Quelques classes de groupoïdes non-associatifs

M ATHÉMATIQUES ET SCIENCES HUMAINES

C. ^D ’A ^DHÉMAR

Quelques classes de groupoïdes non-associatifs

Mathématiques et sciences humaines, tome 31 (1970), p. 17-31

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QUELQUES ^{CLASSES DE} GROUPOÏDES NON-ASSOCIATIFS*

par

C.

D’ADHÉMAR1

Si une

grande partie

^{des travaux}

d’algèbre

^{sur les} structures

définies

par la donnée d’une seule

opération

^{binaire est consacrée aux}

systèmes associatifs (semi-groupes,

^{monoïdes et divers autres}

affaiblis-

sements de la structure de

groupe),

^les structures non associatives méritent

également

l’attention.

Une littérature

mathématique déjà

^{ancienne s’est}

développée

^{autour des}

quasi-groupes

^{et des}

^boucles,

à propos ^notamment de la construction des «

géométries » planes finies,

^{ou des}

plans

^{en bloc}

incomplets équilibrés

^{de la}

statistique;

^{la revue a consacré, sous la}

signature

^{de B.}

Monjardet,

^{une série d’article sur ces}

sujets 18, 19, 21, 23).

L’intérêt pour d’autres classes de

groupoïdes

^non

associatifs,

^à

l’origine duquel

^{se trouvent notamment}

les _travaux, dans les années

40, d’Etherington

^{et de}

Popova

^{sur les «}

Zogarithmétiques » ([7]

^et

[11])

^{a été}

renforcé

^{au cours} des deux dernières décennies _par les recherches sur les

opérations susceptibles

^de

représenter

convenablement le concept ^{de «} moyenne ^{», ou} de ^« _{résumé »,} d’un ensemble de données.

Sont témoins de cet intérêt des travaux récents d’économétrie

[9], [12], [13],

^{et en}

^France,

^{des thèses}

soutenues ces dernières années, ^comme celles de Ruedin

[1]

^{et de Soublin}

[3].

Il reste néanmoins un

large champ

^{ouvert à} des recherches ultérieures dans ^ce

domaine ;

^en

particulier,

les

interprétations

^{de certaines} classes de

groupoïdes

^{en termes de}

configurations géométriques

^{sont encore}

pour l’essentiel à élucider.

M. Barbut.

Un

groupoïde (X, 0)

^est constitué par ^un ensemble non vide X et une loi de

composition

^{interne 0}

partout

définie

^{sur X. On notera} xy ^au lieu de _{xoy, le}

composé

^{de x et de} y.

Les lois de

composition

^{étudiées ici sont des}

généralisations

^des

opérations

de moyennes pon- dérées dans R ou

Q :

avec :

ou des

opérations

^{de même} type

qu’on

peut définir dans tout abélien

(G, -+-)

ayant ^deux

automorphismes

a

et j3

^tels que ^oc

+ fi

^soit

l’application identique :

*. Communication au Séminaire sur les relations d’intermédiaire, Aix-en-Provence, septembre ^1969.

1. Centre de Mathématique Sociale, ^EPHE, VIe section.

Si

(G, +)

^est

^ordonné,

^on

exigera

^en

général,

^en

plus,

la monotonie de a et de

~3.

Le

produit

xy

peut

^être

interprété

^{comme une «} moyenne » de x et y, ^{un «} intermédiaire » entre x et y. En

effet,

^sur

R,

^{on a :}

Il en est de même selon la définition

(A)

pour ^tout abélien ordonné. Il est aisé de montrer que ^ces moyennes

pondérées

^{ne sont} pas des

opérations

associatives.

(Si

par

exemple, j

&#x3E; ^{. est en}

général

différent de -

On ne pourra

donc,

^sans

précaution,

^{définir un}

agrégé

^{de n}

points

^{de X} pour n &#x3E; 2. Il

faudra,

comme dans le cas du calcul

barycentrique,

^des conventions

supplémentaires.

Après

^{avoir mis en} évidence les

propriétés

^des moyennes

pondérées,

^on étudiera les

groupoïdes qui

^{vérifient tout ou}

partie

^{de ces}

propriétés

^{et les}

possibilités

^{de doter ces}

groupoïdes

^d’ordres

compatibles

avec

l’opération,

c’est-à-dire d’ordres tels que :

autrement

dit,

^{l’ordre sur X doit être} tel que les translations ^à

gauche

^{et à droite soient des}

morphismes

d’ordre 1.

