Enoncé A722 (Diophante) Les trésors d’Ispahan
De retour d’Ispahan, Zig présente à Puce n sacs qui contiennent chacun 100 pièces de monnaie de la dynastie Kadjar. Les pièces pèsent toutes 10 grammes chacune à l’exception de 100 pièces plus légères qui se trouvent dans un seul sac et pèsent 9 grammes chacune.
Puce dispose d’une balance électronique qui affiche en grammes le poids des objets pesés avec un plafond de 1 kilogramme. Après quelques minutes de réflexion, Puce affirme que pour déceler le sac des pièces légères,kpesées au minimum sont nécessaires. Il ajoute qu’il lui faudrait une pesée et deux pesées supplémentaires si Zig lui présentait respectivement n+ 1 sacs et 2n sacs (avec dans les deux cas toujours un seul sac de pièces légères à identifier).
Trouver netk.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
A la différence du problème A718, il n’y a qu’un seul sac de pièces défec- tueuses. Puce va composer l’ensemble à peser avec les conditions : prendre dans chaque sac un nombre de pièces différent, ne pas dépasser 100 pièces, capacité de la balance.
Une pesée peut alors être formée de 1 + 2 +. . .+ 12 + 13 = 91 pièces, testant 13 sacs, voire 14 si l’on sait que le mauvais sac fait partie des 14 : ce sac non utilisé pour la pesée sera dénoncé par le poids de 910 grammes pour les 91 pièces. En répétant des pesées similaires s’il y a n >14 sacs, on trouve le mauvais sac en d(n−1)/13e pesées.
Mais une pesée suffit une fois qu’on a pu identifier un ensemble de 14 sacs (au plus) contenant le mauvais sac. S’il y a plus d’un sac, un tel tri préliminaire peut se faire parmi 46 sacs, en une pesée de 100 pièces : les sacs étant numérotés de 1 à 46, le sac numéro ifournitk=di/14epièces.
On a bien 14 + 28 + 42 + 16 = 100 pièces, et la pesée fournit un résultat entre 996 et 999 grammes qui localise le mauvais sac dans un groups de 14 ou 4 sacs, ou un résultat 1000 grammes montrant que le mauvais sac n’y est pas.
On est alors en mesure de trouver le mauvais sac parmi 60 en deux pesées si on sait que le mauvais sac y est : on fait une pesée de 100 pièces venant de 46 sacs, laissant 14 sacs de côté comme on laissait le 14e sac de côté dans la pesée de 91 pièces.
Pour répéter cette approche devant n sacs, Puce en met 14 de côté et formed(n−14)/46e=k−1 groupes de 46 sacs (au plus) ; ces k−1 pesées préliminaires localisent le mauvais sac parmi 14 (au plus) ; si le mauvais sac n’y est pas localisé, c’est qu’il est dans les 14 sacs mis de côté au départ. Ainsik=d(n+ 32)/46e.
Cependant, pour identifier un groupe de 60 sacs au plus contenant le mau- vais sac, une pesée suffit jusqu’à 140 sacs ; on met 60 sacs de côté, et on fait une pesée de 100 pièces à raison de une par sac pour 60 sacs et 2 par sac pour 20 sacs. Une seconde pesée identifie le mauvais sac dans un groupe de 14, et 3 pesées suffisent à le trouver. Répétant cela pourn >140 sacs, k= 2 +d(n−60)/80e=d(n+ 100)/80e.
Enfin, peser 100 pièces venant de 100 sacs différents permet de savoir si le mauvais sac y est ou non. Mettant 140 sacs de côté,
k= 3 +d(n−140)/100e=d(n+ 160)/100e.
Le nombre minimum de pesées est ainsi la plus petite valeur parmi les expressionsd(n−1)/13e,d(n+ 32)/46e,d(n+ 100)/80e,d(n+ 160)/100e.
C’est une fonction en escalier valant 1 pour 2 à 14 sacs, 2 pour 15 à 60 sacs, 3 pour 61 à 140 sacs,k(≥4) pour 100k−259 à 100k−160 sacs.
Si le passage de n à n+ 1 fait passer le nombre de pesées de k à k+ 1, c’est quen est la limite haute d’un des intervalles ci-dessus.
Le nombre de pesées pour 2n = 2×14 = 28 est 2(= k+ 1), 3(= k+ 1) pour 2n = 2×60 = 120, 5(= k+ 2) pour 2n = 2×140 = 280, et avec k >3, 2k−1(> k+ 2) pour 2n= 2×(10k−160) = 2k−320.
D’où la réponse
