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Groupoïdes et r-faiseaux
Abdessamad Safoui
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Abdessamad Safoui. Groupoïdes et r-faiseaux. Mathématiques générales [math.GM]. Université Paul Verlaine - Metz, 1984. Français. �NNT : 1984METZ010S�. �tel-01775667�
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F.ecirerclies au CttRS .., Pres i dent à 1 'U n i v e r s i t é d e M e t z
à I o U r r i v e Ï ' s i t é d e M e t z
RuneneienQntÂ.
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d'tut gnand ^ecouL^ pouL nenQlL à. tunz ce btavai,t-.
Je n-enencie 'ega.Lenent
Montletn R?UX donL l-at expot'eô m'ont bearcoup eLdt A 'eLangin
ma cu.LtuLe e,t ctuL a bien vou,Lt caûionnen cel.te thè,s2.
En(Ln je LLens à expn-inen ma. gLaLilLtde à Monsietn L00AV quL m'a |tonotle en pn'eaidnnl !-e junq dz ma thè.,se.
A . S A F O U T
T A B L E D E S M A T I È N e S
C H A P I T R E I : C N O U P O Ï N E S f - F A I S C E A U X E T H O M O M O R P H I S M E S I . - G r o u p o ï d e s
2 . - H o m o m o ù p h i s m e s - 3 . - L e s f - f a i s c e a u x
g é n é r a l i s é s d e g r o u p o i d e s
CHAPITRE II : HOMOMORPHISMES CLASSIQUES - FONCTEUR IMAGE R.ECI-
PROQT]E ET FONCTEUR IMAGE DIRECTE POUR LES
f -FAISCEATIX
l . - I m a g e d i r e c t e d ' u n f a i s c e a u 2 . - I m a g e r é c i p r o q u e d n u n f a i s c e a u
3 . - H o m o m o r p h i s m e d e g r o u p e s . I m a g e r é c i p r o q u e e t i m a g e d i r e c t e d e m o d u l e s
t 2 t 2 T2
l 3 2 2 6
l 5 t 8
2 4 2 B 3 0
4 . - f t o a g e r é c i p r o q u e e t i m a g e l e c a s d ' u n h o m o m o r p h i s m e
t u n f - f a i s c e a u d a n s d i r e c t e d
c l a s s i q u e 5 . - F o n c t e u r a d j o i n t
CHAPITRE III : HOMOMORPHISME GENERALISE. IMAGE RECIPROQUE ET
IMAGE DIRECTE DE |-FAISCEAUX 2 4
l . - 2 . -
? -
ç -
BIBLIOGRAPHIE
E x e m p l e s d ' h o r o o m o r p h i s n e s g é n é r a l i s é s I m a g e r é c i p r o q u e d ' u n l ' - f a i s c e a u I m a g e d i r e c È e d ' u n l - f a i s c e a u
A d j o n c t i o n d a n s 1 e c a s d r u n h o m o m o r p h i s m e C o m p o s i t i o n d ' h o m o m o r p h i s m e s g é n é r a l i s é s
d e g r o u p o i d e s
g e n e r a l ] - s e 3 2
3 5
3 9
- l
I NTRODUCT I ON
D a n s [ 6 ] , H a e f l i g e r a d é f i n i l a n o t i o n d ' h o m o m o r p h i s r n e g é n ê r a l i s é e n t r e g r o u p o i d e s . C e t B e n o t i o n e s t b i e n p l u s u È i 1 e , e n P a r t i c u l i e r p o u r l c s a p p l i - c a t . i o n s g é o m é t r i q u e s , q u e l a n o t i o n c l a s s i q u e o ù I ' h o m o n o r p h i s r o e e s t u n
f o n c È e u r c o n t i n u d e c a t é g o r i e s t o p o l o g i q u e s . N o u s d é f i n i s s o n s d ' a b o r d f i m a g e d i r e c t e e t l r i m a g e r é c i p r o q u e d ' u n f - f a i s c e a u d a n s l e c a s c l a s s i q u e , e r r s u i t e d a n s 1 e c a s d ' u n h o m o m o r p h i s m e g é n é r a l i s é .
N o u s m o n t r o n s q u e l e f o n c t e u r i m a g e r é c i p r o q u e e s t I ' a d j o i n t à g a u c h e d u f o n c t e u r i m a g e d i r e c t e d a n s 1 e s d e u x c a s . P a r c o n s é q u e n t u n h o m o m o r p h i s u e g é - n é r a l i s é i n d u i t u n h o m o m o r p h i s m e e n c o h o m o l o g i e '
C H A P I T R E I
- 2 -
: G R o u P o ï o E s ,
E T H O M O M O R P H
i - F A I S C E A U X i S M E S
l . - cROUPoïots
u n g r o u p o T d e t o p o l o g i q u e e s t u n e c a t é g o r i e t o p o l o g i q u e o ù t o u s 1 e s m o r f h i s m e s s o n t i n v e r s i b l e s . U n e s p a c e t o p o l o g i q u e X d é f i n i t u n g r o u p o l d e
t o p o l o g i q u e d o n t I ' e s p a c e d e s u n i t é s e s t X e t d o n t I ' e s p a c e d e s m o r p h i s - m e s e s t é g a l e m e n Ë X . U n g r o u p e t . o p o l o g i q u e G , é v e n t u e l l e m e n t d i s c r e t , d é - f i n i t u n g r o u p o i d e t o p o l o g i q u e d o n t 1 ' e s p a c e d e s u n i t é s e s ! r é d u i t à u n
i s m e s e s t G . L e g r o u p o i d e { d e s g e r m e s d e d i f f é o m o r p h i s m e s l o c a u x d e n n d e c l a s s e C f j o u e u n r ô l e p a r È i c u 1 i è - r e m e n t i n p o r t a n t d a n s l a t h é o r i e d e s f e u i l l e t a g e s . ( H a e f l i g e r [ 4 ] ) ' L e g r o u p o i d e d t h o l o n o r o i e d ' u n f e u i l l e t a g e p e r n e t d t a s s o c i e r d e u x K - t h é o r i e s à u n e v a r i é t é f e u i l l e t é e : l a K - È h é o r i e a n a l y t i q u e g r â c e à I a C * - a l g è b r e d u f e u i l . l e t a g e ( C o n n e s t 2 l ) .
