Morphologie mathématique - IV

Morphologie mathématique - IV

Isabelle Bloch

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T ´el ´ecom ParisTech - CNRS LTCI Paris - France

Morphologie math ´ematique IV – p.1/21

Segmentation morphologique

• Critères pour la segmentation d’images :

• simplicité

• régularité

• fidélité

• Paradigmes morphologiques :

• zones plates

• bassins versants et ligne de partage des eaux

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Zones plates : opérateurs connexes

Exemples (Salembier, 1998) :

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Zones plates : opérateurs connexes

Exemples (Salembier, 1998) :

Morphologie math ´ematique IV – p.3/21

Ligne de partage des eaux (LPE)

ligne de partage des eaux

minimum

minimum

bassins versants

Morphologie math ´ematique IV – p.4/21

Ligne de partage des eaux (LPE)

Morphologie math ´ematique IV – p.4/21

LPE par conditions locales

Plusieurs solutions possibles

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Ligne de partage des eaux : définition

Plus grande pente :

Desc(x) = max{ f (x) − f (y)

d(x, y) , y ∈ V (x)}

Dénivelé d’un chemin π = (x 0 , ...x n ) :

T _f (π) =

n

X

i=1

d(x _i −1 , x _i )Cout(x _i −1 , x _i )

avec

Cout(x, y) =



 

 

Desc(x) si f (x) > f (y) Desc(y) si f (y) > f (x) (Desc(x) + Desc(y))/2 si f (y) = f (x)

Morphologie math ´ematique IV – p.6/21

Ligne de partage des eaux : définition

Distance topographique

T _f (x, y) = inf {T _f (π), π = (x 0 = x, x 1 , ..., x n = y)}

(vaut 0 sur un plateau)

Bassin versant associé au minimum régional M i :

BV (M i ) = {x, ∀j 6= i, T _f (x, M i ) + f (M i ) < T _f (x, M j ) + f (M j )}

Ligne de partage des eaux :

LP E(f ) = [∪ i BV (M i )] ^C

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LPE par distance topographique

Solution unique, lignes pas forcément fines.

Approche par immersion

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Approche par immersion

Lignes par forcément fines.

Morphologie math ´ematique IV – p.8/21

Construction de la ligne de partage des eaux

f telle que f (x) ∈ [h min , h max ], f ^h = {x, f (x) ≤ h}

X h _min = f ^{h min}

X h+1 = M inReg h+1 (f ) ∪ ZI _f ^{h +1} (X h ) BV = X h _max

LP E(f ) = X _h ^C _max

Morphologie math ´ematique IV – p.9/21

Illustration de l’algorithme

Morphologie math ´ematique IV – p.10/21

Illustration de l’algorithme

Morphologie math ´ematique IV – p.10/21

Illustration de l’algorithme

Morphologie math ´ematique IV – p.10/21

Illustration de l’algorithme

Morphologie math ´ematique IV – p.10/21

Minimum spanning forest

(MSF ⇒ LPE par chemin le plus court, mais pas la réciproque)

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Ligne de partage des eaux et sur-segmentation

Morphologie math ´ematique IV – p.12/21

Ligne de partage des eaux et sur-segmentation

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Erosion géodésique

pour imposer des marqueurs

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Ligne de partage des eaux contrainte par des marqueurs

f : fonction sur laquelle on veut appliquer la ligne de partage des eaux g : fonction de marquage (sélectionne des minima régionaux)

Reconstruction : E _f ∧ g (g, B ^∞ ) (seulement les minima sélectionnés)

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Exemple

(a) (b) (c)

(d) (e)

(a) Image originale, extraite d’une image IRM du cerveau. (b) Gradient morphologique.

(c) Ligne de partage des eaux superposée à l’image initiale. (d) Fermeture de taille 1 de l’image de gradient. (e) Ligne de partage des eaux du gradient fermé.

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Exemple

(f) (g) (h)

(i) (j) (k)

(f) Marqueurs donnés par les minima régionaux de la figure ?? . (g) Reconstruction du gradient. (h) Ligne de partage des eaux. (i) Marqueurs dans les ventricules (partie noire centrale) et au bord de l’image. (j) Gradient reconstruit. (k) Ligne de partage des eaux donnant bien les contours du ventricule.

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Marqueurs interactifs

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Séparation d’objets binaires connectés

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LPE par minimisation d’énergie

Minimisation d’une énergie exprimant la fidélité (Boomgard, 2000) :

E = X

i

Z Z

D i

(f (D i ) + T _f (x, D i ))dx

D i = minimum local

f (D i ) = valeur du minimum local

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Régularisation de la LPE

• par fermeture

• watersnakes (Boomgard, 2003) : terme supplémentaire sur la longueur des contours dans l’énergie

E = X

i

Z Z

D i

(f (D _i ) + T _f (x, D _i ))dx + β Z

∂D i

ds

• contraintes de géométrie

• innondation "visqueuse" (Vachier et Meyer)

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Watersnakes : exemples (Boomgard, 2003)

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Watersnakes : exemples (Boomgard, 2003)

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Watersnakes : exemples (Boomgard, 2003)

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LPE hiérarchique

Remplissage des bassins versants (peut être itéré) :

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LPE hiérarchique

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LPE hiérarchique

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LPE hiérarchique

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LPE hiérarchique

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LPE hiérarchique

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LPE hiérarchique

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LPE hiérarchique

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LPE hiérarchique

Morphologie math ´ematique IV – p.21/21

LPE hiérarchique

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