Chapitre 10

Chapitre 10

Groupes et équations résolubles

Version du 4 janvier 2005

Dans ce chapitre, tous les groupes considérés sont finis, et tous les corps considérés sont des sous-corps de C.

10.1 Groupes résolubles et non-résolubilité de S

pour n ≥ 5

SoitGun groupe fini. SiH est un sous-groupe deG, on écriraHCGou bien GBH pour signifier queH est un sous-groupe normal deG.

10.1.1 Groupes résolubles

Définition 10.1.1 Gest résoluble s’il existe une suite finie de sous-groupes G=G₀BG₁B· · ·BG_rBG_r+1={1}

telle que le groupe quotient G_i/G_i+1 soit abélien, pouri= 0, . . . , r.

Définition 10.1.2 1) Pour x, y∈ G, on définit leur commutateur[x, y] :=

xyx⁻¹y⁻¹. On a [x, y] = 1ssixy =yx, c.-à-d., ssix ety commutent.

2) On appelle groupe dérivé deG, et on noteD(G), le sous-groupe deG engendré par les commutateurs [x, y], pourx, y ∈ G. On a D(G) ={1} ssi G est abélien.

Pour tout morphismeφ:G→G⁰, il est clair que φ([x, y]) = [φ(x), φ(y)].

Lemme 10.1.1 1) On aD(G) =φ(D(G)) pour tout automorphisme de G.

En particulier,D(G) est un sous-groupe normal de G.

2) Si H est un sous-groupe de G, on a D(H)⊆D(G)

3) Si π :G→G⁰ est un morphisme surjectif, alors D(G⁰) =π(D(G)).

4) Soit HCG. Alors G/H abélien⇔H ⊇D(G).

Démonstration. 1) Soit φ un automorphisme de G. Alors φ(G) est le sous-groupe engendré par lesφ([x, y]) = [φ(x), φ(y)], donc égaleD(G).

2) H est le sous-groupe engendré par les [x, y], pour x, y ∈H, donc est contenu dans D(G). Il est clair que π(D(G)) ⊆ D(G⁰). Réciproquement, D(G⁰) est engendré par les commutateurs[π(x), π(y)] = π([x, y]), donc est contenu dansπ(D(G)). Ceci prouve 3). Enfin, posons G⁰ =G/H et notons π la projectionG→G⁰. Alors

G⁰ abélien ⇔ {1}=D(G⁰) =π(D(G))⇔D(G)⊆H.

Ceci prouve 4).¤

Définition 10.1.3 On pose D⁰(G) =G, D¹(G) =D(G) et pour i≥1 on définit Dⁱ⁺¹(G) = D(Dⁱ(G)). D’après ce qui précède, chaque Dⁱ⁺¹(G) est normal dansDⁱ(G) et le quotientDⁱ(G)/Dⁱ⁺¹(G)est abélien. La suite

GBD¹(G)BD²(G)B· · ·

s’appelle la série dérivée deG, etDⁱ(G) s’appelle le i-ème groupe dérivé de G.

Proposition 10.1.2 Gest résoluble ssi il exister ≥0tel queD^r(G) ={1}.

Démonstration. Si D^r(G) = {1} alors, comme chaque Dⁱ(G)/Dⁱ⁺¹(G) est abélien, il résulte de la définition queG est résoluble. Réciproquement, supposonsGrésoluble. Alors il existe une suite finie

G=G₀BG₁B· · ·BG_r−1BG_r ={1}

telle que chaqueG_i/G_i+1 soit abélien. Alors, on déduit du lemme précédent (points 4. et 2.) queD(G)⊆G₁, puis queD(D(G))⊆D(G₁)⊆G₂, etc. On obtient ainsi, par récurrence, queDⁱ(G) ⊆G_i pour touti. Par conséquent, D^r(G) ={1}. La proposition est démontrée. ¤

Corollaire 10.1.3 Soient Gun groupe,H un sous-groupe arbitraire,H⁰ un sous-groupe normal, etG⁰ =G/H⁰.

1) Si G est résoluble,H et G⁰ le sont aussi.

2) Réciproquement, si H⁰ et G⁰ sont résolubles, G l’est aussi.

Démonstration.Notonsπ la projectionG→G⁰. En procédant par récur- rence, on déduit du lemme 10.1.1 (points 2. et 3.) que Dⁱ(H) ⊆ Dⁱ(G) et π(Dⁱ(G)) =Dⁱ(G⁰) pour tout i≥0. Par conséquent, si Gest résoluble, H etG⁰ le sont aussi.

Réciproquement, supposons H⁰ etG⁰ résolubles. Alors, il existe r, s≥1 tels que D^s(H⁰) = {1} et {1} = D^r(G⁰) = π(D^r(G)), d’où D^r(G) ⊆ H⁰. AlorsD^r+s(G)⊆D^s(H⁰) ={1}, et ceci montre que Gest résoluble. ¤ Exemples 10.1.1 1) Le groupe symétrique S₃ est résoluble car A₃ ∼=Z/3 etS₃/A₃ ∼={±1}.

2) Exercice :S₄ est résoluble. On note(ij)la permutation qui échangei et j. Montrer que les éléments de A₄ d’ordre≤2 sont l’identité et les trois permutations suivantes : (12)(34), (13)(24) et (14)(23). Montrer que ces 4 éléments forment un groupe isomorphe à (Z/2)×(Z/2), notéV₄, et normal dans A₄. En utilisant le fait que |A₄| = 12, en déduire que A₄/V₄ ∼= Z/3, puis en conclure que S₄ est résoluble.

10.1.2 Propriétés des groupes symétriques S_n

NotationOn représente en général un élément τ deS_n par son écriture “à deux lignes" : sur la première ligne, on écrit 1,2,3, . . . , n, dans cet ordre, et sur la seconde on écrit les nombres τ(1), τ(2), τ(3), . . . , τ(n). Ainsi, par

exemple, µ

123456 321654

¶

est un élément de S₆. Pour certaines permutations, on utilise une écriture plus condensée. Soient i 6= j dans {1, . . . , n}; on note (ij) la permutation qui échangeietj et laisse les autres nombres inchangés. Plus généralement, on dit queτ est unr-cycle (r≥2)s’il existei₁, . . . , i_r, deux à deux distincts, tels que τ(j) =j pourj 6∈ {i₁, . . . , i_r}et

τ(i₁) =i₂, τ(i₂) =i₃,· · · , τ(i_r−1) =i_r, τ(i_r) =i₁.

Dans ce cas, on note τ = (i₁i₂· · ·i_r). Par exemple, dans S₆,(253) et(1635) désignent, respectivement, les permutations suivantes :

µ123456 152436

¶ ,

µ123456 625413

¶ .

