Exercice 3 : D´eterminer les valeurs de n∈Npour lesquellesn+ 1 divise 3n2+ 15n+ 19

Classe de TS 22 octobre 2009

Devoir de Sp´ecialit´e Math´ematiques N^o 1 (1 heure)

Exercice 1 :

La d´ecomposition en facteurs premiers deN ne contient que des 2 et des 3. Il Poss`ede 12 diviseurs. Quelles sont les valeurs possibles deN?

Exercice 2 :

SoitA_n= 4²ⁿ⁺³+ 1,n∈N.

1. D´emontrer par r´ecurrence sur que pour toutn∈N, A_n divisible par 5.

2. D´emontrer le mˆeme r´esultat `a l’aide des congruences.

Exercice 3 :

D´eterminer les valeurs de n∈Npour lesquellesn+ 1 divise 3n²+ 15n+ 19.

Exercice 4 :

D´eterminer les entiers naturels non nuls dont la division euclidienne par 26 donne un reste ´egal au carr´e du quotient.

Exercice 5 :

1. Donner la d´ecomposition en facteurs premiers de 17640.

2. En expliquant votre d´emarche, d´eterminer la plus petite valeur dek∈N^⋆telle quek²soit un multiple de 17640.

Exercice 6 :

D´eterminer le reste de la division de 1789¹⁷⁸⁹par 7.

Exercice 7 :

Soitb un entier naturel non nul. Le quotient de la division euclidienne de 758 parbest 50. D´eterminer la valeur deb et le reste.