Théorie des groupoïdes symplectiques

P UBLICATIONS DU D ÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES DE L ^YON

C. A ^LBERT P. D ^AZORD

Théorie des groupoïdes symplectiques

Publications du Département de Mathématiques de Lyon, 1988, fascicule 4B

« Travaux du Séminaire Sud-Rhodanien de Géométrie - II », , p. 51-105

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С. ALBERT - P. DAZORD

THEORIE DES GROUPOIDES SYMPLECTIQUES

Chapitre I

T H E O R I E G E N E R A L E D E S G R O U P O I D E S D E L I E

D a n s c e p r e m i e r c h a p i t r e , n o u s p r é s e n t o n s les g é n é r a l i t é s sur la t h é o r i e d e s g r o u p o ï d e s d e L i e , introduits sous le n o m d e groupoïdes différentiels p a r C. E h r e s m a n n [7], et d o n t l'étude a été d é v e l o p p é e ultérieurement p a r divers auteurs au p r e m i e r r a n g d e s q u e l s il faut citer J. Pradines [13] [14] [15] qui est à l'origine de la plupart des concepts fondamentaux et K. M a c k e n z i e [12].

L a présentation q u e n o u s faisons ici de cette théorie repose essentiellement sur le c o n c e p t d e glissement : les glissements (à gauche et à droite) sont aux groupoïdes de Lie ce q u e les translations (à gauche et à droite) sont aux groupes d e Lie. L'avantage de cette p r é s e n t a t i o n est d e fournir un outil g é o m é t r i q u e très souple, et qui s'avérera utile dans l'étude d e s groupoïdes symplectiques.

O n p r e n d r a g a r d e q u e les v a r i é t é s différentielles é t u d i é e s ici sont certes à base d é n o m b r a b l e d ' o u v e r t s , m a i s n e sont p a s n é c e s s a i r e m e n t s é p a r é e s [sauf m e n t i o n explicite du c o n t r a i r e ] . Il est en effet indispensable d e se placer d a n s un tel c a d r e pour p o u v o i r rendre c o m p t e des propriétés d'un certain n o m b r e de groupoïdes qui apparaissent n a t u r e l l e m e n t en g é o m é t r i e différentielle ( n o t a m m e n t les g r o u p o ï d e s d ' h o m o t o p i e et d'holonomie d'un feuilletage régulier sur une variété séparée).

L a notion d e feuilletage s'étend naturellement (cf. § 1) à de telles variétés M : un feuilletage sera défini p a r une distribution d e sous-espaces vectoriels E tels q u e E vérifie, en restriction à tout voisinage ouvert séparé, les conditions d'intégrabilité de Frobenius- S u s s m a n n . L a feuille de E issue de x⁰ sera la réunion d e s c o u r b e s intégrales de E. U n e telle feuille est une sous-variété immergée - en général non séparée - de M .

En particulier si X est un c h a m p de vecteurs sur M , il définit un feuilletage dont les feuilles sont appelées orbites de X. C e sont des sous-variétés i m m e r g é e s de dimension 1, non s é p a r é e s en général, c e qui interdit d e parler du flot d e X . C e p e n d a n t sur c h a q u e

ouvert séparé U on p o u r r a parler de flot de X sur U, qu'on appellera flot local (sur U) de X . L ' e n s e m b l e d e s flots locaux en x⁰ définit de façon naturelle le g e r m e d e flot de X en x⁰.

1 . F E U I L L E T A G E S E T F A I S C E A U X D ' A L G E B R E S D E L I E D E C H A M P S D E V E C T E U R S S U R U N E V A R I E T E N O N S E P A R E E .

D a n s tout c e p a r a g r a p h e M est u n e v a r i é t é C°° - au s e n s d e B o u r b a k i [ 2 ] , E h r e s m a n n [7], - i.e. M n'est p a s séparée a priori.

Définition 1.1. Un feuilletage de STEFAN (ou "feuilletage") sur M est la donnée pour tout X G M d'un sous-espace î¥^x de T^XM tel que pour tout ouvert U séparé de M la restriction de ïïà U soit un feuilletage de STEFAN de U.

Il est clair q u e cette c o n d i t i o n est locale, a u t r e m e n t dit qu'il suffit qu'elle soit vérifiée en tout point x de M p o u r un v o i s i n a g e ouvert séparé de x. En particulier ceci p e r m e t d ' u t i l i s e r sur c h a q u e o u v e r t s é p a r é c h o i s i , le t h é o r è m e d e F R O B E N I U S - S U S S M A N N [ 1 7 ] , afin d e caractériser les distributions ( ^^x) définissant un feuilletage.

Si la d i m e n s i o n de est constante sur M , ce t h é o r è m e se réduit au t h é o r è m e usuel d e F R O B E N I U S .

Par tout p o i n t x⁰ G M , il p a s s e une u n i q u e variété intégrale m a x i m a l e c o n n e x e i m m e r g é e F^{X q}, appelée feuille de & en x⁰.

En particulier si X est un c h a m p d e vecteurs sur M il définit un feuilletage de S T E F A N dont les feuilles sont appelées orbites d e X. Pour tout ouvert séparé U d e M , on peut définir le flot de X | u), cp , appelé flot local de X sur U. On ne peut définir le flot de X q u e si les orbites de X sont séparées. Ceci a m è n e à considérer une catégorie particulière de feuilletages sur M :

D é f i n i t i o n 1.2. Un feuilletage &sur M est à feuilles séparées si toute feuille de y , munie de sa topologie de feuille, est séparée .

Dans ces conditions, si X est un c h a m p de vecteurs sur M tel que pour tout x G M , X ( x ) G 3 ^ , on peut définir le flot de X.

Soit 9 u n e s o u s - a l g è b r e d e Lie d e c h a m p s d e v e c t e u r s sur M (ou p l u s g é n é r a l e m e n t un faisceau d'algèbres de Lie). Soit y la distribution de s o u s - e s p a c e s tangents de M définie pour tout x G M par Ï F^X = {X(x) | X G 9 }• O n dira q u e x G M

est 9 - a c c e s s i b l e à partir de x⁰ [16] si il existe u n e suite finie ( X ¡ )1 < i < k d e c h a m p s de 9 i k 1

d e flots locaux ( c p^t)¹^ⁱ^^k et k scalaires O i ) ^ ^ tels q u e ( p^{t k} o . . . o ( p^{t l}( x⁰) = x. C'est c l a i r e m e n t u n e r e l a t i o n d ' é q u i v a l e n c e et o n a p p e l l e o r b i t e d e 9 en x^Q la classe d'équivalence d e x^Q p o u r la relation d'accessibilité.

E n général n'est p a s un feuilletage de S T E F A N , m ê m e si toutes les orbites de 9 sont d e s sous-variétés i m m e r g é e s c o m m e le m o n t r e l'exemple suivant d a n s E² : 9 est la s o u s - a l g è b r e d e L i e d e c h a m p s d e vecteurs sur E² e n g e n d r é e p a r ^ et V (^x) ^ où (x,y) d é s i g n e n t les c o o r d o n n é e s d e E² et y est u n e application C°° d e E d a n s E nulle p o u r

x < 0 et strictement positive p o u r x > 0. 9 ^a u n e seule orbite E². d i m y = 1 si x < 0, d i m 3^r= 2 s i x > 0 e t 3^r n'est pas un feuilletage d e Stefan puisqu'il n'existe p a s de sous- variété passant p a r (0,0) d e dimension 1 si x < 0 et 2 si x > 0.

Ceci conduit aux définitions suivantes :

Définition 1 . 3 . Soit 9 wfl faisceau d'algèbre de Lie de champs de vecteurs et W une orbite de Q. On dit que W est une orbite transitive de 9 si :

(i) W est une sous-variété immergée de M .

