D. T IBI
Seuils de percolation en dimension deux
Annales scientifiques de l’Université de Clermont-Ferrand 2, tome 78, sérieProbabilités et applications, no2 (1984), p. 57-132
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EN DIMENSION DEUX
D. TIBI
Je tiens à remercier Monsieur F. LEDRAPPIER sous la direction
duquel j’ai
effectué cetravail,
constituant ma thèse de troisièmecycle,
ainsi que les différentespersonnalités scientifiques
quej’ai
eu la chance de rencontrer etqui
m’ont aidée à mieux connaître lapercolation,
enparticulier
Messieurs H. KESTEN et L. RUSSO.Introduite en 1957 par Broadbent et
Ham~mersley ([4]),
la notion de perco- lation a fourni un modèle pour décrire de nombreuxsystèmes,
pour laplupart
pro-posés
par laphysique (voir [6], [11], [23]
pour une séried’exemples),
etpré-
sentant en
particulier
des liens étroits avec laquestion
des transitions depha-
se
en mécanique statistique (cf [Il, [5], [8], [171).
Indépendamment
de sesmultiples
illustrations enphysique,
en chimie ou enbiologie,
lapercolation
suscitel’intérêt
des mathématiciens par sa formulation relativementsimple; cependant, malgré
certainestechniques
devenuesclassiques
(comme
la dualité entregraphes,
lesinégalités
F.K.G.(cf [9], [10])
ou les ar- guments dePeierle...),
cette théorie n’aaujourd’hui
à sonacquis qu’un
nombreassez restreint de résultats
rigoureux, qui
suivent à des années d’intervalleceux obtenus par la
physique (c’est
le cas du résultatp c=1 2
concernant le mo-dèle de
percolation
des liens dansZ2,
démontré en 1980 par Kesten[15]).
La formulation du
problème
en termes depercolation
des liens>(voir
parexemple C7I
ouC11 J
pour lapercolation
dessites»
est la suivante :il
s’agit d’étudier
la structure des composantes connexes(amas) d’un graphe
aléa-toire obtenu à
partir
d’ungraphe donné (connexe,
infinidênombrable)
en sup-primant
des liens(dits
alorsfermés)
suivant une certaine loi deprobabilité.
On
précise parfois percolation indépendante>
poursignifier
que l’état des dif- férents liens(fermé
ou, aucontraire, ouvert)
est déterminé par destirages
indé-pendants.
Les
questions
abordées sont deplusieurs
sortes :* détermination des seuils
critiques
depercolation (c’est-à-dire
deprésen-
ce d’amas
infinis;
cf[21, [14], [15], C 16], C 19], [20], [26], [27], [28]),
et com-paraison
de ce seuil avec diverses autres valeursC24J) .
* étude de la
régularité
de la fonctionprobabilité
depercolation (probabi-
lité pour un
point
donné de fairepartie
d’un amasinfini;
cfC 163, [19.11, [20J) , question
reliée(dans [3])
à celle du nombre d’amas infinis(cf [7], [141, [17], [18]).
* recherche
d’équivalents
auvoisinage
dupoint critique
pour diverses quan- tités comme la fonction depercolation,
la taille moyenne des amas, ou leur densité moyenne(cf [12], [13]
pour cettedernière);
c’est leproblème
des exposants criti-probabilité
pour chacun desouvert) (cf [16], [25]).
* étude de la
percolation
avec évolution dans le temps(First
passage per- colation> enAnglais) (cf [241).
Cette thèse de 3ème
cycle
s’inscrit dans le cadre dupremier
type de ques-tions,
et, enparticulier,
des articles de L. Russo[191, [20]
etC211.
Ces articles établissent la relation = 1 entre le seuil de
percolation pc
d’un
graphe périodique
g P P qplan G
P etcelui, p*c,
Pc, de son graphe dual G*, de songraphe
duallorsque lorsque
q lesliens sont ouverts avec même
probabilité.
[
Ce résultatsignifie
que fermerdans G *
les liens duaux des liens ouverts dans0. ~
donne : si p>p*
absence presque sûre d’amas infini dansG*
si
présence
presque sûre d’un telamas 1.
