Vecteurs de l espace

(1)

Vecteurs de l’espace

I. Vecteurs de l’espace

On étend à l’espace la définition et les propriétés des vecteurs étudiées dans le plan.

PROPRIÉTÉS : Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs non nuls 𝑢⃗ et 𝑣 sont colinéaires si et seulement s’il existe un réel 𝑘 tel que 𝑣 = 𝑘𝑢⃗ . Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur de l’espace.

PROPRIÉTÉ : Caractéristique

𝐴 et 𝐵 étant deux points distincts de l’espace, la droite (𝐴𝐵) est l’ensemble des points 𝑀 de l’espace tels que 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ soient colinéaires.

On dit que 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ est un vecteur directeur de la droite (𝐴𝐵).

DÉFINITION : Vecteurs coplanaires

Trois vecteurs non nuls 𝑢⃗ , 𝑣 et 𝑤⃗⃗ sont coplanaires si et seulement leurs représentants de même origine 𝐴 ont des extrémités 𝐵, 𝐶 et 𝐷 telles que 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 appartiennent à un même plan.

PROPRIÉTÉ : Caractéristique

𝐴, 𝐵 et 𝐶 étant trois points non alignés de l’espace, le plan (𝐴𝐵𝐶) est l’ensemble des points 𝑀 de l’espace tels que :

𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛽𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ , avec 𝛼 et 𝛽 deux nombres réels.

On dit que 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ dirigent le plan (𝐴𝐵𝐶).

PREUVE

𝐴, 𝐵 et 𝐶 ne sont pas alignés. Les vecteurs 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ n’étant pas colinéaires, (𝐴 ; 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ) est donc un repère du plan (𝐴𝐵𝐶).

• Si 𝑀 appartient à (𝐴𝐵𝐶), alors 𝑀, 𝐴, 𝐵 et 𝐶 étant coplanaires, il existe 𝛼 et 𝛽 deux nombres réels tels que 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛽𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ .

• Réciproquement, si 𝑀 est un point de l’espace tel que

𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛽𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ , avec 𝛼 et 𝛽 deux nombres réels, alors il existe un point 𝑁 de la droite (𝐴𝐵) tel que 𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ .

𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛽𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ⇔ 𝑁𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛽𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑀 est donc un point de la droite parallèle à (𝐴𝐶) passant par 𝑁.

Donc, comme 𝑁 ∈ (𝐴𝐵𝐶), 𝑀 ∈ (𝐴𝐵𝐶).

PROPRIÉTÉ

Soit trois vecteurs non nuls 𝑢⃗ , 𝑣 et 𝑤⃗⃗ tels que 𝑢⃗ et 𝑣 ne sont pas colinéaires.

𝑢⃗ , 𝑣 et 𝑤⃗⃗ sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels 𝛼 et 𝛽 tels que 𝑤⃗⃗ = 𝛼𝑢⃗ + 𝛽𝑣 .

PREUVE

Soit 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝑀 les points de l’espace tels que 𝑤⃗⃗ = 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑢⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝑤⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ .

𝑢⃗ , 𝑣 et 𝑤⃗⃗ sont coplanaires si et seulement si 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝑀 sont coplanaires, c’est-à -dire si et seulement si il existe deux réels 𝛼 et 𝛽 tels que 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛽𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ⇔ 𝑤⃗⃗ = 𝛼𝑢⃗ + 𝛽𝑣 .

MÉTHODE 3 Démontrer que quatre points sont coplanaires (exo 41 page 287)

Il s’agit de démontrer que trois vecteurs sont coplanaires en écrivant l’un en fonction des deux autres.

(2)

Exercice d’application

Soit 𝐴𝐵𝐶𝐷 un tétraèdre, 𝐼 le milieu de [𝐴𝐵] ; 𝐸 et 𝐹 les points définis par 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ =²

3𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ =²

3𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ et G le point tel que 𝐵𝐶𝐺𝐷 soit un parallélogramme.