(ii) W est une variété intégrale maximale de y (i,e. Vx G W T^XW = Í F^X = Q(x)).

D a n s l'exemple précédent 9 a une seule orbite E² qui n'est p a s transitive.

L e théorème suivant, dû à S U S S M A N N [17] pour le cas séparé, étend le théorème d e F R O B E N I U S .

T h é o r è m e 1.1- [ 1 7 ] . est un feuilletage de S T E F A N si et s e u l e m e n t si ÍF est invariant par tout flot local de champ de 9-

Si y est un feuilletage de r a n g constant la condition est v i d e : c'est le théorème usuel d e F R O B E N I U S .

D é f i n i t i o n 1.4. Un faisceau de sous-algèbres de Lie de champs de vecteurs 9 est integrable si limage par tout flot local de champ de 9 d'un germe de champ de 9 est un germe de champ de 9-

Le résultat suivant est essentiellement dû à S U S S M A N N (cf. [4]).

T h é o r è m e 1.2. [ 1 7 ] . Si 9 est un faisceau d'algèbres de Lie integrable, ÍF est un feuilletage de Stefan dont les feuilles sont les orbites de Q. En particulier toutes les

orbites de 9 sont transitives.

R e m a r q u e : La réciproque est fausse : peut être un feuilletage de Stefan sans q u e 9 soit integrable c o m m e le m o n t r e l'exemple très simple suivant : 9 ^{e s t}> ^sur l'algèbre de Lie des c h a m p s polynômiaux P(x) L'image par le flot du c h a m p x² 5^ d'un c h a m p d e 9 n'appartient p a s à 9 en général.

Définition 1.5. Un faisceau d'algèbres de Lie 9 sur M est à orbites séparées si toutes les orbites sont séparées quand on les munit de la topologie induite.

Si 9 est à orbites séparées, pour tout X € 9» on peut définir le flot d e X : il est en effet i m m é d i a t q u e l'orbite d e tout p o i n t p a r l'algèbre d e L i e e n g e n d r é e p a r X est également séparée quand on la munit de sa topologie de feuille.

E x e m p l e s f o n d a m e n t a u x .

1. Soit (P,A) une variété de Poisson, de 2-tenseur A, pas forcément séparée. Pour tout ouvert U séparé ( U , A J J ) est une variété de Poisson au sens usuel. Soit 9 l'algèbre de Lie d e s c h a m p s hamiltoniens, i.e., 9 est l'ensemble d e s c h a m p s [A,u] = A^# du où u G C ° ° ( P , R ) , [ A , u ] d é s i g n e le c r o c h e t d e S c h o u t e n et A^# : T * P - > T P le m o r p h i s m e co - » A^# co défini p a r i ( A^# co)o)i = i ( A ) (co A COJ) p o u r tout C0j e T*P.

Soit A = Im A^# . Pour tout U séparé, 9 induit 9u algèbre d e Lie integrable d e s c h a m p s hamiltoniens sur U de feuilletage associé /ou en variétés symplectiques. 9 est d o n c integrable et A = Im A # est un feuilletage en variétés symplectiques (non séparées) appelé feuilletage caractéristique de (P,A) [9] [11][18].

2 . Soit M u n e v a r i é t é s é p a r é e , y un feuilletage r é g u l i e r sur M . L e " g r o u p o ï d e fondamental" (cf. infra) [13] n'est pas séparé en général. L e feuilletage relevé de y , (par l'application source ou l'application but) et constitué d e s n a p p e s d ' h o l o n o m i e , est un feuilletage à feuilles séparées.

2 . L A N O T I O N G E N E R A L E D E G R O U P O Ï D E .

D é f i n i t i o n 2 . 1 . Un groupoïde Y est un ensemble muni d'une "loi de groupe non partout définie". Plus précisément, on se donne

* Un sous-ensemble F⁰de F

* deux surjecîions a et $de T sur F⁰

* une application | i : T² —> F (x,y) l-> xy où r²= { ( x , y ) e r x r i a( x ) = P(y)}

* une application i : T —» T, xl-* x^{- 1}

fowf astreint à vérifier les axiomes :

(ass) : <7we/.y que soient x,y,z d û n s T, si l'un des produits x(yz)ou (xy)z est défini, l'autre l'est aussi et x(yz) = (xy)z.

(id) : pour tout x G T, P(x)x et xcc(x) sont définis et p(x)x = x a ( x ) = x.

(inv) : pour tout ^ T , x x "¹ et x^{_ 1}x sont définis et xx~* = P(x), x^{_ 1}x = a ( x ) .

Exemples-types : X e s t un e s p a c e t o p o l o g i q u e et F est l ' e n s e m b l e d e s g e r m e s d ' h o m é o m o r p h i s m e s d e X sur l u i - m ê m e . L e s applications a et P sont les applications source et but. Si p(y) = oc(x), xy d é s i g n e le g e r m e c o m p o s é xoy, et x '¹ est le g e r m e de T h o m é o m o r p h i s m e r é c i p r o q u e d e x. O n a ici r^o = X , l'injection j : X <~> T étant l'application qui, à u G X , associe le germe [ i d ]^u.

U n e variante de cet e x e m p l e consiste à prendre p o u r X une variété, et, k étant un entier d o n n é , p o u r F l'ensemble d e tous les k-jets de d i f f é o m o r p h î s m e s l o c a u x de X ; a et P sont toujours les applications source et but, (i la c o m p o s i t i o n d e s j e t s , i l'inversion d e s j e t s , et l'injection j : X = T⁰ <-> F associe à u G X le k-jet en u de l'identité.

O n p e u t a u s s i r e m p l a c e r d a n s c e t e x e m p l e l ' e n s e m b l e d e t o u s l e s difféomorphismes locaux par n'importe quel pseudogroupe d e difféomorphismes.

E n particulier, si k = 0, un 0-jet est seulement la d o n n é e d e sa source et d e son but, et la structure d e variété d e X devient inutile, ce qui conduit à la notion de groupoïde grossier : le groupoïde grossier sur l'ensemble X est l'ensemble F = X * X sur lequel on définit :

* T⁰ = X plongé d a n s X * X par l'application diagonale j : X - > X x X x l-> (x,x)

* P = prj : X * X - » X et a = p r² : X * X ~> X

* |i((a,b),(b,c)) = (a,c)

* i(a,b) = (b,a).

Un autre e x e m p l e consiste à prendre p o u r X un espace topologique, et pour F l'espace des classes d'homotopie à extrémités fixes des c h e m i n s d e X. X est plongé dans T en associant à u G X la classe j(u) du lacet constant en u ; les applications a et p sont

les a p p l i c a t i o n s origine et extrémité, | i est l'application induite p a r la c o m p o s i t i o n d e s c h e m i n s , et i l'application induite p a r le passage au c h e m i n inverse. L e groupoïde F ainsi o b t e n u est le groupoïde f o n d a m e n t a l FI(X).

P r o p o s i t i o n 2 . 1 . Soit r ( O⁰a , p , j i , i ) un groupoïde. Alors : (i) aop = (3oP = p et poa = a o a = a ;

(ii) pour tout (x,y) G Y² P(x,y) = P(x) et a ( x y ) = a ( y ) ; (iii) pour tout x G T a ( x - ! ) = p(x) et P(x-*) = a ( x ) ; (iv) Si (x,y) G T2 et (x,z) G Y>i on a : x y = x z = » y = z

5/ (x,y) G T2 et (z,y) G Y2 on a : xy = zy => x = z ; (v) pour tout x G T, (x"¹)"¹) = x ;

(vi) pour tout x G T, o n a oc(x) = x <=> x G r^o et p(x) = x <=> x G r^o .

L a démonstration d e cette proposition ne présente aucune difficulté.