C e t t e C * - a l g è b r e e s t d é f i n i e c o m m e l a c o m p l é t i o n d e s f o n c t i o n s à s u p - p o r t c o r n p a e E s u r l e g r o u p o Î d e d t h o l o n o m i e p o u r u n e c e r t a i n e n o r m e ' E t l a K - t h é o r i e È o p o l o g i q u e g r â c e a u c l a s s i f i a n t d e c e g r o u p o i d e ' U n h o m o m o r p h i s m e
d e g r o u p o i d e s a u s e n s c l a s s i q u e e s t u n f o n c t e u r d e c a t é g o r i e s ' U n e c o n s t r u c - t i o n d é t a i l l é e d e l a c o h o m o l o g i e d ' u n g r o u p o î d e e x i s t e d a n s l a t h è s e d e R o g e r [ 1 0 ] : E I l e e s t c o n s t r u i t e d e t e l l e s o r t e q u t o n r e t r o u v e d a n s l e c a s d t u n g r o u p e d i s c r e t l a c o h o r o o l o g i e à v a l e u r s d a n s u n m o d u l e ( v o i r p a r e x e m - p f e [ 8 1 o u [ 7 ] ) e t d a n s l e c a s d ' u n e s p a c e E o p o t o g i q u e , l a c o h o m o l o g i e à v a l e u r s d a n s u n f a i s c e a u ( t I I ] ) .
) - HOMOMORPHIS},IES GENERALISES DE GROI]POÏDES
E t a n t d o n n é d e u x g r o u p o i d e s t o p o l o g i q u e s f e t f " n o u s a l l o n s v o i r u n e n o t i o n d t é q u i v a l e n c e e n t r e e u x , d u e à H a e f l i g e r [ 6 ] , q u i i m p l i q u e r a q u , a l o r s p o u r t o u t e s p a c e t o p o l o g i q u e Y , H l ( Y , I ) e È H l ( Y , f ' )
s o n t e n b i - j e c t i o n , e E q u e l e s c l a s s i f i a n t s B f e t B f t o n t m ê m e c o h o n o l o g i e '
- 3 -
r) !ÉlllrlreB-4e--[l(!,t)
s o i t Y u n e s p a c e t o p o l o g i q u e e t f u n g r o u p o i d e t o p o l o g i q u e , l a d é f i n i t i o n d e t t I ( y , f ) e s t l a g é n é r a l i s a È i o n n a t u r e l l e d e H I ( Y , G ) q u a n d G e s t u n g r o u p e t o P o l o g i q u e .
S o i t ( Y i ) i g f u n r e c o u v r e m e n t o u v e r t d e Y ' U n l - c o c y c l e à v a l e u r s d a n s f d é f i n i s u r l e r e c o u v r e m e n t ( Y i ) i g , e s t l a d o n n é e p o u r t o u t c o u -
\ _
p l e ( i , j ) d ' u n e a p p l i c a t i o n c o n t i n u e Y i j : Y . f t t j - f d e s o r È e q u e s i x € Y .
I
v t u (x )
n Y . n Y k , a l o r s v r r ( x ) e s t c o m p o s a b l e a v e c Y 5 1 ( x ) e t
= Vij (x).yjU(x). Si {to}oaO est un autre recouvremenL ouverÈ de e t y q B e s t u n l - c o c y c l e d é f i n i s u r { Y o } o a O , a l o r s i l e s t c o h o m o l o g u e a u
l - c o c y c l e t i j s i c e s d e u x c o c y c l e s s o n t l a r e s t r i c t i o n d r u n l - c o c y c l e à v a l e u r s d a n s f d é f i n i s u r l a r é u n i o n d e c e s d e u x r e c o u v r e m e n t s . L t e n s e m - b l e d e s c l a s s e s d e c o h o m o l o g i e d e s l - c o c y c l e s à v a l e u r s d a n s f e s t n o t é g t 1 Y , f ) e t s e s é l é n e n t s s o n t a p p e l é s f - s t r u c t u r e s s u r Y '
U n e a p p l i c a t i o n c o n t i n u e f : Y ' * Y i n d u i t u n e a p p l i c a t i o n
f * : H l ( Y , f ) - H l ( Y ' , f ) f a i s a n t c o r r e s p o n d r e à l a c l a s s e d u l - c o c y c l e Y i j d é f i n i s u r l e r e c o u v r e n e n t { Y i } l a c l a s s e d u l - c o c y c l e Y ; ; o f d é f i n i s u r
l e r e c o u v r e r u e n t . { r - t
( y * ) } a e Y ' .
E x e m p l e : U n f e u i l l e t a g e T d e c o d i m e n s i o n q s u r u n e v a r i é t é ê t r e c o n s i d é r é c o u u n e u n e f - s t r u c E u r e p a r E i c u l i è r e , o ù | e s t l e d e s g e r m e s d e d i f f é o m o r p h i s m e s l o c a u x d e I R q , r e p r é s e n g é e p a r u n s u r u n r e c o u v r ê m e n t o u v e r t { u t } t , e l q u e l e s f i = Tii : U' -+ rR s o i e n t d e s s u b n e r s i o n s .
V p e u t g r o u p o id e
I - c o c y c l e 9 c I
u) g!!r€g-!:e=!ggteeg=
C o m m e d a n s l e c a s c l a s s i q u e d e s g r o u p e s t o p o l o g i q u e s , l e s é l é m e r r t s d e H l ( y r f ) c o r r e s p o n d e n t b i j e c t i v e m e n È a u x c l a s s e s d ' i s o m o r p h i e d e s f i b r é s f - p r i n c i p a u x s u r Y . N o u s a l l o n s d t a b o r d r a p p e l e r c e È t e c o r r e s P o n d a n c e ' u n e a c t i o n à d r o i t e d e f s u r u n e s P a c e z r e L a L i v e m e n È à u n e a p - p l i c a t i o n c o n È i n u e q z Z ' + U
f - * - - U e s t 1 ' a p p l i c a È i o n
e s t u n e a p p l i c a t i o n c o n t i n u e Z x u l ( o ù v - B ( f ) ) È e 1 l e q u e , s i I ' i m a g e d e ( z , t )
e s t n o t é e z . \ ;
- q -
o n a i E :
( z . v ) y ' = z . ( r . v ' )
L i n f i b r é f - p r i n c i p a l d e b a s e Y e s t u n e s p a c e t o p o l o g i q u e m u n i d ' u n e a p p l i c a t i o n c o n t i n u e p : E - + y e t d ' u n e a c Ë i o n à d r o i t e d e I s u r E i e l a t i v e m e n Ë à u n e a p p l i c a È i o n c o n t i n u e q : E + U . O n s u p p o s e q u e f o p è r e s i m p l e m e n E tr a n s i t i v e m e n Ë d a n s l e s f i b r e s d e p e t q u e l a c o n d i t i o n d e t r i v i a l i t é l o c a l e s u i v a n t e e s t s a t i s f a i c e : I 1 e x i s t e u n r e c o u v r e m e n t o u v e r t { Y i } d e Y , d e s s e c t i o n s l o c a l e s . c o n t i n u e s s i , y i - E d e p e t d e s h o m é o m o r p h i s m e s é q u i v a r i a n t s h . : p ' ( y i )
- y i x u f s e p r o j e t a n Ë s u r f i d e n t i t é d e Y . . r c i Y i e s t m u n i d e r ' a p p l i c a t i o n c o n t i n u e f . = q o s , d a n s U e t y o p è r e s u r ( y , y ' ) p a r ( y , y ' ) . V = ( y . f ' f ) .