Dans le cas d’une moyenne

pondérée

^du type

(A)

construite à

partir

^d’un groupe abélien

G,

si G est ordonné et si oc

et g

^sont monotones, alors, ^{l’ordre sur G est}

compatible

^avec

l’opération (A) : puisque

^{ce est monotone et :}

3

car l’ordre est

compatible

^{avec + ; de même : zx} zy.

En outre :

1.

PROPRIÉTÉS

DES

OPÉRATIONS

DE MOYENNES

PONDÉRÉES

DE TYPE

(A)

On vérifie sans

peine

que ^si

(G, +)

^{est un}

abélien,

^{et si} xy ^est défini selon

(A), (G, o)

^{satisfait aux}

conditions suivantes :

oc)

^I- IDEMPOTENCE

Interprétation : agréger

^{un élément avec} lui-même le

redonne ;

^{la «} moyenne » d’un élément

avec lui-même est cet élément.

~)

^R.

^RÉGULARITÉ

1. La translation à gauche d’opérateur ^{a est} l’application ^{de X dans lui-même} qui, ^{à tout x, fait} correspondre ^le produit ^ax,

pour ^{un a} élément de X fixé.

Dans un

groupoïde (X, o)

^la

régularité signifie

que les translations à

gauche

^{et à droite sont}

injectives.

Ce

qui

^{s’écrit encore :}

si X vérifie la condition

R,

les translations sont bien

injectives,

^et

réciproquement,

^si les translations sont

injectives,

^{X est}

régulier.

y)

^D-

AUTODISTRIBUTIVITÉ

^OU

DISTRIBUTIVITÉ

^de

l’opération

par rapport ^{à elle-} même.

a)

^IIn

groupoïde (X, 0)

^est

distributif

^{si et seulement}

^si,

^les translations à

gauche

^{et à droite sont des}

endomorphismes.

La condition est nécessaire :

Supposons (X, 0)

distributif et soit f la translation à

gauche

^définie par

f(x)

^{--.. ax} pour ^{tout x} de X.

f est donc bien un

endomorphisme.

Même démonstration _pour les translations à droite.

La condition est suflisante :

Si les translations sont des

endomorphismes

^de

(X, o),

pour ^{tout a E}

X,

^{x --~}

f(x)

^{= ax est} tel que :

et X vérifie la condition D.

b) Interprétation géométrique

^{de la} condition D.

Dans le

plan

^{affine avec :}

la

propriété

D traduit le théorème de Thalès :

Fig. 1

Interprétation

^{en terme}

d’agrégation :

^cette

propriété

^n’est pas forcément à

exiger.

8) M- ÉCHANGE

DES MOYENS

a)

La condition M est un affaiblissement de la commutativité et de l’associativité réunies. En

effet,

^si

(X, 0)

^est commutatif ^et

associatif,

^{on a :}

b)

^Un

groupoïde (X, o) qui possède

^{un élément neutre e et} vérifie la condition

M,

^{est commutatif}

et associatif :

donc

(X, a)

^est commutatif et :

donc

(X, o)

^est associatif.

a)

^et

b) impliquent

que dans un

groupoide

ayant ^{un élément} neutre, la condition M est

équivalente

^à l’associativité et à la commutativité réunies.

En l’absence d’élément _neutre, on peut ^{avoir M sans} associativité ni commutativité

(moyenne pondérée

^dans

R).

c) Interprétation

de la condition M ^en terme de

morphismes.

Soient

(E, .)

^et

(X, o)

^deux

groupoides,

^{f et g deux}

applications

^{de E} dans X. On peut ^{définir une}

application composée f.g,

^{de E dans X} par :

f.gx

⁼

fxogx

^{pour tout x de}

^{E ;}

ainsi pour deux

applications

d’un ensemble E dans

R,

^{il est courant de}

parler

^{de la somme de deux}

applications :

^f -E- g, définie _{par :}

Si f et g ^sont deux

homomorphismes

^de

(E, ,)

^dans

(X, o),

^{il n’en est} pas forcément de même de

f.g,

à moins que X ne vérifie M :

Un

groupoïde (X, o) vérifie

^la condition M si et seulement

si,

pour ^tout

groupoide (E, ,)

^{et tout}

couple d’homomorphismes f,

g de

(E, .)

^dans

(X, a),

^le

composé f.g

^{est aussi un}

homomorphisme.

En effet :

i)

La condition est nécessaire :

--- .

Si

(X, o)

vérifie la condition

M,

^{soient f et} g deux

homomorphismes

^d’un

groupoide (E, ,)

^dans

et la condition M

implique :

et

f.g

^{est bien un}

homomorphisme.

ii)

^{La condition est}

Si _pour tout

groupoïde (E, .)

