Morphologie mathématique - II

(1)

Morphologie mathématique - II

Isabelle Bloch

http://perso.telecom-paris.fr/bloch

LTCI, T ´el ´ecom ParisTech, Institut Polytechnique de Paris

(2)

Opérateurs géodésiques

Distance géodésique, conditionnelle à X : d X

x

y X

d (x,y)

d(x,y) X

• si X est fermé, il existe un arc géodésique pour toute paire de points de X

• unicité si X est simplement connexe

• _X convexe ⇔ d X = d

Boule géodésique : B _X (x, r) = {y ∈ X | d _X (x, y) ≤ r}

Rq : B X (x, r ) ⊆ B(x, r)

Dilatation géodésique :

D X (Y, B r ) = {x ∈ R ⁿ | B X (x, r) ∩ Y 6= ∅} = {x ∈ R ⁿ | d X (x, Y ) ≤ r}

Erosion géodésique :

E _X (Y, B r ) = {x ∈ R ⁿ | B _X (x, r ) ⊆ Y } = X \ D _X (X \ Y, B r ) Ouverture et fermeture géodésiques : par composition

Morphologie math ´ematique II – p.2/55

(3)

Propriétés et reconstruction

Propriétés :

• similaires à celles du cas euclidien

• _D _X _{(Y, B} _r ₎ ⊆ D(Y, B r )

• _D _X _{(Y, B} _r _{) =} ∩ ^∞ _n ₌₁ [(Y ⊕ _n ^r B ) ∩ X ] ⁿ Cas discret :

D X (Y, B r ) = [D(Y, B 1 ) ∩ X ] ^r

Reconstruction :

[D(Y, B 1 ) ∩ X] ^∞ = D ^∞ _X (Y )

(4)

Reconstruction binaire : exemple

(5)

Reconstruction binaire : exemple

(6)

Reconstruction binaire : exemple

0000 0000 0000 0000 0000 1111 1111 1111 1111 1111

0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111

(7)

Erodés ultimes

EU (X) = ∪ n {E (X, B n ) \ R[E (X, B n+1 ); E(X, B n )]}

• _{E(X, B} _n ₎ : l’érodé de X de taille n

• _R[Y _; _Z] : composantes connexes de Z qui ont une intersection non vide avec Y

= ensemble des maxima régionaux de la fonction distance d(x, X ^C ).

(8)

Opérateurs géodésiques fonctionnels

X 1 ⊆ X 2 et Y 1 ⊆ Y 2 ⇒ D _X ₁ (Y 1 , B r ) ⊆ D _X ₂ (Y 1 , B r ) ⊆ D _X ₂ (Y 2 , B r )

⇒ Extension aux fonctions, pour f ≤ g, coupe par coupe : [D g (f, B r )] _λ = D g _λ (f _λ , B r ) (avec f _λ = {x, f (x) ≥ λ})

Cas discret :

D g (f, B r ) = [D(f, B 1 ) ∧ g] ^r

E g (f, B r ) = [E (f, B 1 ) ∨ g] ^r

Reconstruction numérique de f (fonction de marquage) dans g :

• par dilatation D g (f, B ^∞ ) = D ^∞ _g (f ) : ouverture

• par érosion E g (f, B ∞ ) : fermeture

• ouverture par reconstruction : D _f ^∞ (f B ) (zones plates dont les contours sont certains contours de l’image originale ⇒ compression)

(9)

Reconstruction numérique : exemple

(10)

Reconstruction numérique : exemple

(11)

Reconstruction numérique : exemple

(12)

Reconstruction numérique : exemple

(13)

Ouverture par reconstruction : exemples

(14)

Ouverture par reconstruction : exemples

Réunion d’ouvertures par des segments de longueur 20 et reconstruction

(15)

Application au filtrage alterné séquentiel

(16)

Application au filtrage alterné séquentiel

FAS par un hexagone (taille maximale = 1)

(17)

Application au filtrage alterné séquentiel

(18)

Application au filtrage alterné séquentiel

FAS par un hexagone (taille maximale = 5)

(19)

Application au filtrage alterné séquentiel

(20)

Application au filtrage alterné séquentiel

FAS par des segments (taille maximale = 1)

(21)

Application au filtrage alterné séquentiel

(22)

Application au filtrage alterné séquentiel

FAS par des segments (taille maximale = 5)

(23)

