7,9 -119
66 1,056 -8,5 -9,5 20,0 116 66 0,264 6,1 -28,0 -74 66 0,066 9,7 -8,0 -119
67 1,072 -8,2 -9,2 21,9 112 67 0,268 6,0 -28,3 -73 67 0,067 9,7 -8,1 -119
68 1,088 -7,8 -8,8 23,7 108 68 0,272 5,9 -28,6 -72 68 0,068 9,7 -8,2 -119
69 1,104 -7,5 -8,4 25,4 103 69 0,276 5,7 -28,9 -70 69 0,069 9,7 -8,3 -119
70 1,120 -7,1 -8,0 27,1 98 70 0,280 5,6 -29,2 -69 70 0,070 9,7 -8,5 -118
71 1,136 -6,7 -7,6 28,6 93 71 0,284 5,5 -29,5 -67 71 0,071 9,7 -8,6 -118
Pendule pesant
Méthode d'Euler
g [m.s-2] 9,81 θ0 [°] T/T0
L [m] 0,80 10 1,0 10
g/L [s-2] 12,2625 Δt [s] 0,016
n t [s] θsin [°] θ [°] θ• [°.s-1] θ•• [°.s-2] θ [°] θ• [°.s-1] θ•• [°.s-2] θ [°] θ• [°.s-1] θ•• [°.s-2]
0 0,000 10,0 10,0 0,0 -122 10,0 0,0 -122
1 0,016 10,0 10,0 -2,0 -122 10,0 -2,0 -122 10,0 -2,0 -122
2 0,032 9,9 10,0 -3,9 -122 9,9 -3,9 -121 9,9 -3,9 -121
3 0,048 9,9 9,9 -5,9 -121 9,9 -5,8 -120 9,9 -5,8 -120
4 0,064 9,7 9,8 -7,8 -120 9,8 -7,8 -119 9,8 -7,7 -119
5 0,080 9,6 9,7 -9,7 -118 9,6 -9,6 -117 9,6 -9,6 -117
6 0,096 9,4 9,5 -11,6 -116 9,4 -11,5 -115 9,4 -11,5 -115
7 0,112 9,2 9,3 -13,5 -114 9,2 -13,3 -113 9,2 -13,3 -113
8 0,128 9,0 9,1 -15,3 -112 9,0 -15,1 -110 9,0 -15,1 -110
9 0,144 8,8 8,9 -17,1 -109 8,8 -16,9 -107 8,8 -16,8 -107
10 0,160 8,5 8,6 -18,8 -105 8,5 -18,6 -104 8,5 -18,5 -104
11 0,176 8,2 8,3 -20,5 -102 8,2 -20,2 -100 8,2 -20,2 -100
12 0,192 7,8 8,0 -22,1 -98 7,8 -21,7 -96 7,8 -21,7 -96
13 0,208 7,5 7,6 -23,7 -93 7,5 -23,2 -91 7,5 -23,2 -91
14 0,224 7,1 7,3 -25,2 -89 7,1 -24,7 -87 7,1 -24,6 -87
15 0,240 6,7 6,9 -26,6 -84 6,7 -26,0 -82 6,7 -26,0 -82
16 0,256 6,2 6,4 -27,9 -79 6,3 -27,3 -77 6,3 -27,3 -77
17 0,272 5,8 6,0 -29,2 -73 5,8 -28,5 -71 5,8 -28,4 -71
18 0,288 5,3 5,5 -30,4 -67 5,4 -29,6 -66 5,4 -29,5 -66
19 0,304 4,8 5,0 -31,4 -62 4,9 -30,6 -60 4,9 -30,5 -60
20 0,320 4,4 4,5 -32,4 -55 4,4 -31,5 -54 4,4 -31,4 -54
21 0,336 3,8 4,0 -33,3 -49 3,9 -32,3 -47 3,9 -32,2 -47
22 0,352 3,3 3,5 -34,1 -43 3,3 -33,0 -41 3,3 -33,0 -41
23 0,368 2,8 2,9 -34,8 -36 2,8 -33,6 -34 2,8 -33,6 -34
24 0,384 2,2 2,4 -35,3 -29 2,3 -34,1 -28 2,3 -34,1 -28
25 0,400 1,7 1,8 -35,8 -22 1,7 -34,5 -21 1,7 -34,4 -21
26 0,416 1,1 1,2 -36,2 -15 1,2 -34,8 -14 1,2 -34,7 -14
27 0,432 0,6 0,7 -36,4 -8 0,6 -35,0 -8 0,6 -34,9 -8
28 0,448 0,0 0,1 -36,5 -1 0,1 -35,0 -1 0,1 -35,0 -1
1re approximation calcul intermédiaire 2me approximation 2me approximation en deux étapes
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
t [s]
θ [°]
• La seconde approximation améliore nettement les courbes si le pas de calcul est grand (ici environ autant qu'une division du pas par 16) mais elle necessite par contre un calcul intermédiaire non évident dans le cas étudié ici, à cause de la double intégration.