D a n s t o u t e la suite, les applications a et p seront s y s t é m a t i q u e m e n t a p p e l é e s

" s o u r c e " et "but", et le s o u s - e n s e m b l e T⁰ la "base" d e Y. L e s é l é m e n t s d e F⁰ seront appelés les "unités" d e T.

oc

O n notera Y > Y⁰ ou Y > Y⁰ (ou s i m p l e m e n t Y) le g r o u p o ï d e , les applications | i et 1 étant sous-entendues.

g a g particuliers çt.autrçg çxgmples :

* Si r^o = {e}, T est un groupe car alors T² = Y*Y et donc ]i est partout définie.

* Si r^o = T, a = p = i d r et les seuls produits définis sont les xx = x. On dit q u e Y est le g r o u p o ï d e n u l .

* Si a = p, a ~^l( u ) est, p o u r tout u G r^o, un g r o u p e . C'est p a r e x e m p l e le c a s d'un

fibre

vectoriel : on peut regarder un

fibre

vectoriel d e base

r

^o c o m m e un groupoïde d e base F⁰ (identifiée à la section nulle) a = P étant la projection, et [i l'addition dans les fibres.

D é f i n i t i o n 2 . 2 . Soit Y £ T⁰ un groupoïde.

Si u G T⁰, on appelle groupe d'isotropie en u le groupe r^u = a - i ( u ) n p - l ( u )

et on appelle orbite de Yen u l'ensemble

P(a-i(u)) = aO-i(u)).

L'ensemble d e s orbites d e F forme une partition d e r^o. U n g r o u p o ï d e est dit transitif s'il p o s s è d e u n e seule orbite.

C e s d é f i n i t i o n s s o n t m o t i v é e s p a r l ' e x e m p l e d u g r o u p o ï d e d e s g e r m e s d ' h o m é o m o r p h i s m e s .

D é f i n i t i o n 2 . 3 . Etant donnés deux groupoïdes oc ex '

r et F <> rô, un morphisme de groupoïdes de F dans F' est une

P P'

application f : F F telle que (fxf)(r²) ^F² et vérifiant f(xy) = f(x)f(y) pour tout (x,y) e T².

U n tel m o r p h i s m e respecte les unités et c o m m u t e aux applications source et but.

Par e x e m p l e , si F est un g r o u p o ï d e q u e l c o n q u e , l'application (p,a) : F

—» r

^o

*r

^{o est un}

m o r p h i s m e si l'on m u n i t

r

^o

*r

^o d e sa structure d e groupoïde grossier. O n dit q u e F est un g r o u p o ï d e p r i n c i p a l si (p,cc) est injectif.

D a n s le langage des catégories, un groupoïde apparaît c o m m e une petite catégorie d o n t toutes les flèches sont inversibles. U n m o r p h i s m e est alors un foncteur entre deux telles catégories.

D é f i n i t i o n 2 . 4 . Un sous-groupoïde [resp. un sous-groupoïde plein] d'un groupoïde F est une sous-catégorie [resp. une sous-catégorie pleine] de F,

En d'autres t e r m e s , un sous-groupoïde F d e r est un s o u s - e n s e m b l e d e r muni d'une structure d e groupoïde telle q u e l'inclusion soit un m o r p h i s m e d e groupoïdes, et F est plein si r et F ont les m ê m e s unités.

En d'autres t e r m e s , un sous-groupoïde F d e F est un s o u s - e n s e m b l e d e r muni d'une structure de groupoïde telle q u e l'inclusion soit un m o r p h i s m e de groupoïdes, et F est plein si F et F ont les m ê m e s unités.

E x e m p l e : Soit A u n e partie q u e l c o n q u e d e r^o. Alors T^A = a *¹ (A) n P^{_ 1}(A) est un sous-groupoïde d e F En particulier si A = S^u (orbite d e u par F),

= o r ^ S y ) = P^{_ 1}( S^U) est un groupoïde transitif, sous-groupoïde de r.

Enfin

la catégorie d e s g r o u p o ï d e s est u n e c a t é g o r i e à produit : si P ( i = l , 2 ) est u n g r o u p o ï d e d ' u n i t é r^, T^l* r² e s t un g r o u p o ï d e d ' u n i t é r ^ x l ^ a v e c c o m m e

multiplication ( x ^ x ^ y ^ y²) = (x^ly^l,x²y²).

3 . G R O U P O Ï D E S D E L I E ,

Définition 3 . 1 . Un groupoïde de Lie Test une variété différentielle (non nécessairment séparée) munie d'une structure de groupoïde telle que :

1) L'ensemble T⁰ des unités est une sous-variété séparée paracompacte et connexe ; 2) Les applications source et but a et P sont des submersions ;

3) La multiplication |i : r² -» T est différentiable ; 4) U inversion i : T —> T est un dijféomorphisme.

O n désignera par j : To <-» T l'injection canonique. Il résulte d e 2) q u e T² est une sous-variété r * r (produit

fibre

d e a et (3), ce qui d o n n e un sens à 3).

oc

O n dira q u e le groupoïde de Lie T ;> T⁰ est t r a n s i t i f si l'application (a,{3) :

P

T —> r^o> < r^o est une surmersion (c'est-à-dire une submersion surjective).

E x e m p l e f o n d a m e n t a l . Soient G un groupe d e Lie et E ( G ) - > M un G-fibré principal.

L e q u o t i e n t p a r l'action d i a g o n a l e de G du g r o u p o ï d e g r o s s i e r E ( G ) * E ( G ) est un g r o u p o ï d e d e L i e transitif d'unités M appelé g r o u p o ï d e de j a u g e du

fibre

E ( G ) - » M . (C'est le p r e m i e r g r o u p o ï d e de Lie considéré par C. E h r e s m a n n ) . N o u s r e v i e n d r o n s sur cet exemple au paragraphe 5.

R e m a r q u e . C o n f o r m é m e n t à ce qui a été fait dans [3], on appelle "groupoïde de Lie" les g r o u p o ï d e s appelés "groupoïdes différentiels" p a r C. E h r e s m a n n et divers auteurs. Il a s e m b l é préférable d'abandonner la terminologie, traditionnelle j u s q u e là, qui réservait le n o m d e groupoïdes d e Lie aux groupoïdes de Lie transitifs.

Définition 3.2. Soit n : M - ^ M⁰ une application de M dans M⁰. On dira que

K : M - » M0 est n-connexe si pour tout x e M⁰ 7 T^l(^x) est connexe. En particulier on dira qu'un groupoïde de Lie est à fibres connexes s'il est a-connexe.

O n a d e m ê m e u n e notion d e g r o u p o ï d e à fibres s i m p l e m e n t c o n n e x e s et la condition (4) entraîne q u e a - c o n n e x i t é (ou simple connexité) et P-connexité (ou simple connexité) sont équivalentes.

O n a p p e l l e c o m p o s a n t e o c - c o n n e x e d e T, et o n n o t e r^a, la r é u n i o n d e s c o m p o s a n t e s c o n n e x e s d e s points d e T⁰ dans les a-fibres d e T.

D é f i n i t i o n 3 . 3 . Si F et F sont deux groupoïdes de Lie, un morphisme de groupoïdes de Lie est un morphisme de groupoïdes f : Y —» F qui est différentiable.

Cette notion de morphisme fait des groupoïdes de Lie une catégorie à produit.

Un sous-groupoïde F de F est un sous-groupoïde de Lie si l'inclusion P C T est une immersion.

En particulier, tout sous-groupoïde ouvert d e F est un sous-groupoïde d e Lie d e T;

f : T —» F est un m o r p h i s m e d e groupoïdes d e L i e si et seulement si le graphe d e f est un s o u s - g r o u p o ï d e d e F x F

P r o p o s i t i o n 3 . 1 . [15] :

(i) La composante a-connexe F^a d'un groupoïde de Lie F est un sous-groupoïde de Lie plein et ouvert de F.