Application au filtrage alterné séquentiel

(24)

Un autre exemple

(25)

Un autre exemple

(26)

Un autre exemple

FAS par un hexagone (taille maximale = 3)

(27)

Un autre exemple

(28)

Un autre exemple

FAS par des segments (taille maximale = 1)

(29)

Un autre exemple

(30)

Un autre exemple

FAS par des segments (taille maximale = 5)

(31)

Maxima régionaux

X maximum régional de f si

∀x ∈ X, f (x) = λ et X = CC (f _λ )

Calcul des maxima régionaux :

f − D _f ^∞ (f − 1) h-maxima (dynamique des niveaux de gris) :

f − D _f ^∞ (f − h)

⇒ maxima robustes

(32)

Maxima régionaux : exemple

(33)

Maxima robustes : exemple

(34)

Minima régionaux : exemple

(35)

Squelette par zones d’influence

X = S

i X i

Zone d’influence de X i dans X ^C :

ZI (X i ) = {x ∈ X ^C | d(x, X i ) < d(x, X \ X i )}

Squelette par zone d’influence :

Skiz(X) = ( [

i

ZI (X i )) ^C

= diagramme de Voronoï généralisé

Propriétés :

• Skiz(X) ⊆ squelette(X ^C ) (cf cours sur le squelette)

• le Skiz peut être non connexe (même si X ^C l’est)

(36)

Squelette par zones d’influence : exemples

(37)

Squelette par zones d’influence : exemples

(38)

Squelette géodésique par zones d’influence

Y = ∪ _i Y i

Zone d’influence géodésique de Y i conditionnellement à X :

ZI X (Y i ) = {x ∈ X | d X (x, Y i ) < d X (x, Y \ Y i )}

Squelette géodésique par zone d’influence :

SKIZ X (Y ) = X \ [

i

ZI X (Y i )

X

SKIZ(Y)

Y 1

Y 2

Y 1

Y 2

SKIZ (Y)

X

(39)

Une première application simple...

(40)

Une première application simple...

Seuillage :

(41)

Une première application simple...

Erosion :

(42)

Une première application simple...

Reconstruction :

⇒ comptage des dés blancs et des points noirs sur chaque dé

(43)

Une première application simple...

Image seuillée − reconstruction des dés blancs puis petite ouverture

(44)

Une première application simple...

Grande fermeture (15) - SKIZ

(45)

Une première application simple...

Séparation (et logique) et étiquetage

(46)

Parcellisation du cortex (thèse d’Arnaud Cachia)

(47)

Parcellisation du cortex

(thèse d’Arnaud Cachia)

(48)

Filtres connectés

• Objectif : simplifier l’image

• Filtre morphologique qui

• préserve les contours

• est indépendant du contraste

• agit sur les composantes connexes

• Premier exemple : ouvertures surfaciques

γ λ (f ) = _

i

{γ _B _i (f ) | B i connexe et S(B i ) = λ}

(49)

Filtres connectés

(50)

Filtres connectés

0000 0000 0000 0000 1111 1111 1111 1111

000 000 000 000 000 000 000 000

111 111 111 111 111 111 111 111

0000000 1111111 0000 0000

0000 1111 1111 1111

(51)

Filtres connectés

(52)

Filtres connectés sur des images à niveaux de gris

• Opérations croissantes

• Application coupe par coupe

T _h (f ) = {x | f (x) ≥ h}

(γ ^A (f ))(x) = sup{h | x ∈ Γ ^A (T _h (f ))}

Ouverture surfacique Fermeture surfacique

(53)

Représentation par arbres

(54)

Représentation par arbres

(55)

Ouverture par attribut

(56)

Exemples d’application

Filtrage en fonction de l’élongation (Meijster, 2002) :

(57)

Exemples d’application

Critère entropique (Salembier, 1998) :

(58)

Exemples d’application

Analyse du mouvement (Salembier, 1998) :

(59)

Exemples d’application

Compression (Salembier, 2000) :

(60)

Segmentation morphologique

• Critères pour la segmentation d’images :

• simplicité

• régularité

• fidélité

• Paradigmes morphologiques :

• zones plates

• bassins versants et ligne de partage des eaux

(61)

Ligne de partage des eaux (LPE)

(62)

Ligne de partage des eaux (LPE)

ligne de partage des eaux

minimum

bassins versants

(63)