Siτ est une transposition, il est clair queτ² =id. Plus généralement, sicest unr-cycle, on voit que les éléments id, c, . . . , c^r−1sont deux à deux distincts, etc^r =id. Par conséquent, cest d’ordre r.

Théorème 10.1.4 (Générateurs deS_n) Pour tout n≥2, S_n est engen- dré par les transpositions (12),(23),· · · ,(n−1, n).

Démonstration. On procède par récurrence sur n. Le résultat est clair pour n= 2. Supposons n ≥3 et le résultat établi pour n−1. On identifie S_n−1 au sous-groupe de S_n formé des permutations τ telles que τ(n) = n.

Posonss_i = (i, i+ 1), pour i= 1, . . . , n−1, et notonsH le sous-groupe de S_nengendré par les s_i.

Soit σ ∈ S_n. Si σ(n) = n, alors σ ∈ S_n−1 et donc, par hypothèse de récurrence,σ appartient au sous-groupe engendré par less_i, pouri≤n−2, donc a fortioriσ∈H. On peut donc supposer queσ(n) =i < n. Mais alors, s_iσ(n) =i+ 1, et sii+ 1< nalorss_i+1s_iσ(n) =i+ 2, etc. On obtient ainsi que

s_n−1· · ·s_iσ(n) =n.

Alors, d’après ce qui précède, τ :=s_n−1· · ·s_iσ appartient à H et donc σ = s_i· · ·s_n−1τ appartient aussi àH. Ceci prouve le théorème. ¤

Conjugaison et signature des cycles

On rappelle la définition du morphisme signatureε:S_n→ {±1},cf.9.4.1.

Pour touti, on voit facilement que le couple(i, i+ 1) est la seule inversion des_i, et donc ε(s_i) =−1.

Théorème 10.1.5 Soit r ≤ n. Tous les r-cycles de S_n sont conjugués, et sont de signature(−1)^r−1.

Démonstration. Soit c = (i₁i₂· · ·i_r) un r-cycle arbitraire et soit c₀ le r-cycle (12· · ·r). Choisissons une bijection de{r+ 1, . . . , n}sur{1, . . . , n} \ {i₁, . . . , i_r} et soit τ la permutation définie par τ(k) = i_k pour k ≤ r et τ(k) =φ(k) pourk > r. Alors, on vérifie facilement que

τ c₀τ⁻¹ =c.

Ceci prouve la première assertion. En particulier, on a ε(c) = ε(c₀). Par conséquent, il suffit de calculerε(c₀). Or, on voit facilement que

s₁s₂· · ·s_r−1=c₀, d’oùε(c₀) = (−1)^r−1.¤

Théorème 10.1.6 (Générateurs deA_n) On a A₂ ={1} et, pour n≥3, A_n est engendré par les produits de deux transpositions et aussi par les 3- cycles.

Démonstration.Il est clair queA₂={1}. Supposonsn≥3et soitσ ∈A_n. D’après le théorème 10.1.4, on peut écrire σ comme un produit

s_i1s_i2· · ·s_iN.

Comme ε(s_i) =−1, pour touti= 1, . . . , n−1, l’entierN ci-dessus est pair, disonsN = 2m Par conséquent,

σ= (s_i1s_i2)· · ·(s_i2m−1s_i2m)

appartient au sous-groupe engendré par les produits de deux transpositions.

Ceci prouve la 1ère assertion.

D’après le théorème 10.1.5, tout 3-cycle appartient à A_n. Donc, pour établir la 2ème assertion, il suffit de montrer que tout produit (ij)(pq) de deux transpositions appartient au sous-groupe de A_n engendré par les 3- cycles. Trois cas peuvent se produire. Si {i, j}={p, q}, alors(ij) = (pq) et le produit est l’identité. Si les ensembles {i, j} et {p, q} ont un élément en commun, on peut supposer que q =j. Dans ce cas, on voit facilement que le produit (ij)(jp) envoiep suri, isur j, et j sur p, et laisse inchangés les autres nombres ; c’est donc le3-cycle(ijp).

Enfin, supposons {i, j} et {p, q} disjoints. Dans ce cas, considérons le produit de 3-cyclesσ := (ijp)(jpq). On vérifie que σ envoie isur j,j suri, p surq etq surp, et laisse inchangés les autres nombres. Donc(ijp)(jpq) = (ij)(pq), et ceci achève la preuve de la deuxième assertion. Le théorème est démontré. ¤

A_n n’est pas résoluble, pour n≥5

Proposition 10.1.7 Si n≥5, tout3-cycle appartient à D(A_n). Par consé- quent, on a A_n=D(A_n) =Dⁱ(A_n), pour tout i≥1.

Démonstration. Soit (abc) un 3-cycle arbitraire. Choisissons deux élé- ments d, edans{1, . . . , n} \ {a, b, c}; ceci est possible puisquen≥5. Consi- dérons la permutation

σ := (adc)(bec)(acd)(bce).

Comme(acd), resp.(bce), est l’inverse de(adc), resp.(bec), alorsσest le com- mutateur de (acd) et(bec), donc appartient à D(A_n). Calculons les images

parσ de a, b, c, d, e. On a :













a→c→b b→c→d→c c→e→c→a d→a→d e→b→e

et, bien sûr,σ laisse inchangés les autres nombres. Donc,σ = (abc)!

Comme les3-cycles engendrentA_n, d’après le théorème 10.1.6, ceci montre queA_n=D(A_n), et donc A_n=Dⁱ(A_n) pour touti≥1. La proposition est démontrée.¤

Corollaire 10.1.8 Pour n≥5, A_n et S_n ne sont pas résolubles.

Démonstration.Soitn≥5.A_nn’est pas résoluble, puisqueA_n=Dⁱ(A_n) pour touti≥1. Par conséquent,S_nne l’est pas non plus, d’après le corollaire 10.1.3. Plus précisément, comme tout commutateur est de signature 1, on a D(S_n) ⊆ A_n pour tout n, et l’égalité A_n = D(A_n) entraîne a fortiori A_n=D(S_n).¤

Remarque 10.1.1 En fait, on a D(S_n) =A_n pour toutn. C’est clair pour n = 2, et pour n ≥ 3 il suffit de montrer que tout 3-cycle (ijk) est un commutateur dansS_n. C’est bien le cas, car(ijk) = (jk)(ij)(jk)(ij).

Définition 10.1.4 On dit qu’un groupeGest simple s’il est non abélien et si ses seuls sous-groupes distingués sont{1} etG. Dans ce cas, on a néces- sairementD(G) =G. En particulier, un groupe simple n’est pas résoluble.

