A722. Les trésors d'Ispahan
De retour d’Ispahan, Zig présente à Puce n sacs qui contiennent chacun 100 pièces de
monnaie de la dynastie Kadjar. Les pièces pèsent toutes 10 grammes chacune à l’exception de 100 pièces plus légères qui se trouvent dans un seul sac et pèsent 9 grammes chacune.
Puce dispose d’une balance électronique qui affiche en grammes le poids des objets pesés avec un plafond de 1 kilogramme. Après quelques minutes de réflexion, Puce affirme que pour déceler le sac des pièces légères, k pesées au minimum sont nécessaires. Il ajoute qu’il lui faudrait une pesée et deux pesées supplémentaires si Zig lui présentait respectivement n + 1 sacs et 2n sacs (avec dans les deux cas toujours un seul sac de pièces légères à identifier).
Trouver n et k.
Source : olympiades iraniennes de mathématiques Solution proposée par Paul Voyer
Une solution évidente est 14 sacs, 1 pesée
1 pièce du sac 1, 2 du sac 2, 3 du sac 3, …, 13 du sac 13 = 91 pièces ≤ 1 kg.
Selon le résultat de la mesure, le sac a le numéro 13, 12, 11, …, 1, 14 pour 897, 898, …, 910 grammes respectivement.
15 sacs nécessiteraient bien 2 pesées.
28 sacs nécessiteraient bien 3 pesées.
Mais comme il s'agit de trésor, on peut penser qu'il y en a plus.
On pèse des lots de 100 pièces au maximum. (≤ 1 kg).
On sait identifier le sac léger en une pesée parmi 14 sacs dont on sait que l'un est le sac léger en pesant :
sac 1 0 pièce sac 2 1 pièce sac 3 2 pièces sac 4 3 pièces sac 5 4 pièces
…
sac 14 13 pièces
total 91 pièces < 1 kg.
Jusqu'à 4 groupes de 14 sacs plus 1 groupe de 4 sacs, l'un des groupes incluant le sac léger, soit 60 sacs, on identifie le groupe allégé en pesant :
groupe 1(14) 0 pièce
groupe 2(14) 1 pièce de chaque sac 14
groupe 3(14) 2 pièces de chaque sac 28 groupe 4(14) 3 pièces de chaque sac 42 groupe 5(4) 4 pièces de chaque sac 16
total 100 = 1 kg
On sait identifier le sac léger en 2 pesées de 15 à 60 sacs.
Au-delà de 60 sacs, il faut une pesée supplémentaire.
Jusqu'à 2 groupes de 60 sacs plus 1 groupe de 20 sacs, l'un des groupes incluant le sac léger, soit 140 sacs, on identifie le groupe allégé en pesant :
groupe 1 (60) 0 pièce
groupe 2 (60) 1 pièce de chaque sac 60
groupe 3 (20) 2 pièces par sac 40
total 100 = 1 kg
On sait identifier le sac léger en 3 pesées de 61 à 140 sacs.
1 quel groupe de 60 parmi 3 contient le sac léger 2 quel groupe de 14 sacs dans le groupe de 60 allégé 3 quel sac dans le groupe de 14 allégé
Au-delà de 140 sacs, il faut une pesée supplémentaire, qui permettra d'ajouter 1 groupe de 60 sacs.
On sait identifier le sac léger en 4 pesées de 141 à 200 sacs.
1 et 2 quel groupe de 60 parmi 4 contient le sac léger 3 quel groupe de 14 sacs dans le groupe de 60 allégé 4 quel sac dans le groupe de 14 allégé
De 201 à 260
1, 2, 3 quel groupe de 60 parmi 5 contient le sac léger 4 quel groupe de 14 sacs dans le groupe de 60 allégé 5 quel sac dans le groupe de 14 allégé
Le trésor comporte 140 sacs identifiables en 3 pesées 141 nécessiteraient 4 pesées,
280 nécessiteraient 5 pesées.
Du fait de la limitation à 1 kg de la balance, l'approche pyramidale du début n'est plus applicable, elle devient linéaire, il n'y a pas d'autres solutions car k(2n)-k(n)>2.