()Ceci permet de retrouver, par
auto-dualité,
la valeur pour?L2.
Il est
légitime
de se demander ce que devient ce résultatlorsque
les étatsdes différents liens sont déterminés par des
tirages
encoreindépendants,
mais cet-te fois avec une
probabilité
d’ouverture variant d’un lien à un autre.Peut-on alors avoir des
indications,
pour ungraphe auto-dual (Z2),
sur ledomaine
critique (qui
est ici unepartie
de où L est l’ensemble desliens) ?
L’analogue
du résultat de Russo serait l’existence d’unehypersurface ~
dans
(la
surfacecritique)
hors delaquelle
lesconfigurations présente-
raient avec
probabilité 1,
un et un seul des 2 types d’amas infini :amas infini
dans ~
pour p au-dessusde ...B
dansamas infini
dans * pour
p au-dessousde 1
dansUn argument
simple
permet de constater que ce résultat est faux dans,[0, IiL
tout entier
(les
domaines d’existence presque sûre de chacun des 2 types d’amas in- finis sont l’un et l’autrenégligeables
dans[O,IIL
muni duproduit
des mesuresde
Lebesgue
surC0,1])..
Il est vrai si l’on se restreint à l’ensemble des distributions de
probabi-
lités aux différents liens
qui
sontpériodiques
etsymétriques
par rapport à desaxes de coordonnées convenablement
choisis;
et il s’étend par densité aux distribu- tions limitespériodiques
etsymétriques
par rapport aux axes.tre II, théorème 2.
Remarque :
: on raisonne dans cechapitre
sur lapercolation
des liens dansZ 2
on aurait pu
(comme
le fait Kesten dans[16~)
étudier leproblème plus général (cf [7]
ouCHD
de lapercolation
des sites dans ungraphe périodique plan quelconque,
mais ceci aurait nécessité des définitions un peu
plus générales,
et alourdi les dé- monstrations.Le
chapitre
III donnequelques conséquences :
on montre enparticulier
que, parauto-dualité, Pl + p2 =
1 est la surfacecritique
pour le modèle depercola-
tion des liens de
ae2
où l’on ouvre les liens horizontaux avecprobabilité pl
et les liens verticaux avec
probabilité P2 (ce qui
est aussi établi par Kesten dansC161).
Le cas du réseau
triangulaire
dont les liens sont ouverts, selon leurdirection,
avec
probabilité Pl$ P2
oup3
reste non résolu dans casgénéral,
à cause del’exigence
desymétries;
il est déduit du théorème 2 dans le cas oùP2
=p3,
lacourbe
critique
est alorsP, p1 P2 p1P2
" 1(voir
aussi dans[ I 6)j .
La méthode de démonstration suit dans ses
grandes lignes
celle de Russo[191, [201
et[21],
et laplupart
des résultats intermédiaires sont desgénéralisations
au cas
périodique qui
nous intéresse de lemmes établis dans cesarticles
pour leproblème
à 1paramètre.
Enparticulier,
pourgénéraliser
la méthode utilisée dans[211
auparagraphe : application
topercolation theory>,
on est conduit à éta-blir une extension de la loi-zéro un
approchée
au cas deprobabilités
de Bernoulliquelconques;
ceci faitl’objet
duchapitre
I et constitue ici le seul résultatqui
ne
requiert
aucunehypothèse
ni depériodicité,
ni desymétrie.
1) Aizenman, M., Delyon, F., Souillard,
B. :Lower bounds on the cluster size distributions.
J. Stat.
Phys. 23
267-280(1980).
2)
Van denBerg,
J. :A note on
percolation theory.
J.
Phys.
A : Math. Gen.15
605-610(1982).
3)
Van denBerg, J., Keane,
M. :On the
continuity
of thepercolation probability
function.P reprint.
4) Broadbent, S.R., Hammersley,
J.M. :Percolation processes. I, II.
Proc.
Cambridge
Philos. Soc.53,
629-641 and 642-645(1957).
