Morphologie mathématique - III

(1)

Morphologie mathématique - III

Isabelle Bloch

http://perso.telecom-paristech.fr/ ˜ bloch

T ´el ´ecom ParisTech - CNRS LTCI

Paris - France

(2)

Opérateurs géodésiques

Distance géodésique, conditionnelle à X : d X

x

y X

d (x,y)

d(x,y) X

• si X est fermé, il existe un arc géodésique pour toute paire de points de X

• unicité si X est simplement connexe

• _X convexe ⇔ d X = d

Boule géodésique : B _X (x, r) = {y ∈ X / d _X (x, y) ≤ r}

Rq : B X (x, r) ⊆ B(x, r)

Dilatation géodésique :

D X (Y, B r ) = {x ∈ R ⁿ / B X (x, r) ∩ Y 6= ∅} = {x ∈ R ⁿ / d X (x, Y ) ≤ r}

Erosion géodésique :

E _X (Y, B r ) = {x ∈ R ⁿ / B _X (x, r) ⊆ Y } = X \ D _X (X \ Y, B r )

Ouverture et fermeture géodésiques : par composition

(3)

Propriétés et reconstruction

Propriétés :

• similaires à celles du cas euclidien

• _D _X _{(Y, B} _r ₎ ⊆ D(Y, B r )

• _D _X _{(Y, B} _r _{) =} ∩ ^∞ _n=1 [(Y ⊕ _n ^r B) ∩ X] ⁿ

Cas discret :

D X (Y, B r ) = [D(Y, B 1 ) ∩ X ] ^r

Reconstruction :

[D(Y, B 1 ) ∩ X] ^∞ = D ^∞ _X (Y )

= composantes connexes de X qui intersectent Y

(4)

Reconstruction binaire : exemple

(5)

Reconstruction binaire : exemple

(6)

Reconstruction binaire : exemple

000 000 000 000 000 000 111 111 111 111 111 111

0000000

1111111

(7)

Erodés ultimes

EU (X) = ∪ n {E (X, B n ) \ R[E (X, B n+1 ); E (X, B n )]}

• _E _{(X, B} _n ₎ : l’érodé de X de taille n

• _R[Y _; _Z] : composantes connexes de Z qui ont une intersection non vide avec Y

= ensemble des maxima régionaux de la fonction distance d(x, X ^C ).

(8)

Ouverture surfacique

γ λ (f ) = _

i

{γ _B _i (f ), B i connexe et S (B i ) = λ}

(9)

Ouverture surfacique

γ λ (f ) = _

i

{γ _B _i (f ), B i connexe et S (B i ) = λ}

(10)

Ouverture surfacique

γ λ (f ) = _

i

{γ _B _i (f ), B i connexe et S (B i ) = λ}

0000 0000 0000 1111 1111 1111

00 00 00 00 00 00 00 00

11 11 11 11 11 11 11 11

0000000 1111111 0000 0000

0000

1111 1111

1111

(11)

Opérateurs géodésiques fonctionnels

X 1 ⊆ X 2 et Y 1 ⊆ Y 2 ⇒ D _X ₁ (Y 1 , B r ) ⊆ D _X ₂ (Y 1 , B r ) ⊆ D _X ₂ (Y 2 , B r )

⇒ Extension aux fonctions, pour f ≤ g, coupe par coupe : [D g (f, B r )] _λ = D g _λ (f _λ , B r ) (avec f _λ = {x, f (x) ≥ λ})

Cas discret :

D g (f, B r ) = [D(f, B 1 ) ∧ g] ^r

E g (f, B r ) = [E (f, B 1 ) ∨ g] ^r

Reconstruction numérique de f (fonction de marquage) dans g :

• par dilatation D g (f, B ^∞ ) = D _g ^∞ (f ) : ouverture

• par érosion E g (f, B ∞ ) : fermeture

• ouverture par reconstruction : D _f ^∞ (f B ) (zones plates dont les contours sont

certains contours de l’image originale ⇒ compression)

(12)