1. Exprimer les vecteurs 𝐼𝐸⃗⃗⃗⃗ , 𝐼𝐹⃗⃗⃗⃗ et 𝐼𝐺⃗⃗⃗⃗ en fonction de 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ . 2. En déduire qu’il existe deux réels 𝛼 et 𝛽 tels que 𝐼𝐺⃗⃗⃗⃗ = 𝛼𝐼𝐸⃗⃗⃗⃗ + 𝛽𝐼𝐹⃗⃗⃗⃗ . 3. En déduire que les points 𝐼, 𝐸, 𝐺 et 𝐹 sont coplanaires.

Correction

1.

𝐼𝐸⃗⃗⃗⃗ = 𝐼𝐴⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ = −¹

2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +²

3𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

𝐼𝐹⃗⃗⃗⃗ = 𝐼𝐴⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ = −¹

2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +²

3𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗

𝐼𝐺⃗⃗⃗⃗ = 𝐼𝐴⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐺⃗⃗⃗⃗⃗

= −¹

2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

= −¹

2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

= −³

2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

2. Il existe deux réels 𝛼 et 𝛽 tels que 𝐼𝐺⃗⃗⃗⃗ = 𝛼𝐼𝐸⃗⃗⃗⃗ + 𝛽𝐼𝐹⃗⃗⃗⃗ soit :

−3

2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝛼

2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +2𝛼

3 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ −𝛽

2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +2𝛽 3 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗

Pour obtenir cette égalité, il suffit de prendre 𝛼 et 𝛽 tels que :

−³

2= −^𝛼

2−^𝛽

2 et ²

3𝛼 = 1 et ²

3𝛽 = 1 , soit, 𝛼 =³

2 et 𝛽 =³

2. D’où 𝐼𝐺⃗⃗⃗⃗ =³

2𝐼𝐸⃗⃗⃗⃗ +³

2𝐼𝐹⃗⃗⃗⃗

3. On en déduit que les vecteurs 𝐼𝐸⃗⃗⃗⃗ , 𝐼𝐹⃗⃗⃗⃗ et 𝐼𝐺⃗⃗⃗⃗ sont coplanaires, donc les points 𝐼, 𝐸, 𝐺 et 𝐹 sont coplanaires.

5 - Repérage dans l’espace

THÉORÈME

Si 𝑂 est un point de l’espace et 𝑖 , 𝑗 et 𝑘⃗ trois vecteurs non coplanaires, alors pour tout point 𝑀 de l’espace, il existe un unique triplet de réels (𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧) tels que :

𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘⃗ . Preuve

• Existence

Soit ℘ le plan passant par 𝑂 et dirigé par les vecteurs 𝑖 et 𝑗 (qui ne sont pas colinéaires car 𝑖 , 𝑗 et 𝑘⃗ sont non coplanaires).

Soit 𝑀^′ le point d’intersection de ℘ et de la droite parallèle à (𝑂𝑘⃗ ) passant par 𝑀.

𝑖 , 𝑗 et 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ^′ sont coplanaires avec 𝑖 et 𝑗 non colinéaires, donc il existe deux réels 𝑥 et 𝑦 tels que 𝑂𝑀^′

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 . D’autre part, 𝑀′𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝑘⃗ sont colinéaires, donc il existe un réel 𝑧 tel que 𝑀′𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑧𝑘⃗ . D’où 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀^′ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘⃗ ^′𝑀

• Unicité

Supposons qu’il existe deux triplets de réels (𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧) et (𝑥^′ ; 𝑦^′ ; 𝑧^′) tels que 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘⃗ = 𝑥^′𝑖 + 𝑦^′𝑗 + 𝑧^′𝑘⃗ .

On a alors (𝑧^′− 𝑧)𝑘⃗ = (𝑥 − 𝑥^′)𝑖 + (𝑦 − 𝑦^′)𝑗 .

(3)

Comme 𝑖 , 𝑗 et 𝑘⃗ ne sont pas coplanaires, il n’existe pas de couple de réels (𝛼 ; 𝛽) tels que 𝑘⃗ = 𝛼𝑖 + 𝛽𝑗 , on en déduit que 𝑧 − 𝑧^′= 0, et par suite, que 𝑥 = 𝑥^′, 𝑦 = 𝑦^′ et 𝑧 = 𝑧^′.

DÉFINITION

(𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧) est le triplet de coordonnées du point 𝑀 dans le repère (𝑂 ; 𝑖 , 𝑗 , 𝑘⃗ ).