5) Coniglio, A., Nappi, C.R., Peruggi, F., Ruso,
L. :Percolation and
phase
transitions in theIsing
model.Comm. Math.
Physics 51,
315-329(1976).
6)
DeGennes,
P.G. :La
percolation :
un concept unificateur.La recherche
n°
72p.919 (Novembre 1976).
7) Fisher,
M.E. :Critical
probabilities
for cluster size andpercolation problems.
J. Math.
Phys. 2,
620-627(1961).
8) Fortuin, C.M., Kasteleyn,
P.W. :On the random cluster model I. Introduction and relation to other models.
Physica 57,
536-564(1972).
9) Fortuin,
C.M. :On the random cluster model II. The
percolation
model.Physica 58,
393-418(1972).
Correlation
inequalities
on somepartially
ordered sets.Comm. Math.
Phys. 22,
89-103(1971).
11) Frish, H.L., Hammersley,
J.M. :Percolation processes and related
topics.
S.I.A.M. J.
11,
894-918(1963).
12) Grimmett,
G.R. :On the number of clusters in the
percolation
model.J. London. Math. Soc.
13,
346-350(1976).
13) Grimmett,
G.R. :On the
differentiability
of the number of clusters per vertex in thepercolation
model.J. London. Math. Soc.
23,
372-384(1982).
14) Harris,
T.E. :A lower bound for the critical
probability
in a certainpercolation
process.
Proc.
Cambridge.
Philos. Soc.56,
13-20(1960).
15) Kesten,
H. :The critical
probability
of bondpercolation
on the square latticeequals ½.
Comm. Math.
Phys. 74,
41-59(1980).
16) Kesten,
H. :Percolation
theory
for mathematicians.Birkhauser,
Boston(1982).
17) Kunz, H., Souillard,
B. :Essential
singularity
inpercolation problems
andasymptotic
beha-vior of cluster size distribution.
J. Stat.
Phys. 19,
77-106(1978).
18) Newman, C.M., Schulman,
L.S. :Infinite clusters in
percolation
models.J. Stat.
Phys. 26,
613-628(1981).
percolation.
Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw.
Gebiete 43,
39-48(1978).
20) Russo,
L. :On the critical
percolation probabilities.
Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete
56,
229-237(1981).
21) Russo,
L. :An
approximate
zero-onelaw.
Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw.
Gebiete 61,
129-139(1982).
22) Seymour, P.D., Welsh,
D.J.A. :Percolation
probabilities
on the square lattice.Ann. Discrete
Math. 3,
227-245(1978).
23) Shante, V.K.S., Kirkpatrick,
S. :An introduction to
percolation theory.
Adv.
Phys. 20,
325-356(1971).
24) Smythe, R.T., Wierman,
J.C. :First passage
percolation
on the square lattice.Lecture Notes in Math. Vol 671
Springer (1978).
25) Stauffer,
D. :Scaling theory
ofpercolation
clusters.Phys. Reports 54
N°1,
1-74(1979).
26) Sykes, M.F., Essam,
J.W. :Exact critical
percolation probabilities
for site and bondproblems
in two dimensions.
J. Math.
Physics 5,
1117-1132(1964).
27) Wierman,
J.C. :On critical
probabilities
inpercolation theory.
J. Math.
Physics 19,
1979-1982(1978).
28) Wierman,
J.C. :Bond
percolation
onhoneycomb
andtriangular
lattices.Adv.
Appl.
Prob.13
293-313(1981).
I EXTENSION DE LA LOI ZERO-UN APPROCHEE DE RUSSO.
Ce
chapitre reprend
les notations de[71
"Anapproximate
zero-one law" etconsiste à
étendre, étape
parétape,
les résultats de Russo au cas deprobabilités
de Bernoulli
quelconques.
