Séries numériques. Chapitre 21. Sommaire GÉNÉRALITÉS

(1)

Chapitre 21

Séries numériques

Sommaire

I Généralités . . . 212

1) Définitions . . . 212

2) Premières propriétés . . . 213

3) Séries géométriques. . . 214

II Séries à termes positifs. . . 215

1) Critère de convergence . . . 215

2) Théorèmes de comparaison . . . 215

3) Comparaison avec une intégrale. . . 216

III Séries à termes quelconques . . . 217

1) Séries absolument convergentes . . . 217

2) Séries alternées . . . 217

3) Séries obtenues par une formule de Taylor . . . 218

IV Solution des exercices . . . 219

I GÉNÉRALITÉS

Dans tout le chapitre𝕂désigneℝouℂ. On cherche à généraliser la notion de somme d’éléments de𝕂à un nombre infini de termes.

1) Définitions

Soit(𝑢_𝑛)_𝑛∈ℕune suite d’éléments de𝕂. On appellesérie de terme général𝑢_𝑛 la suite(S_𝑛)_𝑛∈ℕ définie parS_𝑛 = ∑^𝑛

𝑘=0

𝑢_𝑘. Le nombreS_𝑛est appelésomme partielle de rang𝑛(d’ordre𝑛) de la série. La série de terme général𝑢_𝑛est notée ∑

𝑛∈ℕ

𝑢_𝑛. Définition 21.1

ZExemples: – ∑

𝑛⩾0

𝑞^𝑛: série géométrique de raison𝑞.

– ∑

𝑛∈ℕ 𝑧^𝑛

𝑛! avec𝑧 ∈ 𝕂: série exponentielle.

– ∑

𝑛⩾1 1

𝑛^α oùα ∈ ℝ: séries de Riemann.

Remarque 21.1 – L’ensemble des séries de𝕂n’est autre queℱ(ℕ, 𝕂). Pour les opérations usuelles sur les suites, on sait que c’est un e.v. sur𝕂. Soient ∑

𝑛∈ℕ

𝑢_𝑛et ∑

𝑛∈ℕ

𝑣_𝑛 deux séries,λ ∈ 𝕂, la somme des deux séries

∑

𝑛∈ℕ

𝑢_𝑛+ ∑

𝑛∈ℕ

𝑣_𝑛est la série de terme général𝑢_𝑛+ 𝑣_𝑛, et la sérieλ ∑

𝑛∈ℕ

𝑢_𝑛est la série de terme généralλ𝑢_𝑛.

(2)

Généralités Chapitre 21 : Séries numériques

• On dit que la série de terme général𝑢_𝑛estconvergentelorsque la suite des sommes partielles (S_𝑛)_𝑛∈ℕest convergente. Si c’est le cas, la limite de la suite des sommes partielles est appelée somme de la sérieet notée ^+∞∑

𝑛=0𝑢_𝑛. On a donc ^+∞∑

𝑛=0𝑢_𝑛 = lim

𝑛→+∞S_𝑛 = lim

𝑛→+∞

∑𝑛 𝑘=0

𝑢_𝑘. La différence entre la somme de la série et la somme partielleS𝑛 est appelée reste de rang𝑛, notéR𝑛 =

+∞∑

𝑛=0

𝑢_𝑛−

∑𝑛 𝑘=0

𝑢_𝑘=

+∞∑

𝑘=𝑛+1

𝑢_𝑘.

• Une série qui n’est pas convergente, est ditedivergente.

• Déterminer la nature d’une série, c’est déterminer si elle est convergente ou divergente.

Définition 21.2(convergence d’une série)

On prendra garde à ne pas confondre la notation ∑

𝑛∈ℕ

𝑢𝑛qui désigne la série (c’est à dire la suite des sommes partielles), avec la notation ^+∞∑

𝑛=0

𝑢_𝑛qui désigne la somme de la série,si celle-ci converge(c’est la limite des sommes partielles lorsque celle-ci existe dans𝕂).

Attention !

ZExemples:

– La série de terme général𝑢_𝑛 = 𝑛: S_𝑛 =

∑𝑛 𝑘=0

𝑘 = ^𝑛(𝑛+1)₂ donc limS_𝑛 = +∞et la série∑

𝑛∈ℕ𝑛est divergente.

– La série de terme général𝑢_𝑛 = (−¹₃)^𝑛:S_𝑛 =

∑𝑛 𝑘=0

(−¹₃)^𝑘= ¹⁻⁽¹³⁾

𝑛+1

1+¹₃ , or| −¹₃| < 1donc limS_𝑛 = ³₄. La série∑

𝑛∈ℕ(−¹₃)^𝑛 est convergente et sa somme est ^+∞∑

𝑛=0

(−¹₃)^𝑛 = ³₄.