𝑥 est l’abscisse de 𝑀, 𝑦 est l’ordonnée de 𝑀 et 𝑧 est la cote de 𝑀.

(𝑥; 𝑦; 𝑧) sont aussi les coordonnées du vecteur 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dans le repère (𝑂 ; 𝑖 , 𝑗 , 𝑘⃗ ).

PROPRIÉTÉ

Dans un repère (𝑂 ; 𝑖 , 𝑗 , 𝑘⃗ ) de l’espace, soit 𝐴(𝑥_𝐴; 𝑦_𝐴; 𝑧_𝐴) et 𝐵(𝑥_𝐵; 𝑦_𝐵; 𝑧_𝐵). Alors : 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ (

𝑥_𝐵− 𝑥_𝐴 𝑦_𝐵− 𝑦_𝐴 𝑧_𝐵− 𝑧_𝐴

) et le milieu 𝐾 de [𝐴𝐵] a pour coordonnées : 𝐾 (^𝑥^𝐴^+𝑥^𝐵

2 ;^𝑦^𝐴^+𝑦^𝐵

2 ;^𝑧^𝐴^+𝑧^𝐵

2 ).

Si de plus (𝑂 ; 𝑖 , 𝑗 , 𝑘⃗ ) est orthonormé, 𝐴𝐵 = √(𝑥_𝐵− 𝑥_𝐴)²+ (𝑦_𝐵− 𝑦_𝐴)²+ (𝑧_𝐵− 𝑧_𝐴)². PROPRIÉTÉ

Dans un repère(𝑂 ; 𝑖 , 𝑗 , 𝑘⃗ ) de l’espace, soit 𝑢⃗ ( 𝑥 𝑦 𝑧

), 𝑣 ( 𝑥^′ 𝑦^′ 𝑧^′

) deux vecteurs et 𝑘 un nombre réel. Alors : 𝑢⃗ + 𝑣 (

𝑥 + 𝑥^′ 𝑦 + 𝑦^′ 𝑧 + 𝑧^′

) et 𝑘𝑢⃗ ( 𝑘𝑥 𝑘𝑦 𝑘𝑧

).

Si de plus (𝑂 ; 𝑖 , 𝑗 , 𝑘⃗ ) est orthonormé, ||𝑢⃗ || = √𝑥²+ 𝑦² + 𝑧².

MÉTHODE 4 La coplanarité de points en utilisant leurs coordonnées

Il s’agit de démontrer que trois vecteurs sont coplanaires en écrivant l’un des vecteurs en fonction des deux autres.

Exercice d’application

Dans un repère (𝑂 ; 𝑖 , 𝑗 , 𝑘⃗ ) de l’espace.

Démontrer que les points 𝐴(1 ; 2 ; 0), 𝐵(−1 ; 1 ; 1), 𝐶(1 ; 4 ; 1) et 𝐷(3 ; −1 ; −3) sont coplanaires.

Correction 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ (−2

−1

) ; 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (0 2 1

) et 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ (−2

−3

−3 ).

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ne sont pas colinéaires, car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles.

𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛽𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ⇔ {

−2 = −2𝛼

−3 = −𝛼 + 2𝛽

−3 = 𝛼 + 𝛽

⇔ {𝛼 = −1 𝛽 = −2.

Le système ayant un unique couple solution, les vecteurs 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ sont coplanaires, donc les points 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 sont coplanaires.

6 Représentation paramétrique de droites et de plans

Dans un repère (𝑂 ; 𝑖 , 𝑗 , 𝑘⃗ ) de l’espace, on considère la droite 𝒟 passant par 𝐴(𝑥_𝐴 ; 𝑦_𝐴 ; 𝑧_𝐴) et de vecteur directeur 𝑢⃗ (

𝛼 𝛽 𝛾

).