Rappelons qu’on
travaille sur{-! ,+!}
où L est un ensem-ble
dénombrable,
et quel’on
note :B la
tribuengendrée
par les événements keL(on
note aussiE-k= {wEQ /w(k) =
...-11 keL)
(où K CL)
la tribuengendrée
par les évènements k e K13-~e.
la famille d’évènements :«-«2u
KK
Appelons Si (pour
tout i dansL) l’application
de dans lui-mêmequi change
en son
opposée
la coordonnée d’indice i..Notons , p our tout i dans L et tout A dans
n :
et
Pour tout w dans S’2
CA(w) = / A}
est dit ensemble des indices cri-tiques
de w pour A.L’ensemble a est muni de l’ordre
partiel
défini par :w 5 w’ si et seulement
si,
pour tout i dans L, on aw(1) 5 w’(i)
Un événement A de
~0
est ditpositif
si sa fonctioncaractéristique (notée X A)
est croissante.
L’extension annoncée consiste à travailler avec la loi de
probabilité
sur ~:et v est la
loi
deprobabilité
sur{-1,+1}
tellexi
Alors le résultat de
[71
segénéralise
en :Théorème 1 : pour tout
E ~ 0,
il existeil> 0
tel queet si A e
~’~~
estpositif
et vérifiealors il existe
(autrement dit,
la fonction detp (A)
devient trèsrapidement proche
de 1 dèsqu’elle s’éloigne légèrement
de0).
Pour établir ce
théorème,
on étudieséparément chaque
direction x(vérifiant Sup xi -
1 et Inf xi >0),
et on montre que les résultats intermédiaires obtenus dans[7]
pourx == (1)
segênéralisent.
On suppose désormais e >0 et x vérifiant
Sup
xi = 1 1 et Inffixés;
i i
on montre alors :
Proposition :
si estpositif, t E [0, 11, u (A) ée
et1l.. dI A) E4
alors
u(t+E)x(A) > 1 - E
ceci en utilisant le lemme suivant
(où
l’on suppose L= N ) :
Lemme 1 : si v est une loi de
probabilité
sur(É1i,Ôà)
si C E
~
vérifiev(C) z 1 - e
et pour tout w E C et tout k
EN*
e
u
signifie qu’il
existe unereprésentation jointe
m de v surtelle que I - E
et
désigne
lecylindre w’
i ~k(jj’(i) == w i }
etw(~} ~
On considère ensuite pour A e
3o
les variables aléatoires suivantes :Alors le théorème se déduit de la
proposition
en utilisant :Lemme 2 : si est
positif,
alors pour toutt e: [0, 1 ]
E tx(nxA) A m d (A)
dt -txLemme 3 : si
-
A nonvide,
alors pour tout ye[0,11 L
tel queLemme 4 : pour tous x,
a, 0 e 10, 1 E
et pour toutpuis,
en définissant-é -
pouvants’ écrire
S - A1 B
avec A,
positifs}
Lemme 6 : si Ae est
positif
alors pour tout entier k >0Lemme 7 : pour tout et pour tout
positif :
Démons trat ions : Les lemmes 2 à 6 servent à établir le lemme
7, qui
avec la propo- sition entraîne le théorème.J’omettrai les démonstrations des lemmes 1 1
et 6,
ce dernier étant démontré dans[7],
et le
premier
n’étantqu’une généralisation
immédiate du lemme 1 de[7].
Démonstration de la
proposition :
on veutappliquer
le lemme 1 aux deux mesuresIl faut pour cela
vërifier
que, sous leshypothèses
de laproposition :
Or :
et par définition des
Ck :
n’ étant
fonction que deD’autre
partE.
etsont p indépendants (E+
nedépend
que de ne
dépend
que de et A que des(j0.,
puisque : WEA/6
Pour les w e C tels
(Ana)’ ’) =0
on a aussiil (E + lw (k-1) nA) S
en choisissant pourp (* 1 w(k-1) nA)
la mesure4tx
°(on
est libre deprendre n’importe quelle
mesurepuisque
est à valeursdans
{-l +Il k-1 fini).
e
D’après
lelemme 1,
on conclut queA) :5
donc,
A étantpositive, 1 A) :5
20132013> 1 - E:e
Remarque :
on utilise ici : Apositif
et 1-1 ->p(A)
+ Eensemble de mesure
(m)
s EDémonstration du lemme 2 : il résulte immédiatement de la formule de dérivation : pour A ~ A
positif
= démontrée dans161
lemme 3la somme intervenant dans ce 2ème membre est en fait finie
puisque
A E
53y
donc4 (A)
est fonctiond’ un
nombre f ini dex) .