★Exercice21.1 Étudier la nature de la série de terme général𝑢_𝑛= (−1)^𝑛.

2) Premières propriétés

L’application deφ ∶ ℱ(ℕ, 𝕂) → ℱ(ℕ, 𝕂)qui à chaque suite(𝑢_𝑛)_𝑛∈ℕ associeφ(𝑢) = Sla suite des sommes partielles

(

S_𝑛 = ∑^𝑛

𝑘=0

𝑢_𝑘 )

𝑛∈ℕ

est un automorphisme.

Théorème 21.1(lien suite-série)

Preuve: Soient𝑢et𝑣deux suites, etα ∈ 𝕂, soit (U_𝑛)la suite des sommes partielles de la série ∑

𝑛∈ℕ

𝑢_𝑛,i.e.

φ(𝑢) = U, et(V𝑛)la suite des sommes partielles de la série ∑

𝑛∈ℕ

𝑣𝑛,i.e.φ(𝑣) = V, alors∀𝑛 ∈ ℕ, ∑^𝑛

𝑘=0

(α𝑢𝑘+ 𝑣𝑘) = α

(∑_𝑛

𝑘=0

α𝑢_𝑘 )

+ (∑_𝑛

𝑘=0

+𝑣_𝑘 )

, donc(αU_𝑛+ βV_𝑛)est la suite des sommes partielles de la série ∑

𝑛∈ℕ

α𝑢_𝑛+ β𝑣_𝑛, c’est à dire φ(α𝑢 + 𝑣) = αφ(𝑢) + φ(𝑣). Ce qui prouve la linéarité.

Si𝑢 ∈ker(φ), alorsφ(𝑢) = 0i.e.∀𝑛 ∈ ℕ,U_𝑛= 0, ce qui entraîne que𝑢₀= U₀= 0,𝑢₁= U₁− U₀= 0, et plus généralement𝑢_𝑛= U_𝑛− U_𝑛−10, donc𝑢 = 0,φest injective.

Soit(𝑠𝑛)𝑛∈𝕂une suite, soit𝑢0= 𝑠0et pour𝑛 > 0,𝑢𝑛= 𝑠𝑛−𝑠𝑛−1, on a alors ∑^𝑛

𝑘=0

𝑢𝑘= 𝑠0+(𝑠1−𝑠0)+⋯+(𝑠𝑛−𝑠𝑛−1) = 𝑠𝑛

(somme télescopique), ce qui montre queφ(𝑢) = 𝑠, l’applicationφest donc surjective. □

L’ensemble des séries convergentes de𝕂est un espace vectoriel sur𝕂. De plus l’application qui à chaque série convergente associe sa somme, est (une forme) linéaire. Plus précisément, si ∑

𝑛∈ℕ

𝑢𝑛

et ∑

𝑛∈ℕ

𝑣_𝑛sont deux séries convergentes, alors∀α, β ∈ 𝕂, la série ∑

𝑛∈ℕ

α𝑢_𝑛+ β𝑣_𝑛est convergente et :

+∞∑

𝑛=0

α𝑢_𝑛+ β𝑣_𝑛= α^+∞∑

𝑛=0

𝑢_𝑛+ β^+∞∑

𝑛=0

𝑣_𝑛. Théorème 21.2(séries convergentes)

Preuve: Soit(U𝑛)la suite des sommes partielles de la série ∑

𝑛∈ℕ

𝑢𝑛et(V𝑛)la suite des sommes partielles de la série ∑

𝑛∈ℕ

𝑣_𝑛. Alors(αU_𝑛+ βV_𝑛)est la suite des sommes partielles de la série ∑

𝑛∈ℕ

α𝑢_𝑛+ β𝑣_𝑛. Le reste découle des

propriétés des suites convergentes. □

(3)

Généralités Chapitre 21 : Séries numériques

• La somme de deux séries divergentes peut très bien donner une série convergente (prendre deux séries divergentes opposées par exemple).

• La somme d’une série divergente et d’une série convergente est forcément une série divergente (raisonner par l’absurde).

Attention !

Soit ∑

𝑛∈ℕ

𝑢_𝑛 une série à terme complexe, celle-ci est convergente si et seulement si les deux séries réelles ∑

𝑛∈ℕ

Re(𝑢_𝑛)et ∑

𝑛∈ℕ

Im(𝑣_𝑛)sont convergentes, et auquel cas on a :^+∞∑

𝑛=0

𝑢_𝑛 = ^+∞∑

𝑛=0

Re(𝑢_𝑛) + 𝑖^+∞∑

𝑛=0

Im(𝑢_𝑛).