Remarque 10.1.2 On peut montrer, en fait, queA_nest simple pourn≥5.

Voir, par exemple, [Pe1, §I.8] ou [BR, p.188].

10.2 Équations résolubles par radicaux

Dans cette section, k est un sous-corps de C. En particulier, k est de caractéristique0et donc toute extension algébrique dek est séparable.

10.2.1 Extensions radicales

Définition 10.2.1 Une suite finie d’extensions de corps k = K₀ ⊆ K₁ ⊆

· · · ⊆K_r s’appelle une tour d’extensions (ou une tour de corps).

Définition 10.2.2 Soit L une extension algébrique de k contenue dans C.

Nous dirons que l’extension k⊆Lest :

1) radicale élémentaire s’il existea∈Letn≥1tels queL=K[a]etaⁿ∈K.

2) radicale s’il existe une tour

k=L₀ ⊆L₁ ⊆ · · · ⊆L_r=L

telle que chaque extension L_i−1 ⊆ L_i soit radicale élémentaire. Donc, ceci équivaut à dire qu’il existe a₁, . . . , a_r ∈ L et des entiers n₁, . . . , n_r ≥ 1 tels que L_i=L_i−1[a_i]etaⁿ_iⁱ ∈L_i−1.

Définition 10.2.3 Soit P ∈k[X] de degré ≥ 1 et soit K le sous-corps de C engendré par k et les racines de P dans C. On dit que P (ou l’équation P(x) = 0) est résoluble par radicaux surk s’il existe une extension radicale k⊆L contenantK c.-à-d., telle que k⊆K ⊆L.

Remarque 10.2.1 Comme C est algébriquement clos, P y est scindé, et donc K est un corps de décomposition de P sur k. De plus, comme P est séparable, puisque car(k) = 0, l’extensionk⊆K est galoisienne. On rappelle que son groupe de Galois est désigné par Gal(P/k).

Le but de ce chapitre est de démontrer le théorème suivant.

Théorème 10.2.1 SiP est résoluble par radicaux, alors le groupeGal(P/k) est résoluble.

Remarque 10.2.2 1) Grâce à ce théorème, on pourra donner des exemples d’équations non résolubles par radicaux, en montrant que le groupe de Galois correspondant n’est pas résoluble.

2) En fait, on peut aussi montrer que la réciproque est vraie : si Gal(P/k) est résoluble, alors P est résoluble par radicaux ; mais ceci est un peu plus difficile. On renvoie pour cela le lecteur intéressé à [Art, §III.C], [ChL, §5.6]

ou [Ti, §14.4].

3) L’idée de la démonstration du théorème est très simple, et peut s’expli- quer comme suit. Avec les notations précédentes, on supposeKcontenu dans une extension radicaleL. Supposons de plus que chaque extensionL_i ⊆L_i+1 soit galoisienne, pour i= 0, . . . , r−1, et que k⊆L_r =L le soit aussi. Soit G =Gal(L/k) et notons G_i le fixateur dans G de L_i. Alors les hypothèses entraînent que

G=G₀BG₁B· · ·BG_r={1}

et que chaqueG_i/G_i+1 est abélien. Donc,Gest résoluble. Enfin, k⊆K⊆L et l’extension k ⊆ K est galoisienne. Par conséquent, d’après le théorème 7.5.7, Gal(P/k) est un groupe quotient deG, donc est aussi résoluble.

La difficulté technique est que l’extension radicale k ⊂ L donnée par l’hypothèse du théorème n’est pas nécessairement galoisienne. Ainsi, pour faire marcher la démonstration, il faut montrer que, partant d’une extension radicaleLcontenantK, on peut modifierLpour obtenir une extension radi- cale vérifiant les hypothèses faites plus haut. Ceci est l’objet des paragraphes suivants.

10.2.2 Adjonction de racines de l’unité

Une extension radicale, même élémentaire, n’est pas nécessairement ga- loisienne. Par exemple, on a vu dans le chapitre 7 que l’extensionQ⊂Q[√³

2]

n’est pas galoisienne. Mais on n’a pas ce problème si le corps de base contient suffisamment de racines de l’unité.

On rappelle que, pour toutn≥2, le groupe des racinesn-èmes de l’unité dans C, qu’on note µ_n(C), est un groupe cyclique d’ordre n. Il est formé des élémentse^i2kπn , pour k= 0, . . . , n−1. Ses éléments d’ordre exactement n s’appellent les racines primitives d’ordre n de l’unité ; ce sont les e^i2kπn aveck premier àn. Chaque racine primitive d’ordre nengendre µ_n(C); par conséquent un sous-groupe deC^×, resp. un sous-corps de C, contientµ_n(C) ssi il contient une racine primitive de l’unité d’ordren.

Définition 10.2.4 SoitL une extension algébrique deK contenue dans C.

Nous dirons que l’extension K ⊆ L est radicale élémentaire d’exposant divisant ns’il existea∈L^× etn≥1 tels queL=K[a]etaⁿ∈K.

Cette définition est justifiée par l’observation suivante. L’ensemble des m∈Z tels que a^m ∈K forme un sous-groupe de Z; il est donc de la forme dZ, pour un certain d ≥ 1, qui divise n puisque aⁿ ∈ K. On appellera d l’exposant de l’extension ; c’est aussi l’ordre de l’image de adans le groupe quotientL^×/K^×.

Proposition 10.2.2 Soient K un sous-corps de Cet K⊆L une extension radicale élémentaire d’exposant divisant n, c.-à-d.,L =K[a], avec aⁿ ∈K. On suppose queK contient une racine primitive d’ordrende l’unitéξ. Alors : 1) L’extension K ⊆ K[a] est galoisienne, et son groupe de Galois est isomorphe àZ/dZ, pour un certain ddivisant n.

2) d est le plus petit entier≥1 tel que a^d∈K, et le polynôme minimal dea sur K est X^d−a^d.

Démonstration.L’hypothèse entraîne queµ_n(C)est contenu dansKdonc est égal au groupe µ_n(K) des racines n-èmes de l’unité dans K. Soit P = Irr_K(a)le polynôme minimal deasurK; par hypothèse, il diviseXⁿ−aⁿ. Ce dernier a toutes ses racines dansK[a]: ce sont lesξ^ja, pourj= 0, . . . , n−1.

Par conséquent, K[a] est un corps de décomposition de P sur K, donc est galoisien sur K. NotonsG son groupe de Galois.