Démonstration du lemme 3 : elle se fait en 2 temps :
1 )
si A est uncylindre
A -{w
en/V i E . A w(i)- QCi) j
où A cL est fini1 )
A 1 . nd A{
n/
u. A( . ) ( . )
’B ....B
A c: et t finiV
y eest un tel 1 y ’
*inf
wT 1 E.
l(JJ
11 > cr
1 J ouAcL est fini
V y e
CD ..L
tel ue , =mf .. C
inf .1-y.)]>
0 crV tel que
Y’:8
inf[inf (yi, -yj)l
>0 Cr E{-I,
11-A
y
i EL 1
XI 1 A)
*l
x. car surA, nX
est constante et vaut i1
à x.y
nA
--
i EA i
1donc
Or 1 donc
e t donc
2)
pour non videquelconque :
on raisonne par récurrence surlAI
oùAebA
* si
lAI -
0 A - Q(car A * 0)
donc les 2 membres del’inégalité
vouluesont nuls.
* si
lAI.
1 A est uncylindre,
donc le résultat est vérifié.* supposons le résultat démontré
jusqu’à
l’ordrelAI -
1 :Tf- A
s’écrit
def açon unique :
A ~(E± n A*)
u(E7 n A7)
l 1 i 1.
Si v i E A
A+
ouA.
estvide,
c’est que A est un-cylindre,
doncl’inéga-
1 1
lité est vraie.
(remarque : +
et6I. +
sont pindépendants
car(remarque : E.
i et.
jA.
i sont u yindépendants
car .de même pour
puisque
pourEn utilisant
(où Y! -
i min i i on obtient :(ceci
enappliquant l’hypothèse
de récurrence aux événementsA.
etA7
de1 1
d’après
le lemme4, puisque
Démonstration du lemmes 4 : on suppose par
exemple
queIl suf f it alors de montrer que la
fonction f a
définiesur 10,al
parest
positive.
(rappellons
que.
f~ s’annule
donc en ununique point
deétant décroissante
donc
fa
estpositive
sur10,al ,
cequi
prouve le lemme.Démonstration
du lemme 5.Soient
0a6!
1 etSE %,
donc il existe A etpositifs
tels queS~A~B.
donc
d’où pour 1
donc
l’avant
dernièreinégalité
résultant du lemme2,
A et B étantpositifs
et dansDémonstration
du lemme 7.Bt
Appliquons
le lemme 5 auxévénements ài
A etA, qui
sont dans~ d’après
le lemme 6.
(ou
encorecar sur les variables
coïncident puis-
que
(en
effetla lère
implication
résultantsimplement
del’inclusion
seconde du fait que
donc, w ->
étant décroissante sur Apositif,
ces 2 ensembles sont doncégaux
si de mêmecardinal).
Utilisons le lemme 3
(pour
les 1 . A nonvides);on
obtient :il, ...ik
(chaque
4 tx . " °1 )
.A)
étant étantmajoré majore
par p par(6. A)
donc donc par parn) n)
k tx 1 1
*’
on
rappelle
la notation(tx)’ -
infi EL ~ ~
V
t E Coc, I-aJ
car V i EL(si
(x
a été fixé tel queSupx. - !
1 et Infi i
étant
croissante)
donc en reportant cette
inégalité
dans la relation
(1) :
En raisonnant de la même
façon
avec les événementsA EA
k(k FN*
on obtiendraitet finalement
On peut en déduire
l’inégalité
En
ef f et,
posonsalors car si on note
([.1 désignant
ici lapartie entière)
Démonstration du théorème.
Soit E > 0
donnë; x e: [0, ) JL
vérif iantSu
x. 1 et Inf x. k eiEL ].i . iEL.
L 3.
Soit
A E B F évènement positif.
La f onction t
e: [0, t]
-~->u (A)
est alors croissante(sa
dérivée estd’après
lemme2).