^{et tout}

couple d’homomorphismes ^f,

g de

(E, .)

^dans

(X, o), f.g

^est

un

homomorphisme,

alors X vérifie la condition M.

En

effet,

^{soit E le}

groupoïde

^libre

engendré

par deux éléments ^{a et} b

(E

^est l’ensemble des

« mots » avec

parenthèses

construits avec les lettres a et

b).

La donnée de deux

images f(a)

^et

f(b)

^{dans X}

définit un

homomorphisme

^{de E dans X .}

f(x)

^{s’obtient en}

remplaçant

^{dans x, a} par

f(a)

^{et b} par

f(b)

et en

gardant

^le

même jeu

^de

parenthèses.

^Ainsi par

exemple :

Soient _{x, y, z, t,} quatre ^éléments

quelconques

^de

^X,

^on peut par le

procédé indiqué,

définir deux

homomorphismes

^{f et} g de E dans X _{par :} alors :

et

f.g

^{étant un}

homomorphisme :

finalement :

Pour tout

quadruplet

xyzt, ^on pourra construire des

homomorphismes

^{f et} g ^et la condition M

sera

touj ours

^vérifiée.

En

fait,

^{il suffit} que les

composés

^des

homomorphismes

^de

(Xn, o)

^dans

(X, 0)

pour ^un entier n &#x3E; 2 soient des

homomorphismes

pour que X vérifie la condition M.

Démonstration pour n ⁼ 2 :

(X2, o)

^{est le}

groupoïde

^dont l’ensemble

sous-jacent

^{est le}

produit

cartésien X X

X,

^et

l’opération

^o

celle définie _{par :}

Soient _{x, y, z, t,}

quatre

^éléments

quelconques

^{de X et f et} g, les «

projections

^{» de X2 dans X}

définies _{par :}

puisque f.g

^{est un}

homomorphisme

^{et :}

=

f.g (x, z)

^{f .} g

(y, t)

^_

(xz) (yt)

et X vérifie bien la condition M.

Ainsi le

composé,

^{au sens}

ci-dessus,

^{de deux}

homomorphismes

^d’un

groupoïde

^{E dans un} groupe abélien G est un

homomorphisme

^{car les} groupes abéliens vérifient M. Il en est de même pour les

appli-

cations linéaires

d’espaces

vectoriels. La condition M permet ^de

généraliser

^certains aspects ^de

l’algèbre

linéaire ;

par

exemple,

^{le fait} que l’ensemble H

(W, V)

^des

applications

linéaires d’un module W dans

un module V

puisse

^{lui-même être muni d’une structure de module.}

En

effet,

l’ensemble H

(E, X)

^des

homomorphismes

^{de tout}

groupoïde (E, .)

^{dans un}

groupoïde (X, o),

^vérifiant

M,

^avec

l’opération

^définie

plus

haut vérifie aussi la condition M car si :

f,

_g,

h, 1

^{E H}

(E, X),

pour ^{tout x,} donc :

d) Interprétation géométrique

^{de la} condition M.

Dans les cas des

oints

^{p du}

plan,

plan,ou de l’es ^{ou de}

l’espace

p

^affine

^{et de}

l’opération

p x-

2 ,la

^{condition M}

2

est

équivalente

^{à la}

propriété,

^{bien connue en}

géométrie :

^les

droites j oignant

les milieux des côtés d’un

quadrilatère,

^se coupent ^en leur milieu.

Fig.

²

Cette

propriété

^se

généralise

^{au cas} où p -~- _q ⁼ 1 ^avec

p &#x3E; 0, q &#x3E;

^{0 et}

p ~

q.

Ordres et moyennes.

Une

opération qui

^{vérifie seulement certaines de ces}

propriétés,

^{mais non toutes,} peut ^diffici- lement être

interprétée

^{comme une} moyenne.

Ainsi,

^tout groupe abélien

(G, -~-)

^{satisfait à} la condition M :

par commutativité et

associativité ;

^mais

l’addition,

^{ou la}

multiplication

^dans

^R, compatibles

^avec

l’ordre

habituel,

^{ne sont} pas

interprétables

^{comme des}

opérations

de moyenne.

Par _contre, dans un

groupoïde idempotent ^ordonné,

^{on a :}

Soit : x xy y ; le

produit

xy ^est intermédiaire _pour

l’ordre,

^{entre x et} y.

