Dynamique semi-classique d'un système intégrable de dimension deux : renaissances et clonages de l'état initial

HAL Id: hal-00441272

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Preprint submitted on 16 Dec 2009

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dimension deux : renaissances et clonages de l’état initial

Olivier Lablée

To cite this version:

Olivier Lablée. Dynamique semi-classique d’un système intégrable de dimension deux : renaissances

et clonages de l’état initial. 2009. �hal-00441272�

CLONAGES DE L'ÉTAT INITIAL

Olivier Lablée

Résumé. Cet artile propose une étude de la dynamique quantique de

l'équation de Shrödinger en temps long d'un hamiltonien sur L²(R²) ^ave

unétatinitialloalisé dansunezonerégulière.Al'instar deladimensionun,

surdes éhelles detemps ourtes, ladynamique quantiquesuit en première

approximation (danslalimitesemi-lassique h→0^{) ladynamiquelassique}

assoiée. Mais ontrairement à la dimension 1, ette dynamique n'est pas

toujours périodique,e qui amène àdes questionsde théorie diophantienne

desnombres.Surdeséhellesdetempspluslongues,ilapparaîtdesnouveaux

phénomènespurementquantiquesdepériodiitédupaquetd'ondeinitial.Sur

unedes éhellesde tempsd'ordre 1/h ^{lepaquetd'onde initialsereforme en}

unertainnombredelonesdel'étatinitial.

1. Introdution

1.1. Motivation. Enméaniquequantiquenonrelativistel'étatd'unsys-

tème estrégiparl'équation deShrödingersurlavariétériemanienne

(M, g)

^:

ih ∂ϕ(t)

∂t = P

_h

ϕ(t)

ave

P

_h ^{un opérateur} pseudo-diérentiel sur

L

²

(M)

^{(par exemple}

P

_h

:=

−

^h₂²

∆

_g

+ V )

^{.Endimension 1 oudansdessituations}omplètement intégrable onsaitgénéralementbiendérirelesétatsstationnaires,quiorrespondentaux

valeurspropres del'opérateur

P

_h^{.Par linéarité, on a don, en prinipe, aès}

aux solutions générales de l'équation de Shrödinger. Pourtant la dynamique

des solutions (omportement lorsque le temps évolue) reste sur bien des as-

petsmystérieuse.Dansunontextegénéralons'attendàequ'unétatinitial

Mots lefs. Dynamiquequantique,systèmeintégrables, analyse semi-lassique,équa-

tiondeShrödinger.

loalisé suive en première approximation (dansla limite

h → 0

^{) latrajetoire}

lassique assoiée.Des versionsde esarmations existentdans lalittérature

physique pour des éhelles de temps très ourtes. En dimension 1 ou dans

des situations omplètement intégrable on s'attend à beauoup mieux. Pour

des éhelles de temps beauoup plus longues (de l'ordre de

1/h

^{s ave}

s > 0

⁾

un phénomène de renaissane du paquet d'onde initial apparaît. Ce phéno-

mène a été réemment mis en évidene par les physiiens ([Av-Pe℄, [LAS℄,

[Robi1℄, [Robi2℄, [BKP℄,[Bl-Ko℄). Mathématiquement, leasd'unfeuille-

tagelassiquerégulieretleasdessingularitésdetypeelliptiquesendimension

1 [He-Ro℄ ont été traité par M. Combesure et D. Robert [Co-Ro℄,[Rob℄,

parT.Paul[Pau1℄,[Pau2℄,etaussidans[Lab1℄.Cetteartileestlependant

desestravauxendimension 2.Leasdeladimension 1prèsd'unesingularité

hyperboliqueest traitédans[Lab1℄,[Lab3℄, voiraussi[Pau3℄.

