Morphologie mathématique - I

(1)

Morphologie mathématique - I

Isabelle Bloch

http://perso.telecom-paris.fr/bloch

LTCI, T ´el ´ecom ParisTech, Institut Polytechnique de Paris

(2)

Quelques références

•

M. Schmitt et J. Mattioli, Morphologie mathématique, Masson, Paris, 1994.

•

J. Serra, Image Analysis and Mathematical Morphology, Academic Press, New-York, 1982.

•

J. Serra (Ed.), Image Analysis and Mathematical Morphology, Part II: Theoretical Advances, Academic Press, London, 1988.

•

P. Soille, Morphological Image Analysis, Springer-Verlag, Berlin, 1999.

•

L. Najman, H. Talbot (Eds.), Mathematical Morphology: From Theory to Applications, ISTE-Wiley, 2010.

(3)

Introduction

•

Origine : étude des milieux poreux

•

Principe : étude des objets (images) à partir d’informations :

•

de taille, géométrie, topologie

•

de niveaux de gris ou couleurs

•

de voisinage

•

Fondements mathématiques :

•

théorie des ensembles

•

topologie

•

géométrie

•

algèbre (théorie des treillis)

•

probabilités, ensembles fermés aléatoires

•

fonctions

•

Caractéristiques principales des transformations :

(4)

Exemple

(5)

Exemple

(6)

Forme ou relations spatiales ?

(7)

Simplifier et sélectionner l’information

pertinente...

(8)

Elément structurant

•

forme

•

taille

•

origine (pas nécessairement dans B)

•

exemples :

Continu : Discret :

(9)

Dilatation binaire

•

Addition de Minkowski :

X ⊕ Y = {x + y | x ∈ X, y ∈ Y }

•

Dilatation binaire :

D(X, B) = X ⊕ B = {x + y | x ∈ X, y ∈ B} (ou X ⊕ Bˇ historiquement)

= [

x∈X

Bx = {x ∈ Rⁿ | Bˇx ∩X 6= ∅}

(Bˇ = symétrique de B par rapport à l’origine, Bx = x + B)

(10)

Dilatation binaire

•

Addition de Minkowski :

X ⊕ Y = {x + y | x ∈ X, y ∈ Y }

•

Dilatation binaire :

D(X, B) = X ⊕ B = {x + y | x ∈ X, y ∈ B} (ou X ⊕ Bˇ historiquement)

= [

x∈X

Bx = {x ∈ Rⁿ | Bˇx ∩X 6= ∅}

(Bˇ = symétrique de B par rapport à l’origine, Bx = x + B) Propriétés de la dilatation :

•

extensive (X ⊆ D(X, B)) ssi O ∈ B ;

•

croissante (X ⊆ Y ⇒ D(X, B) ⊆ D(Y, B)) ;

•

_B ⊆ B^′ ⇒ D(X, B) ⊆ D(X, B^′) ;

(11)

Exemple de dilatation

(12)

Erosion binaire

E(X, B) = {x ∈ Rⁿ | Bx ⊆ X}

= {x ∈ Rⁿ | ∀y ∈ B, x+ y ∈ X} = X ⊖ Bˇ

(13)

Erosion binaire

E(X, B) = {x ∈ Rⁿ | Bx ⊆ X}

= {x ∈ Rⁿ | ∀y ∈ B, x+ y ∈ X} = X ⊖ Bˇ

Propriétés de l’érosion :

•

dualité de l’érosion et de la dilatation par rapport à la complémentation :

E(X, B) = [D(X^C, B)]^C

•

anti-extensive (E(X, B) ⊆ X) ssi O ∈ B ;

•

croissante (X ⊆ Y ⇒ E(X, B) ⊆ E(Y, B)) ;

•

B ⊆ B^′ ⇒ E(X, B^′) ⊆ E(X, B) ;

•

commute avec l’intersection, pas avec la réunion :

(14)

Exemple d’érosion

(15)

Liens avec les distances

(16)

Liens avec les distances

(17)

Ouverture binaire

X_B = D[E(X, B), B]

(18)

Ouverture binaire

X_B = D[E(X, B), B]

Propriétés de l’ouverture :

•

anti-extensive (X ⊇ X_B) ;

•

croissante (X ⊆ Y ⇒ X_B ⊆ Y_B) ;

•

idempotente ((X_B)_B = X_B).

⇒ Filtre morphologique

•

B ⊆ B^′ ⇒ X_B′ ⊆ X_B ;

•

_(X_n₎_n′ = (X_n′)n = X_max(n,n′) (avec Xn ouverture par un élément structurant de taille n).

(19)

Exemple d’ouverture

(20)

Fermeture binaire

X^B = E[D(X, B), B]

(21)

Fermeture binaire

X^B = E[D(X, B), B]

Propriétés de la fermeture :

•

extensive (X ⊆ X^B) ;

•

croissante (X ⊆ Y ⇒ X^B ⊆ Y ^B) ;

•

idempotente ((X^B)^B = X^B).