Si l’ordre n’est pas total ^mais détermine sur X ^une structure de

treillis,

^{on a :}

xy ^est dans l’intervalle

[x y]

^{si on}

prend

pour définition de

l’intervalle,

l’ensemble des éléments

compris

entre x V y ^et x A y, ^comme il est courant de le faire.

2. COMBINATOIRE DES

PROPRIÉTÉS

I.M.R.D.

Les quatre

propriétés indiquées

^{ne sont} pas

indépendantes ;

^{ainsi :}

On obtient le schéma

d’implication :

Fig. 3

Dans le cas des

groupoïdes ^ordonnés,

^il y ^a des

implications supplémentaires. ^Ainsi,

^un

quasi-

groupe

(cf.

définition

paragraphe suivant) commutatif,

^{vérifiant la condition D et} _ayant ^{un ordre}

compatible

^{avec son}

opération,

^{vérifie aussi} la condition M

(cf. [2]),

^{et :}

Un

groupoïde

vérifiant les

propriétés

^{D et R}

(donc

^aussi

I)

^et ayant ^{un ordre} total archimédien

(cf. définition,

_p.

30) compatible

^{avec son}

opération,

^{vérifie aussi la condition M}

(cf. [6]).

2. 2. Cas des _groupes et des

quasi-groupes.

Nous allons situer ^sur le schéma

d’implication,

^deux structures

algébriques

^{bien connues : les}

groupes ^et les

quasi-groupes.

1)

Les groupes.

- Par

définition,

^tous les groupes ^sont

réguliers ;

par contre, il

n’y

^a pas de _groupe distributif en

dehors du _groupe trivial car : si x

(yz) _ (xy) (xz),

l’associativité ^et la

régularité

^des groupes

impliquent

que ^{z = xz et x = e} pour ^{tout x.}

- Il

n’y

^a pas ^non

plus

^de groupe

idempotent

^autre que le _groupe trivial car : si xx ⁼ x la

régu-

larité

implique

que ^{x = e} pour ^{tout x.}

- Les seuls groupes vérifiant ^la condition M sont les groupes

abéliens,

^{car :}

On a d’ailleurs vu que dans ^un

groupoïde

^{avec élément} neutre, la condition M est

équivalente

^à

la commutativité et l’associativité réunies.

Les groupes intervenant dans ce schéma sont donc : tous les groupes

(en R),

^tous les groupes abéliens

(en

^{MR donc aussi en}

^M,

^{et ce sont} les seuls

qu’on

^{trouve en}

M).

2)

^Les

quasi-groupes.

Un

quasi-groupe

^{est un}

groupoïde

^{vérifiant la}

propriété :

Autrement

dit,

^un

quasi-groupe

^{est un}

groupoïde

dont les translations à

gauche

^{et à droite sont des}

bijections.

Les groupes ^sont donc des

quasi-groupes :

^en

^fait,

^{ce sont les}

quasi-groupes

associatifs.

Un

quasi-groupe

^{fini a} pour table de

Pythagore

^{un carré latin.}

Les

quasi-groupes

^{sont tous}

réguliers,

^par définition.

Les

quasi-groupes

distributifs sont donc DR et même

DIR, puisque

^DR

implique

^I.

Le schéma relatif aux

quasi-groupes

^{se réduit donc à :}

Fig. 4

Les

quasi-groupes

^vont

jouer

^{un rôle}

particulier

dans l’étude des

groupoides

distributifs et

réguliers.

3. LES GROUPOIDES DISTRIBUTIFS Dans un

groupoïde distributif:

- on peut définir la

puissance

^{xn de tout élément x, pour tout entier n,}

- et xn ⁼⁼ x3 pour ^tout entier n &#x3E; 3.

Dans un

groupoïde

^non

associatif,

^{on ne} peut, ^sans

précaution, parler

^de

^puissance (en général

^x

(xx)

^7~

(xx) x)

^{mais dans un}

groupoïde

vérifiant D : x

(xx)

⁼

(xx) (xx)

⁼

(xx)

^x

qu’on

pourra

noter

X3;

^{de même on montre} _{que X2X2} ^{= XX3 = X3X}

qu’on

^{notera x4 ; et pour tout n,}

quel

que soit le

jeu

^de

parenthèses,

^{on obtient le même}

résultat,

^{noté xn.}

x3 est

idempotent

pour ^{tout x :}

(1)

^et

(2) impliquent

que ^{x4 =}

x3 ;

^{de même x5 =}

x3,

^etc.

On démontre _{que les}

idempotents

^{forment un}

^idéal,

^et que pour ^tout

triplet (x,

^y,

z),

^les

produits (xy)

^{z et x}

(yz)

^sont

idempotents.