𝑀(𝑥; 𝑦; 𝑧) ∈ 𝒟 si et seulement si il existe un réel 𝑡 tel que :

(4)

{

𝑥 = 𝑥_𝐴 + 𝑡𝛼 𝑦 = 𝑦_𝐴+ 𝑡𝛽 𝑧 = 𝑧_𝐴+ 𝑡𝛾

Preuve

𝑀(𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧) ∈ 𝒟 si et seulement si 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝑢⃗ sont colinéaires, c’est-à -dire qu’il existe un réel 𝑡 tel que 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑡𝑢⃗ . Cela se traduit en terme de coordonnées par :{

𝑥 − 𝑥_𝐴 = 𝑡𝛼 𝑦 − 𝑦_𝐴 = 𝑡𝛽 𝑧 − 𝑧_𝐴 = 𝑡𝛾

⇔ {

𝑥 = 𝑥_𝐴+ 𝑡𝛼 𝑦 = 𝑦_𝐴+ 𝑡𝛽 𝑧 = 𝑧_𝐴 + 𝑡𝛾

DÉFINITION

On dit que le système d’équations : {

𝑥 = 𝑥_𝐴 + 𝑡𝛼 𝑦 = 𝑦_𝐴+ 𝑡𝛽 𝑧 = 𝑧_𝐴+ 𝑡𝛾

où 𝑡 ∈ ℝ est une représentation paramétrique de la droite 𝒟 passant par 𝐴(𝑥_𝐴; 𝑦_𝐴; 𝑧_𝐴) et de vecteur directeur 𝑢⃗ (

𝛼 𝛽 𝛾).

REMARQUE : Un exemple de cette définition est proposé dans l’exercice 50.

PROPRIÉTÉ

Dans un repère (𝑂 ; 𝑖 , 𝑗 , 𝑘⃗ ) de l’espace, le plan 𝒫 passant par 𝐴(𝑥_𝐴; 𝑦_𝐴; 𝑧_𝐴) et de vecteurs directeurs 𝑢⃗ (

𝛼 𝛽

𝛾) et 𝑣 ( 𝛼^′ 𝛽^′ 𝛾^′

).

𝑀(𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧) ∈ 𝒫 si et seulement si il existe deux réels 𝑡 et 𝑡^′ tels que : {

𝑥 = 𝑥_𝐴+ 𝑡𝛼 + 𝑡^′𝛼^′ 𝑦 = 𝑦_𝐴 + 𝑡𝛽 + 𝑡^′𝛽^′ 𝑧 = 𝑧_𝐴+ 𝑡𝛾 + 𝑡^′𝛾^′

Preuve

𝑀(𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧) ∈ 𝒫 si et seulement si 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑢⃗ et 𝑣 sont coplanaires, c’est-à -dire qu’il existe deux réels 𝑡 et 𝑡^′ tels que 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑡𝑢⃗ + 𝑡^′𝑣 . Cela se traduit en terme de coordonnées par :

{

𝑥 − 𝑥_𝐴 = 𝑡𝛼 + 𝑡^′𝛼^′ 𝑦 − 𝑦_𝐴 = 𝑡𝛽 + 𝑡^′𝛽^′ 𝑧 − 𝑧_𝐴 = 𝑡𝛾 + 𝑡^′𝛾^′

⇔ {

𝑥 = 𝑥_𝐴+ 𝑡𝛼 + 𝑡^′𝛼^′ 𝑦 = 𝑦_𝐴+ 𝑡𝛽 + 𝑡^′𝛽^′ 𝑧 = 𝑧_𝐴 + 𝑡𝛾 + 𝑡^′𝛾^′

.

On dit que le système d’équations : {

𝑥 = 𝑥_𝐴+ 𝑡𝛼 + 𝑡^′𝛼^′ 𝑦 = 𝑦_𝐴+ 𝑡𝛽 + 𝑡^′𝛽^′ 𝑧 = 𝑧_𝐴+ 𝑡𝛾 + 𝑡^′𝛾^′

où 𝑡 ∈ ℝ et 𝑡^′ ∈ ℝ est une représentation paramétrique du plan 𝒫 passant par

𝐴(𝑥_𝐴; 𝑦_𝐴; 𝑧_𝐴) et de vecteurs directeurs 𝑢⃗ ( 𝛼 𝛽 𝛾

) et 𝑣 ( 𝛼^′ 𝛽^′ 𝛾^′

).

REMARQUE : Un exemple de cette définition est proposé dans l’exercice ex 55.