1.2. Rappels desrésultats onnues surla dimension1. Unveteur

initial

ψ

₀ ^{loalisédansune zonerégulièresuit ladynamiquelassiqueassoiée}

à

p

^{, 'est à dire une trajetoire elliptique et périodique ave une période}

T

_cl indépendante de

h

^{. Ensuite sur des éhelles de temps plus grandes une}

nouvelle période non géométrique apparaît. Cette période

T

_ren ^{(dite période}

de renaissane) est de l'ordre de

1/h

^{; le veteur}

ψ (T

_ren

)

^{reprend sa forme}

initial

ψ

₀^{.Enoreplussurprenantquandon observeequi sepasseauxtemps}

p

q

T

_ren^{, où p}_q ^{est une fration} rationnelle, on onstate qu'il y a un phénomène delonageduveteurinitial:enquelquesortequeleveteur

ψ

p q

T

_ren

s'érit

omme une ombinaisonlinéaire omplexe niede translaté duveteurinitial

ψ

₀

.

^{Danse hapitre on arrive à dérirees oeientsomplexes :on arrive,}

suivant les propriétés aritheoétiques de lafration

p/q

^{à donner lenombrede}

oeientsnon nuls etlavaleur deleurs modules.

1.3. La dimension2. Iil'hamiltoniendeladynamiqueestunopérateur

auto-adjoint avedomaine inlusdans

L

²

R

²

;

^{etayantunspetre disretdu}

type

F (hZ, hZ)

^,

F

^{étantun polynmeréel àdeux}indéterminées. Al'instarde ladimension 1,unveteurinitial

ψ

0 ^{loalisésuitenpremière}approximationla dynamiquelassiqueassoiéeàl'hamiltoniendedépart. Endimension 2,ette

dynamiqueest nettement plus omplexe.Le ot hamiltonien s'enroule autour

d'untorededimension2,ilyaalorsdeuxpériodeslassiques(quisontd'ordre

O(1))

^{. La présene des deux périodes lassiques ompliquent nettement la}

ompréhensiondel'évolutiondelafontiond'auto-orrélationpourleséhelles

de temps ourtes. On propose d'abord une étude de la dynamique quantique

en fontion de la ommensurabilité de es deux périodes lassiques; e qui

nousamèneàquelquesdisussionsdethéoriedesnombres. Lorsqueonregarde

la dynamique sur des éhelles plus grandes il y a 3 périodes de renaissane

(d'ordre

1/h

^{) qui}apparaissent.Sousunehypothèsedeommensurabilité entre es 3 périodes on arrive à érire des analogues des théorèmes de renaissane

duas uni-dimensionnel[Co-Ro℄,[Rob℄,[Pau1℄,[Lab1℄.

2. Préliminaires

2.1. Fontion d'auto-orrélation. De manière générale, on sait qu'a

partir d'un opérateur auto-adjoint

P

_h ^{sur un espae de Hilbert séparable}

H

^,

on peutlui assoier legroupe unitaire fortement ontinu:

U (t) = n

e

^−ihtPh

o

t∈R

.

Ce groupe dynamique donne diretement la dynamique quantique assoiée à

P

_h^{;eneetpour toutétatinitial}

ψ

₀

∈ H

^,l'évolutionquantiquedu veteur

ψ

₀

par l'hamiltonien

P

_h ^{au ours dutemps est donnéepar}

ψ(t) = U (t)ψ

₀

∈ H .

Suivant une idée répandu dans les artiles de physique théoriques ([Av-Pe℄,

[LAS℄, [Robi1℄, [Robi2℄,[BKP℄,[Bl-Ko℄), pour omprendrel'évolutionde

la dynamique on dénit un analogue quantique de la fontion de retour de

Poinaré.

Dénition 2.1. On dénit la fontion d'auto-orrélation

r

de l'hamilto-

nien

P

_h ^{etde veteur initial}

ψ

₀ ^{par :}

r (t) := h ψ(t), ψ

₀

i

L²

;

etlafontion d'auto-orrélation semi-lassique par :

a (t) := | r (t) | = |h ψ(t), ψ

₀

i

_L²

| .

