A722. Les trésors d'Ispahan
De retour d’Ispahan, Zig présente à Puce n sacs qui contiennent chacun 100 pièces de monnaie de la dynastie Kadjar. Les pièces pèsent toutes 10 grammes chacune à l’exception de 100 pièces plus légères qui se trouvent dans un seul sac et pèsent 9 grammes chacune.
Puce dispose d’une balance électronique qui affiche en grammes le poids des objets pesés avec un plafond de 1 kilogramme. Après quelques minutes de réflexion, Puce affirme que pour déceler le sac des pièces légères, k pesées au minimum sont nécessaires. Il ajoute qu’il lui faudrait une pesée et deux pesées supplémentaires si Zig lui présentait respectivement n + 1 sacs et 2n sacs (avec dans les deux cas toujours un seul sac de pièces légères à identifier).
Trouver n et k.
Solution proposée par Jean Nicot
Notons Ap une pesée sur les pièces de p sacs, avec des nombres différents de pièces, de 1 à p, prises dans ces sacs numérotés de 1 à p. Au maximum p vaut 13 pour ne pas avoir plus de 100 pièces pesées simultanément. En une pesée unique A13, on peut donc trouver le sac anormal parmi 14, le 14ème étant le dernier si tous les autres sont bons.
Notons P une pesée intéressant 4 groupes de 14 sacs et un cinquième groupe de 4 sacs, utilisant zéro pièce du premier groupe, 1 pièce de chaque sac du second groupe et 2 pièces de chaque sac du troisième groupe, 3 pièces du quatrième groupe et 4 pièces du groupe de 4 sacs. Une telle pesée, possible puisque 14 + 2x14 + 3x14 + 4x4 = 100, déterminera, parmi 60 sacs, quel est le groupe de 14 ou de 4 sacs contenant l’anomalie.
En deux pesées, on peut alors trouver le sac anormal parmi 61. Une première pesée P trouvera 14 ou 4 sacs douteux parmi 60 et la seconde, A13 ou A4, fournira le sac anormal parmi eux. Deux pesées sont nécessaires pour n de 15 à 60.
Notons Q une pesée intéressant 2 groupes de 60 sacs et un troisième groupe de 20 sacs utilisant zéro pièce du premier groupe, 1 pièce de chaque sac du second groupe et 2 pièces de chaque sac du troisième. Cette pesée est possible comme 1x60 + 2x20 =100. Elle détermine le groupe de 60 ou de 20 contenant le sac anormal.
Ainsi, avec 3 pesées, Q, P et A13 ou A4, on détermine le sac anormal, pour n de 60 à 140.
La quatrième pesée U100 est faite avec une pièce de chacun de 100 sacs. Elle permet de se ramener à 100 ou 140 sacs, et avec 4 pesées, on détermine le sac anormal, pour n de 141 à 240.
Avec 5 pesées U100, on détermine le sac anormal, pour n de 241 à 340.
n= 140 demande 3 pesées, n+1=141 en demande 4 et 2n= 280 en nécessite 5. Donc n=140 et k=3
