G10238. Trois sacs de billes
Trois sacs contiennent chacun 6 billes : le premier a 5 billes rouges et 1 bille jaune, le second a 4 billes rouges et 2 billes jaunes, le dernier a 3 billes rouges et 3 billes jaunes.
On prend un des sacs au hasard et on en tire une bille : elle est rouge. On prend, toujours au hasard, un des deux sacs restants et on en tire une bille : elle est jaune. Enfin on tire une bille du sac non encore utilis´e. Quelle est la probabilit´e que cette bille soit rouge ?
Solution
D´esignant les sacs par 1, 2, 3, il s’agit de d´eduire des deux premiers tirages une indication sur quel est le sac restant. Les sacs sont pris selon un des 6 ordres possibles, de fa¸con ´equiprobable (1/6 pour chacun).
Le sac restant est 1 pour les ordres 231 et 321, qui donnent pour le r´esultat rouge puis jaune les probabilit´es (4/6)(3/6) et (3/6)(2/6), soit au total Pr(RJ1) = (1/6)(4/6)(3/6) + (1/6)(3/6)(2/6) = 18/216.
De mˆeme, le sac restant est 2 pour les ordres 132 et 312, et dans ce cas la probabilit´e de tirer rouge puis jaune est
Pr(RJ2) = (1/6)(5/6)(3/6) + (1/6)(3/6)(1/6) = 18/216.
Enfin, le sac restant est 3 pour les ordres 123 et 213, et dans ce cas la probabilit´e de tirer rouge puis jaune est
Pr(RJ3) = (1/6)(5/6)(2/6) + (1/6)(4/6)(1/6) = 14/216.
Au total, la probabilit´e d’obtenir rouge puis jaune aux deux premiers tirages est Pr(RJ) = (18 + 18 + 14)/216 = 50/216.
D’o`u les probabilit´es conditionnelles
Pr(1|RJ) = Pr(RJ1)/Pr(RJ) = 18/50 = Pr(2|RJ), Pr(3|RJ) = 14/50, et la probabilit´e de tirer rouge au 3e tirage est
(5/6) Pr(1|RJ) + (4/6) Pr(2|RJ) + (3/6) Pr(3|RJ) = 17/25, soit 68%.
1