Cette quantité mesure en quelque sorte dans la dynamique le retour sur

l'état initial. Si le veteur

ψ(t)

^est omplètement déloalisé par rapport au veteur initial

ψ

₀ ^{alors lafontion}

a (t)

^{est nulle; sipar ontrele veteur}

ψ(t)

estloalisélafontion

a (t)

^{est alors égaleà 1.}

2.2. Hamiltoniendumodèle. Onprendommehamiltonienquantique,

l'opérateur :

P

_h

:= F (P

₁

, P

₂

)

où

F

^{est un polynme de}

R [X, Y ]

indépendant de

h

^;

P

₁ ^et

P

₂ ^{sont les}

quantiés de Weyl des osillateurs harmonique lassiques

p

j

(x

1

, ξ

1

, x

2

, ξ

2

) = ω

_j

x

²_j

+ ξ

_j²

/2

^ave

ω

₁

, ω

₂

> 0

^.L'étudedel'hamiltonien

P

_h

= F (P

₁

, P

₂

)

^per-

metdefaire uneétudeassezgénéralenontriviale.Eneetestethamiltonien

estmoinspartiulierqu'iln'yparait,puisqueàhoméomorphismeprés,ildonne

lespetre onjoint de tout systèmeomplètement intégrable àdeux degrésde

libertés dansleszones régulièresetprés d'unesingularitéde type elliptique.

Une base hilbertienne de

L

²

(R

²

)

^{est la famille des fontions d'Hermitte}

(e

_n,m

)

_n,m

:= (e

_n

⊗ e

_m

)

_n,m∈N2 ^{. En posant pour tout ouple (}

n, m)

^d'entiers

naturels

τ

_n

:= ω

₁

h

n + 1 2

, µ

_m

:= ω

₂

h

m + 1 2

;

on aimmédiatement que pour tout ouple

(n, m)

^{d'entiersnaturels}

F (P

₁

, P

₂

) (e

_n

⊗ e

_m

) = F (τ

_n

, µ

_m

) (e

_n

⊗ e

_m

) .

2.3. Dynamique semi lassique assoiée et fontion de retour.

Soit unveteur initial

ψ

₀

∈ L

²

(R

²

)

^{et notonspar}

(a

_n,m

)

_n,m

= (a

_n,m

(h))

_n,m ^la

suitedesprojetionsde

ψ

₀ ^surlabase

(e

_n

⊗ e

_m

)

_n,m^{.Onobtientalorsquepour}

tout

t

^réel

ψ(t) =

e

^{−ihtF(P1,P2)}



 X

n,m∈N2

a

_n,m

(e

_n

⊗ e

_m

)



 = X

n,m∈N2

a

_n,m

e

^{−ihtF(τn,µm)}

e

_n

⊗ e

_m

etdon

r (t) =

+∞

X

n=0 +∞

X

m=0

| a

_n,m

|

²

e

^{−ihtF(τn,µm)}

; a (t) =

+∞

X

n=0 +∞

X

m=0

| a

_n,m

|

²

e

^{−ihtF(τn,µm)}

.

Avant d'étudier ette quantité en détails on va d'abord dénir un état initial

pourla dynamique.

2.4. Choix d'un état initial loalisé en énergie. Dénissonsun état

initial

ψ

₀ ^{de ladynamiquedépendantde}

h

^{etloaliséautourd'unnombreréel}

E

^{.Soitdeux réels}

E

₁

∈ [ − 1, 1]

^et

E

₂

∈ [ − 1, 1]

indépendant de

h

^.

Dénition 2.2. Ondénit lesentiersnaturels

n

₀

= n

₀

(h)

^et

m

₀

= m

₀

(h)

par :

n

₀

:=

^arg

min

n

| τ

_n

− E

₁

| ; m

₀

:=

^arg

min

m

| µ

_m

− E

₂

| .