Soit X3 ⁼ X o X o X l’ensemble des éléments de X

qui

peuvent ^{s’écrire sous forme de}

produit

de trois éléments de

X ;

^{alors X o X o X est} l’ensemble des éléments de X

qui

^sont

idempotents.

Si X o X est l’ensemble des éléments de X

qui

peuvent ^{s’écrire sous forme de}

produit

^{de deux}

éléments de

X,

^{alors :}

est l’ensemble des

idempotents

^de

^X,

^et

inversement,

^{si X est}

idempotent,

pour ^{tout x, x = xx} donc X o X ⁼ X.

3. 2

Groupoïdes distributifs

ayant ^{un seul}

idempotent

^0.

Alors, X 0 X 0 X = {O}

^et pour ^{tout x :} xO ⁼ xx3 ⁼ x4 ⁼ x3

= 0 ;

^{l’élément}

idempotent

^est

absorbant.

L’opération

^est trivialement associative car :

d’où :

Un

groupoïde distributif

ayant ^un seul

idempotent

^{est donc un}

semi-groupe

^{de cube 0 :}

Inversement,

^tout

semi-groupe

^{de cube 0 est un}

groupoïde

distributif ayant ^{un seul}

idempotent :

l’élément 0.

En

effet,

^{dans un}

semi-groupe

^{de cube 0 : x}

(yz)

^{= 0 =}

(xy) (xz)

^la distributivité est bien

vérifiée,

et 0 est le seul

idempotent

^car pour ^tout x ~

0,

^{x2 = x} entraînerait x3 ⁼ _x, or x3 ⁼ 0 _pour tout x.

3. 2. 2. Procédé de construction de ^tout

groupoïde distributif ayant

^{un seul}

idempotent.

Sur tout

groupoïde

^X distributif

ayant

^{un seul}

idempotent,

^{on considère la}

partition

^suivante

en trois classes :

- Une classe à un élément : l’élément

idempotent ^{0 ;}

- La classe

Xl

des éléments

qui

^ne peuvent ^être

décomposés

^en

produit

^{de deux} éléments de

X ;

- La classe

X2

des éléments différents de 0

qui

peuvent ^être

décomposés

^en

produit

^{de deux}

éléments de X.

Un élément de

X2

^ne peut ^être

produit

que de deux éléments de

Xi,

tout autre

produit

^{étant soit}

du type ^{xO ou Ox donc}

égal

^à

^0,

^soit appartenant ^{à X o X o}

X,

^{donc aussi}

égal

^{à 0.}

Le

produit

^de deux éléments de

Xi

peut

être,

^soit

0,

^{soit un} élément de

X~.

^{On a donc}

toujours :

La table d’un

groupoïde distributif

ayant ^{un seul}

idempotent

^{est donc du} type ^{suivant :}

Inversement,

^à

partir

^{de tout ensemble}

^X,

^on peut construire un

groupoide

^D

ayant

^{un seul}

idempotent,

^en

partitionnant

^{X en trois classes comme}

précédemment avec 1 Xl 12

^{et en dressant}

une table du type

précédent qui

^est bien la table d’un monoide de cube 0.

3. 2. 3. Ordre

compatible

^avec

l’opération

^d’un

groupoïde distributif

^{ayant un seul}

idempotent.

Sur certains

groupoïdes distributifs,

^on _peut ^{définir un ordre total}

compatible

^avec

l’opération ;

en

particulier

^{sur ceux} ayant ^{un seul}

idempotent,

^{dont le} sous-ensemble

Xl

peut ^être

partagé

^{en deux}

parties :

et o ^o

Autrement

dit,

^le

produit

^{de deux} éléments de

X’,

^est différent de 0 et si _xi,

x’1,

y,,

y’1

^sont

quatre ^{éléments de}

X’i

^{alors :}

Ces

groupoides

distributifs

particuliers

^{sont donc ceux dont la table est :}

Les seuls

produits

différents de 0 sont les

produits

^{de deux éléments de}

X’1.

Tout ordre construit de la

façon

^{suivante est}

compatible

^avec

l’opération :

Les éléments de

X’1

ordonnés de

façon quelconque,

suivis de ceux de

Xî, également

^{dans un}

ordre

quelconque, puis

^{de ceux de}

X2

ordonnés de la

façon

suivante : tout élément de

X2

s’écrit de

façon unique

^{sous forme de}

produit

^de deux éléments de

X’1.