(ii) Si F est un groupoïde de Lie à fibres connexes, l'ensemble F des classes d'homotopie a-fibre à a-fibre des chemins contenus dans les a-fibres dont l'origine est une unité est naturellement muni d'une structure de groupoïde de Lie (admettant les mêmes unités que F), qui est à fibres simplement connexes et tel que la projection p : F -> F induite par l'application "extrémité" des chemins soit un un morphisme de groupoïdes et un étalement.

Si r^o est réduit à l'identité, p est bien sûr un revêtement.

P r o p o s i t i o n 3 . 2 . [ 1 5 ] . Un groupoïde de Lie F > F^Q est séparé si, et seulement si, la sous-variété F⁰ est fermée dans F.

P r e u v e . L a condition est nécessaire p u i s q u e a est continue. Elle est aussi suffisante, car si T⁰ est fermée, soit ( xⁿ) u n e suite d e points d e F ayant deux limites a et b distinctes. La suite ( xⁿ* xⁿ) est u n e suite de points de T⁰ c o n v e r g e a n t vers a '¹ a et aussi vers a^{_ 1}b .

L ' h y p o t h è s e m o n t r e q u e ces deux points sont dans T⁰, et on a supposé T⁰ séparée. D o n c nécessairement a^{_ 1}a = a~*b, ce qui entraîne a=b, et par conséquent le résultat.

Cette proposition étend aux groupoïdes la caractérisation des groupes séparés.

B i e n qu'un g r o u p o ï d e d e Lie ne soit p a s , en g é n é r a l , séparé, on a la p r o p r i é t é remarquable suivante :

T h é o r è m e 3 . 1 . Si T > T⁰ est un groupoïde de Lie, il existe un voisinage ouvert séparé U de Y^Q dans T. De plus on peut imposer que \J soit symétrique (c'est-à-dire invariant par l'application x —> x^{_ 1}J , a et ^-connexes. De plus T⁰ est fermé dans U.

S c o l i e : L ' e x i s t e n c e d'un v o i s i n a g e séparé d e l'identité d'un g r o u p e suffit à a s s u r e r la séparation c e qui n'est p a s le cas d'un groupoïde.

D é m o n s t r a t i o n . L ' é t a p e e s s e n t i e l l e d e la d é m o n s t r a t i o n est le l e m m e s u i v a n t d e topologie générale :

L e m m e 3 . 1 . Soit M une variété (non séparée) munie d'une projection n sur une sous-variété M⁰ de M séparée et paracompacte. Alors il existe un voisinage séparé de M⁰ dans M , n-connexe.

D é m o n s t r a t i o n du l e m m e . Soit p la codimension d e M⁰ dans M . P o u r tout u e M⁰, il existe un voisinage Q^u de u dans M et un difféomorphisme (|)^u de Q^u sur £2° x B^ où

= Q^u n M⁰ et B^ est une boule ouverte de R P , r e n d a n t c o m m u t a t i f le d i a g r a m m e suivant :

Ou ' •

n°

^{a * Et}

u

Ceci résulte d u fait q u e K est une s u b m e r s i o n et M⁰ u n e sous-variété. Q^u est un voisinage séparé de u. O n dit que £2^U est 7U-distingué.

O n choisit maintenant un voisinage ouvert V^u d e u dans £2° dont la fermeture dans M^Q, notée V^u, est c o m p a c t e et c o n t e n u e d a n s Q? . Soit B^u u n e b o u l e o u v e r t e dont la fermeture, c o m p a c t e , est contenue dans . On pose W^u = ( | ) ^ ( V^ux B^u) .

L e s ( V^u) forment un r e c o u v e m e n t ouvert d e M^Q qui est p a r a c o m p a c t e . On p e u t d o n c en extraire un s o u s - r e c o u v r e m e n t l o c a l e m e n t fini (Vj). j , auquel on associe (Wj). j , ( ^ i ) j j > (<t>i)^i(E j • Vj = W j n M⁰ et Wj est un sous-espace c o m p a c t d e l'espace topologique séparé £l^v

Soit W = U n-^l(u)n P i W i . U E M^q { i l u e W i }

P o u r tout u, W^u = TT^U) n O W j est un voisinage d e u dans a^{- 1}( u ) car u { i l u e W i }

n'appartient qu'à un n o m b r e fini de Vj.

O n va p r o u v e r q u e W est un v o i s i n a g e d e M⁰. Soit u⁰ G M⁰ et ( ^^{y r}j )^{1 <}j^{< k} k

l'ensemble fini, des Vj qui contiennent u⁰. O Vj est un voisinage de u⁰. Il existe d o n c un voisinage ouvert V de u⁰, dont la fermeture dans M⁰ est compacte et contenue dans

k

P l V;, et qui ne r e n c o n t r e qu'un n o m b r e fini 1 < j < k + i de v o i s i n a g e s (Vj). car

j J 1€E I

k k (V;). j est localement fini. Soit Q. = P i Q^v Olf = O W ; .

Il €l i=l 1

Pour tout r, 1 ^ r ^ i , W^r n W est un voisinage c o m p a c t de V n V^r dans W . Soit i, 1 < i < k. (|)j(W^r n est un voisinage compact de V n V^r dans (V n V^r ) x B et contient d o n c un voisinage d e la forme (V n V^r )^XB² où B² est une boule c o m p a c t e de r a y o n non nul d e IRP. Il en résulte qu'il existe un voisinage c o m p a c t W^r de V dans *Uf

_ Z tel q u e *UT ¹ n n~^l(W^r ) soit contenu d a n s W^r n TJ/. OTlf¹* est d o n c un voisinage,

compact, de u⁰ contenu dans W ce qui prouve que W est un voisinage de M⁰.

L a séparation de W résulte de ce que si x j et x² sont deux points de W de m ê m e projection sur M⁰, ils appartiennent à un m ê m e voisinage 7i-distingué et donc séparé.

Enfin soit n la restriction d e n à l'intérieur W d e W . Soit W la r é u n i o n d e s o o c o m p o s a n t e s c o n n e x e s d e s points d e M⁰ dans les n -fibres c o r r e s p o n d a n t e s , n étant u n e

o

s u b m e r s i o n W est ouvert dans W , ce qui achève la preuve du l e m m e .

F i n d e la d é m o n s t r a t i o n d u t h é o r è m e 3 . 1 . L e l e m m e p r é c é d e n t f o u r n i t u n v o i s i n a g e séparé U⁰ d e T⁰ qui est a - c o n n e x e . U^G n LT¹ est un v o i s i n a g e o u v e r t d e T⁰ stable p a r l'inversion. Soit U l ' e n s e m b l e d e s x e U⁰ q u i a p p a r t i e n n e n t à la fois à la c o m p o s a n t e c o n n e x e d e a ( x ) dans orM^ocCx)) et d e P(x) dans P^lyCPCx)). a et p étant des s u b m e r s i o n s U est ouvert dans U⁰. C o m m e U^Q est stable p a r inversion U l'est aussi, ce qui achève la démonstration.

Soit r > r^o un g r o u p o ï d e de L i e . Si x e T, la translation à g a u c h e

L^x: p - K a ( x ) ) - ^ p - l ( p ( x ) ) L^a( y ) = *y

et la t r a n s l a t i o n à d r o i t e

R^x: a - i ( p ( x ) ) - > a - i ( a ( x ) ) R^x( y ) = yx

sont des difféomorphismes entre les fibres correspondantes. On notera que p o u r tout X G T

a o L^x = a et poR^x = p.

