De retour d’Ispahan, Zig présente à Puce n sacs qui contiennent chacun 100 pièces de monnaie de la dynastie Kadjar. Les pièces pèsent toutes 10 grammes chacune à l’exception de 100 pièces plus légères qui se trouvent dans un seul sac et pèsent 9 grammes chacune.
Puce dispose d’une balance électronique qui affiche en grammes le poids des objets pesés avec un plafond de 1 kilogramme. Après quelques minutes de réflexion, Puce affirme que pour déceler le sac des pièces légères, k pesées au minimum sont nécessaires. Il ajoute qu’il lui faudrait une pesée et deux pesées supplémentaires si Zig lui présentait respectivement n + 1 sacs et 2n sacs (avec dans les deux cas toujours un seul sac de pièces légères à identifier).
Trouver n et k.
Source : olympiades iraniennes de mathématiques
Une pesée permet d’identifier un sac sur 14 (parmi lesquels se trouve celui que l’on cherche), en prélevant une pièce dans le premier, deux dans le second,... , treize dans le treizième et zéro dans le quatorzième soit un total de 1+2+... +13=91. la différence entre 91 et l’affichage est le numéro du sac cherché.
Avec 15≤n≤60 , on constitue jusqu’à 4 groupes de 14 sacs maximum et un éventuel surplus de 4 sacs maximum : on prend une pièce dans chacun des sacs du premier groupe, deux dans chacun du second, trois dans chacun du troisième, quatre dans chacun des sacs du surplus, (et zéro dans le dernier groupe de 14) soit au plus 14*(1+2+3)+4*4=100. L’écart entre poids théorique et réel indique le numéro du groupe où se trouve le sac recherché.
Avec 61≤n≤140 sacs, on constitue jusqu’à deux groupes de 60 sacs maximum et un de éventuel surplus de 20 sacs maximum : on prend une pièce dans chacun des sacs du premier groupe et deux dans ceux du surplus : 60+2*20=100. Le résultat s’analyse comme précédemment.
Au delà, il faut une pesée par groupe de 100 sacs supplémentaires : on prend une pièce dans chaque sac. S’il n’y a pas d’écart, on élimine ces 100 sacs et l’on
recommence : il faudra donc jusqu’à 4 pesées pour 141≤n≤240, 5 pour 241≤n≤340, 6 pour 341≤n≤440, etc...
Donc n=140, soit 3 pesées. Avec n+1=141 il faudrait 4 pesées, et 5 pour 2n=280.