^Soient x2 ⁼ xl

x’1

^et y2 ⁼ y,

y’1

^deux

éléments

quelconques

^de

X2

^{écrits sous forme de}

produits

d’éléments de

X’,.

On pose x2 y2 si :

ou :

cet ordre

(qui

^{est l’ordre}

lexicographique

^{défini à}

partir

de l’ordre sur

X’1)

^est bien total sur

X2

^et

compatible

^{avec l’ordre de}

X’1.

On

prend enfin

l’élément 0 comme

plus grand

élément de X.

On peut schématiser cet ordre de la

façon

^{suivante :}

Fig.

⁵

ou

mieux,

^{sur le schéma} suivant où l’ordre doit être lu de

gauche

^{à droite et de bas en haut :}

Fig. 6

On vérifie aisément que pour ^{tout x, tout} y ^{et tout a} éléments de X ainsi

ordonnés,

^{on a :}

Il ne peut y avoir d’ordre strictement

compatible

^{car si : x} &#x3E;

0,

^{ou : x}

0,

^{on a}

toujours

^{x3 = 0.}

Si un ordre total peut ^{être défini avec certains x 0 et d’autres}

plus grands

que

0,

^autrement dit avec des éléments dits

positifs

^{et d’autres dits}

négatifs,

^le

produit

^d’un

positif

par ^un

négatif

^doit

être

égal

^{à 0.}

Car :

et

Seuls certains

ordres,

^{sur certains}

groupoïdes

distributifs ayant ^{un seul}

idempotent,

^{ont été}

étudiés ici. L’étude

générale

des ordres sur ce type ^de

groupoïde

^{est un cas}

particulier

de l’étude des

semi-groupes

ordonnables. Cf.

[6].

3. 3.

Décomposition

^des

groupoïdes distributifs.

La relation : x ~ y « ^{x3 =}

y3,

^{est une relation}

d’équivalence

^{sur un}

groupoïde

distributif.

Une classe

d’équivalence

^{est donc}

composée

de l’ensemble des éléments dont le cube est

égal

^{à un}

idempotent

^du

groupoïde.

On démontre

(cf. [1])

que ^cette

équivalence

^est

compatible

^avec

l’opération.

Tout

groupoïde

distributif est donc

décomposable

^en

parties

^stables

disjointes

ayant ^{un seul}

idempotent,

^et le cube de

chaque

^{élément est}

l’idempotent

^{de sa} classe dans la

partition

ainsi définie.

Le

groupoïde quotient

^est distributif et

idempotent puisque chaque

^{classe est stable.}

Théorème de structure.

Tout

groupoïde

^vérifiant la condition D est soit un

semi-groupe

^{de cube}

^0,

^{soit un}

groupoïde

^DI

de

semi-groupes

de cube 0.

L’étude des

groupoïdes

distributifs peut ^{donc se ramener à celle :}

- des

groupoïdes

distributifs

n’ayant qu’un

^élément

idempotent ;

- des

groupoïdes

distributifs et

idempotents.

En

fait, l’opération

^d’un

groupoïde

seulement distributif n’est pas

interprétable

^{comme une}

opération

^de moyenne ^{et cette}

décomposition

^{en classes}

n’ayant qu’un idempotent

^est triviale dans le

cas des

groupoïdes

^DI

(dont l’opération

peut

s’interpréter

^{comme une}

moyenne)

^car

chaque

^{classe est}

réduite à un élément et

l’équivalence

^{est alors}

l’égalité.

Exemples

^{de DI.}

- Les

demi-treillis ;

- Les D ayant ^{un élément neutre e.}

En effet : x ⁼ x

(ee)

⁼

(xe) (xe)

^{= x2.}

- Les D tels que pour ^{tout x et} pour ^tout y, il existe ^au moins un a tel que ya ^{= x.}

Car : soit i un

idempotent ;

pour ^{tout x,} il existe a tel _{que ia} ⁼ x, et les

idempotents

^{formant un}

idéal,

^{x est}

idempotent.

Les

quasi-groupes

^{D sont dans ce cas.}

Pour un

procédé général

^de construction de

groupoïdes

^{D à}

partir

^{d’un DI et} d’une famille

équipotente

^{à ce DI de}

semi-groupe

^{de cube}

^0,

^voir

[3].

Ordres sur les

groupoïdes

^D.

Un

groupoïde

^{D est} ordonnable si

chaque semi-groupe

^{de cube 0}

qui

^le compose l’est _{ainsi que} le

groupoïde quotient

^{DI et si les}

produits

d’éléments de classes différentes respectent ^{ces ordres.}

4. LES

GROUPOIDES

DR ⁼ DIR

Sur tout

groupoïde ^D,

^{on a défini une relation}

d’équivalence

^telle que le

quotient

^{soit un DI.}

On étudie maintenant certains de ces DI : ceux

qui

^sont

réguliers (cf. [3]).