D e plus, si a ( x ' ) = a ( x ) on a x^f = L ^ ( x ) et si p(x') = p(x), on a

x ' = R ^ ^ . O ) - P^ar c o n s é q u e n t , l e s t r a n s l a t i o n s à g a u c h e [ r e s p . à d r o i t e ] a g i s s e n t t r a n s i t i v e m e n t s u r l e s a - f i b r e s [ r e s p . l e s P - f i b r e s ] .

Contrairement à ce qui se passe dans les groupes de Lie, les translations à gauche ou à droite n e sont p a s d e s d i f f é o m o r p h i s m e s d e F sur l u i - m ê m e . P o u r pallier cet inconvénient, on va introduire la notion suivante :

D é f i n i t i o n 3 . 4 . Un glissement à gauche de F est un difféomorphisme local (p deT ayant la propriété suivante : étant donnés x et y dans F, si l'un des éléments cpoRy ou Ryo(p est défini en x, l'autre l'est aussi et ((poRy)(x) = (Ryo(p)(x).

De même un glissement à droite de F est un difféomorphisme local y de F tel que si l'un des éléments \|/oLy ou LyO\j/ est défini en x, Vautre l'est aussi et

(\|foLy)(x) = (LyO\|f)(x).

D i r e q u e (p est un d i f f é o m o r p h i s m e local d'une variété F signifie q u e (p est un d i f f é o m o r p h i s m e d'un ouvert de T, appelé d o m a i n e de (p et noté d o m (p, sur un ouvert d e T, appelé i m a g e de (p et noté im (p.

P r o p o s i t i o n 3 . 3 . Soit (p un glissement à gauche de F. Alors : (i) domep et imcp sont des réunions de ^-fibres ;

(ii) (X09 - a (de sorte que chaque a-fibre est invariante par (p) ; (iii) po(p = po(pop (de sorte que (p envoie $fibre sur fi-fibre).

(iv) pour chaque u G T⁰ n d o m (p, <p'p-l(^u) = L<p(u)-

P r e u v e . Soit x G d o m (p. Si y G $'^l(a((p(x)))^y (p(xy) est défini, et d o n c y G o r ^ x ) , d'où (ii). D e plus, si x' G p"¹(p(x)), a s'écrit

x = x'y' avec y' = x '^{_ 1}x

d o n c (p(x')y' est défini, ce qui m o n t r e q u e d o m (p est p-saturé.

Prenant alors u = p(x), on a p o u r tout x' G P^{- 1}( U )

(p(u)x' = cp(x')

ce qui m o n t r e (iv) et (iii), et que im cp est p-saturé.

C o r o l l a i r e . Si (p est un glissement à gauche de P^{_ 1}( U ) sur p^{_ 1}( V ) , où Met Y sont deux ouverts de T⁰, (p est $-projetable en un difféomorphisme (p⁰ U —» V.

E x e m p l e d e .glissement à . g a M h e . O n a p p e l l e b i s s e c t i o n (locale) d e F [3] toute s o u s - variété B de r telle que les applications alg et pig soient des difféomorphismes sur leurs images. Si B est u n e bissection de T, on lui associe le glissement à gauche

L^B : p-l(a(B)) - > p-HPCB)) L^B( x ) = (al^B)-¹(P( x ) ) . x .

E n fait, tout glissement à gauche est associé à une bissection. En effet, si (p est un glissement à g a u c h e , U = P(dom <p) est un ouvert de T⁰, et B = (p(U) est une bissection, d e sorte q u e (p = L^B.

L a figure ci-dessous illustre les relations bissections-glissements. L e s projections a et p sont matérialisées par des lignes pointillées.

f \ T<

! s

^ ~ ^ \ / '^{% n}- ~ T^{/ I I K} \ /

I ' ^ \ , -

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^V ^ ^ v l ^ ^ ^

n ^V * * >

R e m a r q u e : A la bissection B on peut également associer le glissement à droite R^B où R^B : a-HP(B)) - » a - i ( a ( B ) )

R^B( y ) = y . ( P l B ) -¹( « ( y ) ) .

D é f i n i t i o n 3 . 5 . Soit M une variété munie d'une submersion TC : M. —» M⁰. Nous appellerons pseudogroupe le long de n de difféomorphismes locaux de M (en abrégé pseudogroupe le long de n sur M ) tout ensemble F de difféomorphismes locaux définis sur les ouverts n-saturés et respectant les fibres de n tel que

1° idj^ est un élément de F .

2° Si <pi : 7C-1(U1) - » T C - ^ V J ) et <p2 : ^ ( L ^ ) - > rc"1^) ^ r c f d e u x éléments de F tels que U ¹ n V ² ^ O, tf/orj (pj o (p^{2 :} ( p ^ O r¹^ ! ^{n V}2 ) c p¹( 7 r -¹( U¹ n V²) ) £Jf un élément de F .

3° Si (p : n~l(U) - > 7 i - ^ V ) 2i/i élément de F , a / o r s q r1 : T T ^ V ) - > T T ^ U ) auro/ MAI élément de F .

4 ° 5 / (p :

K~

^l

(\J)

- » 7C^{_ 1}(V) im élément de F et si U j est un ouvert de tel que U i C U, alors (plft-^Uj) est un élément de F .

5 ° 5 / (p : K_ 1( U ) —» 7C_ 1(V) « r difféomorphisme local de M tel qu'il existe un recouvrement ouvert ( U i )^{i e I} de U oyanf /a propriété que c p ' ^ - ^ V j ) ^{w , z} élément de TP, alors (p est un élément de F .

R e m a r q u e d e t e r m i n o l o g i e . Si 7t est l'identité d e M , o n dira p l u s s i m p l e m e n t q u e F est un p s e u d o g r o u p e sur M . On p r e n d r a g a r d e alors q u e si n n'est p a s l'identité, un p s e u d o g r o u p e le l o n g d e K n'est p a s u n p s e u d o g r o u p e s u r M à c a u s e d e la condition de 7t-saturation sur les d o m a i n e s des éléments de F .

P r o p o s i t i o n 3,4. L'ensemble des glissements à gauche de T est un pseudogroupe le long de p, qui respecte chaque a-fibre et agit transitivement sur chaque a-fibre . De plus, pour tout xeT,la $-fibre P'HPOO) est l'ensemble des points x' e T tels que tout glissement à gauche fixant x fixe également x'.

P r e u v e . L e s propriétés de p s e u d o g r o u p e d e la définition 2.4 sont trivialement vérifiées.

Si de plus x e T, soit u = a(x). Si B est une bissection passant p a r x, on a

L^B( u ) = x

et donc le p s e u d o g r o u p e le long de P des glissements à gauche agit transitivement sur oH(oc(x)). Si m a i n t e n a n t v = p(x), et si x' e P_ 1( v ) , on aura

x' = xCx-V)

de sorte que pour tout glissement à gauche (p défini sur p^{_ 1}(^v)

(p(x') = cp(x)x"¹x'

P a r suite (p(x) = x => (p(x') = x'. Enfin si y est un point d e F tel q u e p(y) = w * v, soit B' u n e bissection p a s s a n t p a r v et ne passant p a s p a r w. A l o r s d'après ce qui p r é c è d e L^B- ( x ) = x alors q u e L^B- ( y ) * y.

P r o p o s i t i o n 3 . 5 . Un difféomorphisme local \\f de F défini sur un ouvert a-saturé est un glissement à droite si, et seulement si, il respecte chaque $ fibre et commute avec tous les glissements à gauche.

P r e u v e . Si y est un glissement à droite, il respecte c h a q u e p-fibre, et si x G d o m \\f et (p est u n glissement à gauche défini en y ( x )

<p(\|f(x)) = <p(x\|f(a(x))) = cp(p(x))x\j/(a(x))

d e p l u s p(\|/(x)) = p(x) et a((p(x)) = oc(x), d e sorte q u e \|/((p(x)) est aussi défini, et un calcul analogue donne

\|/((p(x)) = <p(p(x))xy(a(x)).