Soit
t0 -
infC0,1 ] ~ 1.1t X
(on
suppose que{t E C0,1 ] /llt x
sinon l’ existence detx ,A
vérifiantla conclusion du théorème est immédiate 1
convient,
et ceci V n).t +1 1 er cas : t
> I-2 ~
alors le théorème es t vérif ië(’~ n j
avec a-2--2
2ème cas :
t 9
t-2e: onapplique
alors le lemme 7 avec0 PP 4
alors,
si Àdésigne
la mesure deLebesgue
sur[0,11 :
Comme d’autre
part ut puisque tx,A>to,
laproposition s’applique
tx, A.x
x,A oet
u(tx, A+E) (A) > 1-E
donc par monotonie de on a bien :ceci dès que est
positif et vérifie n
De est
indépendant
du choix de x vérifiantlq0
dedépend
que de E. Ceci achève la démonstration du théorème.II PERCOLATION DES LIAISONS DU RESEAU
~~
AVEC PROBABILITE DEPENDANT DU LIEN DE FACONPERIODIQUE
ETSYMETRIQUE
PAR RAPPORT AUX AXES.A - Définitions et notations.
Soient L
l’ensemble
des liens du réseauae2, L (resp. L2)
l’ensembledes liens horizontaux
(resp. verticaux),
c’est à direparallèles
àl’axe Ox1
12 * 2 1 2
(resp. Ox
de1l2,
etL* l’ensemble
des liens du réseau dual deae2, OZ
+I 2.
resp. Ox2
P2
’ ’2
Pour tout i e L on notera
i*
son lien dual :unique
lien deL* qui
coupe i.On considère
l’espace
0 -f-1, +11 L et
on utilise les notations duchapi-
tre I : en
particulier
est muni de la tribu~ engendrée
par les évènementsE~,
Les éléments de Si sontappelés configurations,
et un lien i est ditouvert
(resp. fermé)
dans laconfiguration
t~ si et seulement siw(i) _
+1(resp. 0)(i) = -1 ) . (Fig.
1 donne unexemple
deconfiguration).
’
Sur n on
s’intéresse
aux mesures deprobabilité
u poù est
périodique
etsymétrique
par rapport à 2 axesx
= a etx 2 = b,
aveca,b
Eae u(ceci signifie qu’il
existe un entier K > 0 tel que ~ ’désigne
la translation devecteur
s1
a ets 2
b sont lessymétries orthogonales
par rapport aux axesx,
=*a etx2 = b .
2 Cesnotations
seront utilisées tout aulong
de cechapitre
pourdésigner
les trans-lations et les
symétries d’axes
horizontaux ouverticaux).
L’ensemble
des telles distributions p pour unepériode
donnée K est noté~~.
A tout on associe défini par : V 1 e L
pi* -
1.1 -pi.
iOn
appelle chaîne,
ouchemin,
une suite(v 0 il’VI li 2’...",’v.)
finie où pourtout j E {1,...,nl v, ez2
et avecii - [v j-1 , vj ].
Une chaîne
(v ,...,v )
telle que v . vn est
appelée
boucle.o non
Une
partie
L’ de L est dite connexe si la réunion de ses éléments(considérés
comme segments dans
R2)
est connexe.Si w en on dit chemin
(resp. utie bdudlà)
est ouvert dans ws’il
est dans~(~!).
On
appelle
amas de w les composantes connexes deon
s’intéresse
à l’évènementA. -
/ w a un amasinfini}.
A E: 1B
0153jo.
doncd’après
la loi zéro-un : V pp (Aoo) e(0,!}.
Le
problème
est de déterminer les éléments p de pourlesquels p (A ) "
1 .Soit S
l’application
Q -> rt *{ 1 1L* qui
associe à w E nRemarque :
Soit Sl’application
Q2013> Q*=(-!,+!} qui
associe asa
configuration
dualew*, qui
est l’élément den*
défini par :VieL
W 1 - - W 1. (c’est-à-dire i
ouvert 20132013> ifermé).