REMARQUE : Il existe une infinité de représentations paramétriques, que ce soit pour une droite ou pour un plan.

MÉTHODE 5 Étudier des positions relatives (exo 58 page 288) Exercice d’application

(5)

Étudier les positions relatives des droites 𝑑 et 𝑑^′ puis du plan ℘ et de la droite 𝑑^′. On donnera leur intersection éventuelle.

Le plan ℘ a pour représentation paramétrique :{

𝑥 = 1 − 2𝑡 + 3𝑡^′ 𝑦 = −2 + 𝑡 − 𝑡^′ 𝑧 = 3 − 𝑡

avec 𝑡 ∈ ℝ et 𝑡^′ ∈ ℝ

Les droites 𝑑 et 𝑑^′ ont pour représentation paramétrique : 𝑑 : {

𝑥 = 2 + 4𝑡 𝑦 = 5 − 2𝑡 𝑧 = 1 + 2𝑡

avec 𝑡 ∈ ℝ et 𝑑^′ : {

𝑥 = 4 − 𝑡 𝑦 = −2 + 𝑡 𝑧 = 1 + 3𝑡

avec 𝑡 ∈ ℝ

Correction

Attention : la même lettre 𝑡 désigne deux paramètres différents. Il faut donc changer de lettre dans les résolutions de système pour les différencier.

℘ est dirigé par les vecteurs 𝑢⃗ (

−2 1

−1

) et 𝑣 ( 3

−1

−1 ).

𝑑 et 𝑑^′ ont pour vecteur directeur respectif 𝑤⃗⃗ ( 4

−2 2

) et 𝑤⃗⃗⃗⃗ (^′ −1 1 3

).

On remarque que 𝑤⃗⃗ = −2𝑢⃗ donc 𝑑 est parallèle à ℘.

Le point 𝐴(2 ; 5 ; 1) appartient à 𝑑. S’il appartient à ℘ alors 𝑑 ⊂ ℘, sinon 𝑑 est strictement parallèle à ℘.

Or, {

2 = 1 − 2𝑡 + 3𝑡^′ 5 = −2 + 𝑡 − 𝑡^′ 1 = 3 − 𝑡

⇔ {

−2𝑡 + 3𝑡^′ = 1 𝑡 − 𝑡^′= 7 𝑡 = 2

⇔ { 𝑡^′ =⁵

3

𝑡^′ = −5 𝑡 = 2

Le système n’ayant pas de solution, 𝐴 ∈ ℘ donc 𝑑 est strictement parallèle à ℘.

Déterminons maintenant ℘ ∩ 𝑑^′ : 𝑀 ∈ ℘ ∩ 𝑑^′⇔ il existe trois réels 𝑡, 𝑡^′ et 𝑘 tels que :

{

𝑥 = 1 − 2𝑡 + 3𝑡^′ 𝑦 = −2 + 𝑡 − 𝑡^′ 𝑧 = 3 − 𝑡 𝑥 = 4 − 𝑘 𝑦 = −2 + 𝑘 𝑧 = 1 + 3𝑘

⇔ {

4 − 𝑘 = 1 − 2𝑡 + 3𝑡^′

−2 + 𝑘 = −2 + 𝑡 − 𝑡^′ 1 + 3𝑘 = 3 − 𝑡

𝑥 = 4 − 𝑘 𝑦 = −2 + 𝑘 𝑧 = 1 + 3𝑘

⇔ {

−𝑘 + 2𝑡 − 3𝑡^′ = −3 𝑘 − 𝑡 + 𝑡^′= 0 3𝑘 + 𝑡 = 2 𝑥 = 4 − 𝑘 𝑦 = −2 + 𝑘 𝑧 = 1 + 3𝑘 En finissant la résolution du système, on obtient 𝑡^′ =¹⁴

5 ; 𝑡 =⁵²

20 et 𝑘 =⁻¹

5 = −0,2, ce qui nous donne 𝑥 = 4,2 ; 𝑦 = −2,2 et 𝑧 = 0,4.

Ainsi, ℘ et 𝑑^′ sont sécantes au point 𝐾(4,2 ; −2,2 ; 0,4)