Théorème 21.3(convergence d’une série complexe)

Preuve: Soit(A𝑛)la suite des sommes partielles de la série ∑

𝑛∈ℕ

Re(𝑢𝑛)et(B𝑛)la suite des sommes partielles de la série ∑

𝑛∈ℕ

Im(𝑣_𝑛). Alors(U_𝑛+ 𝑖V_𝑛)est la suite des sommes partielles de la série ∑

𝑛∈ℕ

𝑢_𝑛. Le reste découle des

propriétés des suites complexes convergentes. □

Si la série ∑

𝑛∈ℕ

𝑢_𝑛converge alors on a nécessairement lim𝑢_𝑛 = 0, maisla réciproque est fausse.

Théorème 21.4(condition nécessaire de convergence)

Preuve: Soit(S_𝑛)la suite des sommes partielles, alors la suite(S_𝑛)converge versS_∞la somme de la série, d’où limU_𝑛− U_𝑛−1= S_∞− S_∞= 0, c’est à dire lim𝑢_𝑛= 0.

Pour la réciproque prenons𝑢𝑛= ^√¹_𝑛, alorsS𝑛=

∑𝑛 𝑘=1

√1

𝑘 ⩾ 𝑛^√¹_𝑛=√

𝑛, on en déduit queS𝑛→ +∞. La série est

divergente bien que le terme général𝑢_𝑛tende vers0. □

On dit que la série ∑

𝑛∈ℕ

𝑢_𝑛 divergegrossièrementlorsque le terme général ne tend pas vers0.

Définition 21.3

ZExemples: – La série ∑

𝑛∈ℕ

(−1)^𝑛est grossièrement divergente.

– La série ∑

𝑛∈ℕ 1

𝑛 (série harmonique) est divergente (mais pas grossièrement), en effetS_2𝑛− S_𝑛 =

∑2𝑛 𝑘=𝑛+1

1

𝑘 ⩾ _2𝑛^𝑛 = ¹₂. Si la série était convergente alors la suite(S_𝑛)convergerait vers la sommeS_∞, mais alorsS_2𝑛− S_𝑛 → S_∞− S_∞= 0, on aurait donc0 ⩾ ¹₂ ce qui est absurde. La série harmonique est donc divergente.

Rappel: dans le TD sur les suites, nous avons établi que ∑^𝑛

𝑘=1 1

𝑘 ∼ln(𝑛).

3) Séries géométriques

La série géométrique ∑

𝑛∈ℕ

𝑧^𝑛avec𝑧 ∈ ℂ, est convergente si et seulement si|𝑧| < 1, auquel cas sa somme est ^+∞∑

𝑛=0

𝑧^𝑛= _1−𝑧¹ .

Théorème 21.5(nature des séries géométriques)

Preuve: Si|𝑧| ⩾ 1alors|𝑧^𝑛| ⩾ 1et donc la suite(𝑧^𝑛)ne peut pas tendre vers0, la série est donc grossièrement divergente dans ce cas.

Si|𝑧| < 1, alorsS_𝑛= ∑^𝑛

𝑘=0

𝑧^𝑘= ^1−𝑧_1−𝑧^𝑛+1, or𝑧^𝑛+1→ 0car|𝑧| < 1, il en découle queS_𝑛→ _1−𝑧¹ . □ ZExemples:

– La série ∑

𝑛∈ℕ

(−¹₃)^𝑛est convergente et ^+∞∑

𝑛=0

(−¹₃)^𝑛 = ₁₊¹1 3 = ³₄. – La série ∑

𝑛∈ℕ

(−1)^𝑛est grossièrement divergente.

(4)

Séries à termes positifs Chapitre 21 : Séries numériques

Pour les séries géométriques convergentes on prendra garde à l’indice du premier terme avant d’appliquer la formule !

Attention !

II SÉRIES À TERMES POSITIFS

Dans ce paragraphe toutes les séries sont àtermes réels positifs. Pour ces séries, il faut remarquer que les sommes partielles formentune suite croissante. La définition peut s’étendre aux séries dont le terme général est réel positifà partir d’un certain rangseulement.

1) Critère de convergence

Une série à termes positifs est convergente si et seulement si la suite des sommes partielles est majorée dansℝ.

Théorème 21.6

Preuve: La série converge si et seulement si la suite(S𝑛)converge, or cette suite est croissante, on sait donc qu’elle converge si et seulement si elle est majorée. La résultat en découle. □ Remarque 21.2 –

• Lorsque la suite (S_𝑛) des sommes partielles n’est pas majorée, on a S_𝑛 → +∞ puisque cette suite est croissante.