• On constate alors que pour les grandes amplitudes la période augmente et les extrémums s'applatissent.
29 0,464 -0,5 -0,5 -36,5 6 -0,5 -35,0 6 -0,5 -34,9 6
30 0,480 -1,1 -1,1 -36,4 13 -1,1 -34,8 13 -1,1 -34,8 13
31 0,496 -1,7 -1,7 -36,2 21 -1,6 -34,6 20 -1,6 -34,5 20
32 0,512 -2,2 -2,3 -35,9 28 -2,2 -34,2 27 -2,2 -34,1 27
33 0,528 -2,7 -2,8 -35,5 35 -2,7 -33,7 33 -2,7 -33,7 33
34 0,544 -3,3 -3,4 -34,9 42 -3,2 -33,1 40 -3,2 -33,1 40
35 0,560 -3,8 -4,0 -34,2 49 -3,8 -32,4 46 -3,8 -32,4 46
36 0,576 -4,3 -4,5 -33,5 55 -4,3 -31,7 52 -4,3 -31,6 52
37 0,592 -4,8 -5,0 -32,6 62 -4,8 -30,8 59 -4,8 -30,7 59
38 0,608 -5,3 -5,6 -31,6 68 -5,3 -29,8 64 -5,3 -29,7 64
39 0,624 -5,8 -6,1 -30,5 74 -5,7 -28,7 70 -5,7 -28,7 70
40 0,640 -6,2 -6,6 -29,3 80 -6,2 -27,5 76 -6,2 -27,5 76
41 0,656 -6,6 -7,0 -28,0 86 -6,6 -26,3 81 -6,6 -26,2 81
42 0,672 -7,0 -7,5 -26,6 91 -7,0 -24,9 86 -7,0 -24,9 86
43 0,688 -7,4 -7,9 -25,2 97 -7,4 -23,5 91 -7,4 -23,5 91
44 0,704 -7,8 -8,3 -23,6 101 -7,8 -22,0 95 -7,8 -22,0 95
45 0,720 -8,1 -8,7 -22,0 106 -8,1 -20,5 99 -8,1 -20,5 99
46 0,736 -8,4 -9,0 -20,3 110 -8,4 -18,9 103 -8,4 -18,8 103
47 0,752 -8,7 -9,4 -18,6 114 -8,7 -17,2 106 -8,7 -17,2 106
48 0,768 -9,0 -9,7 -16,7 118 -9,0 -15,5 110 -9,0 -15,4 110
49 0,784 -9,2 -9,9 -14,8 121 -9,2 -13,7 112 -9,2 -13,7 112
50 0,800 -9,4 -10,2 -12,9 124 -9,4 -11,9 115 -9,4 -11,8 115
51 0,816 -9,6 -10,4 -10,9 126 -9,6 -10,0 117 -9,6 -10,0 117
52 0,832 -9,7 -10,5 -8,9 129 -9,7 -8,1 119 -9,7 -8,1 119
53 0,848 -9,9 -10,7 -6,8 130 -9,8 -6,2 120 -9,8 -6,2 120
54 0,864 -9,9 -10,8 -4,7 132 -9,9 -4,3 121 -9,9 -4,3 121
55 0,880 -10,0 -10,9 -2,6 133 -10,0 -2,3 122 -10,0 -2,3 122
56 0,896 -10,0 -10,9 -0,5 133 -10,0 -0,4 122 -10,0 -0,4 122
57 0,912 -10,0 -10,9 1,6 133 -10,0 1,6 122 -10,0 1,6 122
58 0,928 -9,9 -10,9 3,7 133 -9,9 3,5 121 -9,9 3,5 121
59 0,944 -9,9 -10,8 5,9 132 -9,9 5,5 121 -9,9 5,5 121
60 0,960 -9,8 -10,7 8,0 131 -9,8 7,4 119 -9,8 7,4 119
61 0,976 -9,6 -10,6 10,1 129 -9,6 9,3 118 -9,6 9,3 118
62 0,992 -9,5 -10,5 12,1 127 -9,5 11,2 116 -9,5 11,1 116
63 1,008 -9,3 -10,3 14,2 125 -9,3 13,0 113 -9,3 13,0 113
64 1,024 -9,0 -10,0 16,2 122 -9,1 14,8 111 -9,1 14,8 111
65 1,040 -8,8 -9,8 18,1 119 -8,8 16,5 108 -8,8 16,5 108
66 1,056 -8,5 -9,5 20,0 116 -8,5 18,2 104 -8,5 18,2 104
67 1,072 -8,2 -9,2 21,9 112 -8,2 19,9 101 -8,2 19,8 101
68 1,088 -7,8 -8,8 23,7 108 -7,9 21,5 97 -7,9 21,4 97
69 1,104 -7,5 -8,4 25,4 103 -7,5 23,0 92 -7,5 22,9 92
70 1,120 -7,1 -8,0 27,1 98 -7,2 24,4 88 -7,2 24,4 88
71 1,136 -6,7 -7,6 28,6 93 -6,8 25,8 83 -6,8 25,7 83