D'où la c o m m u t a t i o n .

Réciproquement, si \\f : o r ^ U ) —» £2 respecte chaque p-fibre, si et seulement si, x s a -^]( U ) , u = a ( x ) , et y e p -^]( u ) n a^{_ 1}( U ) , d e sorte q u e xy, \|/(xy), et y ( y ) sont définis. Si B est une bissection passant par x, on a x = L^B( u ) et d o n c

xy = L^B( u ) y = L^B( u y ) = L^B( y )

de sorte q u e \|/(xy) = \j/(L^B(y)) = L^B( \ | / ( y ) ) si \|/ c o m m u t e avec les glissements à gauche.

Mais P(\|/(y)) = P(y) = u, et L^B(\(/(y)) = x\j/(y) d o n c \\r est un glissement à droite.

C o r o l l a i r e . Soit \\fun difféomorphisme local de Fqui respecte chaque $ filtre, et commute avec les glissements à gauche [c'est-à-dire \|/o(p = (po\j/ en tout point x oà les deux membres sont définis, pour tout glissement à gauche (p/.

Alors il existe un unique glissement à droite \|/ défini sur a'^(a(Q)) tel que Y ⁼ V'ft > ° ù & ^{e s t} *^a source d e \|/.

En effet, si x' e a^{_ 1}( D ) ) , il existe x e Q et un glissement à gauche (p tel que cp(x) = x'. On p o s e alors \j/(x') = (p(y(x)), ce qui est cohérent d'après ce qui précède.

D é f i n i t i o n 3 . 6 . Si (p est un difféomorphisme local de T , on appelle difféomorphisme conjugué de (p le difféomorphisme local (p = io(p^{_ 1}oi.

P r o p o s i t i o n 3 . 6 . Si (p : P^{_ 1}( U ) P^{_ 1}( V ) est un glissement à gauche, où Uet V sont deux ouverts de T⁰, alors (p : a^{- 1}( V ) - > o r ^ U ) est un glissement à droite. En particulier, pour toute bissection B, on a :

LB ^{= R}B - La vérification est immédiate.

On notera aussi q u e si (p et \j/ sont d e u x difféomorphismes locaux, on a

(po\|/ = y o (p et (p = (p, d e sorte q u e la conjugaison définit un a n t i - i s o m o r p h i s m e du p s e u d o g r o u p e le long d e p d e s glissements à gauche sur le p s e u d o g r o u p e le long de a des glissements à droite.

Enfin, il faut r e m a r q u e r q u e tout c e qui a été dit p o u r les glissements à gauche est vrai p o u r les glissements à droite, en p e r m u t a n t les deux fibrations a et p. En particulier la proposition 2 . 3 p e r m e t d e faire l'observation suivante : si u e F o , l'orbite d e T en u peut être regardée indifféremment c o m m e :

- la projection p a r p de l'orbite en u des glissements à gauche ; - la projection p a r a d e l'orbite en u des glissements à droite ;

- la projection p a r a et p de l'orbite en u des glissements à gauche et à droite.

4. A L G E B R O I D E D E L I E A S S O C I E A U N G R O U P O Ï D E D E L I E .

Soit T un g r o u p o ï d e d e L i e . X est un c h a m p de vecteurs local sur T si X est un c h a m p d e vecteurs sur un ouvert de T, appelé domaine de X et noté d o m X.

D é f i n i t i o n 4 . 1 . On dit qu'un champ de vecteurs local X sur Test invariant à gauche fresp. invariant à droite] si pour tout glissement à gauche [resp. à droite] (p, on a Tcp(X) = X (c'est-à-dire si T^x( p ( X a ) = X ^ ) pour tout x G Y tel que les deux membres soient définis).

C o m m e le pseudogroupe le long de p des glissements à gauche agit transitivement sur les a - f i b r e s , un c h a m p invariant à g a u c h e X se p r o l o n g e d e m a n i è r e u n i q u e en un

c h a m p invariant à g a u c h e X défini sur a *¹( a ( d o m X ) ) . D e m ê m e , un c h a m p invariant à droite est toujours la restriction d'un unique c h a m p invariant à droite défini sur le P-saturé de son d o m a i n e de définition.

E x e m p l e . Soit (Vt)|tl<e ^{u n} g^{r o u}P^e local à un p a r a m è t r e d o n t les é l é m e n t s sont d e s glissements à droite. Alors le c h a m p de vecteurs local X = ~ ^ V t est un c h a m p invariant à g a u c h e défini sur un ouvert oc-saturé. On notera qu'un tel c h a m p est tangent aux p-fibres.

La proposition suivante montre que les c h a m p s invariants à gauche sont tous d e ce type.

P r o p o s i t i o n 4 . 1 . Soit X un champ de vecteurs invariant à gauche défini sur un ouvert a-saturé. Alors

(i) X est tangent aux $ fibres ;

(ii) les flots locaux de X sont définis sur des ouverts a-saturés et sont formés de glissements à droite.

R e m a r q u e . 11 résultera de la proposition 4 . 5 . ci-dessous q u e les P-fibres ( c o m m e les a - fibres) d'un g r o u p o ï d e sont toujours séparées. On p o u r r a alors parler du flot des c h a m p s invariants à gauche (ou à droite).

P r e u v e . N o t o n s tout d'abord q u e si U est un o u v e r t d e T⁰, tout c h a m p de v e c t e u r s le l o n g d e U tangent aux fî-fibres se prolonge de m a n i è r e unique en un c h a m p invariant à gauche défini sur a^{_ 1}( U ) . En effet si u l-> X^u est un tel c h a m p , soient x e O H ( U ) et u = a ( x ) . Si B est une bissection passant par x, p o s o n s

xx = TULB (XU )

c'est un vecteur en x qui ne dépend pas du choix de B, car si (y^t) est un chemin dans p ï ( u ) tel q u e X^u = ^ r l^{t = 0} Yt>^{o n a}

L B ( Y I ) = xYt

et donc

En d'autres ternies, pour tout glissement à gauche (p tel q u e cp(u) =•• x, on a X^x = T^u( p ( X^u) : un tel c h a m p X est invariant à gauche.

Cette r e m a r q u e étant faite, soit X un c h a m p de vecteurs invariant à g a u c h e . On peut supposer q u e d o m X est oc-saturé. Si u G F⁰ n d o m X , on peut d é c o m p o s e r X^u en

où Tp(X^)= 0 et X(J G T^ur^o. D'après la r e m a r q u e p r é c é d e n t e , X ' se p r o l o n g e en un c h a m p invariant à g a u c h e tangent aux p-fibres, et d o n c X " est un c h a m p invariant à g a u c h e tangent à T⁰ en tout point d e T⁰. C o m m e la valeur en x G d o m X de X " doit être t a n g e n t e à toute bissection p a s s a n t p a r x, on a n é c e s s a i r e m e n t X " = 0. P a r suite X est tangent aux p-fibres.

Si m a i n t e n a n t xo G d o m X , soit ( V t ) | t k e *^e ^^{o t} *^{o c a}* d e ^ ^{e n x}o * P °^{u r} c h a q u e t,

\\f^t c o m m u t e avec les glissements à gauche, et respecte chaque P-fibre. Quitte à restreindre l'ouvert Cl sur lequel les \\f^t sont définis, on peut le supposer a - c o n n e x e , Le corollaire d e la proposition 2.3 affirme que chaque \\f^t se prolonge sur a~^](Q) en un glissement à droite

\|/^t. M a i s les (Vt)|tl<e f °r r n e n t un groupe local à 1 p a r a m è t r e associé à X, ce qui signifie qu'on peut prendre a^{_ 1}( Q ) c o m m e domaine de définition du flot local de X en x⁰.