L'entier

n

₀ ^(resp.

m

₀^{) est don l'indie de la valeur propre de} l'opérateur

P

₁

(resp.de

P

₂^{)la plusprohedu réel}

E

₁ ^(resp.

E

₂^).

Remarque 2.3. Commelesvaleurspropresde

P

₁ ^{(resp.ellesde}

P

₂^)sont

distantes l'une de l'autre de

ω

₁

h

^{(resp. de}

ω

₂

h

^{), il est lair que}

| E

₁

− τ

_n0

| ≤ ω

₁

h, | E

₂

− µ

_m0

| ≤ ω

₂

h

^etquepour

h → 0

^{on ales} équivalenes:

n

₀

∼ E

₁

ω

₁

h ; m

₀

∼ E

₂

ω

₂

h .

Dénition 2.4. Considérons lasuite

(a

_n,m

)

_n,m∈Z2

= (a

_n,m

(h))

_n,m∈Z2 ^dé-

niepar :

a

_n,m

:= K

_h

χ

τ

_n

− τ

_n0

h

^δ′1

, µ

_m

− µ

_m0

h

^δ2′

= K

_h

χ

ω

₁

n − n

₀

h

^δ1′−1

, ω

₂

m − m

₀

h

^δ′2−1

;

où

χ ∈ S (R

²

)

^{est une fontion non} identiquement nulle, positiveet paire.Les paramètres

(δ

^′₁

, δ

₂^′

) ∈ ]0, 1[

²

.

^{Et ave}

K

_h

:=

χ

τ

_n

− τ

_n0

h

^δ1′

, µ

_m

− µ

_m0

h

^δ′2

l²(N2)

.

Onvadétailler ehoix d'état initial :

1. Le terme

χ

_τ

n−τn0

h^δ′1

,

^µm−µm0

h^δ′2

sert à loaliser autour, non pas autour de

(E

₁

, E

₂

)

diretement,maispourdesraisonstehniques,autourdesvaleurs propres les plusprohesduouple

(E

₁

, E

₂

)

^.

2. Lesonstantes

δ

^′₁ ^et

δ

^′₂ ^{servent àmodierladilatation de lafontion}

χ

^.

La raison du hoix

0 < δ

^′_j

< 1

^{est la suivante : 'est l'unique hoix possible}

pour avoir à la fois une loalisation pertinente (qui ne tend pas vers

{ 0 }

^{) et}

une loalisationplus grandequel'interstie spetral

h

^δ′j

≫ h.

D'abordestimonslaonstantedenormalisation

K

_h^{,pourelaonvautiliser}

le:

Lemme 2.5. Soit une fontion

ϕ ∈ S ( R

²

)

^et

(ε

1

, ε

2

) ∈ ]0, 1]

^{2; alors uni-}

formément pour

(u

₁

, u

₂

) ∈ R

^{2 on a}

X

l,s∈Z2,|l+u1|≥¹₂,|s+u2|≥¹₂

ϕ

l + u

₁

ε

₁

, s + u

₂

ε

₂

= O(ε

^∞₁

+ ε

^∞₂

).

Démonstration. Onmontrefailement que,uniformément pour

u

₁

, u

₂

∈ R

²

X

l,s∈Z2,|l+u1|≥¹₂,|s+u2|≥¹₂

ϕ

l + u

₁

ε

₁

, s + u

₂

ε

₂

= O(1).

Érivonsensuite que

X

l,s∈Z2,|l+u1|≥¹₂,|s+u2|≥¹₂

ϕ

l + u

1

ε

₁

, s + u

2

ε

₂

≤ X

l,s∈Z2,|l+u1|≥¹2,|s+u2|≥¹2

l + u

₁

ε

₁

2N

ϕ

l + u

₁

ε

₁

, s + u

₂

ε

₂

ε

^2N₁

(l + u

₁

)

^2N

≤ ε

^2N₁

4

^N

X

l,s∈Z2

l + u

₁

ε

₁

2N

ϕ

l + u

₁

ε

₁

, s + u

₂

ε

₂

.