• Le critère s’applique aux séries à termes positifsà partir d’un certain rang.

ZExemple: La série ∑

𝑛∈ℕ 1

𝑛² est convergente. En effet, pour𝑛 ⩾ 2on a _𝑘¹2 ⩽ _{𝑘(𝑘−1)}¹ = _𝑘−1¹ − ¹_𝑘, on en déduit queS_𝑛 ⩽ 1 +

∑𝑛 𝑘=2

1

𝑘−1 −¹_𝑘 = 2 −_𝑛¹, et par conséquentS_𝑛 ⩽ 2.

Le critère est en défaut lorsque la série n’est pas à termes positifs. Par exemple la série ∑

𝑛∈ℕ

(−1)^𝑛est divergente alors que ses sommes partielles sont bornées.

Attention !

2) Théorèmes de comparaison

Soient ∑

𝑛∈ℕ

𝑢_𝑛et ∑

𝑛∈ℕ

𝑣_𝑛deux séries telles qu’à partir d’un certain rangNon ait0 ⩽ 𝑢_𝑛 ⩽ 𝑣_𝑛, alors on a :

• Si la ∑

𝑛∈ℕ

𝑣_𝑛converge alors la série ∑

𝑛∈ℕ

𝑢_𝑛converge et on a ^+∞∑

𝑛=N

𝑢_𝑛⩽ ^+∞∑

𝑛=N

𝑣_𝑛.

• Si la série ∑

𝑛∈ℕ

𝑢_𝑛diverge alors la série ∑

𝑛∈ℕ

𝑣_𝑛 diverge.

Théorème 21.7

Preuve: D’après les hypothèses, on a

∑𝑛 𝑘=N

𝑢𝑘⩽

∑𝑛 𝑘=N

𝑣𝑘.

𝑛∈ℕ

𝑣_𝑛converge, alors(∑^𝑛

𝑘=0

𝑣_𝑘)converge et donc(∑^𝑛

𝑘=N

𝑣_𝑘)converge, cette suite est donc majorée par un certain réelM, on en déduit que la somme partielle de la série ∑

𝑛∈ℕ

𝑢𝑛est majorée, comme elle est à termes positifs à partir d’un certain rang, elle converge et l’inégalité sur les sommes en découle.

𝑛∈ℕ

𝑢𝑛diverge, alors(

∑𝑛 𝑘=N

𝑢𝑘)est croissante divergente, donc de limite+∞, on en déduit que(

∑𝑛 𝑘=0

𝑣𝑘) tend vers+∞, cette suite n’est donc pas majorée, donc la série ∑

𝑛∈ℕ

𝑣𝑛est divergente puisqu’elle est à terme positif

à partir d’un certain rang. □

ZExemples:

– La série de terme général _𝑛¹3 est convergente car _𝑛¹3 ⩽ _𝑛¹2 et celle-ci est une série est convergente.

– Si α < 1, alors la série de terme général _𝑛¹α est divergente car _𝑛¹ ⩽ _𝑛¹α et on sait que la série harmonique est divergente.

(5)

Séries à termes positifs Chapitre 21 : Séries numériques

Soient(𝑢𝑛)et(𝑣𝑛)deux suites à termes positifs (à partir d’un certain rang).

• Si𝑢_𝑛= O(𝑣_𝑛)et si ∑

𝑛∈ℕ

𝑣_𝑛converge, alors la série ∑

𝑛∈ℕ

𝑢_𝑛converge.

• Si𝑢_𝑛= O(𝑣_𝑛)et si ∑

𝑛∈ℕ

𝑢_𝑛diverge, alors la série ∑

𝑛∈ℕ

𝑣_𝑛diverge.

• Si𝑢_𝑛∼ 𝑣_𝑛alors les deux séries ∑

𝑛∈ℕ

𝑢_𝑛et ∑

𝑛∈ℕ

𝑣_𝑛sont de même nature.

Théorème 21.8(utilisation des relations de comparaison)

Preuve: Si𝑢𝑛= O(𝑣𝑛), alors il existe un réelM > 0tel qu’à partir d’un certain rang on ait𝑢𝑛⩽ M𝑣𝑛, les deux premiers points en découlent compte tenu du théorème précédent.

Si𝑢_𝑛∼ 𝑣_𝑛alors on a à la fois𝑢_𝑛= O(𝑣_𝑛)et𝑣_𝑛= O(𝑢_𝑛). Le résultat en découle. □ Remarque 21.3 – Les deux premiers points du théorème s’appliquent aussi lorsque𝑢_𝑛 = 𝑜(𝑣_𝑛).