L e s
" i d é f i n i s s e n t u n I - c o c y c l e t i j s u r l e r e c o u v r e m e n Ë { y . } a e Y à v a l e u r s d a n s f o ù y . , , ( x ) e s t l ' u n i q u e é l é m e n È d e f t e l q u e s , ( y ) = s * ( y ) Y : . , ( y ) . L "
" t o i i d r u n a u È r e r e c o u v r e m e n t e t d r a u Ë r e s s e c t i o n s
J I I J
c o n d u i r a i e n Ë à u n c o c y c l e c o h o m o l o g u e .
R é c i p r o q u e u e n r , é È a n t d o n n é u n l - c o c y c l e t i j r Y i f l t j - f o n p e u t c o n s t r u i r e u n f i b r é f - p r i n c i p a l E a v e c s e c t i o n s l o c a l e s
" i q u i r e d o n n e n t l e c o c y c l e . O n o b t i e n t E c o m m e q u o t i e n t d e 1 ' u n i o n d i s j o i n t e d e Y : x u f p a r l a r e l a È i o n d r é q u i v a l e n c e q u i i d e n Ë i f i e ( f i , f i ) € Y r x r f à
( t j , r j ) € Y r x r f s i y i = y i = y e t B i = y j i ( v ) r 5
D e c e t t e m a n i è r e o n o b t i e n t u n e b i j e c t i o n e n t r e c l a s s e s d ' i s o m o r p h i e d e f i b r é s l - p r i n c i p a u x d e b a s e Y e t é l é n e n t s d e H r ( Y , f ) .
z . u = z s L q ( z . Y ) = q ( Y )
e s t . u n e u n i t é e t
e s p a c e s d t u n i t ê s r n u n i d t a p p l i c a - q u e f o p è r e à r e l a t i v e n e n t à
c) Eggiyelesse-eslre-srespeigee
S o i e n t f e t f t d e s g r o u p o i d e s È o p o l o g i q u e s a v e c U e t U t r e s p e c t i v e m e n t . S o i t O u n e s p a c e t o p o l o g i q u e t i o n s c o n t i n u e s p : Q + U e t q : Q - r U r e t s u p p o s o n s g a u c h e s u r O r e l a t i v e m e n t à p e t f ' à d r o i t e s u r 0 g , c e s d e u x a c t i o n s c o m m u t a n t e n È r e e l l e s .
- 5 -
D é f i n i t i o n :
O n d i t q u e ô d é f i n i È u n h o m o m o r p h i s m e g é n é r a l i s é d e I d a n s f ' s i Q e s t u r r f i b r é f ' - p r i n c i p a l d e b a s e U e È d e p r o j e c t i o n P . U n h o n o - n : r o r p h i s m e Q i n d u i t , p o u r t o u t e s p a c e t o p o l o g i q u e Y , u n e a p p l i c a t i o n c o n -
r i n u e H t ( O ) : H 1 ( Y , f ) * H I ( Y , l ' ) f o n c t o r i e l l e e n Y . C e t t e a p p l i c a È i o n f a i t c o r r : e s p o n d i e à l a c l a s s e d r i s o m o r p h i e d ' u n f i b r é f - p r i n c i p a l E s u r Y L a c l a s s e d ' i s o m o r p h i e d u f i b r é f ' - p r i n c i p a l E r = E x a Ô s u r Y .
E n t e r m e s d e c o c y c l e s , l a c o r r e s p o n d a n c e e s t c o n s È r u i t e c o m m e s u i t : p a r h y p o È h è s e , i l e x i s t e u n r e c o u v r e m e n t o u v e r t { U o } d e U e t d e s s e c - È i o n s l o c a l e s S o : U o - r 0 d e p . T o u t é l é m e n t d e H l ( Y r f ) p e u t ê t r e r e - p r é s e n t é p a r u n c o c y c l e t i j : Y . 0 t j * f t e l q u e I ' i m a g e d e Y i i : Y . - + U s o i t c o n t i n u e d a n s u n o u v e r t U . r i . L r é 1 é r û e n t c o r r e s p o n d a n Ë d e H I ( Y r f ' )
s e r a r e p r é s e n c é p a r l e c o c y c l . y i j : Y . t ^ t tj * t r d é f i n i p a r 1 a r e l a t i o n :
v15 (r) t.j (yj; (r) ) = s.ri (v11(v) )ri5 (r)
E x e m p l e :
S o i t h : f - l ' u n a l o r s p o u r 0 l e p r o d u i t h o : U - + U r .
Soit ô cornme dans
m ê m e e s p a c e t o p o l o g i q u e e t U ' , m a i s c e t t e f o i s m e n t e n p o s a n Ë :
D é f i n i t i o n :
0 n d i t q u e Q d é f i n i t u n f i b r é f - p r i n c i p a l s u r
u n e é q u i v a l e n c e d e U r d e p r o j e c t i o n q .
h o m o m o r p h i s m e c o n t i n u a u s e n s h a b i t u e l , o n p r e n d f i b r é U r , , , f t , o ù U e s t m u n i d e 1 ' a p p l i e a t i o n
d é f i n i t i o n p r é c é d e n t e . D é s i g n o n s p a r O 0 I e m u n i d e s n ê m e s a p p l i c a t i o n s p e t q d a n s U e t f ' o p é r a n t à d r o i t e e t à g a u c h e r e s p e c t i v e -
9 . Y = Y p e E y ' t p = 1 9 f ' - t
1 a 0 f
s u r f t S I 0 o e s t a u s s i
. - 6 -
P r o p o s it . i o n :
U n e é q u i v a l e n c e O d e I s u r f i n d u i t u n e b i j e c E i o n d e H l ( Y , f ) s u r H l ( Y , f ' ) f o n c t o r i e l l e e n Y .