Reconstruction numérique : exemple

(13)

Reconstruction numérique : exemple

(14)

Reconstruction numérique : exemple

(15)

Reconstruction numérique : exemple

(16)

Ouverture par reconstruction : exemples

(17)

Ouverture par reconstruction : exemples

Réunion d’ouvertures par des segments de longueur 20 et reconstruction

(18)

Application au filtrage alterné séquentiel

(19)

Application au filtrage alterné séquentiel

FAS par un hexagone (taille maximale = 1)

(20)

Application au filtrage alterné séquentiel

FAS par un hexagone (taille maximale = 3)

(21)

Application au filtrage alterné séquentiel

FAS par un hexagone (taille maximale = 5)

(22)

Application au filtrage alterné séquentiel

FAS par un hexagone (taille maximale = 9)

(23)

Application au filtrage alterné séquentiel

FAS par des segments (taille maximale = 1)

(24)

Application au filtrage alterné séquentiel

FAS par des segments (taille maximale = 3)

(25)

Application au filtrage alterné séquentiel

FAS par des segments (taille maximale = 5)

(26)

Application au filtrage alterné séquentiel

FAS par des segments (taille maximale = 9)

(27)

Un autre exemple

(28)

Un autre exemple

FAS par un hexagone (taille maximale = 1)

(29)

Un autre exemple

FAS par un hexagone (taille maximale = 3)

(30)

Un autre exemple

FAS par un hexagone (taille maximale = 5)

(31)

Un autre exemple

FAS par des segments (taille maximale = 1)

(32)

Un autre exemple

FAS par des segments (taille maximale = 3)

(33)

Un autre exemple

FAS par des segments (taille maximale = 5)

(34)

Maxima régionaux

X maximum régional de f si

∀x ∈ X, f (x) = λ et X = CC (f _λ )

Calcul des maxima régionaux :

f − D _f ^∞ (f − 1) h-maxima (dynamique des niveaux de gris) :

f − D _f ^∞ (f − h)

⇒ maxima robustes

(35)

Maxima régionaux : exemple

(36)

Maxima robustes : exemple

(37)

Minima régionaux : exemple

(38)

Squelette par zones d’influence

X = S

i X i

Zone d’influence de X i dans X ^C :

ZI (X i ) = {x ∈ X ^C / d(x, X i ) < d(x, X \ X i )}

Squelette par zone d’influence :

Skiz (X ) = ( [

i

ZI (X i )) ^C

= diagramme de Voronoï généralisé

Propriétés :

• Skiz(X ) ⊆ squelette(X ^C ) (cf cours sur le squelette)

• le Skiz peut être non connexe (même si X ^C l’est)

(39)

Squelette par zones d’influence : exemples

(40)

Squelette par zones d’influence : exemples

(41)

Squelette géodésique par zones d’influence

Y = ∪ _i Y i

Zone d’influence géodésique de Y i conditionnellement à X :

ZI X (Y i ) = {x ∈ X, d X (x, Y i ) < d X (x, Y \ Y i )}

Squelette géodésique par zone d’influence :

SKIZ X (Y ) = X \ [

i

ZI X (Y i )

X

SKIZ(Y)

Y 1

Y 2

Y 1

Y 2

SKIZ (Y)

X

(42)

Une première application simple...

(43)

Une première application simple...

Seuillage :

(44)

Une première application simple...

Erosion :

(45)

Une première application simple...

Reconstruction :

⇒ comptage des dés blancs et des points noirs sur chaque dé

Morphologie math ´ematique III – p.19/38

(46)

Une première application simple...

Image seuillée − reconstruction des dés blancs puis petite ouverture

(47)

Une première application simple...

Grande fermeture (15) - SKIZ

(48)

Une première application simple...

