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Terminales S1&2 – spécialité mathématiques mercredi 18 novembre 2015
Devoir surveillé n ◦ 2
Durée : 1 heure
L’utilisation d’une calculatrice est autorisée
Exercice 1 (3 points). — Déterminer l’ensemble des entiers x tels que 5x≡3 [8].
Exercice 2 (5 points).
1. En calculant explicitement 97, justifier que 97 ≡2 [17] et en déduire que 98 ≡1 [17].
2. Montrer que 20152015−2 est divisible par 17.
Exercice 3 (6 points). — Soit n un entier naturel non nul. On considère l’équation (G) 2x3+ 7y= 2015n où x ety sont des entiers relatifs.
1. Montrer que 2015≡ −1 [7].
2. Démontrer que si (x;y) est solution de (G) alors 2x3 ≡(−1)n [7] et en déduire les restes possibles dans la division de 2x3 par 7.
3. Compléter (directement sur l’énoncé) le tableau suivant :
Reste de x modulo 7 0 1 2 3 4 5 6
Reste de 2x3 modulo 7
4. Que peut-on conclure des questions précédentes ?
Exercice 4 (6 points). — Soit n∈N etAn =n4+ 1.
1. Démontrer queAn n’est pas un multiple de 3.
2. Démontrer que sid est un diviseur positif de An alors n8 ≡1 [d].
3. Soit d un diviseur positif deAn. On notes le plus petit des entiers naturels q >0 tels quenq ≡1 [d].
a. Soit k un entier tel que nk ≡1 [d]. On note r le reste dans la division euclidienne de k par s.
Démontrer que nr ≡1 [d] et en déduire quer = 0.
b. Démontrer que s divise 8 et en déduire les valeurs possibles pour s.
Exercice 5 (facultatif). — Soit a∈Z. Démontrer que l’équation x41 +x42+x43+x44+x45+x46 = 8a+ 2015 d’inconnue (x1, x2, x3, x4, x5, x6) n’a pas de solution dans Z6.