ZExemples:

– Soit𝑢_𝑛 =sin(¹_𝑛)alors𝑢_𝑛 ∼ ¹_𝑛, on en déduit que la série de terme général𝑢_𝑛est à termes positifs pour𝑛assez grand et qu’elle est divergente, car la série harmonique diverge.

– Soit𝑢_𝑛 = 1 −cos(¹_𝑛), alors𝑢_𝑛 ∼ _2𝑛¹2, on en déduit que la série de terme général𝑢_𝑛est à termes positifs pour𝑛assez grand et qu’elle est convergente, car la série de terme général _𝑛¹2 converge.

3) Comparaison avec une intégrale

Cette comparaison peut se faire pour les séries dont le terme général est de la forme𝑢_𝑛= 𝑓(𝑛)où 𝑓est une fonction continue monotone et à valeurs positives sur un intervalleI = [A; +∞[.

Soit𝑓 ∶ [0; +∞[→ ℝune fonctioncontinue,monotoneet àvaleurs positives.

• Si𝑓est croissante alors∀𝑛 ∈ ℕ,𝑓(0) + ∫^𝑛

0 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 ⩽

∑𝑛 𝑘=0

𝑓(𝑘) ⩽ ∫^𝑛+1

0 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡.

• Si𝑓est décroissante alors∀𝑛 ∈ ℕ,∫^𝑛+1

0 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 ⩽ ∑^𝑛

𝑘=0

𝑓(𝑘) ⩽ 𝑓(0) + ∫^𝑛

0 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡.

Théorème 21.9

Preuve: Supposons𝑓croissante, alors sur l’intervalle[𝑘; 𝑘 + 1]on a𝑓(𝑘) ⩽ 𝑓(𝑡) ⩽ 𝑓(𝑘 + 1), on en déduit en intégrant sur cet intervalle que𝑓(𝑘) ⩽ ∫^𝑘+1

𝑘 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 ⩽ 𝑓(𝑘 + 1), on somme alors ces inégalités pour𝑘allant de0à 𝑛, ce qui donne ∑^𝑛

𝑘=0

𝑓(𝑘) ⩽ ∫^𝑛+1

0 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 ⩽^𝑛+1∑

𝑘=1

𝑓(𝑘), ce qui donne le premier encadrement. L’autre cas se traite de la

même façon. □

ZExemple: On considère la série de terme général𝑢_𝑛 = _𝑛_ln(𝑛)¹ pour𝑛 ⩾ 2. Soit𝑓(𝑡) =_𝑡_ln(𝑡)¹ sur[2; +∞[, cette fonction est continue, positive et décroissante, on en déduit que ∫^𝑛+1

2 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 ⩽

∑𝑛 𝑘=2

1 𝑘ln(𝑘)) ⩽ 𝑓(2) + ∫^𝑛

2 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡, or∫^𝑛

2 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 = [ln(ln(𝑡))]^𝑛₂=ln(ln(𝑛)) −ln(ln(2) → +∞, la série est donc divergente.

Soitα ∈ ℝ, la série de terme général _𝑛¹α est convergente si et seulement siα > 1.

Théorème 21.10(convergence des séries de Riemann)

Preuve: Siα ⩽ 0alors le terme général ne tend pas vers0, la série est donc grossièrement divergente.

Supposonsα > 0 et soit𝑓(𝑡) = _𝑡¹α, c’est une fonction continue, positive et décroissante sur [1; +∞[, on en déduit que que∫^𝑛+1

1 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 ⩽

∑𝑛 𝑘=1

1

𝑘^α ⩽ 𝑓(1) + ∫₁^𝑛𝑓(𝑡) 𝑑𝑡. On sait que ∫^𝑛

1 𝑑𝑡 𝑡^α =

⎧⎪

⎨⎪

⎩ln(𝑛) siα = 1

𝑛^1−α−1

1−α sinon . Siα ⩽ 1 alors∫^𝑛

1 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 → +∞et donc les sommes partielles tendent vers+∞. Par contre, siα > 1alors(∫^𝑛

1 𝑓(𝑡)𝑑𝑡)est convergente, donc majorée, et donc la série (qui est à termes positifs) converge. □ ZExemples:

– Soit𝑢_𝑛 = 𝑒⁻

√𝑛

, on sait que𝑛² = 𝑜( 𝑒

√𝑛)

, on en déduit que𝑛²𝑢_𝑛 = 𝑜(1)et donc𝑢_𝑛 = 𝑜(

1 𝑛²

), or la

série de Riemann de terme général _𝑛¹2 converge, donc la série ∑

𝑛∈ℕ

𝑒⁻

√𝑛

est convergente.