Séparation (et logique) et étiquetage

⇒ comptage des dés noirs et des points blancs sur chaque dé

(49)

Parcellisation du cortex

(thèse d’Arnaud Cachia)

(50)

Parcellisation du cortex

(thèse d’Arnaud Cachia)

(51)

Filtres connectés

• Objectif : simplifier l’image

• Filtre morphologique qui

• préserve les contours

• est indépendant du contraste

• agit sur les composantes connexes

• Premier exemple : ouvertures surfaciques

(52)

Filtres connectés

(53)

Filtres connectés sur des images à niveaux de gris

• Opérations croissantes

• Application coupe par coupe

T _h (f ) = {x|f (x) ≥ h}

(γ ^A (f ))(x) = sup{h|x ∈ Γ ^A (T _h (f ))}

Ouverture surfacique

Fermeture surfacique

(54)

Représentation par arbres

(55)

Représentation par arbres

(56)

Ouverture par attribut

(57)

Exemples d’application

Filtrage en fonction de l’élongation (Meijster, 2002) :

(58)

Exemples d’application

Critère entropique (Salembier, 1998) :

(59)

Exemples d’application

Analyse du mouvement (Salembier, 1998) :

(60)

Exemples d’application

Compression (Salembier, 2000) :

(61)

Arbre des formes : vers l’auto-dualité

(62)

Arbre des formes : vers l’auto-dualité

(63)

Transformation en tout ou rien

Elément structurant : T = (T 1 , T 2 ), avec T 1 ∩ T 2 = ∅ HMT :

X ⊗ T = E (X, T 1 ) ∩ E(X ^C , T 2 )

(64)

Transformation en tout ou rien

Elément structurant : T = (T 1 , T 2 ), avec T 1 ∩ T 2 = ∅

HMT :

X ⊗ T = E (X, T 1 ) ∩ E(X ^C , T 2 )

Amincissement (si O ∈ T 1 ) :

X ◦ T = X \ X ⊗ T Epaississement (si O ∈ T 2 ) :

X ⊙ T = X ∪ X ⊗ T

Pour T ^′ = (T 2 , T 1 ) :

X ◦ T = (X ^C ⊙ T ^′ ) ^C

(65)

Transformation en tout ou rien : exemples

(66)

Transformation en tout ou rien : exemples

(67)

Squelette : exigences

• représentation compacte des objets

• lignes minces

• inclus et centré dans l’objet

• homotope à l’objet

• bonne représentation de la géométrie

• inversible (reconstruction de l’objet initial)

(68)

Squelette : cas continu

A : ensemble ouvert

s ρ (A) = ensemble des centres des boules maximales de A de rayon ρ

Squelette :

r(A) = [

ρ>0

s ρ (A)

Caractérisation :

s ρ (A) = \

µ>0

[E (A, B ρ ) \ [E (A, B ρ )] _B ^¯ _µ ]

r(A) = [

ρ>0

\

µ>0

[E (A, B ρ ) \ [E(A, B ρ )] _B ^¯ _µ ]

Reconstruction :

A = [

ρ> 0

D(s ρ , B ρ )

(69)

Propriétés du squelette continu

• _s _ρ _(E _ρ ₀ _{(A)) =} _s _ρ+ρ ₀ _(A) ⇒ r(E ρ 0 (A)) = ∪ ρ>ρ 0 s ρ (A)

• pas de formule générale pour le squelette d’un dilaté, ouvert ou fermé

• _A 7→ r(A) ¯ est s.c.i. de G dans F

• A connexe ⇒ r(A) ¯ connexe

• le squelette est « fin » : son intérieur est vide

(70)

Squelette : cas discret

• Transposition directe du cas continu :

S (X) = [

n ∈ N

[E (X, B n ) \ E (X, B n ) B ]

Propriétés :

• centres de boules maximales discrètes

• reconstuction

• mais pas de bonnes propriétés de connexité

(71)

Squelette : cas discret

• Transposition directe du cas continu :

S (X) = [

n ∈ N

[E (X, B n ) \ E (X, B n ) B ]

Propriétés :

• centres de boules maximales discrètes

• reconstuction

• mais pas de bonnes propriétés de connexité

• Squelette par amincissement homotopique

1 1 1

0 0

. .