Pour toutg∈G,g(a)est une racine de Xⁿ−aⁿ donc égaleλ(g)a, pour un certain λ(g)∈µ_n(K). Pour tout g, g⁰∈G, on a

λ(gg⁰)a= (g⁰g)(a) =g⁰(λ(g)a) =λ(g)g⁰(a) =λ(g⁰)λ(g)a.

Par conséquent, l’application λ:G→µ_n(K) est un morphisme de groupes.

Elle est de plus injective, car si g(a) =g⁰(a) alorsg = g⁰, puisque K[a]est engendré sur K par a. Donc G s’identifie au sous-groupe λ(G) de µ_n(K).

Comme ce dernier est cyclique, engendré par ξ, alors λ(G) est d’ordre d divisant n, et est engendré parξ^n/d. Ceci prouve déjà le point 1).

D’autre part, P est de degré deg_K(a) = |G| = d. De plus, pour tout g∈G, on a

g(a^d) = (g(a))^d=λ(g)^da^d=a^d,

puisque λ(g) a pour ordre un diviseur de d. Par conséquent, a^d ∈ K et P divise X^d−a^d. Pour une question de degré, on a l’égalité, et d est le plus petit entier≥1tel que a^d∈K. Ceci prouve la proposition. ¤

La proposition précédente montre l’intérêt d’adjoindre des racines de l’unité. On est ainsi amené à étudier les extensions K ⊆K[ξ], où ξ est une racine primitive de l’unité d’ordren, appelées extensions cyclotomiques.

Lemme 10.2.3 Soit n un entier ≥ 2. Le groupe des éléments inversibles de l’anneau commutatif Z/nZ est formé des classes a+nZ telles quea soit premier à n. On notera ce groupe (Z/nZ)^× ou U(n).

Démonstration.Si pgcd(a, n) = 1 alors, d’après le théorème de Bezout, il existe b, c tels que ba+cn= 1. Ceci montre que la classe de b modulon est l’inverse de celle dea.

Réciproquement, s’il existebtel que ba≡1 modulon, il existedtel que ba−1 =dn, soitba−dn= 1, et donc aest premier avec n. Ceci prouve le lemme.¤

Proposition 10.2.4 (Extensions cyclotomiques) Soient K ⊆ C et ξ une racine primitive de l’unité d’ordre n. L’extension K ⊆ K[ξ] est galoi- sienne et son groupe de Galois est isomorphe à un sous-groupe de (Z/nZ)^×.

Démonstration. Posons L = K[ξ]. C’est un corps de décomposition du polynômeXⁿ−1, qui est séparable, puisque son dérivé estnXⁿ⁻¹. (Cet ar- gument vaut aussi en caractéristiquep, sipne divise pasn). Par conséquent, l’extensionK⊆L est galoisienne. NotonsGson groupe de Galois.

Soit g∈ G. Comme g est un automorphisme du corps K, alors g(ξ) est une racine de l’unité de même ordre queξ, donc une racine primitive d’ordre n. Par conséquent, comme µ_n(C) est cyclique, on a g(ξ) = ξ^a(g), pour un certain entier a(g) ∈ {1, . . . , n −1} premier avec n. En effet, si on avait pgcd(a(g), n) = d > 1, alors ξ^a(g) serait d’ordre n/d < n. On obtient donc une application

a:G→(Z/nZ)^×,

qui est injective puisqueL est engendré surK parξ. De plus, cette applica- tion est un morphisme de groupes. En effet, pourg, g⁰ ∈G, on a

ξ^a(g0g)= (g⁰g)(ξ) =g⁰(ξ^a(g)) = (g⁰(ξ))^a(g)=ξ^a(g)a(g0), d’oùa(g⁰g) =a(g⁰)a(g). La proposition est démontrée.¤

Remarque 10.2.3 1) Le groupe G := Gal(K[ξ]/K) dépend du corps K.

Par exemple, siK contient déjàξ, alors K =K[ξ]etG={1}.

2) À l’autre extrême, siK =Q, on peut montrer queG:=Gal(Q[ξ]/Q) est isomorphe à(Z/nZ)^×. Ceci équivaut au fait queG opère transitivement sur l’ensemble des racines primitives d’ordre n, et aussi au fait que le po- lynôme cyclotomique Φ_n est irréductible dans Q[X]. Pour cela, voir [Esc, Chap. 9].

Le dernier ingrédient dans la démonstration du théorème 10.2.1 est le suivant.

Proposition 10.2.5 Considérons des extensions de degré fini k⊆K ⊆L, aveccar(k) = 0. On suppose :

1) il existe a∈L et n≥1 tels que L=K[a]et aⁿ∈K (c.-à-d., K ⊆L est radicale élémentaire d’exposant divisantn)

2) k⊆K est galoisienne.

SoitP le polynôme minimal dea sur ket soit Ω un corps de décomposition deP sur K. Alors, d’une part, l’extension k⊆Ωest galoisienne et, d’autre part, il existe une tour

K =K₀ ⊆K₁⊆ · · · ⊆K_t= Ω,

où chaque extensionK_i−1 ⊆K_i est radicale élémentaire d’exposant divisant n.

Démonstration. Posons P = Irr_k(a). Rappelons que, puisque car(k) = 0, tout polynôme est séparable. D’autre part, d’après le lemme 7.4.2, K est un corps de décomposition sur k d’un polynôme (séparable !) Q. Alors, on voit que Ω est un corps de décomposition sur k du polynôme QP. Par conséquent, d’après le second théorème fondamental 7.4.4, l’extensionk⊆Ω est galoisienne. Ceci prouve le 1er point.

Montrons maintenant que l’extensionK ⊆Ω vérifie la propriété annon- cée. Soienta=a₁, . . . , a_m les racines deP dansΩ(c.-à-d., les conjugués sur k de adansΩ). Posons K₀ =K etK_i =K_i−1[a_i], pour i= 1, . . . , m. Mon- trons que chaque extension K_i−1 ⊆ K_i est radicale élémentaire d’exposant divisant n. Pour i = 1, c’est l’hypothèse aⁿ ∈ K. Fixons i ≥ 2. Il existe, d’après la proposition 7.3.2, un k-isomorphisme τ_i :k[a]→^∼ k[a_i]. Comme Ω est un corps de décomposition de QP sur k alors, d’après le premier théo- rème fondamental 7.3.5, τ_i se prolonge en un élément σ_i de G:= Aut_k(Ω).

Enfin, comme l’extension k⊆K est galoisienne, alorsg(K) =K, pour tout g∈G, d’après le théorème principal de la théorie de Galois 7.5.7 (point 3.).