– Soit𝑢_𝑛 = ^√_𝑛_ln(𝑛)¹ ,𝑛^α𝑢_𝑛 = ^𝑛_ln(𝑛)^α−1/2 → +∞si on prendα > ¹₂ (théorème des croissances comparées), donc pour𝑛assez grand, on a _𝑛¹α ⩽ 𝑢_𝑛, en prenantα ∈]¹₂; 1[ on peut en déduire que série de terme général𝑢_𝑛est divergente.

(6)

Séries à termes quelconques Chapitre 21 : Séries numériques – Soit𝑢_𝑛 = ^ln_𝑛²3/2^(𝑛),𝑛^α𝑢_𝑛= 𝑛^α−3/2ln(𝑛)²→ 0si on prendα < ³₂(théorème des croissances comparées), donc pour𝑛assez grand, on a 𝑢_𝑛 ⩽ _𝑛¹α, en prenantα ∈]1;³₂[ on peut en déduire que série de terme général𝑢_𝑛est convergente.

III SÉRIES À TERMES QUELCONQUES

Les séries considérées sont à termes complexes.

1) Séries absolument convergentes

La série ∑

𝑛∈ℕ

𝑢_𝑛est diteabsolument convergentelorsque la série ∑

𝑛∈ℕ

|𝑢_𝑛|est convergente.

Remarque 21.4 – La série ∑

𝑛∈ℕ

|𝑢_𝑛|est évidemment à termes positifs.

ZExemple: La série de terme général 𝑢_𝑛 = ^𝑒_𝑛^𝑖𝑛3 est absolument convergente car|𝑢_𝑛| = _𝑛¹3 : série de Riemann convergente.

Si la série ∑

𝑛∈ℕ

𝑢_𝑛est absolument convergente, alors est elle convergente et on a|||

|

+∞∑

𝑛=0

𝑢_𝑛|||

|⩽

+∞∑

𝑛=0

|𝑢_𝑛|.

La réciproque est fausse.

Théorème 21.11

Preuve: Posons𝑢𝑛= 𝑎𝑛+ 𝑖𝑏𝑛avec𝑎𝑛et𝑏𝑛réels. Posons𝑎𝑛⁺=max(0, 𝑎𝑛)et𝑎𝑛⁻=max(0, −𝑎𝑛)(idem pour𝑏𝑛), alors on a0 ⩽ 𝑎⁺𝑛,0 ⩽ 𝑎⁻𝑛,𝑎𝑛⁺+ 𝑎𝑛⁻= |𝑎𝑛|et𝑎𝑛⁺− 𝑎𝑛⁻= 𝑎𝑛. On en déduit que0 ⩽ 𝑎𝑛⁺⩽ |𝑎𝑛| ⩽ |𝑢𝑛|et0 ⩽ 𝑎𝑛⁻⩽ |𝑎𝑛| ⩽ |𝑢𝑛|.

On en déduit que les séries à termes positifs𝑎𝑛⁺et𝑎⁻𝑛 sont convergentes, et par conséquent la série de terme général𝑎𝑛⁺− 𝑎⁻𝑛= 𝑎𝑛est convergente. De même on montre que la série de terme général𝑏𝑛converge et donc la série de terme général𝑎𝑛+ 𝑖𝑏𝑛= 𝑢𝑛est convergente.

L’inégalité triangulaire donne|||

|

∑𝑛 𝑘=0

𝑢_𝑘|||

|⩽ ∑^𝑛

𝑘=0

|𝑢_𝑘|, par passage à la limite, on obtient l’inégalité annoncée car

on sait que les deux sommes ont une limite. □

La réciproque du théorème ci-dessus est fausse, par exemple on montrera que la série de terme général𝑢𝑛= ⁽⁻¹⁾_𝑛^𝑛 est convergente, mais on sait que la série de terme général |𝑢𝑛| = ¹_𝑛 est divergente. Une telle série est dite semi-convergente.

Attention !

2) Séries alternées

Une série alternée est une série dont le terme général est de la forme(−1)^𝑛𝑎_𝑛 où(𝑎_𝑛)est une suite réelle positive.

Une série alternée ∑

𝑛∈ℕ

(−1)^𝑛𝑎_𝑛telle que la suite(𝑎_𝑛)estdécroissante de limite nulle, est convergente. De plus on a la majoration du reste d’ordre𝑛:|R_𝑛| ⩽ 𝑎_𝑛+1.