D é m o n s t r a t i o n :
- - 0 0 d é f i n i r u n e a p p l i e a t i o n n I ( 0 0 ) d e H r ( Y , f ' ) d a n s H l ( Y , f ) i n - v e r s e d e H t ( O ) . E n e f f e t s i E e s t u n f i b r é f - p r i n c i p a l d e b a s e Y , a l o r s
( n x a e )
l , O o e s t c a n o n i q u e r o e n t is o m o r p h e à E , c a r q x p , Ô 0 e s t c a n o n i q u e - n e n t i s o m o r p h e à f p a r I t a p p l i c a t i o n q u i f a i E c o r r e s p o n d r e à 1 a c l a s s e d e ( g r , g r ) l ' u n i q u e é l é r o e n Ë Y € f t e l q u e T - t 9 , = Q 2 ' D e m ê m e O 0 r - O e s t c a n o n i q u e n e n t i s o m o r p h e à f ' . C . Q . F . D .
3 . - L E S | - F A I S C E A U X
S o i t I u n g r o u p o i d e t o p o l o g i q u e e t u I ' e s p a c e d e s e s u n i t é s . I n t u i t i v e r o e n È , u n f - f a i s c e a u e s t u n f a i s c e a u F a u d e s s u s d e U ( f ) t e l q u e c h a q u e é l é r o e n t d e f d é t e r m i n e u n i s o m o r p h i s m e d e l a f i b r e F a u - d e s s u s d e I a s o u r c e d a n s l a f i b r e a u - d e s s u s d u b u t e t c e d e f a ç o n c o n Ë i n u e ' P l u s p r é c i s é m e n È , s o i E F n t
U u n f a i s c e a u d r e n s e m b l e s s u r U ( f ) ' O n n o - t e r a F l a f i b r e , , - t ( * ) .
x
S o i t f q ( r e s p . f g ) l e g r o u p o î d e c o n s i d é r é c o m . e e s p a c e a u d e s s u s c 1 e u ( f ) p a r l a p r o j e c t i o n s o u r c e q ( r e s p . p a r l a p r o j e c t i o n b u t g ) .
O n p e u t a l o r s c o n s i d ê r e r l e s p r o d u i t s f i b r é s :
f o * F = ( f q ) r u F = { ( V , E ) lt e f , E € f , n ( E ) = q ( V ) i '
I B * t = ( f ' ) r u F = { ( Y , E ) lt € f , E € F , n ( 6 ) = B ( r ) } '
I l e x i s t e d e s p r o j e c t i o n s é v i d e n t e s :
n B : f U * F - f
* q r l o * F - l
o n s u p p o s e q u e I ' o n a u n i s o m o r p h i s m e d ' e s p a c e s a u - d e s s u s d e u ( f ) :
? : f o * F - f u * F
v é r i f i a n t n ^ o ? = n - .
l J u
O n n o t e r a a l o r s :
- l -
? ( y , E ) = ( T , f ( v ) E ) .
D é f i n i t i o n :
U n l - f a i s c e a u F e s t u n f a i s c e a u s u r U ( f ) , t e l q u r i l e x i s t e u n i s o - m o r p h i s m e f : f o * I - f ' * t . v é r i f i a n t :
- : t o : , . .
( l ) n u , ? = n o .
( 2 ) p o u r t o u t x € U ( f ) f ( I d x ) . € = E .
( 3 ) p o u r t o u t c o u p l e ( Y r , T r ) d ' é l é m e n t s c o m p o s a b l e s :
f ( l r . t r ) = f ( y r ) . f ( V z )
E x e m p l e s :
( a ) T o u t f a i s c e a u c o n s t a n t s u r U ( f ) p e u t ê t r e m u n i d r u n e s È r u c t u r e d e f - f a i s c e a u ; s i E e s t l a f i b r e d u f a i s c e a u , i l s u f f i r a d e p o s e r p o u r E o u t y € r , f ( V ) = I d E . c r e s t l e f - f a i s c e a u t r i v i a l d e f i b r e E . ( b ) S i q e t I sont des homéomorphismes l o c a u x , a l o r s f o e t l g d é -
f i n i s s e n t d e s f a i s c e a u x s u r U ( f ) .
S i l ' o n D o s e :
- - + -
t o t ' o t o - ' g * ' o
r o ( r , i ) = ( Y , i . Y - r )
- 8 -
r g : rlru-r'*rg
r u { v , i ) = (v,v.i)
f o e È t g d é f i n i s s e n È u n e s È r u c È u r e d e f - f a i s c e a u s u r f O e t f B . L e s a u t r e s e x e m p l e s u t i l e s s e r o n t d e s f - f a i s c e a u K d e g r o u p e s a b é l i e n s , 0 " . _
" a l l o n s ' d é f i n i r .
D é f i n i t i o n :
U n f - f a i s c e a u a b é l i e n e s t u n f a i s c e a u d e g r o u p e s a b é l i e n s , m u n i d ' u n e s t r u c t u r e d e f - f a i s c e a u , t e l q u e p o u r t o u t Y € f , f ( V ) s o i t u n i s o m o r p h i s m e d e g r o u p e s .
E x e m p l e :
P o u r f = t ; o n p e u t c o n s i d é r e r l e s f a i s c e a u x d e s g e r m e s d e c h a m p s d e v e c E e u r s T ( I R n ) e t l e f a i s c e a u d e s f o r m e s d i f f é r e n t i e l l e s d e d o = P
ç P ( r n t ) s u r U ( f ; = P n .
O n p e u t l e s n u n i r d t u n e s t r u c t u r e d e f - f a i s c e a u .
S i f € f l e t E e s t u n g e n n e d e c h a m p s d e v e c È e u r s e n q ( Y ) , o n p o - s e r a f ( V ) . E f i m a g e d i r e c t e d e E P a r l e d i f f é o r o o r p h i s m e Y '
D e m ê n e s i y € f e t o e s t u n g e n D e d e p - f o r m e d i f f é r e n t i e l l e e n q ( y ) , o n p o s e r a f ( y ) . t r l = T * t
( r ) , c e q u i d é f i n i t b i e n u n g e r m e d e p - f o r m e d i f f é r e n t i e l l e e n B ( V ) .
L e s m o r p h i s m e s d e l - f a i s c e a u x :
R a p p e l o n s q u t u n m o r p h i s m e @ e n È r e d e u x f a i s c e a u x F e t F t a u - d e s s u s d e U ( f ) e s t u n m o r p h i s m e d ' e s p a c e s é t a l é s :
f --9.-. F'
rr , /
\ ,/n'
u (r )
( p s e r a u n m o r p h i s m e c o u r n u t e à 1 ' a c E i o n d e f .
- 9 -
d e f - f a i s c e a u x ( o n d i r a P l u s p r é c i s é m e n t :
a u s s i l - m o r p h i s m e ) s ' i 1
D é f i n i t i o n :
S o i e n t ( F ) f ) e t ( F ' , f ' ) d e u x f - f a i s c e a u x . U n m o r p h i s m e d e f a i s c e a u x t p : F ' + F r e s t u n m o r p h i s m e d e f - f a i s c e a u x s i I ' o n a p o u r t o u t ( V , € ) € f q * F
ç ( f ( Y ) .6 ) = f ' ( Y ) .a(E)
A u t r e . n e n t d i t , 1 e d i a g r a t n r n e c i - d e s s o u s
f l g * F
I
l a s v
' --3---+ ç l lg*F'
conmut,e :
'"1
iû*F fo*F\ ] ' .