Par conséquent, on obtient que aⁿ_i =σ_i(aⁿ) appartient àK donc, a fortiori, à K_i−1. Ceci prouve que l’extension K_i−1 ⊆ K_i est radicale élémentaire, d’exposant divisant n. La proposition est démontrée.¤

Remarque 10.2.4 ZZAttention, si les extensionsk⊆KetK ⊆Lsont ga- loisiennes, il n’est pas vrai en général que l’extensionk⊆Lsoit galoisienne.

Par exemple,

(1) les extensionsQ⊆Q[√

2] etQ[√⁴

2 sont galoisiennes, mais (2) l’extensionQ⊆Q[√⁴

2] n’est pas galoisienne !

En effet, si car(K) 6= 2eta² ∈K, l’extension K⊆K[a]est galoisienne, carK[a]est le corps de décomposition du polynôme séparableX²−a², dont les racines sont ±a. Ceci prouve(1).

Posons α = √⁴

2; par définition, c’est la racine carrée dans R^∗₊ de √ 2.

Par conséquent, on aL:=Q[α]⊆R. D’autre part, le polynômeP =X⁴−2 est irréductible sur Q. En effet, il n’a pas de racines dans Q, donc la seule factorisation possible serait de la forme

X⁴−2 = (X²+aX+b)(X²−aX+c),

aveca, b, c∈Q. Alorsbc=−2,a(c−b) = 0etb+c−a² = 0, et ceci entraîne a= 0 (sinonb² = −2, impossible), c=−b, d’où b² = 2, contradiction. Par conséquent,P est le polynôme minimal deαsurQ. Or, les racines deP dans C sont±α et±iα, et les deux dernières ne sont pas dansL puisqueL⊆R.

Ceci montre que l’extensionQ⊆Ln’est pas quasi-galoisienne.

10.2.3 Démonstration du théorème 10.2.1

Armé des trois propositions précédentes, on peut maintenant démontrer le théorème 10.2.1. Soientkun sous-corps de CetK le sous-corps engendré par les racines dans C d’un polynôme P ∈ k[X] de degré ≥1. On suppose l’équationP(x) = 0résoluble par radicaux, c.-à-d., queK est contenu dans une extension radicale L de k. Donc, il existe des entiersn₁, . . . , n_r ≥ 1 et a₁, . . . , a_r ∈L, tels que, posant L₀ =k et L_i =L_i−1[a_i], on ait aⁿ_iⁱ ∈L_i−1 pouri= 1, . . . , r. De façon plus condensée, on dira queK est contenu dans la tour

k=L₀ ⊆ · · · ⊆L_r.

En fait, il est commode de s’autoriser aussi l’indice−1et de poserk=L₋₁ = L₀. Notonsnle ppcm desn_i et soitξ une racine primitive de l’unité d’ordre n.

Posons L⁰₋₁ = k et L⁰_i = L_i[ξ] pour i = 0, . . . , r. Alors L⁰_i = L⁰_i−1[a_i], pouri= 1, . . . , r, et l’on a la tour radicale :

k=L⁰₋₁ ⊆L⁰₀ ⊆L⁰₁ ⊆ · · · ⊆L⁰_r.

De plus, d’après la proposition 10.2.4, l’extension k ⊆ L⁰₀ = k[ξ] est galoi- sienne, de groupe de Galois abélien.

Pour tout i= 1, . . . , r, notonsA_i l’ensemble des racines deP_i =Irr_k(a_i) (le polynôme minimal de a_i surk) dans C, et posons L⁰⁰₀ = L⁰₀ et L⁰⁰_i = L⁰⁰_i−1[A_i]. Alors, on a les tours

k⊆L⁰₀ ⊆ L⁰₁ ⊆ · · · ⊆ L⁰_r

k ∩ ∩

L⁰⁰₀ ⊆ L⁰⁰₁ ⊆ · · · ⊆ L⁰⁰_r

De plus, chaque extension k ⊆ L⁰⁰_i est galoisienne, car L⁰⁰_i est un corps de décomposition sur k du polynôme (Xⁿ−1)P₁· · ·P_i. Alors, il résulte de la proposition 10.2.5 que chaque extension L⁰⁰_i−1 ⊆ L⁰⁰_i se raffine en une tour d’extensions radicales élémentaires d’exposant divisantn. En mettant bout à bout ces tours et en renumérotant, de la façon évidente, tous les corps apparaissant dans la grande tour ainsi obtenue, on obtient une tour

k=Le₋₁ ⊆L⁰⁰₀ =Le₀⊆Le₁⊆ · · · ⊆Le_N =L⁰⁰_r,

où chaque extension Le_i−1 ⊆Le_i, pouri = 1, . . . , N est radicale élémentaire d’exposant divisant n, et donc galoisienne, d’après la proposition 10.2.2, puisqueL⁰⁰₀ contientµ_n(C). De plus, l’extensionk⊆L⁰⁰₀ =k[ξ]est galoisienne, de groupe abélien, d’après la proposition 10.2.4.

Enfin, comme on l’a vu plus haut, l’extension k ⊆ Le_N = L⁰⁰_r est galoi- sienne. NotonsGson groupe de Galois et, pour i=−1,0, . . . , N, notonsG_i le fixateur deLe_i. Alors,

G=G₋₁ ⊇G₀ ⊇ · · · ⊇G_N ={1}.

D’après le théorème d’Artin, chaque G_i est le groupe de Galois de Le_N sur Le_i. De plus, comme l’extension Le_i ⊆ Le_i+1 est galoisienne alors, d’après le point 3. du théorème principal de la théorie de Galois 7.5.7, G_i+1 est un sous-groupe normal de G_i et G_i/G_i+1 est isomorphe à Gal(Le_i+1/Le_i), dont on a vu qu’il était abélien pour i=−1, et cyclique pour i= 0, . . . , N. Par conséquent, Gest résoluble !

Finalement, comme k ⊆ K ⊆ Le_N et l’extension k ⊆K est galoisienne, alors, d’après le point 3. du théorème 7.5.7, à nouveau, Gal(K/k) est iso- morphe au quotientG/H, oùHdésigne le fixateur dans GdeK. Par consé- quent, d’après le corollaire 10.1.3, Gal(K/k) =Gal(P/k) est résoluble. Ceci achève la démonstration du théorème 10.2.1.

10.3 Application : un exemple de polynôme P ∈ Q[X ] non résoluble par radicaux

10.3.1 Deux générateurs de S_n

Théorème 10.3.1 Soit n≥2 et soientτ une transposition et c unn-cycle dans S_n. Alors S_n est engendré par τ et c.