Théorème 21.12(critère spécial à certaines séries alternées)

Preuve: SoitS𝑛=

∑𝑛 𝑘=0

(−1)^𝑘𝑎𝑘les sommes partielles, posons𝑢𝑛= S2𝑛et𝑣𝑛= S2𝑛+1, alors𝑢𝑛+1− 𝑢𝑛= S2𝑛+2− S2𝑛= 𝑎2𝑛+2− 𝑎2𝑛+1 ⩽ 0 car la suite(𝑎𝑘)est décroissante, on en déduit que la suite 𝑢est décroissante. De même, 𝑣𝑛+1− 𝑣𝑛= S2𝑛+3− S2𝑛+1= 𝑎2𝑛+2− 𝑎2𝑛+3⩾ 0, la suite𝑣est donc croissante. Or𝑢𝑛− 𝑣𝑛= 𝑎2𝑛+1→ 0, les deux suites sont donc adjacentes, elles convergent vers une même limiteℓ, on a doncS_2𝑛→ ℓetS_2𝑛+1→ ℓ, on en déduit que S_𝑛→ ℓ, la série est donc bien convergente de sommeℓ.

De plus on a l’encadrement𝑣_𝑛⩽ ℓ ⩽ 𝑢_𝑛, ce qui veut dire queℓest compris entreS_𝑛etS_𝑛+1pour tout𝑛, par

conséquent :|R_𝑛| = |ℓ − S_𝑛| ⩽ |S_𝑛+1− S_𝑛| = 𝑎_𝑛+1. □

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Séries à termes quelconques Chapitre 21 : Séries numériques Remarque 21.5 – Lorsque le critère s’applique, la majoration du reste donne un renseignement sur la vitesse de convergence. Cette majoration est également utile lorsqu’on veut faire un calcul approché de la sommeℓ avec une précision donnée.

ZExemple: La série de terme général ⁽⁻¹⁾_𝑛^𝑛 est convergente, soitSsa somme, on a|S −

∑𝑛 𝑘=1

(−1)^𝑘

𝑘 | ⩽ _𝑛+1¹ , à priori la convergence est lente. Nous verrons en exercice queS = −ln(2). Cette série n’est pas absolument convergente, mais seulement semi-convergente.

★Exercice21.2 (utilisation d’un développement asymptotique) 1/Nature de la série de terme général𝑢𝑛=sin(⁽⁻¹⁾^√_𝑛^𝑛).

2/Même chose avec𝑢𝑛=ln(1 +⁽⁻¹⁾^√_𝑛^𝑛).

Sur le deuxième exemple on aln(1 +⁽⁻¹⁾^√_𝑛^𝑛) ∼ ⁽⁻¹⁾^√_𝑛^𝑛, la série de gauche est divergente alors que la série de droite est convergente. Le théorème de comparaison est donc en défaut lorsque les séries ne sont pas à termes de signe constant.

Attention !

3) Séries obtenues par une formule de Taylor

Soit𝑓 ∶ I → ℂune fonction de classe𝒞^𝑛+1sur l’intervalleI, alors on a la formule suivante :

∀ 𝑎, 𝑥 ∈ I, 𝑓(𝑥) = ∑^𝑛

𝑘=0 𝑓^(𝑘)(𝑎)

𝑘! (𝑥 − 𝑎)^𝑘+ ∫^𝑥

𝑎 (𝑥−𝑡)^𝑛

𝑛! 𝑓^(𝑛+1)(𝑡) 𝑑𝑡.

Théorème 21.13(formule de Taylor avec reste intégrale)

Preuve: Celle-ci est laissée en exercice, il s’agit d’une simple récurrence sur𝑛. On en déduit le théorème suivant.

□

Si𝑓 ∶ I → ℂest de classe𝒞^𝑛+1surIet si|𝑓^(𝑛+1)|est majorée par un réelM_𝑛+1, alors :

∀ 𝑥, 𝑎 ∈ I,|

|𝑓(𝑥) − T𝑛,𝑓,𝑎(𝑥)|

| ⩽ M𝑛+1|𝑥−𝑎|^𝑛+1 (𝑛+1)! . Théorème 21.14(inégalité de Taylor-Lagrange¹)

Applications:

– La série exponentielle: soit𝑧 ∈ ℂ, pour𝑡 ∈ [0; 1]on pose𝑓(𝑡) = 𝑒^𝑡𝑧, cette fonction est de classe𝒞^∞sur [0; 1], pour𝑛 ∈ ℕ, on a𝑓^(𝑛+1)(𝑡) = 𝑧^𝑛+1𝑒^𝑡𝑧, en posant𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏, on a|𝑓^(𝑛+1)(𝑡)| ⩽ |𝑧|^𝑛+1𝑒^𝑡𝑎⩽ |𝑧|^𝑛+1MoùM désigne le maximum de la fonction𝑒^𝑡𝑎sur[0; 1], appliquons l’inégalité de Taylor-Lagrange entre0et1à

l’ordre𝑛: ||

||

|𝑒^𝑧−

∑𝑛 𝑘=0

𝑧^𝑘 𝑘!

||||

|⩽ M |𝑧|^𝑛+1 (𝑛 + 1)!.

