Morphologie mathématique - I

(1)

Morphologie mathématique - I

Isabelle Bloch

http://perso.telecom-paristech.fr/˜bloch

T ´el ´ecom ParisTech - CNRS LTCI Paris - France

Morphologie math ´ematique – p.1/33

(2)

Quelques références

•

M. Schmitt et J. Mattioli, Morphologie mathématique, Masson, Paris, 1994.

•

J. Serra, Image Analysis and Mathematical Morphology, Academic Press, New-York, 1982.

•

J. Serra (Ed.), Image Analysis and Mathematical Morphology, Part II: Theoretical Advances, Academic Press, London, 1988.

•

P. Soille, Morphological Image Analysis, Springer-Verlag, Berlin, 1999.

(3)

Introduction

•

Origine : étude des milieux poreux

•

Principe : étude des objets (images) à partir d’informations :

•

de taille, géométrie, topologie

•

de niveaux de gris ou couleurs

•

de voisinage

•

Fondements mathématiques :

•

théorie des ensembles

•

topologie

•

géométrie

•

algèbre (théorie des treillis)

•

probabilités, ensembles fermés aléatoires

•

fonctions

•

Caractéristiques principales des transformations :

•

non linéaires

•

non inversibles

•

fortes propriétés

•

algorithmes associés

(4)

Exemple

(5)

Exemple

(6)

Forme ou relations spatiales ?

(7)

Simplifier et sélectionner l’information pertinente...

(8)

Elément structurant

•

forme

•

taille

•

origine (pas nécessairement dans B)

•

exemples :

Continu : Discret :

(9)

Dilatation binaire

•

Addition de Minkowski :

X ⊕ Y = {x + y / x ∈ X, y ∈ Y }

•

Dilatation binaire :

D(X, B) = X ⊕ Bˇ = {x+ y / x ∈ X, y ∈ B}ˇ (ou = X ⊕ B)

= [

x∈X

Bˇx = {x ∈ Rⁿ / Bx ∩X 6= ∅}

(10)

Dilatation binaire

•

Addition de Minkowski :

X ⊕ Y = {x + y / x ∈ X, y ∈ Y }

•

Dilatation binaire :

D(X, B) = X ⊕ Bˇ = {x+ y / x ∈ X, y ∈ B}ˇ (ou = X ⊕ B)

= [

x∈X

Bˇx = {x ∈ Rⁿ / Bx ∩X 6= ∅}

Propriétés de la dilatation :

•

extensive (X ⊆ D(X, B)) si O ∈ B ;

•

croissante (X ⊆ Y ⇒ D(X, B) ⊆ D(Y, B)) ;

•

_B ⊆ B^′ ⇒ D(X, B) ⊆ D(X, B^′) ;

•

commute avec la réunion, pas avec l’intersection :

D(X ∪ Y, B) = D(X, B) ∪ D(Y, B), D(X ∩Y, B) ⊆ D(X, B) ∩D(Y, B);

•

propriété d’itération : D[D(X, B), B^′] = D(X, B ⊕ B^′). Morphologie math ´ematique – p.8/33

(11)

Exemple de dilatation

(12)

Erosion binaire

E(X, B) = {x ∈ Rⁿ / Bx ⊆ X}

= {x / ∀y ∈ B, x+ y ∈ X} = X ⊖ Bˇ

(13)

Erosion binaire

E(X, B) = {x ∈ Rⁿ / Bx ⊆ X}

= {x / ∀y ∈ B, x+ y ∈ X} = X ⊖ Bˇ

Propriétés de l’érosion :

•

dualité de l’érosion et de la dilatation par rapport à la complémentation :

E(X, B) = [D(X^C, B)]^C

•

anti-extensive (E(X, B) ⊆ X) si O ∈ B ;

•

croissante (X ⊆ Y ⇒ E(X, B) ⊆ E(Y, B)) ;

•

B ⊆ B^′ ⇒ E(X, B^′) ⊆ E(X, B) ;

•

commute avec l’intersection, pas avec la réunion :

E[(X ∩Y ), B] = E(X, B) ∩E(Y, B), E[(X ∪ Y ), B] ⊇ E(X, B) ∪ E(Y, B);

•

propriété d’itération : E[E(X, B), B^′] = E(X, B ⊕ B^′).