Un DR peut ^{être défini comme un}

groupoïde

dont les translations à

gauche

^{et à droite sont des}

endomorphismes injectifs (endomorphisme =&#x3E; ^D, injectif

^«

R).

Un

groupoïde

dont les translations sont des

bijections

^{est un}

quasi-groupe

^{et en}

particulier

^{les DR}

finis sont les

quasi-groupes

^D.

Théorème d’extension

(cf. [3]).

Si X est un

DR,

^{il existe un}

quasi-groupe autodistributif X

^{et une}

injection

^{i de X dans}

X,

^tel

que ^tout

morphisme

^{de X dans un}

quasi-groupe Q

^{se factorise de}

^façon unique

^{à travers}

X,

^X

et À

^ont

même cardinal.

On identifie X à son

image

^par

l’injection

^i.

Tout

groupoïde

^{DR est donc un}

sous-groupoïde

^{D d’un}

quasi-groupe

^D.

Certains

quasi-groupes ^D,

^les

quasi-groupes

^{MI =}

^DMI,

^{sont tous} construits à

partir

^de groupes abéliens

(cf.

article de M. Barbut dans ^ce

numéro).

Tout

quasi-groupe (G, o),

vérifiant les conditions MI peut ^{être muni} d’une loi additive de groupe abélien

(G, -~-)

^{et il existe deux}

automorphismes,

^{oc et 1 - oc de}

(G, -~-)

tels que :

On retrouve les _moyennes

pondérées

^du

type (A)

^sur les groupes abéliens.

Tout

groupoïde

^{MDR = MDIR = MIR} peut ^{donc être obtenu comme}

sous-groupoïde

^d’un

quasi-

groupe MI construit à

partir

^d’un groupe

abélien;

^{ou : les MDIR sont les}

sous-groupoides,

^des

groupoides

du type

(A).

Les

groupoïdes

^DR

(qui

^{ne sont} pas

MDIR)

^{ne sont} pas obtenus à

partir

des groupes

abéliens,

mais d’une classe un peu

plus générale qui

^{contient les} groupes abéliens : les boucles commutatives de

Moufang

^ou

quasi-groupes

commutatifs vérifiant la

propriété :

En

effet,

^tout

quasi-groupe

^{DR est construit} par ^une

opération

^du type

(A)

^de moyenne

pondérée

sur une boucle commutative de

Moufang (cf. [3])

^{et tout}

groupoïde DR, d’après

le théorème

d’extension,

est un sous-espace d’un

quasi-groupe

^DR.

4. 2. Ordre sur les

groupoïdes

^{DR et MDIR.}

Si

(G,

^o,

&#x3E; )

^{est un}

quasi-groupe

^{MDI dont} l’ordre &#x3E; ^est

compatible

^avec

l’opération

^{o, le même}

ordre est

compatible

^avec

l’opération

de groupe de

G,

^et inversement si

(G, -f -, &#x3E; )

^{est un} abélien ordonné

et si a et 1 ^- oc sont monotones, le même ordre est

compatible

^avec

l’opération -

^{de G. Les}

problèmes

d’ordre _pour les

quasi-groupes

^MI dérivent donc de ceux des _groupes

(cf. [6]).

Quant

^aux

^DR,

l’existence d’un ordre

implique,

^{sous de}

larges conditions,

^la

propriété

^M

(cf. [3]).

Dans un

quasi-groupe,

^un ordre total est

toujours

^{un ordre strict car si x} y, ^{ax ne} peut ^être

égal

à ay, ^en raison de la

régularité,

^{et est donc} strictement

plus petit.

Dans le cas

fini,

^un

quasi-groupe

^ne peut ^être totalement

ordonné,

^{car si a était le}

plus petit élément,

^{on devrait avoir ax = a} pour ^{tout x.} On sait d’ailleurs

qu’un

groupe fini ^ne peut ^{être ordonné} totalement.

4. 3.

Type particulier

^de

groupoïdes

^MDIR.

Un type

particulier

^de

groupoïdes

^{MDIR a} été étudié _par Aczel et Fuchs

(cf. [9]

^et

[6]) :

^les

MDIR avec un ordre

total, strict,

^et archimédien en ce sens que pour ^tout

triplet

^x y ^z, il existe

un entier n tel que, ^en

multipliant

^x par ^{z n} fois à

gauche

^{et à}

^droite,

^{on ait :}

et dualement.