Ligne de partage des eaux (LPE)

(64)

LPE par conditions locales

Plusieurs solutions possibles

(65)

Ligne de partage des eaux : définition

Plus grande pente :

Desc(x) = max{ f (x) − f (y)

d(x, y) , y ∈ V (x)}

Dénivelé d’un chemin π = (x 0 , ...x n ) :

T _f (π) =

n

X

i=1

d(x _i −1 , x _i )Cout(x _i −1 , x _i )

avec

Cout(x, y) =



 

 

Desc(x) si f (x) > f (y)

Desc(y) si f (y) > f (x)

(Desc(x) + Desc(y))/2 si f (y) = f (x)

(66)

Ligne de partage des eaux : définition

Distance topographique

T _f (x, y) = inf {T _f (π), π = (x 0 = x, x 1 , ..., x n = y)}

(vaut 0 sur un plateau)

Bassin versant associé au minimum régional M i :

BV (M i ) = {x | ∀j 6= i, T _f (x, M i ) + f (M i ) < T _f (x, M j ) + f (M j )}

Ligne de partage des eaux :

LP E(f ) = [∪ i BV (M i )] ^C

(67)

LPE par distance topographique

(68)

Approche par immersion

(69)

Approche par immersion

(70)

Construction de la ligne de partage des eaux

f telle que f (x) ∈ [h min , h max ], f ^h = {x | f (x) ≤ h}

X h _min = f ^h ^min

X h+1 = M inReg h+1 (f ) ∪ ZI _f h+1 (X h ) BV = X h _max

LP E(f ) = X _h ^C _max

(71)

Illustration de l’algorithme

(72)

Illustration de l’algorithme

(73)

Illustration de l’algorithme

(74)

Illustration de l’algorithme

(75)

Minimum spanning forest

(76)

Ligne de partage des eaux et sur-segmentation

(77)

Ligne de partage des eaux et sur-segmentation

(78)

Erosion géodésique

pour imposer des marqueurs

(79)

Ligne de partage des eaux contrainte par des marqueurs

f : fonction sur laquelle on veut appliquer la ligne de partage des eaux g : fonction de marquage (sélectionne des minima régionaux)

Reconstruction : E _f ∧ g (g, B ∞ ) (seulement les minima sélectionnés)

(80)

Exemple

(a) (b) (c)

(d) (e)

(a) Image originale, extraite d’une image IRM du cerveau. (b) Gradient morphologique.

(c) Ligne de partage des eaux superposée à l’image initiale. (d) Fermeture de taille 1 de l’image de gradient. (e) Ligne de partage des eaux du gradient fermé.

(81)

Exemple

(f) (g) (h)

(i) (j) (k)

(f) Marqueurs donnés par les minima régionaux. (g) Reconstruction du gradient. (h)

Ligne de partage des eaux. (i) Marqueurs dans les ventricules (partie noire centrale) et

au bord de l’image. (j) Gradient reconstruit. (k) Ligne de partage des eaux donnant bien

les contours du ventricule.

(82)

Marqueurs interactifs

(83)

Séparation d’objets binaires connectés

(84)

LPE par minimisation d’énergie

Minimisation d’une énergie exprimant la fidélité (Boomgard, 2000) :

E = X

i

Z Z

D _i

(f (D i ) + T _f (x, D i ))dx

D i = minimum local

f (D i ) = valeur du minimum local

(85)

Régularisation de la LPE

• par fermeture

• watersnakes (Boomgard, 2003) : terme supplémentaire sur la longueur des contours dans l’énergie

E = X

i

Z Z

D _i

(f (D i ) + T f (x, D i ))dx + β Z

∂D _i

ds

• contraintes de géométrie

• innondation "visqueuse" (Vachier et Meyer)

(86)

Watersnakes : exemples (Boomgard, 2003)

(87)

Watersnakes : exemples (Boomgard, 2003)

(88)

Watersnakes : exemples (Boomgard, 2003)

(89)

LPE hiérarchique

Remplissage des bassins versants (peut être itéré) :

(90)

LPE hiérarchique

(91)

LPE hiérarchique

(92)

LPE hiérarchique

(93)

LPE hiérarchique

(94)

LPE hiérarchique

(95)

LPE hiérarchique

(96)

LPE hiérarchique

(97)

LPE hiérarchique

(98)

LPE hiérarchique

(99)