•

_D[E_{(X, B), B}^′_] ⊆ E[D(X, B^′), B]. Morphologie math ´ematique – p.10/33

(14)

Exemple d’érosion

(15)

Liens avec les distances

(16)

Liens avec les distances

(17)

Ouverture binaire

X_B = D[E(X, B),B]ˇ

(18)

Ouverture binaire

X_B = D[E(X, B),B]ˇ

Propriétés de l’ouverture :

•

anti-extensive (X ⊇ X_B) ;

•

croissante (X ⊆ Y ⇒ X_B ⊆ Y_B) ;

•

idempotente ((X_B)_B = X_B).

⇒ Filtre morphologique

•

B ⊆ B^′ ⇒ X_B′ ⊆ X_B ;

•

_(X_n₎_n′ = (X_n′)n = X_max(n,n′).

(19)

Exemple d’ouverture

(20)

Fermeture binaire

X^B = E[D(X, B),B]ˇ

(21)

Fermeture binaire

X^B = E[D(X, B),B]ˇ

Propriétés de la fermeture :

•

extensive (X ⊆ X^B) ;

•

croissante (X ⊆ Y ⇒ X^B ⊆ Y ^B) ;

•

idempotente ((X^B)^B = X^B).

⇒ Filtre morphologique

•

B ⊆ B^′ ⇒ X^B ⊆ X^B^′ ;

•

(Xⁿ)ⁿ^′ = (Xⁿ^′)ⁿ = X^max(n,n^′⁾ ;

•

_X^B _{= [(X}^C₎_B_]^C.

(22)

Exemple de fermeture

(23)

Des ensembles aux fonctions

•

sous-graphe d’une fonction de Rⁿ = sous-ensemble de Rⁿ⁺¹

•

seuils d’une fonction = ensembles

•

équivalents fonctionnels d’opérations binaires :

∪ → sup/ ∨

∩ → inf / ∧

⊆ → ≤

⊇ → ≥

(24)

Dilatation d’une fonction

par un élément structurant plan

∀x ∈ Rⁿ, D(f, B)(x) = sup{f(y) / y ∈ Bx}

(25)

Dilatation d’une fonction

par un élément structurant plan

∀x ∈ Rⁿ, D(f, B)(x) = sup{f(y) / y ∈ Bx}

Propriétés de la dilatation fonctionnelle :

•

extensivité si O ∈ B ;

•

croissance ;

•

D(f ∨ g, B) = D(f, B) ∨D(g, B) ;

•

D(f ∧ g, B) ≤ D(f, B) ∧D(g, B).

(26)

Exemple de dilatation fonctionnelle

(27)

Erosion d’une fonction

∀x ∈ Rⁿ, E(f, B)(x) = inf{f(y) / y ∈ Bx}

(28)

Erosion d’une fonction

∀x ∈ Rⁿ, E(f, B)(x) = inf{f(y) / y ∈ Bx}

Propriétés de l’érosion fonctionnelle :

•

les dilatation et érosion fonctionnelles sont des opérations duales ;

•

anti-extensivité si O ∈ B ;

•

croissance ;

•

E(f ∨g, B) ≥ E(f, B) ∨ E(g, B) ;

•

E(f ∧g, B) = E(f, B) ∧ E(g, B).

(29)

Exemple d’érosion fonctionnelle

(30)

Ouverture fonctionnelle

f_B = D[E(f, B),B]ˇ

(31)

Ouverture fonctionnelle

f_B = D[E(f, B),B]ˇ

Propriétés de l’ouverture fonctionnelle :

•

anti-extensive ;

•

croissante ;

•

idempotente.

⇒ filtre morphologique

(32)

Exemple d’ouverture fonctionnelle

(33)

Fermeture fonctionnelle

f^B = E[D(f, B),B]ˇ

(34)

Fermeture fonctionnelle

f^B = E[D(f, B),B]ˇ

Propriétés de la fermeture fonctionnelle :

•

extensive ;

•

croissante ;

•

idempotente.

⇒ filtre moprphologique

•

dualité entre ouverture et fermeture

(35)

Exemple de fermeture fonctionnelle

(36)

Exemple

(a) (b) (c) (d)

(e) (f) (g)

(a) Image originale. Dilatation de taille 4 par (b) l’élément structurant de la 4-connexité, (c) l’élément structurant de la 8-connexité, (d) une approximation discrète d’un disque.

(e) Erosion de taille 4 par l’élément de la 4-connexité. (f) Ouverture de taille 4

correspondante. (g) Fermeture de taille 4. Morphologie math ´ematique – p.26/33

(37)

Eléments structurants fonctionnels

Dilatation :

D(f, g)(x) = sup

y

{f(y) +g(y − x)}

Erosion :

E(f, g)(x) = inf

y {f(y) − g(y − x)}

Elément structurant plan :

g(x) =

( 0 sur un compact B

−∞ ailleurs

(38)