Démonstration. Notons H le sous-groupe engendré par τ et c. Traitons d’abord le cas où τ = (12) et c = (12· · ·n). Dans ce cas, on a, pour k = 1, . . . , n−2,

c^k =

µ 1 2 3 · · · n

k+ 1 k+ 2 k+ 3 · · · k

¶ .

On en déduit queσ_k:=c^k(12)c^−kest la transposition(k+ 1, k+ 2). En effet, si j 6∈ {k+ 1, k+ 2} alorsc^−k(j) 6∈ {1,2} et donc σ_k(j) = j. D’autre part, σ_k(k+ 1) =c^k(2) =k+ 2, etσ_k(k+ 2) =c^k(1) =k+ 1.

Donc, H contient les transpositions τ = (12), et (i, i+ 1) pour i = 2, . . . , n−1. Or, d’après le théorème 10.1.4, ces transpositions engendrent S_n. Donc on obtientH =S_n dans ce cas.

Maintenant, soientτ = (ij)etcarbitraires. Commec^k(i)décrit{1, . . . , n}

lorsque kdécrit {1, . . . , n}, on peut supposer, quitte à remplacer c par une

puissancec^k, que c(i) =j. On peut alors “renuméroter” les éléments de l’en- sembleE:={1, . . . , n}pour se ramener au 1er cas. Explicitement, lorsquek décrit0,1, . . . , n−1, les élémentsc^k(i)décriventE; on peut donc considérer la bijectionφ deE définie par : φ(1) = i,φ(2) =c(i) =j, et φ(r) =c^r−1(i) pour toutr = 2, . . . , n. Alors, l’application θ:σ 7→ φ⁻¹σφ est un automor- phisme du groupe S_n, qui envoie H sur le sous-groupe de S_n engendré par θ((ij))etθ(c).

Or, on vérifie facilement queθ((ij)) = (12)et, pourk= 1, . . . , n, l’on a φ⁻¹cφ(k) =φ⁻¹

³

c(c^k−1(i))

´

=φ⁻¹

³ c^k(i)

´

=k+ 1,

(avec la convention quen+1 = 1). Ceci montre queθ(c)est le cycle(12. . . n).

On déduit alors du 1er cas queH =S_n. Le théorème est démontré.¤ 10.3.2 Polynômes irréductibles de Z[X] : le critère d’Eisen-

stein

Soit P ∈ Z[X] un polynôme unitaire de degré n ≥ 1. Écrivons P = Xⁿ+P_n−1

i=0 a_iXⁱ.

Proposition 10.3.2 (Critère d’Eisenstein) S’il existe un nombre premier pdivisant chaque a_i mais tel quep² ne divise pas a₀, alorsP est irréductible dans Z[X]et aussi dans Q[X].

Démonstration.SiP est irréductible dansZ[X], il résulte du Lemme des contenus de Gauss que P est aussi irréductible dans Q[X]; on a vu cela dans le chapitre 5, Proposition 5.5.6. Il suffit donc de montrer que P est irréductible dansZ[X].

SupposonsP =QR, avecQ, R∈Z[X]tous deux non inversibles. Comme P est unitaire, Q et R sont tous deux de degré ≥ 1 et donc de degré < n.

Réduisons l’égalité P =QR modulo p, c.-à-d., passons à l’anneau quotient A:=Z[X]/(p)∼=F_p[X]. Comme pdivise chaquea_i, on obtient

Xⁿ=π(Q)π(R),

oùπ désigne la projection. CommeAest factoriel etX irréductible, ceci en- traîne queπ(Q) =λX^d etπ(R) =λ⁻¹X^n−d, pour un certaind∈ {1, . . . , n}

et λ ∈ F^×_p. On en déduit que p divise le terme constant de Q et de R, et alors l’égalité P = QR entraîne que p² divise a₀, une contradiction. Cette contradiction montre que P est irréductible dans Z[X]. La proposition est démontrée.¤

Remarque 10.3.1 Le critère d’Eisenstein s’étend sans difficulté en rempla- çant Zpar un anneau factoriel quelconque.

10.3.3 Le polynôme P =X⁵−10X+ 5

Théorème 10.3.3 Le polynôme P =X⁵−10X+ 5 n’est pas résoluble par radicaux sur Q.

Démonstration. Soit K le sous-corps de C engendré par les racines de P et soit G= Gal(K/Q). C’est un sous-groupe de S₅, d’après le théorème 9.4.7, et son cardinal égale [K :Q].

D’une part, il résulte du critère d’Eisenstein queP est irréductible dans Q[X]. Par conséquent, pour toute racine a de P, le sous-corps Q[a] est de degré 5 sur Q. Donc, d’après la multiplicativité des degrés, |G| = [K : Q]

est divisible par 5. Par conséquent, d’après le théorème de Sylow 9.3.2, G contient un sous-groupe d’ordre5. Alors, tout élément6=id de ce sous-groupe est un 5-cycle, doncG contient un 5-cycle.

D’autre part, étudions les variations sur R de la fonction x 7→ P(x), ceci sans calculatrice ! Le polynôme dérivéP⁰ égale5(X⁴−2), donc s’annule exactement deux fois, en α := √⁴

2 > 0 et en −α < 0, et P est croissant sur ]− ∞,−α]et sur [α,+∞[, et décroissant sur[−α, α]. Comme P(−α) >

P(0) = 5, alors P s’annule exactement une fois dans l’intervalle ]− ∞,0].

Évaluons maintenant P(α). On a 1< α <2, donc α⁵ = 2α < 4 et−10α <

−10, d’où P(α) <−1. Par conséquent, P s’annule une fois entre 0 et α et une fois entre α et+∞.

Donc P a exactement 3 racines réelles, appelons-les x₁, x₂, x₃, et deux racines complexes (non-réelles) conjuguées,x₄etx₅ =x₄. Par conséquent, la conjugaison complexe z7→ z, induit un Q-automorphisme deK, c.-à-d., un élément deG, dont l’image dansS₅ est la transpositionτ = (45). Comme on a vu plus haut queGcontient aussi un5-cycle, il résulte du théorème 10.3.1 que G = S₅. Comme S₅ n’est pas résoluble, d’après le corollaire 10.1.8, le théorème 10.2.1 montre que P n’est pas résoluble par radicaux surQ.¤

Fin du cours

10.4 Quelques résultats sans démonstrations

10.4.1 La réciproque du théorème 10.2.1

Pour établir la réciproque du théorème 10.2.1, on utilise les deux théo- rèmes suivants, qui sont intéressants en eux-mêmes.

Théorème 10.4.1 Soient k un corps arbitraire,K etL deux extensions de degré fini dek, contenues dans une extension Ω dek. On note KL le sous- corps deΩengendré parK etL; on l’appelle extension composée deK etL.