Transformation en tout ou rien

Elément structurant : T = (T 1 , T 2 ), avec T 1 ∩ T 2 = ∅

HMT :

X ⊗ T = E (X, T 1 ) ∩ E (X ^C , T 2 )

(100)

Transformation en tout ou rien

Elément structurant : T = (T 1 , T 2 ), avec T 1 ∩ T 2 = ∅

HMT :

X ⊗ T = E (X, T 1 ) ∩ E (X ^C , T 2 )

Amincissement (si O ∈ T 1 ) :

X ◦ T = X \ X ⊗ T Epaississement (si O ∈ T 2 ) :

X ⊙ T = X ∪ X ⊗ T

Pour T ^′ = (T 2 , T 1 ) :

X ◦ T = (X ^C ⊙ T ^′ ) ^C

(101)

Transformation en tout ou rien : exemples

(102)

Transformation en tout ou rien : exemples

(103)

Squelette : exigences

• représentation compacte des objets

• lignes minces

• inclus et centré dans l’objet

• homotope à l’objet

• bonne représentation de la géométrie

• inversible (reconstruction de l’objet initial)

(104)

Squelette : cas continu

A : ensemble ouvert

s ρ (A) = ensemble des centres des boules maximales de A de rayon ρ

Squelette :

r(A) = [

ρ> 0

s ρ (A)

Caractérisation :

s ρ (A) = \

µ>0

[E (A, B ρ ) \ [E (A, B ρ )] _B ^¯ _µ ]

r(A) = [

ρ> 0

\

µ> 0

[E(A, B ρ ) \ [E(A, B ρ )] _B ^¯ _µ ]

Reconstruction :

A = [

ρ> 0

D(s ρ , B ρ )

(105)

Propriétés du squelette continu

• _s _ρ _(E _ρ ₀ _{(A)) =} _s _ρ+ρ ₀ _(A) ⇒ r(E ρ ₀ (A)) = ∪ ρ>ρ ₀ s ρ (A)

• pas de formule générale pour le squelette d’un dilaté, ouvert ou fermé

• _A 7→ r(A) ¯ est s.c.i. de G dans F

• A connexe ⇒ r(A) ¯ connexe

• le squelette est « fin » : son intérieur est vide

(106)

Squelette : cas discret

• Transposition directe du cas continu :

S (X ) = [

n ∈ N

[E (X, B n ) \ E (X, B n ) B ]

Propriétés :

• centres de boules maximales discrètes

• reconstuction

• mais pas de bonnes propriétés de connexité

(107)

Squelette : cas discret

• Transposition directe du cas continu :

S (X ) = [

n ∈ N

[E (X, B n ) \ E (X, B n ) B ]

Propriétés :

• centres de boules maximales discrètes

• reconstuction

• mais pas de bonnes propriétés de connexité

• Squelette par amincissement homotopique

1 1 1

0 0

. .

Propriétés :

• topologie parfaite

• pas de possibilité de reconstruction

(108)

Centres des boules maximales vs amincissement

(109)

Centres des boules maximales vs amincissement

(110)

Centres des boules maximales vs amincissement

(111)

Centres des boules maximales vs amincissement

(112)

Centres des boules maximales vs amincissement

(113)

Squelette et squelette par zones d’influence

Skiz(X) ⊆ r(X ^C )

(114)

Squelette et squelette par zones d’influence

Skiz(X) ⊆ r(X ^C )

(115)

Application en imagerie cérébrale

(thèse de Jean-François Mangin)

(116)

Application en imagerie cérébrale (thèse de Jean-François Mangin)

(117)

Application en imagerie cérébrale

(thèse de Jean-François Mangin)

(118)

Application en imagerie cérébrale (thèse de Jean-François Mangin)

(119)

Application en imagerie cérébrale

(thèse de Jean-François Mangin)

(120)

Application en imagerie cérébrale (thèse de Jean-François Mangin)

(121)

Application en imagerie cérébrale

(thèse de Jean-François Mangin)

(122)

Filtrage et segmentation topologiques

Source : G. Bertrand, M. Couprie (2007)

(123)

Filtrage et segmentation topologiques

(124)

Filtrage et segmentation topologiques

Source : G. Bertrand, M. Couprie (2007)

(125)

Application : amincissement

(126)

Application : amincissement

Source : G. Malandain (2007)

(127)

Morphologie mathématique - II