Pour tout

groupoide

commutatif de ce type, ^{il existe une}

injection

^{f : X -}

^R,

^telle que :

et f est un

morphisme

^d’ordre.

Cette

injection

^est

unique

^{à une} transformation linéaire

près.

On peut vérifier que l’ordre archimédien défini

plus

haut pour les

groupoïdes

^MDIR

correspond

au transfert _par f-1 de l’ordre archimédien du _groupe

(R, +).

Si l’on

n’exige

pas la

commutativité,

^{mais la}

propriété

suivante : que le

produit

^de deux coupures soit une coupure

1, l’injection

f : X 2013~ R est du type :

Autrement

dit,

^{X est alors}

isomorphe (isomorphisme

pour 0 ^et

&#x3E; )

^{à un} sous-ensemble ^convexe de R

avec une

opération

^de moyenne

pondérée.

Ceci

rejoint

les résultats trouvés _{pour les}

quasi-groupes ^I.M.R.D.,

totalement ordonnés : sil’ordre

est

archimédien,

^celui du groupe abélien ^à

partir duquel

^{est construit le}

quasi-groupe

^{l’est aussi et on}

sait

(cf. [6])

que ^tout groupe archimédien est

isomorphe

^{à un} sous-groupe de

(R, +).

Si l’on

supprime l’hypothèse d’idempotence (cf. [6]), l’injection

^{f : X - R est} strictement isotone

et du type :

avec : réels &#x3E;

0,

_y ^réel.

BIBLIOGRAPHIE

[1] ^{RUEDIN, S.,«} Groupoïdes distributifs», C.R.A.S.,

^{t. 262}

A,

pp. 985-988.

[2] STEIN,

^K.

S., «

^{On the} foundations of

quasi-group»,

Trans. Am. Math.

Soc., 85, 1957,

pp. 229-256.

[3] SOUBLIN, J.-P., « Médiations», C.R.A.S.,

^{t. 263}

A,

pp. 49-50 ^et 115-117 et «

Étude algébrique

^{de la}

notion de moyenne», thèse à

paraître

^{dans le}

^Journal

^de

Mathématiques

pures ^et

appliquées,

dernier

fascicule, 1970,

Gauthier-Villars.

[4] BARBUT, M., «

^{Sur une classe} de monoïdes pouvant ^{servir à des}

agrégations

^de

critères »,

^{in La}

décision, II, C.N.R.S., 1969.

2014 « Une classe de

quasi-groupes qui

peuvent ^{servir à}

représenter

des moyennes », dans ^ce numéro.

[5] FRINK, O., « Symetric

^and self-distributive systems », Amer. ^Math.

Monthly,

^t.

^62,1955,

pp. 697-707.

[6] ^{FUCHS, L.,} Partially

^ordered

algebraic

systems,

Pergamon ^Press,

^1963.

[7] ETHERINGTON, «

Non-associative

arithmetics», Proceedings of the

^{R. Soc.}

of Edinburgh,

^vol.

^{62, 1949,}

pp. 441-453.

[8] ^BRUCK,

^R.

^H.,

^A survey

of binary

systems,

Springer Verlag, Berlin, 1958.

[9] ACZEL, J., «

^{On mean}

values»,

^Bull. Amer. Math.

Soc.,

^vol.

54, 1948,

_pp. ^392-400.

2014 Lectures on

functional equations,

^Academic

^Press,

^New

^York,

^1966.

[10] MURDOCK,

^D.

C.,« Quasi-group

^which

satisfy

^certain

generalized

associative

laws»,

^{Amer. J.}

Math.,

vol.

61, 1939,

_pp. ^509-522.

[11] POPOVA, H., « Logarithmetics

^{of finite}

quasi-groups» :

I. ²⁰¹⁴ Proc.

Edinburgh

^Math.

^Soc.,

pp.

74-81,

^1954.

II. ²⁰¹⁴ Proc.

Edinburgh

^Math.

^Soc.,

pp.

109-115,

^1956.

[12] ^PFANZAGL, J., Theory of

measurement,

Wiley,

^New

York,

^1968.

[13] ^{VIND, K.,}

^Mean

groupoids, Copenhague.

1. C’est-à-dire si (A, B) ^{est une} coupure de X ^avec A B et (A’, B’) ^{une autre} coupure de X, ^alors (A o A’, ^{B o} B’) ^{est une}

coupure de X. (Dans ^{R avec} la moyenne pondérée, ^{il en est bien} ainsi.)