, i :
a v e c a o ( y , E ) = ( r , ç ( E ) ) , t o ' ( r , 6 ) = ( t , p ( E ) ) .
D é f i n i t i o n :
U n m o r p h i s m e t p e n t . r e d e u x l - f a i s c e a u x a b é l i e n s e s t u n n o r p h i s m e d e f - f a i s c e a u x a b é t i e n s s i A e s t à l a f o i s u n m o r p h i s m e d e f - f a i s c e a u x e E u n m o r p h i s m e d e f a i s c e a u x d e g r o u p e s a b é l i e n s , a u t r e x û e n t d i t , i l f a u t q u e l a r e s t r i c t i o n d e t p à c h a q u e f i b r e s o i E u n h o m o m o r p h i s m e d e g r o u P e s .
C e s n o t i o n s d e m o r p h i s n e c o n f è r e n t a u x f - f a i s c e a u x ( r e s p . a u x f - f a i s - c e a u x a b é 1 i e n s ) u n e s t r u c t u r e d e c a t é g o r i e .
N o u s a 1 l o n s m a i n t e n a n t v o i r q u e l l e s s o n t l e s p r o p r i é t é s i n t é r e s s a n È e s d e c e t t e c a t é g o r i e ( È o u s l e s d é t a i l s s o n t d a n s l a t h è s e d e R o g e r [ 1 0 ] ) .
P r o p o s i t i o n :
L a c a t é g o r i e d e s f - f a i s c e a u x a b é l i e n s e s t u n e c a t é g o r i e a d d i t i v e .
a : \
. - , ; . . \
- l 0 -
N o u s a l l o n s r a p p e . ' - e r b r i è v e m e n t l a n o t i o n d e c a t é g o r i e a d d i t i v e , p o u r p l u s d e d é t a i l s , v o i r G o d e m e n t [ 3 ] o u M a c - L o r e [ 9 ] .
U n e c a t é g o r i e V e s t d i t e a d d i t i v e s i p o u r t o u t X , Y € U ,
t l o m t 6 ( X , Y ) p e u t ê t r e m u n i d e l a s t r u c t u r e d e g r o u p e s a b é l i e n s e t s i e n p l u s i r a p p l i c a E i o n c a n o n i q u e :
o m ( x , Y ) x H o m ( Y , Z ) - H o m ( X , Z )
e s E b i l i n é a i r e .
L a d é m o n s t r a t i o n d e l a p r o p o s i t i o n c i - d e s s u s f i g u r e d a n s I t O ] .
L a l o i d e g r o u p e d e H o m r ( F , F ' ) ( e n s e m b l e d e s f - m o r p h i s m e s e n È r e d e u x l - f a i s c e a u x a b é l i e n s ( F , f ) e t ( F ' , f " ) e s t d é f i n i e p a r :
( o r . o r ) ( x ) = ( p r ( x ) . ( p r ( x ) P o u r x € F e t 9 1 , Ç 2 € H o m r ( F , F ' )
O n p e u t a i s é m e n t d é f i n i r l e p r o d u i t d i r e c t d e d e u x l - f a i s c e a u x a b é 1 i e n s ( F , f ) e t ( F t , f ' ) . O n m u n i t a l o r s l e f a i s c e a u p r o d u i t F x F ' d e l r a c t i o n é v i d e n t e d e f :
( f x f r ) ( y ) ( 6 , 1 ) = ( f ( T ) . E , f ' ( r ) . n ) .
L e p r o d u i È t e n s o r i e l d e d e u x f - f a i s c e a u x a b é l i e n s s e d é f i n i t d e l a m ê n e f a ç o n : s u r l e f a i s c e a u p r o d u i t t e n s o r i e l F € F t , o D c o n s i d è r e l t a c -
t i o n d e f d é f i n i e p a r :
( f o f ' ) ( Y ) ( E e n ) = f ( Y ) . E @ f ' ( r ) . n
L e f - f a i s c e a u a b é l i e n ( F e F r , f e f ' ) v é r i f i e l a p r o p r i é t é u n i v e r - s e l l e h a b i t u e l l e d e s p r o d u i t s t e n s o r i e l s .
E x e m p l e :
P o u r | = f - o n a l e f a i s c e a u p r o d u i t t e n s o r i e l T ( a ' n ) e Q t ( R n )
- l t
e t 1 e m o r p h i s m e d ' é v a l u a E i o n :
T ( R n ) 6 o r ( I R t ) - n '
l q e o ) - u . r ( E )
l R é t a n t l e f - f a i s c e a u t r i v i a l d e f i b r e I R s u r I R n . ' - C e m o r p h i s m e e s t u n n o r p h i s m e d e f - f a i s c e a u x a b é l i e n s .
E x e m p l e :
S o u s l e s m ê m e s h y p o t h è s e s , l e p r o d u i t e x t é r i e u r d e s f o r m e s d i f f é r e n - t i e l l e s d é f i n i t b i e n u n m o r p h i s m e d e f - f a i s c e a u x a b é l i e n s .
a P ( a 1 t ) e e e ( r R t ) - o P + q ( n R n ) .
E n e f f e t l e c h a n g e n e n t d e v a r i a b l e c o r n m u t e a u p r o d u i t e x t é r i e u r :
T - t * ( o r n o r ) = y 1 * { r r ) , . T - t * { o r ) .
P r o p o s i t i o n :
A v e c l e p r o d u i r d i r e c t , I a c a t é g o r i e d e s f - f a i s c e a u x a b é l i e n s e s t u n e c a t é g o r i e a b é l i e n n e .
L a d é m o n s t r a t i o n d e l a p r o p o s i t i o n r e v i e n t à é t a b l i r q u e È o u È m o r p h i s m e I d e f - f a i s c e a u x a b é l i e n s ( F , f )
n o y a u . L t i d é e e s t d e c o n s i d é r e r l e n o y a u N e t l e c o n o y a u C d e A d a n s l a c a E é g o r i e d e s f a i s c e a u x d e g r o u p e s a b é l i e n s e t d e l e s m u n i r d t u n e a c t i o n d e l , d e m a n i è r e à o b t e n i r u n e s u i È e e x a c t e d e f - f a i s c e a u x a b é l i e n s .