On suppose l’extensionk⊆K galoisienne, et on poseG=Gal(K/k). Alors l’extensionL⊆KL est aussi galoisienne, et son groupe de Galois s’identifie au sous-groupe deG fixant les éléments de K∩L.

Pour la démonstration, voir [Art, §II.0, Th.29] ou [ChL, §5.3]. Ce théo- rème est parfois appelé “théorème des irrationalités naturelles” (en anglais,

“Theorem on Natural irrationalities”), car il généralise un théorème d’Abel (1826) ainsi appelé. Voir [Ti, §13.3, p.219] pour une discussion historique.

Théorème 10.4.2 (Extensions cycliques) Soient n ≥ 2 et K ⊂ L une extension galoisienne de degré n. On suppose que K contient une racine primitive de l’unité d’ordre exactement n, et que Gal(L/K) ∼=Z/nZ. Alors il existea∈L tel queL=K[a]etaⁿ∈K, et le polynôme minimal de asur K est Xⁿ−aⁿ.

Pour la démonstration, voir [Esc, §§10.4, 10.5] ou [ChL, Thm. 5.4.1].

En utilisant les deux théorèmes précédents, on peut établir la réciproque du théorème 10.2.1, c.-à-d., on obtient le théorème ci-dessous. Pour une dé- monstration, on renvoie à [Art, §III.C], [ChL, §5.6] ou [Ti, Thm. 14.22]. La notion de résolubilité par radicaux adoptée dans [Ti] est apparemment plus restrictive, mais en fait équivalente, voir [Ti, §13.2], en particulier, Proposi- tions 13.2 et 13.5, et [Esc, §11.5].

Théorème 10.4.3 Soient k un corps de caractéristique 0 et K un corps de décomposition sur k d’un polynôme non-constant P ∈ k[X]. On pose G = Gal(P/k) = Gal(K/k). Alors l’équation P(x) = 0 est résoluble par radicaux ssiG est résoluble.

10.5 Des regrets

10.5.1 Constructions à la règle et au compas

Mon regret principal est de n’avoir pas eu le temps de traiter ce sujet très classique. Je renvoie à [Esc, Chap. 5], pour la définition des nombres constructibles à la règle et au compas (à partir de deux points donnés dans le plan). Les deux résultats principaux sont les suivants.

Théorème 10.5.1 Un nombre α∈Cest constructible à la règle et au com- pas (à partir d’un segment donné, pris comme longueur unité), ssi α est contenu dans une tour d’extensions quadratiques, c.-à-d., s’il existe une tour

Q=K₀ ⊆K₁⊆ · · · ⊆K_r

telle que [K_i :K_i−1] = 2 pour tout i, et α ∈ K_r. En particulier, d’après la multiplicativité des degrés, le degré de α surQ doit être une puissance de2.

(Cette conditon est nécessaire, mais pas suffisante.)

Corollaire 10.5.2 (Impossibilité de la duplication du cube)

Étant donné un segment de longueur1, il n’est pas possible de construire à la règle et au compas un segment tel que le volume du cube correspondant soit le double de celui du cube unité. C.-à-d., le nombre √³

2n’est pas constructible à la règle et au compas.

Démonstration.Le polynôme minimal sur Q de √³

2 est X³−2, qui est de degré3.¤

Définition 10.5.1 Pour tout entier m ≥ 0, posons F_m = 2^2m + 1. Un nombre premier p est appelé un nombre premier de Fermat sip=F_m, pour un certain entier m≥0. Ainsi,

F₀ = 3, F₁ = 5, F₂ = 17, F₃= 259

sont premiers, ainsi que F₄ = 65537. Par contre, Euler a montré que F₅ est divisible par641. Actuellement, on sait queF₆, . . . , F₁₆ne sont pas premiers.

On ignore s’il y a d’autres nombres premiers de Fermat autres queF₀, . . . , F₄! Théorème 10.5.3 Soit nun entier ≥3. Le polygone régulier à n côtés est constructible à la règle et au compas ssi n est le produit d’une puissance arbitraire de 2 et de nombres premiers de Fermat deux à deux distincts.

Pour tout ce qui précède, voir [Esc], Propositions 5.5 et 5.7, Exercices 5.2 et 9.7, ou [ChL, §§5.1, 5.2], [Ti, Ch.12, Appendix], [Ja1, §§4.2 & 4.11].

10.5.2 Autres regrets

De n’avoir pas eu le temps de démontrer le théorème de Sylow, ni le théorème des zéros de Hilbert...