⇒ Filtre morphologique

•

B ⊆ B^′ ⇒ X^B ⊆ X^B^′ ;

•

(Xⁿ)ⁿ^′ = (Xⁿ^′)ⁿ = X^max(n,n^′⁾ ;

•

_X^B _{= [(X}^C₎_B_]^C.

(22)

Exemple de fermeture

(23)

Des ensembles aux fonctions

•

sous-graphe d’une fonction de Rⁿ = sous-ensemble de Rⁿ⁺¹

•

seuils d’une fonction = ensembles

•

équivalents fonctionnels d’opérations binaires :

∪ → sup/ ∨

∩ → inf / ∧

⊆ → ≤

⊇ → ≥

(24)

Dilatation d’une fonction

par un élément structurant plan

∀x ∈ Rⁿ, D(f, B)(x) = sup{f(y) | y ∈ Bˇx}

(25)

Dilatation d’une fonction

par un élément structurant plan

∀x ∈ Rⁿ, D(f, B)(x) = sup{f(y) | y ∈ Bˇx}

Propriétés de la dilatation fonctionnelle :

•

extensivité ssi O ∈ B ;

•

croissance ;

•

D(f ∨ g, B) = D(f, B) ∨D(g, B) ;

•

D(f ∧ g, B) ≤ D(f, B) ∧D(g, B) ;

•

propriété d’itération.

(26)

Exemple de dilatation fonctionnelle

(27)

Erosion d’une fonction

∀x ∈ Rⁿ, E(f, B)(x) = inf{f(y) | y ∈ Bx}

(28)

Erosion d’une fonction

∀x ∈ Rⁿ, E(f, B)(x) = inf{f(y) | y ∈ Bx}

Propriétés de l’érosion fonctionnelle :

•

les dilatation et érosion fonctionnelles sont des opérations duales ;

•

anti-extensivité ssi O ∈ B ;

•

croissance ;

•

E(f ∨g, B) ≥ E(f, B) ∨E(g, B) ;

•

E(f ∧g, B) = E(f, B) ∧E(g, B) ;

•

propriété d’itération.

(29)

Exemple d’érosion fonctionnelle

(30)

Ouverture fonctionnelle

f_B = D[E(f, B), B]

(31)

Ouverture fonctionnelle

f_B = D[E(f, B), B]

Propriétés de l’ouverture fonctionnelle :

•

anti-extensive ;

•

croissante ;

•

idempotente.

⇒ filtre morphologique

(32)

Exemple d’ouverture fonctionnelle

(33)

Fermeture fonctionnelle

f^B = E[D(f, B), B]

(34)

Fermeture fonctionnelle

f^B = E[D(f, B), B]

Propriétés de la fermeture fonctionnelle :

•

extensive ;

•

croissante ;

•

idempotente.

⇒ filtre moprphologique

•

dualité entre ouverture et fermeture

(35)

Exemple de fermeture fonctionnelle

(36)

Exemple

(a) (b) (c) (d)

(37)

Eléments structurants fonctionnels

Dilatation :

D(f, g)(x) = sup

y

{f(y) +g(x − y)}

Erosion :

E(f, g)(x) = inf

y {f(y) − g(y − x)}

Elément structurant plan :

g(x) =

( 0 sur un compact B

−∞ ailleurs

(38)

Fondements mathématiques de la morphologie mathématique

•

Théorie des ensembles

•

relations (⊆, ∩, ∪...)

•

élément structurant

•

Topologie

•

topologie en tout ou rien (topologie de Fell)

•

topologie myope

•

distance de Hausdorff

•

Théorie des treillis

•

adjonctions

•

opérations algébriques

•

Probabilités

•

P(A ∩K 6= ∅)

(39)

Quelques applications de la dilatation et de

l’érosion

(40)

Quelques applications de la dilatation et de l’érosion

Rehaussement de contraste

(41)

Quelques applications de la dilatation et de l’érosion

Rehaussement de contraste : ES 15, α = β = 0.2, α = β = 0.3, α = β = 0.5

(42)

Quelques applications de la dilatation et de l’érosion

Rehaussement de contraste : ES 30, α = β = 0.2, α = β = 0.3, α = β = 0.5

(43)

Quelques applications de la dilatation et de

l’érosion

(44)

Quelques applications de la dilatation et de l’érosion

Gradient morphologique : D_B(x) − E_B(x)

(45)

Quelques applications de la dilatation et de

l’érosion

(46)

Filtres alternés séquentiels

(...(((f_B₁)^B¹)_B₂)^B²)..._Bn)^Bⁿ

(47)

Filtres alternés séquentiels

(...(((f_B₁)^B¹)_B₂)^B²)..._Bn)^Bⁿ

(48)

Filtres alternés séquentiels

(...(((f_B₁)^B¹)_B₂)^B²)..._Bn)^Bⁿ

(49)