- 1 2 -
C H A P I T R E II : H O M O M O R P H I S M E C L A S S I O U E
F o N c T E U R I M A G E n É c t P R o o u E E T
F O N C T E U R I M A G E D I R E C T E P O U R L E S f . F A I S C E A U X
\
E E a n Ë d o n n é u n e a p p l i c a t i o n c o n t i n u e f : X - + Y d t e s p a c e s t o p o l o g i - q u ê s , n o u s r a p p e l o n s i c i b r i è v e m e n È l e s n o È i o n s d ' i m a g e d i r e c t e e t d r i m a g e r é c i p r o q u e d ' u n f a i s c e a u . P o u r p l u s d e d é t a i l s v o i r [ 3 ] e t t l ] .
I . - I M A G E D I R E C T E D I U N F A I S C E A U
S o i t f u u n f a i s c e a u d e b a s e X e È f : X + Y u n e a p p l i c a t i o n c o n - t i n u e e n t r e e s p a c e s E o p o l o g i q u e s . N o u s p o u v o n s a l o r s d é f i n i r u n f a i s c e a u
f | ( f t ) d e b a s e Y d e l a f o r m e s u i v a n t e : P o u r t o u È o u v e r t V c Y o n p o s e :
f , ( d ) ( v ) = f t G - ' ( v ) )
e t p o u r V ' c V " o n d é f i n i t l r a p p l i c a t i o n d e r e s t r i c È i o n
f r ( v " ) - f , ( f t ) ( v ' )
c o û m e é t a n t l t a p p l i c a t i o n d e r e s t r i c t i o n
f r G - , (v , , ) ) - t r $ - t ( v , ) ) .
L e s a x i o m e s d e f a i s c e a u x s o n t a l o r s v é r i f i é s d e f a ç o n é v i d e n t e .
2 . - I M A G E R E C I P R O q U E D ' U N F A I S C E A U
f : X - + Y e s t u n e a p p l i c a t i o n c o n t i n u s s e n T m e p r é c é d e u m e n t '
G é È a n t u n f a i s c e a u d e b a s e Y , n o u s a l l o n s d é f i n i e u n f a i s c e a u f * ( 9 ) d e b a s e x .
- t 3 -
G e s t d o n c t r n e s D a c e é t a L ê a u d e s s u . s d e Y ' P o u r U o u v e r t d a n s X , P o s o n s :
f * ( G ) ( u ) = { s ' ! u - + 6 / " ' ( x ) e d J ( r ( x l ) }
o n d é f i n i t l e s o p é r a t i o n s d e r e s t r i c t i o n d e f a ç o n é v i d e n t e e t o n v é r i f i e q u e l t o n a d é f i n i a i n s i u n f a i s c e a u d e b a s e X a p p e l é l e f a i s c e a u i m a g e r é ô i p r o q u e d u f a i s c e a u @ t f * ( 6 3 ) .
3.- HOttOUOnpUtSMES DE GROUPES : IMAGE RECIPROQUE ET IMAGE DIRECTE DE MODULES
S o i e n t G e t G ' d e u x g r o u p e s d i s c r e t s . N o u s a l l o n s d é f i n i r I ' i m a g e r é c i p r o q u e e t f i m a g e d i r e c t e d e m o d u l e s u r G e t G ' . R a p p e l o n s q u e l ' o n a p p e l l e G - m o d u l e u n g r o u p e a b é l i e n M e t u n h o m o m o r p h i s m e h : G - + A u E ( M ) ' L e n o d u l e M e s È d i r t r i v i a l s i K e r h = G . P o u r p l u s d e d é È a i l s , v o i r t B l .
a) Isese-rÉglprsgge-Èlge-91:Eegsle
S o i t g : G - + G r u n h o m o m o r p h i s r n e d e g r o u p e s e t M u n G ' - m o d u l e a v e c h : G ' + A u t ( M ) . O n a p p e l l e i n a g e r é c i p r o q u e d u G r - m o d u l e M 1 e G - m o d u l e n o E é A * ( M ) a y a n t l e m ê r n e g r o u p e s o u s - j a c e n t q u e M e t Pour représentagion d e G l a r e p r é s e n t a Ë i o n
h o { P : G + A u È ( M ) .
Q u a n d i l n t y a u r a p a s r i s q u e d e c o n f u s i o n , l t i m a g e r é c i p r o q u e d u m o d u l e M e s t é g a l e m e n t n o t é M .
L r a c t i o n d e G s u r M e s t 1 a s u i v a n t e :
V g € G , t m € M g . t d 9 f o ( f l . n
O n p e u t d r a i l l e u r s v é r i f i e r d i r e c t e n e n t q u e c e t t e d é f i n i t i o n m u n i È M d e l a s t r u c t u r e d e G - r o o d u l e .
- t 4 -
b ) I m a g e d i r e c t e d ' u n G - m o d u l e
s o i t ( o : G + G ' u n h o m o r o o r p h i s m e d e g r o u p e . o n a p p e l l e a l g è b r e d u g r o u p e G ' I ' a l g è b r e
' / l , , t c ' ) = {nrei+nrgj+. . . + n o s i / n , € t I , t l € G ' }
. t l l , r l C ' ) e s È , u n G r - m o d u l e d e f a ç o n é v i d e n t e . D e p l u s 1 ' h o m o r o o r p h i s r n e A m u n i t ' t r r l e ' ] de Ia st,ructure de G-nodule- Si M est un G-module, n o u s d é f i n i s s o n s a l o r s A , ( M ) ( i m a g e d i r e c t e d u m o d u l e M p a r A ) d e l a
f a ç o n s u i v a n È e :
(p, (M) = [rr oc alc'].
a r ( M ) e s E u n G t - m o d u l e : ( r o o g t ) g " = m o g ' 8 " o ù m € M e t 8 ' 1 8 "
s o n t d e u x é l é m e n t s d e G ' .