FIN

Table des matières

1 Anneaux, idéaux, localisation 1

1.1 Anneaux et corps . . . 1

1.2 Idéaux, idéaux premiers et maximaux . . . 3

1.3 Anneaux quotients . . . 5

1.3.1 Anneaux non-commutatifs et idéaux bilatères . . . 8

1.4 Anneaux de fractions, localisation . . . 9

1.4.1 Le cas intègre . . . 9

1.4.2 Le cas général . . . 12

2 Modules et produit tensoriel 15 2.1 Modules : définitions . . . 15

2.2 Modules quotients . . . 18

2.3 Modules de type fini . . . 19

2.4 Modules quotients associés à un idéal bilatère . . . 21

2.5 Groupes ou modules d’homomorphismes . . . 23

2.5.1 Applications à valeurs dans un A-module . . . . 24

2.5.2 Morphismes de A-modules . . . . 24

2.6 Produits et sommes directes . . . 25

2.7 A-modules libres et A-modules sans torsion . . . . 30

2.8 A-modules libres de type fini, invariance du rang . . . . 34

2.9 Lemme de Zorn et existence de sous-modules maximaux . . . 36

2.9.1 Le lemme de Zorn . . . 36

2.9.2 Sous-modules maximaux des modules de type fini . . . 37

2.10 Produit tensoriel . . . 38

2.10.0 Remarque préliminaire . . . 39

2.10.1 Applications bilinéaires . . . 39

2.10.2 Définition du produit tensoriel . . . 41

2.10.3 Propriétés du produit tensoriel . . . 43

3 Algèbres, polynômes, algèbres de type fini 49

3.1 Algèbres et extension des scalaires . . . 49

3.1.1 Algèbres . . . 49

3.1.2 Extension et restriction des scalaires . . . 49

3.1.3 Localisation de modules . . . 51

3.1.4 Produit tensoriel de A-algèbres . . . . 52

3.2 Algèbres de polynômes et algèbres de type fini . . . 53

3.2.1 Monoïdes et algèbres associées . . . 53

3.2.2 Algèbres de polynômes . . . 54

3.2.3 Algèbres de type fini . . . 56

4 Anneaux et modules noethériens 57 4.1 Modules noethériens . . . 57

4.2 Anneaux noethériens . . . 59

4.3 Le théorème de transfert de Hilbert . . . 60

4.4 Un résultat d’Artin et Tate . . . 61

4.5 Divisibilité, éléments irréductibles . . . 62

5 Anneaux euclidiens, principaux, factoriels 65 5.1 Anneaux principaux et anneaux euclidiens . . . 65

5.2 Propriétés de l’anneauA[X] . . . 66

5.3 Anneaux factoriels . . . 67

5.3.1 Anneaux factoriels, lemmes d’Euclide et Gauss . . . . 67

5.3.2 Les anneaux principaux sont factoriels . . . 70

5.4 Valuations, PGCD et PPCM . . . 71

5.4.1 Valuations . . . 71

5.4.2 PPCM et PGCD . . . 73

5.4.3 Le théorème de Bezout . . . 74

5.5 Le théorème de transfert de Gauss . . . 75

5.5.1 Énoncé du théorème . . . 75

5.5.2 Contenu d’un polynôme . . . 76

5.5.3 Preuve du théorème de transfert de Gauss . . . 78

6 Modules sur les anneaux principaux 79 6.1 Idéaux étrangers et théorème chinois . . . 79

6.2 Annulateurs et décomposition de modules . . . 83

6.2.1 Annulateurs et modules de torsion . . . 83

6.2.2 Décomposition des modules de I-torsion . . . . 84

6.2.3 Décomposition primaire des modules de torsion sur un anneau principal . . . 86

6.3 Modules de type fini sur un anneau principal . . . 89

6.3.1 Les résultats fondamentaux . . . 90

6.3.2 Réduction des matrices sur un anneau principal . . . . 92

6.3.3 Démonstration du point 1) du théorème fondamental . 98 6.3.4 Décomposition en somme de modules monogènes . . . 98

6.3.5 Unicité des facteurs invariants . . . 100

7 Extensions de corps et théorie de Galois 103 7.1 Sous-corps premier et caractéristique . . . 103

7.1.1 Les corps fondamentauxQetF_p . . . 103

7.1.2 Sous-corps premier et caractéristique . . . 104

7.2 Extensions, éléments algébriques ou transcendants, degré . . . 106

7.2.1 Généralités sur les extensions . . . 106

7.2.2 Éléments algébriques ou bien transcendants . . . 107

7.2.3 Degré d’une extension . . . 108

7.3 Corps de rupture et corps de décomposition . . . 110

7.3.1 Corps de rupture d’un polynôme . . . 110

7.3.2 Corps de décomposition d’un polynôme . . . 111

7.4 L’arrivée des groupes . . . 114

7.4.1 Le groupe des k-automorphismes d’une extension . . . 114

7.4.2 Polynômes et extensions séparables . . . 116

7.4.3 Extensions galoisiennes . . . 117

7.5 Sous-corps invariants et correspondance de Galois . . . 120

7.5.1 Indépendance des caractères . . . 120

7.5.2 Invariants d’un groupe fini : théorème d’Artin . . . 122

7.5.3 Un rappel sur les groupes . . . 124

7.5.4 Le couronnement : correspondance de Galois . . . 125

7.6 Séparabilité . . . 127

7.6.1 L’opérateur de dérivation . . . 127

7.6.2 Racines multiples et séparabilité . . . 128

7.7 Clôture normale, théorème de l’élément primitif . . . 129

7.7.1 Clôture normale ou galoisienne . . . 129

7.7.2 Extensions simples, éléments primitifs . . . 130

8 Corps finis et leur clôture algébrique 133 8.1 Cardinal et groupe multiplicatif d’un corps fini . . . 133

8.2 Endomorphismes de Frobenius . . . 134

8.2.1 La formule du binôme . . . 134

8.2.2 Les morphismes Fr_p et Fr_pⁿ . . . 135

8.3 Existence et unicité des corpsF_pⁿ . . . 136

8.4 Groupe de Galois deF_qⁿ surF_q . . . 138

8.5 Théorème de l’élément primitif, et polynômes irréductibles sur F_q . . . 139

8.6 La clôture algébrique deF_q . . . 141

8.6.1 Corps algébriquement clos . . . 141

8.6.2 Le corps F_p . . . 142

8.6.3 Clôtures algébriques en général . . . 144

9 Polynômes symétriques et résolution des équations 147 9.1 Polynômes symétriques . . . 147

9.1.1 Groupe symétrique et polynômes symétriques . . . 147

9.1.2 Relations entre coefficients et racines d’un polynôme . 148 9.1.3 Le théorème fondamental des polynômes symétriques . 149 9.2 L’équation générale de degrén . . . 154

9.2.1 Action d’un groupe sur une algèbre . . . 154

9.2.2 Fractions rationnelles symétriques . . . 155

9.2.3 L’équation générale de degré n . . . 156

9.3 Le corps Cest algébriquement clos . . . 158

9.3.1 La démonstration d’Argand . . . 158

9.3.2 Interlude sur les groupes finis : théorème de Sylow et p-groupes . . . 159

9.3.3 Une démonstration via la théorie de Galois . . . 161

9.4 Discriminant et groupe de Galois d’un polynôme . . . 163

9.4.1 Signature et groupe alterné A_n . . . 163

9.4.2 Discriminant d’un polynôme . . . 164

9.4.3 Groupe de Galois d’un polynôme . . . 167

9.4.4 L’extension intermédiaire associée au discriminant . . 169

9.5 L’équation de degré 3 . . . 170

10 Groupes et équations résolubles 173 10.1 Groupes résolubles et non-résolubilité deS_n pourn≥5 . . . 173

10.1.1 Groupes résolubles . . . 173

10.1.2 Propriétés des groupes symétriques S_n . . . 175

10.2 Équations résolubles par radicaux . . . 178

10.2.1 Extensions radicales . . . 178

10.2.2 Adjonction de racines de l’unité . . . 180

10.2.3 Démonstration du théorème 10.2.1 . . . 184

10.3 Application : un exemple de polynôme P ∈ Q[X] non réso-

luble par radicaux . . . 185

10.3.1 Deux générateurs de S_n . . . 185

10.3.2 Polynômes irréductibles deZ[X]: le critère d’Eisenstein186 10.3.3 Le polynômeP =X⁵−10X+ 5 . . . 187

10.4 Quelques résultats sans démonstrations . . . 188

10.4.1 La réciproque du théorème 10.2.1 . . . 188

10.5 Des regrets . . . 189

10.5.1 Constructions à la règle et au compas . . . 189

10.5.2 Autres regrets . . . 190

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