C o r o l l a i r e . Un champ de vecteurs local X sur F est invariant à gauche [resp. invariant à droite], si, et seulement si T$(X)=0et T L^X( X ) - X [resp. T a ( X ) =0 et

T R^X( X ) = X] pour tout x g F tel que les deux membres soient définis.

C'est la définition des c h a m p s invariants à gauche et à droite initialement donnée par J. Pradines [14].

P r o p o s i t i o n 4 . 2 . Soient &(F) [resp. ^ 1 ( 0 / le faisceau des germes des champs de vecteurs invariants à gauche [resp. à droite! sur F. Alors :

(i) £(F)et î l ( F ) sont des faisceaux d'algèbres de Lie, et si Xe £ ( F ) et

Y g Î V O sont deux germes en un même point, on a [X,Y] = 0.

(ii) Les orbites de [resp. 3 5 ( 0 / sont les composantes connexes des a fibres [resp.

KiV) des \yfibresj.

(Hi) Pour tout x G T, la composante connexe de x dans la $-fibre P"*(p(x)) [resp.

dans la a-fibre a~^l(x))] est l'ensemble des points x ' G F tels que toute section locale de < E( 0 [resp .TS\>(T)] sur un ouvert a-saturé [resp. ^-saturé] nulle en x

s'annule en x'.

L a d é m o n s t r a t i o n p r o c è d e , c o m m e p o u r la proposition 3.3 d o n t c'est la version infinitésimale, en n'utilisant que les glissements éléments de flots locaux (ce qui ne permet pas d e changer de composante connexe).

Soit L ( T ) le

fibre

vectoriel d e b a s e T⁰ f o r m é d e s v e c t e u r s aux p o i n t s d e

r

^o

tangents aux p-fibres en ces points. La démonstration de la proposition 3.1. m o n t r e q u e les sections locales d e ce

fibre

peuvent être r e g a r d é e s c o m m e les c h a m p s invariants à g a u c h e sur T dont le d o m a i n e est a-saturé. Le faisceau des g e r m e s d e sections d e L(F) est d o n c un faisceau d'algèbres d e L i e . Si l'on r e m a r q u e q u e , si X est u n e section locale de L( 0 et f u n e fonction définie sur le m ê m e ouvert d e r^o, le c h a m p invariant à g a u c h e associé à fX est fX = ( a * f ) X , où X est le c h a m p invariant à g a u c h e associé à X , on voit q u e la restriction à LÇT) de la projection T a est un m o r p h i s m e de fibres vectoriels de L(T) d a n s T T⁰.

Il en résulte que L(T) m u n i du crochet des c h a m p s de vecteurs et du m o r p h i s m e T a est un algébroïde de Lie au sens de J. Pradines [14] (cf. [6]). La projection canonique p de

Tr]r

^o sur le

fibre

normal de

T

⁰ déduite de la suite exacte :

0 > T T

⁰

~ — — • TTI

^r

— v r

^o

-> 0

induit un i s o m o r p h i s m s de fibres vectoriels de Lr sur v r^o qui permet de transporter sur v r^o la structure d'algébroïde de Lie construite sur L(F).

D é f i n i t i o n 4.2. v r^o, muni de la structure d'algébroïde de Lie transportée de L ( F ) , est appelé Valgébroïde de Lie du groupoïde de Lie T.

O n notera q u e si F⁰ est réduit à un point, T est un g r o u p e et la construction précédente est celle de l'algèbre de Lie de T.

D e manière analogue, on peut définir le

fibre

vectoriel

R(H

sur F⁰ des vecteurs le long de T⁰ tangents aux a-fibres. La projection

Tp : ROT) - > T T⁰

en fait un a l g é b r o ï d e d e L i e , et l'on p e u t transporter sur v r^o cette structure. O n obtient a i n s i l a s t r u c t u r e d ' a l g é b r o ï d e d e L i e o p p o s é e . E n effet la c o n j u g a i s o n d e s difféomorphismes locaux d e F respecte les flots locaux, et d o n c induit u n e application d e c o n j u g a i s o n s u r les c h a m p s d e v e c t e u r s locaux, q u e n o u s n o t e r o n s é g a l e m e n t X H X . On a p a r ailleurs :

X = - T i ( X )

d e sorte q u e si X et Y sont deux c h a m p s de vecteurs

[ X , Y ] = - [ X ^ f

E n p a r t i c u l i e r , la c o n j u g a i s o n é c h a n g e a n t l e s g l i s s e m e n t s à g a u c h e et à d r o i t e , la c o n j u g a i s o n d e s c h a m p s d e v e c t e u r s locaux induit un a n t i - i s o m o r p h i s m e d e faisceaux d'algèbres de Lie d e 2 5( 0 sur H( 0 - O n peut d'ailleurs préciser cet anti-isomorphisme :

P r o p o s i t i o n 4 . 3 . Soient X un champ invariant à gauche, et Y un champ invariant à droite. Alors en tout point u e V⁰où ils sont définis

X^u = X^u- T a ( X^u) Y^u = Y^u- T p ( Y^u)

P r e u v e . Soient u e Fo, et (p un glissement à gauche défini en u. Alors P(((p(u))-l) = a((p(u)) et u((p(u))-l=(cp(u))-l et donc

P((q>(u)) - <p(u)((p(u))-ï = (p((ip(u))-l ) - cp(9-l(u».

En remplaçant (p par ( p^{- 1}, ceci s'écrit

9(v) = <p(P(q>-ï(v)))

pour tout v G im <p. D'où p a r dérivation la formule annoncée pour Y.Un calcul analogue d o n n e l'autre formule.

Par c o n s é q u e n t , si X est u n c h a m p invariant à g a u c h e ou à droite, le c h a m p X - X est tangent à r^o en tout point d e r^o où il est défini, et on a donc le d i a g r a m m e commutatif

L ( D

v r

R( D

où la double flèche verticale est la conjugaison.

R e m a r q u e s :

1. Soient r > r^o et r > T⁰ deux groupoïdes de Lie d e m ê m e base, et

f : T —» V un m o r p h i s m e d e g r o u p o ï d e s de Lie induisant un d i f f é o m o r p h i s m e d'un v o i s i n a g e Q d e r^o d a n s T sur un voisinage d e de r^o dans F . Alors l'application linéaire tangente Tf induit un i s o m o r p h i s m e d e l'algèbroïde d e Lie de F sur celui de F . En particulier, l'algèbroïde d e Lie d'un g r o u p o ï d e de Lie T ne d é p e n d q u e de la c o m p o s a n t e oc-connexe T^a, et m ê m e que du groupoïde à fibres simplement connexes associé à F ^a.

2 . L a c o n s t r u c t i o n d e l ' a l g è b r o ï d e d e L i e d'un g r o u p o ï d e d e L i e est l ' e x a c t e généralisation d e la construction de l'algèbre de Lie d'un g r o u p e d e Lie : si r^o est réduit à un seul point, v r^o est l'algèbre de Lie du groupe de Lie T.

3 . Différents auteurs ( n o t a m m e n t P. Libermann dans sa thèse f 10|) avaient considéré les faisceaux 33 ( O et Î K F ) . Mais c'est à J. Pradines [14] q u e revient le mérite

d'avoir forgé le c o n c e p t d'algébroïde de Lie et d'avoir associé à tout g r o u p o ï d e de Lie son algébroïde de Lie.

A tout a l g é b r o ï d e de Lie est associé c a n o n i q u e m e n t un feuilletage d e Stefan e n g e n d r é par la distribution notée ici T a t l T I p ) [151, [61.

P r o p o s i t i o n 4 . 4 . [ 1 5 ] . Le feuilletage de Stefan de T⁰ défini par vY⁰ admet comme feuilles les orbites de la composante a-connexe r^a de T.