N o u s a v o n s d e u x c a s i n t é r e s s a n t s :
- s i g e s È , s u r j e e È i f : g 3 G + G / 1 . 9 , ( M ) e s t l e s o u s - m o d u l e d e M d é f i n i p a r :
A , ( M ) = { m € M / k r n = m V k € K } . E x e m p l e :
S o i t g : p + I R T a [ p l a p r o j e c t i o n c a n o n i q u e e t s o i t C ( n t ) I ' e s p a c e d e s f o n c t i o n s c o n t i n u e s s u r I R . C ( R ) e s È u n l R - m o d u l e p a r 1 ' a c t i o n s u i - v a n E e :
I R x C ( I R ) + C ( I R ) ( t , f ) - f t
o ù f Ë e s t l a f o n c E i o n c o n t i n u e s u r I R d é f i n i e p a r :
v x € I R r ï * ) = f ( t + x ) .
f o n c t i o n s p é r i o d i q u e s d e p é r i o d e l '
L t e s p a c e d e s f o n c t i o n s c o n t i n u e s s u r I R d e s f o n c t i o n s d e P é r i o d e l '
- u n a u t r e c a s i r n p o r t a n E e s È c e l u i o ù t p : G + G ' e s t i n j e c t i f '
g 1 ( M ) e s t a l o r s 1 ' e x t e n s i o n d u m o d u l e M à G " U n e x e m p l e t y p i q u e e s t c e l u i ' o ù i : I R - G e s t f i n c l u s i o n c a n o n i q u e e t M e s t a l o r s u n I R - e s p a c e v e c Ë o r i e l e t 9 , ( M ) e s t s o n c o m p l e x i f i é
r o . ( M ) = I ' t o - C .
ll(
D a n s l e c a s g é r 1 ê r a l , t p e s t l e c o r n p o s é d e q J . : G + I m Q e t c l e É ' : I m t p + ç r o ù '
q r e s t s u r j e c t i f e t t l l ' i n j e c t i f
o n v o i t a l o r s q u e 9 l ( M ) e s t l | e x t ' e n s i o n à G , d u I m ç - m o d u l e } ë o ù K = K e r t p .
4 . - I M A G E R E C I U E E T I | { A G E D I R E C T E D ' U N r - F A I S C E A U D A N S L E C A S D I U N HOMOMORP}ITSME Cr-AS S IQIJE
N o u s v e n o n s d e v o i r 1 e s c o n s t r u c t i o n s d e l t i m a g e d i r e c t e e t d e f i r a a g e r é c i p r o q u e d r u n f a i s c e a u p a r u n e a p p l i c a t i o n c o n t i n u e d ' u n e p a r E ' c e l l e s d e l , i m a g e r é c i p r o q u e e t d e f i m a g e d i r e c t e d e m o d u l e s p a r d e s h o m o m o r p h i s m e s d e g r o u p e s d , a u È r e p a r t . N o u s a 1 l o n s c o m b i n e r c e s d e u x c o n s t r u c t i o n s p o u r c o n s t r u i r e l , i m a g e r é c i p r o q u e e È I t i m a g e d i r e c t e d ' u n r - f a i s c e a u d a n s l e c a s d , u n h o m o m o r p h i s m e c l a s s i q u e d e g r o u p o i d e s .
p ! ( c ( R ) ) = c ( R / L
a) Ieese-r9glereqge-Èe-I:lelggeeg
S o i t F : f + I t u n f o n c t e u r c o n t i n u s o i t M u n f t - f a i s c e a u s u r l t e s p a c e d e s u n f a i s c e a u s u r U e s P a c e d e s u n i t é s d e d e f a ç o n é v i d e n t e .
S o i t e n e f f e t T : x + Y r Y € f ' L a e s Ë ( F * ( M ) ) x = ( M ) r ( x ) .
- 1 5 -
e s t l e s o u s - m o d u l e d e C ( R ) c o n s t i t u é P a r l e s
i n d u i t s u r S ' l e m o d u l e
d e c a t é g o r i e s t o P o l o g i q u e s e t u n i t é s u ' d e f ' . F * ( M ) e s t f . C t e s t d e P l u s u n l - f a i s c e a u f i b r e e n x d u f a i s c e a u F * ( M )
- 1 6 -
D e m ê m e ( F * ( M ) ) y = ( " ) r ( r ) , d é f i n i s s o n s u n i s o m o r p h i s m e n o r é e n c o r e y e n t r e ( F + ( M ) ) x e r ( F * ( M ) ) . * , p a r c e l u i d e f ( f ) : M e s r e n e f f e r u n
i t - f a i s c e a u .
N o u s a v o n s d o n c 1 à u n e a c t i o n d e f s u r F * ( M ) e t i l e s t c l a i r q u e c e t È e a c t i o n d é p e n d c o n t i n û r n e n t d e x , y e t y c a r l e f o n c t e u r F e s t c o n t i n u .
F * ( M ) e s t ' d o n c b i e n u n f - f a i s c e a u .
b) Ieege-diregge-4lge-I:!eieeess-per-ss-beseeerphieee-eleeqiggs
S o i e n t f e t f ' d e u r g r o u p o i d e s È o p o l o g i q u e s e t F : f + I ' u n f o n c t e u r c o n È i n u .
S i x € f a p p e l o n s O r b i t e ( x ) l r e n s p m b l e s u i v a n t : o r b i t e ( x ) = { y € u / r r € / q ( T ) = x , B ( y ) = y } .
S u p p o s o n s q u t e n o u È r e l e f o n c t e u r F v é r i f i e l a c o n d i t i o n s u i v a n Ë e :
V x ' € U ' ; V x € U v é r i f i a n t F ' ( x ) = x ' , a l o r s
r - I
( o r b i t e ( * ' ) ) = o r b i t e ( x ) .
Q f l 7 é t a n t u n f - f a i s c e a u s u r U , n o u s a l l o n s c o n s t r u i r e u n l ' - f a i s c e a u r r ( 1 0 ) s u r U r q u e n o u s a p p e l l e r o n s l t i m a g e d i r e c t e d e Ç n p a r l t h o m o m o r - p h i s n e F . I I L
" t t é t a l é a u - d e s s u s d e U , s o i t r z Ç l l , - t l .
W t c U ' , V ' o u v e r t , l e g r o u p e d e s s e c È i o n s d e f l ( 4 I D a u - d e s s u s d e V r e s t d é f i n i d e l a f a ç o n s u i v a n t e :
S o i t
" r l , u n e s e c t i o n d u f a i s c e a u t ' - L u ' a u - d e s s u s d e V ' . S o i t
" ï , u n e s e c t i o n d u f a i s c e a u q r ( B * ( r * ( 0 0 ) ) ) a u - d e s s u s d e v t v ' ( r ' * ( 4 t 1 , ) e s t f i m a g e d i r e c t e d e c l r u p a r F a p p . c o n t i n u e ) . N o t o n s : s ' e s " d g f
( s t r s " ) / - o ù l a r e l a t i o n d ' é q u i v a l e n c e e s t l a s u i v a n c e :
( s ' , s " ) e s t u n e f a n i l l e : { ( m r y t ) a v e c F ( n ( m ) ) = q ( y ' ) , 8 ( . 1 ' ) = x ' € V ' ) .