Demême on aaussi

X

l,s∈Z2,|l+u1|≥¹₂,|s+u2|≥¹₂

ϕ

l + u

₁

ε

1

, s + u

₂

ε

2

≤ ε

^2N₂

4

^N

X

l,s∈Z2

s + u

2

ε

₂

2N

ϕ

l + u

1

ε

₁

, s + u

2

ε

₂

.

Ensuite on applique ei suessivement aux fontions

ψ(x, y) := x

^2N

ϕ(x, y)

et

ψ(x, y) := y

^2N

ϕ(x, y)

^{pour onlure.}

Théorème 2.6. Nous avons

K

_h

= 1

p F (χ

²

) (0, 0)h

δ′1+δ′

2−2 2

+ O (h

^∞

) ;

et ainsi

k a

n,m

k

_l²₍N2)

= 1 + O(h

^∞

).

Démonstration. Ave laformulesommatoire dePoissonetlelemmepréé-

dent nousavons leségalités

X

n,m∈Z2

χ

²

ω

₁

n − n

0

h

^δ1′−1

, ω

₂

m − m

0

h

^δ′2−1

= h

^{δ1′+δ2′−2}

X

l,s∈Z2

F χ

²

− l h

^δ1′−1

ω

1

, − s h

^δ′2−1

ω

2

!

= h

^{δ′1+δ′2−2}



F χ

²

(0, 0) + X

l,s∈Z2,|l|+|s|≥1

F χ

²

− l h

^δ′1−1

ω

₁

, − s h

^δ2′−1

ω

₂

!



= h

^{δ′1+δ′2−2}

F χ

²

(0, 0) + O (h

^∞

) .

On va maintenant revenir à l'indexage de la série sur l'ensemble

N

^2;partons

de l'égalité:

X

n,m∈N2

χ

²

n − n

₀

h

^δ1′−1

, m − m

₀

h

^δ2′−1

== h

^{δ′1+δ′2−2}

F χ

²

(0, 0) + O (h

^∞

)

−

−1

X

n=−∞

+∞

X

m=−∞

χ

²

n − n

₀

h

^δ′1−1

, m − m

₀

h

^δ′2−1

−

+∞

X

n=0

−1

X

m=−∞

χ

²

n − n

₀

h

^δ′1−1

, m − m

₀

h

^δ′2−1

.

Avele lemmepréédent onmontrealors failement que

−1

X

n=−∞

+∞

X

m=−∞

χ

²

n − n

0

h

^δ1′−1

, m − m

0

h

^δ2′−1

= O(h

^∞

),

+∞

X

n=0

−1

X

m=−∞

χ

²

n − n

₀

h

^δ′1−1

, m − m

₀

h

^δ2′−1

= O(h

^∞

).

Et aunal ona bien:

χ

n − n

₀

h

^δ1′−1

, m − m

₀

h

^δ′2−1

2 l²(N2)

= F χ

²

(0, 0)h

^{δ′1+δ′2−2}

+ O (h

^∞

) ;

d'où

K

_h

= 1

p F (χ

²

) (0, 0)h

δ′1+δ′

2−2 2

+ O (h

^∞

) .

Ensuite il sutde réérire que

k a

_n,m

k

²_l²₍N2)

= K

_h²

X

n∈Z

χ

ω

₁

n − n

₀

h

^δ′1−1

, ω

₂

m − m

₀

h

^δ′2−1

2

= K

_h²

h

^{δ′1+δ′2−2}

F χ

²

(0, 0) + O(h

^∞

)

= 1 + O(h

^∞

).