Propriétés :

• topologie parfaite

• pas de possibilité de reconstruction

(72)

Centres des boules maximales vs amincissement

(73)

Centres des boules maximales vs amincissement

(74)

Centres des boules maximales vs amincissement

(75)

Centres des boules maximales vs amincissement

(76)

Centres des boules maximales vs amincissement

(77)

Squelette et squelette par zones d’influence

Skiz (X) ⊆ r(X ^C )

(78)

Squelette et squelette par zones d’influence

Skiz (X) ⊆ r(X ^C )

(79)

Application en imagerie cérébrale

(thèse de Jean-François Mangin)

(80)

Application en imagerie cérébrale

(thèse de Jean-François Mangin)

(81)

Application en imagerie cérébrale

(thèse de Jean-François Mangin)

(82)

Application en imagerie cérébrale

(thèse de Jean-François Mangin)

(83)

Application en imagerie cérébrale

(thèse de Jean-François Mangin)

(84)

Application en imagerie cérébrale

(thèse de Jean-François Mangin)

(85)

Application en imagerie cérébrale

(thèse de Jean-François Mangin)

(86)

Filtrage et segmentation topologiques

Source : G. Bertrand, M. Couprie (2007)

(87)

Filtrage et segmentation topologiques

Source : G. Bertrand, M. Couprie (2007)

(88)

Filtrage et segmentation topologiques

Source : G. Bertrand, M. Couprie (2007)

(89)

Application : amincissement

Source : G. Malandain (2007)

(90)

Application : amincissement

Source : G. Malandain (2007)

(91)

Morphologie mathématique - III

Morphologie mathématique - III

Isabelle Bloch

http://perso.telecom-paristech.fr/ ˜ bloch

T ´el ´ecom ParisTech - CNRS LTCI

Paris - France

Opérateurs géodésiques

Distance géodésique, conditionnelle à X : d X

x

y X

d (x,y)

d(x,y) X

• si X est fermé, il existe un arc géodésique pour toute paire de points de X

• unicité si X est simplement connexe

• X convexe ⇔ d X = d

Boule géodésique : B X (x, r) = {y ∈ X / d X (x, y) ≤ r}

Rq : B X (x, r) ⊆ B(x, r)

Dilatation géodésique :

D X (Y, B r ) = {x ∈ R n / B X (x, r) ∩ Y 6= ∅} = {x ∈ R n / d X (x, Y ) ≤ r}

Erosion géodésique :

E X (Y, B r ) = {x ∈ R n / B X (x, r) ⊆ Y } = X \ D X (X \ Y, B r )

Ouverture et fermeture géodésiques : par composition

Propriétés et reconstruction

Propriétés :

• similaires à celles du cas euclidien

• D X (Y, B r ) ⊆ D(Y, B r )

• D X (Y, B r ) = ∩ ∞ n=1 [(Y ⊕ n r B) ∩ X] n

Cas discret :

D X (Y, B r ) = [D(Y, B 1 ) ∩ X ] r

Reconstruction :

[D(Y, B 1 ) ∩ X] ∞ = D ∞ X (Y )

= composantes connexes de X qui intersectent Y

Reconstruction binaire : exemple

Reconstruction binaire : exemple

Reconstruction binaire : exemple

000 000 000 000 000 000 111 111 111 111 111 111

0000000

0000000

0000000

0000000

0000000

1111111

1111111

1111111

1111111

1111111

Erodés ultimes

EU (X) = ∪ n {E (X, B n ) \ R[E (X, B n+1 ); E (X, B n )]}

• E (X, B n ) : l’érodé de X de taille n

• R[Y ; Z] : composantes connexes de Z qui ont une intersection non vide avec Y

= ensemble des maxima régionaux de la fonction distance d(x, X C ).

