D 1912 – Le ratio de la cocyclicité Solution proposée par Antoine Verroken
1. les points K , I , L se trouvent sur le cercle P qui est tangent au cercle O et puisque K , L sont les symétriques de E et F par rapport à I , les rayons des cercles P et O sont égaux.
Il reste à prouver que BP = CP afin que B et C soient sur le cercle P.
2. triangles ABP et ACP ; AB + BC + AC = 4*BC ; AE = ( AB + BC + AC ) /2 – BC
ou AE = BC :
AB^2 + AP^2 – 2*AB*AP*cos(a) = BP^2 (1)
AC^2 + AP^2 – 2*AC*AP*cos(a) = CP^2 (2)
supposons (1) = (2) on obtient :
AB + AC = 2*AP*cos(a) (3)
- triangle AMO : cos(a) = AM/AO = AE / 2 / AO (3) 3*BC = AP * AE / AO 3*AO = AP
donc BP = CP
3. on a :
OI = PI
la corde AE = BC AO = OE et BP = CP
donc les points B et C se trouvent sur le cercle P
les points K, L , B , C sont sur le cercle P qui est tangent au cercle O