a x
I
Y \
I
ft x . . b
_r>
- t 7 -
F
f (f ) IIrg
z./*r <^) 'o{
F ( b ) \
V'
x tC r e s t l t h y p o t h è s e q u e l t i m a g e r é c i p r o q u e d e I t o r b i t e d e x ' € u n e o r b i t e q u i p e r m e t d ' a f f i r m e r 1 ' e x i s E e n c e d e Y € f . E n e f f e t e t F ( n ( m b ) ) s o n t s u r u n e m ê m e o r b i t e d o n c n ( m . ) e t n ( m ' ) l e
S o i t s u r ( s ' , s " ) l a r e l a È i o n d r é q u i v a l e n c e s u i v a n E e :
( m o , y ' ) - ( r - ^ ( * b ) , T ' " r ( y ; ;
L e g r o u p e 1 1 ( 1 2 ) ( V ' ) e s t d é f i n i d e l a f a ç o n s u i v a n È e : F r ( 7 l D ( V ' ) = { s ' o s ' d é f i n i e s c o l l m e c i - d e s s u s j
E x p l i c i t o n s l a l o i d e g r o u p e s u r c e È e n s e m b l e F ! ( 4 4 t ) ( V ' )
V r e s t
r ( n ( m " ) )
s o n ! a u s s i
n ( m ' ' ) = x t x' / - ( /
vI n ( m , ) =x,
"?-ï""
"?l\1 Y':
s o i e n t ( r , . , y r ) e t ( m r , \ 2 ) g r 2 ( Q f u ) ( v ' ) , a v e c n ( m 1 ) = x , e t n ( m z ) = x z . C o n r n e F ( x t ) e t r ( x r ) s o n t s u r u n e m ê m e o r b i t e , x , e t x 2 l e s o n t a u s s i . D o n c i l e x i s t e y € f v é r i f i a n t c ( Y ) = x , e t 9 ( V ) = x 2 '
D é f i n i s s o n s m a i n t e n a n t l a l o i d e g r o u p e s u r F ! ( 1 & ) ( v ' ) : ( m ' T r ) . ( m 2 ' y 2 ) = ( m r + a - l m 2 , Y r ) .
S i V i c V i , n o u s a v o n s d e s o p é r a t i o n s d e r e s t r i c t i o n s é v i d e n È e s :
- 1 8 -
S i V i c V i , n o u s a v o n s d e s o p é r a t i o n s d e r e s t r i c t i o n s é v i d e n t e s
r t $ l D ( v i ) . * F t ( W ) ( v i ) .
N o u s a v o n s d o n c u n f a i s c e a u s u r U ' d o n C l a f i b r e e n x t € U r e s t :
( F r (0 0 ) ) * , = { < i } l r ( n ( m ) ) = q ( v ) , 8 ( v ) = x ' }
v l
S i d e p l u s x ' 4 y ' e s t u n é l é n e n t d e f ' , i l d é f i n i t u n i s o m o r - p h i s n e d e g r o u p e s :
G r 9 l L ) ) * , € ( F r ( f r ? r ) r '
( n r v ) - - - > ( n , Y ' o Y )
c a r 1 ' a p p l i c a t i o n ( m , V ) - ( m , Y t o Y ) e s È c l a i r e l o e n E c o m p a t i b l e à l a r e l a t i o n d t é q u i v a l e n c e q u e n o u s a v o n s d é f i n i e .
5.- FONCTEUR ADJOINT
S o i e n t X b e t ç d e u x c a t é g o r i e s ' n o u s d i r o n s q u e l e f o n c t e u r
T , V - û e s t l ' a d j o i n t à d r o i t e d e S t & - Y s i n o u s a v o n s u n e é q u i - v a l e n c e n a r u r e l l e h o m r g ( A , T ( C ) ) ^ , h o m É , ( s ( A ) , c ) o ù A e c C s o n t d e u x o b j e t s d e * e t t "
- r e s p e c t i v e n e n È .
( P o u r p l u s d e d é t a i l s v o i r [ 7 ] e Ë
t e l ) .
Exemple :
S i ^ e s t u n
" . r r . " . r ,
, , 1 6 n l a c a t é g o r i e d e s  - m o d u l e s l e f o n c t e u r T : C + H o m ( B , C ) e s t l ' a d j o i n t d u f o n c t e u r S : A + A e B c a r
H o m ( A e B , C ) È H o n ( A , H o m ( B , C ) ) .
- t a -
E x e m p l e :
S o i t Y l a c a t é g o r i e d o n t l e s o b j e t s s o n t l e s e n s e m b l e s e t l e s m o r - p h i s m e s s o n t l e s a p p l i c a t i o n s . L ' a d j o i n t d u f o n c t e u r F z Ê - o b n q u i à u n e n s e m b l e a s s o c i e l e À - m o d u l e l i b r e e n g e n d r é p a r c e t e n s e m U l e e s t t e f o n c t e u r C : , ' ( o n - f - q u i ? : u n m o d u l e a s s o c i e I ' e n s e m b l e s o u s - j a c e n t .
E x e m p l e :
S o i t 1 L l a c a È é g o r i e d e s g r o u p e s a b é l i e n s d é f i n i p a r : G C = H o n l ; ( Â , C ) .
G a p o u r f o n c t e u r a d j o i n t l e f o n c t e u r F : s t r u c t u r e d e  - m o d u 1 e .
c , l l u - % n l e f o n c t e u r
cvùL -'lL
q u i o u b l i e l aE x e m p l e :
S i f : X + Y e s t u n e a p p l i c a t i o n c o n È i n u e e n t r e e s p a c e s t o p o l c g i q u e s , l e f o n c t e u r f * q u i à u n f a i s c e a u d e g r o u p e s a b é l i e n s s u r Y a s s o c i e s o n i m a g e r é c i p r o q u e e s t 1 ' a d j o i n È à g a u c h e d u f o n c t e u r f * ( i m a g e d i r e c t e ) q u i à u n f a i s c e a u s u r X a s s o c i e l e f a i s c e a u i m a g e d i r e c t e s u r Y . S i F e s t u r r f a i s c e a u s u r X , G e s t u n f a i s c e a u s u r Y , n o u s a v o n s
h o r a ( f + ( c ) , F ) È h o m ( G , f * ( F ) ) .
a d o e t t a n t u n f o n c t e u r a d j o i n t , a l o r s e t l e s p r o d u i t s f i b r é s .
P r e s e r -
S o i t G - m o d u l e , q u e l t o n a o ù N e s t
p : G - G / f a l o r s p ! ( M ) =
u n e b i j e c t i o n u n G t - m o d u l e .
h o m o m o r p h i s u e e s t f i m a g e
s u r j e c È i f du module
g r o u p e s e t M u n p a r p . M o n t r o n s d e
M
n a t u r e l l e e n t r e h o m a ( N , M ) - h o m a r (N , M * ) - h o m a ( N , f ) S i F e s t u n f o n c t e u r
v e l e s p r o d u i t s , l e s n o y a u x
a ) 4.di9gg!!qq-deeq-1e-qac-4!cqre!
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