P r e u v e . P a r définition le feuilletage de Stefan est défini sur r^o p a r intégration du c h a m p d e plans singuliers image de

T a : v r⁰- > T r⁰

L e s feuilles en sont d o n c les projections par a des orbites d e R ( O , c'est-à-dire, d'après

la proposition 3.2, des c o m p o s a n t e s c o n n e x e s des p-fibres.

P r o p o s i t i o n 4 . 5 . [15]. Soit T > F⁰ un groupoïde de Lie à fibres connexes, et soit u G r^o.

Alors le groupe d'isotropie T^u en u est un groupe de Lie, et la restriction de a à l&fi-fibre fr^l(u)estune T^-fibrationprincipale de base l'orbite S^u de Yen u.

P r e u v e . C o m m e S^u est u n e feuille d'un feuilletage d e Stefan, c'est u n e sous-variété stricte [1] d e r^o. Par c o n s é q u e n t l'application a : p~*(u) —» S^u est u n e submersion. Pour la m ê m e raison, T^u a^{_ 1}( u ) n p"¹^) est un groupe d e Lie. Enfin l'action à droite de T^u sur P^{- 1}( u ) induite par la multiplication de T

p - ^ u ) * T^u- > p-»(u), ( x . a î h + a - î x fait d e T^u u n e fibration principale.

En permutant les rôles de a et p, on obtient évidemment le fait que P : a^{- 1}( u ) —> S^u est aussi une fibration principale.

C o r o l l a i r e . Si T > T⁰ est un groupoïde de Lie, les afibres et les ^-fibres sont des sous-variétés séparées de T.

E n effet, si T est à fibres c o n n e x e s , p^{_ 1}( u ) est p o u r tout u e r^o, séparé puisqu'un groupe d e Lie est toujours séparé, et q u e S^u l'est aussi c o m m e sous-variété de T⁰.

Si T n'est p a s à fibres c o n n e x e s , le r a i s o n n e m e n t v a u t p o u r r^a, et d o n c la c o m p o s a n t e c o n n e x e de p^{_ 1}( u ) contenant u est séparée. C o m m e les autres s'en déduisent p a r l'action des glissements (ou m ê m e d e s translations) à droite, elles le sont également.

En particulier on peut parler du flot d'un c h a m p invariant à gauche (ou à droite) :

Proposition 4.6. Si X est un champ invariant à gauche, la trajectoire de tout

x e d o m X par X est une courbe paramétrée par le même intervalle de temps que celle de oc(x) par T a ( X ) .

En particulier si X est un champ global tel que T a ( X ) soit à support compact, X est complet.

P r e u v e . N o t o n s tout d'abord q u e l'orbite d e X en x reste d a n s la p-fibre d e x, et d o n c d a n s u n e variété séparée. P a r c o n s é q u e n t c'est bien u n e c o u r b e p a r a m é t r é e , et l'on peut p a r l e r d e s trajectoires d e X . D e p l u s , si u = oc(x), la restriction d e X à p^{_ 1}( u ) est un c h a m p d e v e c t e u r s invariant à droite sur le fibre principal a : f H ( u ) —» S^u . Ceci d o n n e i m m é d i a t e m e n t le résultat. Enfin, si X est global, il est c o m p l e t si et seulement si T a ( X ) l'est, d'où le dernier point.

P r o p o s i t i o n 4 . 7 . Soit T > T⁰ un groupoïde de Lie à fibres connexes, et soit S une orbite de T dans T⁰. Alors T§ = a^{_ 1}( S ) = P ' ^ S ) est un sous-groupoïde de Lie de T. Plus précisément, r § est le groupoïde de jauge du fibre principal a : p^{_ 1}( u ) —> S, pour tout u G S.

P r e u v e . Soit u G S. P a r définition, le g r o u p o ï d e d e j a u g e d e a : P^{_ 1}( u ) —> S est le quotient d e P^{_ 1}(u) ^x P~*(u) p a r l'action diagonale de r^u. O r l'application

p-l(u) x p-l(u) > r^s (z^hz²)\ > z '¹z²

est un m o r p h i s m e d u g r o u p o ï d e grossier p^{_ 1}( u ) x p-l(u) sur T^s, q u i passe au quotient par l'action diagonale d e T^u sur P^{_ 1}( u ) x p-l(u), et qui induit un isomorphisme de

p-!(u) x p - l ( u ) /^r sur r^s. D'où le résultat.

En particulier, un groupoïde de Lie transitif à fibres c o n n e x e s apparaît toujours c o m m e le groupoïde d e j a u g e d'un fibre principal.

5 . F O R M E S I N V A R I A N T E S .

D é f i n i t i o n 5 . 1 . Une p forme (locale) G sur un groupoïde de Lie F est dite invariante à gauche [resp. invariante à droite] si elle est invariante par tout glissement à gauche [resp. à droite] de V.

On notera q u e si 9 est une p-forme locale invariante à g a u c h e [resp. à droite], on peut toujours la prolonger d e manière unique en une p-forme invariante à gauche [resp. à droite] définie sur le oc-saturé [resp. le P-saturé] de son d o m a i n e d e définition.

P r o p o s i t i o n 5.1. Les fonctions invariantes à gauche [resp. à droite] sur Y sont les pré- images par a [resp. P7 des fonctions définies sur Y⁰.

En effet les glissements à gauche sont transitifs sur les a-fibres.

Soit m a i n t e n a n t 0 une 1-forme invariante à g a u c h e définie sur un ouvert £2 que l'on p e u t s u p p o s e r a - s a t u r é . Si x e .Q, soit B une bissection passant par x. Alors, si X^x CE T^XB

e

^x

x

^x

=

e^x( T ( L^Bo a ) ( x^x) )

=

e^{a ( x )}( T a ( x^x) ) ( i )

Cette r e m a r q u e a une curieuse c o n s é q u e n c e qui d i s t i n g u e le c a s des g r o u p o ï d e s de celui d e s g r o u p e s : si d i m T⁰ = 0, T⁰ est réduit à un point, Y est un g r o u p e d e Lie et il n'existe p a s d e v e c t e u r t a n g e n t non nul à une bissection. L a c o n d i t i o n (1) est d o n c vide. L e s glissements à gauche étant les translations à g a u c h e , l'espace vectoriel des 1-formes invariantes à gauche est le dual de l'algèbre de Lie d e T. Par contre, si d i m r^o > 0, soit X^x un vecteur non nul tangent à une bissection. Si Y^x e T^xa^{- 1}( a ( x ) ) , X^x+ Y^x est transverse à T^xa^{_ 1}( a ( x ) ) , et, si Y^x est suffisamment p r o c h e de O^x, également à

T

^x

p

^{_ 1}

(p(x)).

Par suite (pour Y^x suffisamment proche de O^x) , X^x+ Y^x est encore tangent à u n e bissection : la r e m a r q u e p r é c é d e n t e m o n t r e qu'alors 0^XY^X = 0. O n en déduit que d a n s c e c a s les 1-formes invariantes à g a u c h e sont nulles sur l'espace tangent aux oc- fibres.

Il en résulte que si 0 est une 1-forme invariante à gauche, la 1-forme 0 - oc*j*0 est aussi invariante à gauche, et nulle en tout point de T⁰, donc identiquement nulle.

a

P r o p o s i t i o n 5 . 2 . Soit Y ^ Y⁰ un groupoïde de Lie.

Si r^o est réduit à un point, Y est un groupe de Lie et les 1 formes invariantes à gauche sur Y sont les formes invariantes à gauche sur ce groupe de Lie.

Si d i m r^o ^ 1, les 1 formes invariantes à gauche définies sur un ouvert a - saturé sont les préimages par a des 1 formes locales sur la variété T⁰.

On a é v i d e m m e n t un résultat a n a l o g u e pour les formes invariantes à droite, en permutant les rôles de a et p.