Ouverture surfacique

γ λ (f ) = _

i

{γ B i (f ), B i connexe et S (B i ) = λ}

Ouverture surfacique

γ λ (f ) = _

i

{γ B i (f ), B i connexe et S (B i ) = λ}

Ouverture surfacique

γ λ (f ) = _

i

{γ B i (f ), B i connexe et S (B i ) = λ}

0000 0000 0000 1111 1111 1111

00 00 00 00 00 00 00 00

11 11 11 11 11 11 11 11

0000000 1111111 0000 0000

0000

1111 1111

1111

Opérateurs géodésiques fonctionnels

X 1 ⊆ X 2 et Y 1 ⊆ Y 2 ⇒ D X 1 (Y 1 , B r ) ⊆ D X 2 (Y 1 , B r ) ⊆ D X 2 (Y 2 , B r )

⇒ Extension aux fonctions, pour f ≤ g, coupe par coupe : [D g (f, B r )] λ = D g λ (f λ , B r ) (avec f λ = {x, f (x) ≥ λ})

Cas discret :

D g (f, B r ) = [D(f, B 1 ) ∧ g] r

E g (f, B r ) = [E (f, B 1 ) ∨ g] r

Reconstruction numérique de f (fonction de marquage) dans g :

• par dilatation D g (f, B ∞ ) = D g ∞ (f ) : ouverture

• par érosion E g (f, B ∞ ) : fermeture

• ouverture par reconstruction : D f ∞ (f B ) (zones plates dont les contours sont

• _X convexe ⇔ d X = d

Boule géodésique : B _X (x, r) = {y ∈ X / d _X (x, y) ≤ r}

D X (Y, B r ) = {x ∈ R ⁿ / B X (x, r) ∩ Y 6= ∅} = {x ∈ R ⁿ / d X (x, Y ) ≤ r}

E _X (Y, B r ) = {x ∈ R ⁿ / B _X (x, r) ⊆ Y } = X \ D _X (X \ Y, B r )

• _D _X _{(Y, B} _r ₎ ⊆ D(Y, B r )

• _D _X _{(Y, B} _r _{) =} ∩ ^∞ _n=1 [(Y ⊕ _n ^r B) ∩ X] ⁿ

D X (Y, B r ) = [D(Y, B 1 ) ∩ X ] ^r

[D(Y, B 1 ) ∩ X] ^∞ = D ^∞ _X (Y )

• _E _{(X, B} _n ₎ : l’érodé de X de taille n

• _R[Y _; _Z] : composantes connexes de Z qui ont une intersection non vide avec Y

= ensemble des maxima régionaux de la fonction distance d(x, X ^C ).

{γ _B _i (f ), B i connexe et S (B i ) = λ}

{γ _B _i (f ), B i connexe et S (B i ) = λ}

{γ _B _i (f ), B i connexe et S (B i ) = λ}

X 1 ⊆ X 2 et Y 1 ⊆ Y 2 ⇒ D _X ₁ (Y 1 , B r ) ⊆ D _X ₂ (Y 1 , B r ) ⊆ D _X ₂ (Y 2 , B r )

⇒ Extension aux fonctions, pour f ≤ g, coupe par coupe : [D g (f, B r )] _λ = D g _λ (f _λ , B r ) (avec f _λ = {x, f (x) ≥ λ})

D g (f, B r ) = [D(f, B 1 ) ∧ g] ^r

E g (f, B r ) = [E (f, B 1 ) ∨ g] ^r

• par dilatation D g (f, B ^∞ ) = D _g ^∞ (f ) : ouverture

• ouverture par reconstruction : D _f ^∞ (f B ) (zones plates dont les contours sont

∀x ∈ X, f (x) = λ et X = CC (f _λ )

f − D _f ^∞ (f − 1) h-maxima (dynamique des niveaux de gris) :

f − D _f ^∞ (f − h)

Zone d’influence de X i dans X ^C :

ZI (X i ) = {x ∈ X ^C / d(x, X i ) < d(x, X \ X i )}

ZI (X i )) ^C

• Skiz(X ) ⊆ squelette(X ^C ) (cf cours sur le squelette)

• le Skiz peut être non connexe (même si X ^C l’est)

Y = ∪ _i Y i