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V. Branches in nies Dans cette section, ∞ peut désigner +∞ comme −∞. Soit a ∈ R, l ∈ R, et f une fonction, dont on note C

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(1)

V. Branches innies

Dans cette section,∞ peut désigner +∞comme−∞.

Soita∈R,l∈R, etf une fonction, dont on noteCf la courbe représentative.

1. si lim

x→af(x) =∞ :

La droite d'équation x=aest asymptote verticale àCf 2. si lim

x→∞f(x) =l :

La droite d'équation y=l est asymptote horizontale à Cf en∞ 3. si lim

x→∞f(x) =∞ : a. si lim

x→∞

f(x)

x =∞ :

f admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées au voisinage de∞. ("f(x) croit plus vite quex")

b. si lim

x→∞

f(x) x = 0:

f admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses au voisinage de ∞. ("f(x) croit moins vite quex")

c. si lim

x→∞

f(x)

x =α∈R∗ : i. si lim

x→∞[f(x)−(αx)] =β∈R ou lim

x→∞[f(x)−(αx+β)] = 0 : La droite d'équationy=αx+β est asymptote oblique à Cf en ∞ ii. si lim

x→∞[f(x)−(αx+β)] =∞:

f admet une branche parabolique de direction la droite d'équationy=αx+β au voi- sinage de∞.

rem.

Il faudra donc calculer toutes les limites nécessaires (par exemple pour 3.c.ii., on devra calculer 3 limites), sauf pour :

le 2. où on peut montrer directement que lim

x→∞

f(x) x =∞ le 3.c.i. où on peut montrer directement que lim

x→∞[f(x)−(αx+β)] = 0 (vu en Terminale)

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