On voit que le majorant tend vers0lorsque𝑛 → +∞, car|𝑧|^𝑛= 𝑜(𝑛!), par conséquent :

∀ 𝑧 ∈ ℂ, 𝑒^𝑧= lim

𝑛→+∞

∑𝑛 𝑘=0

𝑧^𝑘

𝑘! ou encore ∀𝑧 ∈ ℂ, 𝑒^𝑧 =

∑+∞

𝑛=0

𝑧^𝑛 𝑛! .

– Développement desinen série: avec la fonction sin, toutes ses dérivées sont majorées par1, on a donc pour𝑥 ∈ ℝet𝑛 ∈ ℕ, en appliquant l’inégalité de Taylor-Lagrange entre0et𝑥à l’ordre2𝑛 + 1:

||||

|sin(𝑥) −

∑𝑛 𝑘=0

(−1)^𝑘 𝑥^2𝑘+1 (2𝑘 + 1)!

||||

|⩽ |𝑥|^2𝑛+2 (2𝑛 + 2)!.

Là encore, on voit que le majorant tend vers0lorsque𝑛 → +∞on en déduit donc que :

∀ 𝑥 ∈ ℝ,sin(𝑥) = lim

𝑛→+∞

∑𝑛 𝑘=0

(−1)^𝑘 𝑥^2𝑘+1

(2𝑘 + 1)! ou encore ∀𝑥 ∈ ℝ, sin(𝑥) =

∑+∞

𝑛=0

(−1)^𝑛 𝑥^2𝑛+1 (2𝑛 + 1)! .

1. LAGRANGE Joseph Louis(1736 – 1813) : mathématicien qui fut un précurseur dans de nombreux domaines scientifiques.

(8)

Solution des exercices Chapitre 21 : Séries numériques – Développement decosen série: de la même façon on montre que

∀ 𝑥 ∈ ℝ,cos(𝑥) = lim

𝑛→+∞

∑𝑛 𝑘=0

(−1)^𝑘 𝑥^2𝑘

(2𝑘)! ou encore ∀𝑥 ∈ ℝ, cos(𝑥) =

∑+∞

𝑛=0

(−1)^𝑛 𝑥^2𝑛 (2𝑛)! .

Remarque 21.6 –

– On peut aussi déduire le développement en série desinetcosen prenant les parties imaginaire et réelle du développement en série de𝑒^𝑖𝑥.

– Ceci se généralise au cas où𝑓est𝒞^∞et que ses dérivées en module sonttoutes majorées par une même constante, car on sait que|𝑥 − 𝑎|^𝑛 = 𝑜(𝑛!).

IV SOLUTION DES EXERCICES

Solution21.1 On vérifie par récurrence queS2𝑛= 1etS2𝑛+1= 0, la suite(S𝑛)est donc divergente et par conséquent la série de terme général𝑢𝑛aussi.

Solution21.2

1/On asin(⁽⁻¹⁾^√_𝑛^𝑛) = ⁽⁻¹⁾^√_𝑛^𝑛 −⁽⁻¹⁾_6𝑛3/2^𝑛 + 𝑜(

1 𝑛^3/2

)

, on reconnaît trois séries convergentes : la première par le critère spécial des séries alternées, la deuxième est absolument convergente car en valeur absolue c’est une série de Riemann, et la troisième par comparaison avec une série de Riemann également. On en déduit que la série ∑

𝑛∈ℕ

𝑢𝑛converge.

2/On a pour𝑛 > 1,ln(1 +⁽⁻¹⁾^√_𝑛^𝑛) = ⁽⁻¹⁾^√_𝑛^𝑛−_2𝑛¹ −⁽⁻¹⁾_3𝑛3/2^𝑛+ 𝑜(

1 𝑛^3/2

), on reconnaît trois séries convergentes : la première par le critère spécial des séries alternées, la troisième est absolument convergente car en valeur absolue c’est une série de Riemann, la quatrième par comparaison avec une série de Riemann également, mais la deuxième est une série de Riemann divergente. On en déduit que la série ∑

𝑛∈ℕ

𝑢_𝑛diverge.