2.5. Déoupe de la série. Commençons parune dénition:

Dénition 2.7. On dénit les ensemble d'entiers

∆ = ∆(h, E

₁

, E

₂

)

^et

Γ = Γ(h, E

₁

, E

₂

)

^{par :}

∆ := n

(n, m) ∈ N

²

; | n − n

₀

| ≤ h

^{δ1−1 et}

| µ

_m

− µ

_m0

| ≤ h

^δ2−1

o

où

0 < δ

^′_i

< 1

^{;etononsidère aussi}

Γ

^le omplémentaire de

∆

^dans

N

^{2 :}

Γ := N

²

− ∆.

Lemme 2.8. Si on suppose que pour tout indie

i ∈ { 1, 2 } δ

^′_i

> δ

_i ^{on a}

alors

X

n,m∈Γ

| a

_n,m

|

²

= O(h

^∞

).

Démonstration. Érivons:

X

n,m∈Γ

| a

n,m

|

²

≤ X

n,m∈Z2,|n−n0|>h^δ1−1

| a

n,m

|

²

+ X

n,m∈Z2,|m−m0|>h^δ2−1

| a

n,m

|

²

.

Comme

χ

^{2 estàdéroissane rapide,pourtout entier}

N ≥ 1

^ona

X

n,m∈Z2

n − n

0

h

^δ1′−1

2N

| a

_n,m

|

²

+ X

n,m∈Z2

m − m

0

h

^δ2′−1

2N

| a

_n,m

|

²

= O(1).

Sans perdre de généralités on peut supposer que

n

₀

= m

₀

= 0

^{.Ensuite nous}

avons

X

n,m∈Z2,|n|>h^δ1−1

| a

_n,m

|

²

= h

^{2N(δ′1−1)}

X

n,m∈Z2,|n|>h^δ1−1

| a

_n,m

|

²

n

h

^δ′1−1

2N

1 n

^2N

= O

h

^{2N(δ′1−δ1)}

.

Demême nousavons

X

n,m∈Z2,|m|>h^δ2−1

| a

_n,m

|

²

= O

h

^{2N(δ′2−δ2)}

;

etainsi

X

n,m∈Γ

| a

_n,m

|

²

= O(h

^∞

).

3. Dynamique sur des éhelles de temps ourtes : périodes

lassiques

Lorsque on apprîmes au premier ordre la fontion d'auto-orrélation il ap-

paraît deux onstantes; es deux onstantes sont les périodes lassiques géo-

métriques assoiéesà l'hamiltonienlassique du système.

3.1. Périodes semi-lassiques et lassiques. En toutpremierlieu in-

troduisonslespériodessemi-lassiquesetlassiquesdusystème.Onvaeneet

introduire deuxpairesdepériodeslassiques;lapremièrepaire sortnaturelle-

ment delaformuledeTayloreetuéesurles valeurspropres danslafontion

d'auto-orrélation. Onsupposeii que

∂F

∂X

(E

₁

, E

₂

) 6 = 0,

^∂F_∂Y

(E

₁

, E

₂

) 6 = 0.

Périodes semi-lassique.

Dénition 3.1. Ondénit lespériodessemi-lassiques

T

_scl1^et

T

_scl2 ^{par :}

T

_scl1

:= 2π

∂F

∂X

(τ

_n0

, µ

_m0

) ω

₁

et

T

_scl2

:= 2π

∂F

∂Y

(τ

_n0

, µ

_m0

) ω

₂

.

Enpremière approximationlafontion d'auto-orrélationest alors égaleà:

Proposition 3.2. Soit

α

^{unréelvériant}l'inégalité:

α > 1 − 2 min δ

_i^.On

a alors uniformément pour tout

t ∈ [0, h

^α

]

^:

r (t) = e

^−itF

(

^τn0,µm0

)

^/h

X

n,m∈N2

| a

n,m

|

²

e

^−2iπt

„

n−n0 Tscl1

+^m_Tscl^−m0

2

«

+ O

h

^{α+2 minδi−1}

.