S envoie la mesure 4
p sur la mesure 9 * m Il
v*
suru qui,
en iden- p *p iEL p i*p p* i EL
p
tifiant
L
à L par la translation de vecteur2 2
s’identifie à une mesureIl- avec
p E [0,1]L .
p
De plus,
si on ap
seraappelée répartition
duale de p.(Ce
résultat estparticulier
au réseauae2, qui
est son propredual;
pour unautre
réseau,
nonauto-dual,
p etp*
ne varient pas dans le mêmeensemble).
On
appellera *-amas
de c~ les amas dew*
dansL* (composantes
connexesde
(0 (+1)
dansL*) ;
onparlera
aussi d’ amas dual.B - Enoncé des résultats.
,
Le résultat
qu’on
se propose de démontrer est le suivant :Théorème 2 : pour tout p dans
P.
vérif iant Min . > 0 et Max . = 1 iEL iELil existe
t P
tel que pour toutce-
théorèmes’étend
ensuite par densité à l’adhérence9
de dansK E N*
"muni de la norme de la convergence
uniforme
estl’ensemble
des éléments de[0,11 L qui
sont limitespériodiques (i.e
limites uniforme d’élé-ments
périodiques)
etsymétriques
par rapport à 2 axes etx 2 -b
à,b
~Z u(M + 2
On déduit alors du théorème 2 :
Corollaire : pour tout p dans
en
vérifiant InfL
p.
> 0 etSup
L
p. 1
= ! 1IEL il existe
tp E CO, 11
tel que pour tout tE CO, 11 :
E
On ne peut rien dire ici ent P
],Remarques :
a)
Ce théorèmesignifie
que danschaque
direction(non
située dans unhyperplan
frontièrepi - 0)
il existe une valeurcritique
commune pour l’exis-tence presque sûre d’un amas infini et celle d’un amas dual infini. Autrement
dit,
il existe un domaine
critique (de mesure
deLebesgue
nulleidentifié
une
partie
de[0,!] 2K~ ) qui sépare
les domaines d’existence presque sûre de ces2 types d’amas.
b)
Le Théorème n’est pas vrai sur[0,!]
toutentier,
ni sur aucun ensemble de directions de dont la réunion n’est pasnégligeable
pour la mesure p =* n À(À
étant la mesure deLebesgue
sur[0,!])’
ieL
On
peut
en effet montrer que{p / 1.1 p (A0153> .. Il
est1.1-négligeable;
.donc
(p E [O, I]L 1g-(A p 1.) Il l’est
aussi(p 2013> ?
conservant la mesure1.1);
est donc aussi
u-négligeable
toutepartie
de[0,!]
contenue dans la réunionde ces 2 domaines et d’un troisième domaine
(critique) p-nêgligeable (car
ne con-tenant
qu’un point
danschaque direction).
L’idée,
pour prouver que.
1.1{p E [01 11 Lp p (A0153> - !} " 0,
est que tirer au hasard(avec
la loi1.1)
p dans[0, 11 L9 puis
w dans 0 suivant up , se ramène à unep seule
opération, qui
consiste à tirer au hasard w dans n avec laloi u (1 2).
En effet 9 peut être définie
+!) -
En effet 03BC peut être définie par
u (w(i) = +1) = l ([O, pi]) w(i),
iEL sont des variablesup -indé-
pendantes
On se
place
donc sur(10,11 2L g -
nÀ 0 À)
et à tout élément(Pi’xi)i L
i eL 1. 1.1E:
de cet espace on fait
correspondre
laconfiguration :
Alors w suit la
loi p 1 (car
lesw(i)
sont des variablesindépendantes
et,
1 .Or on sait
qu. 1
est la valeurcritique
pour le modèle depercolation
des liens dansae2
à unparamètre,
et quep1(A,,) -
0.(cf. [31)
2
Donc 1.l 0 p-presque
sûrement
w nepossède
pasd’amas
infini.Donc y-presque
sûrement
p 0."
(car
si unévènement
Ad’un
espaceproduit
estV 10 v2 négligeable,
pour v i
mesure surEi,
alors pourv1-presque
tout élémentx 1
deEj
1 on aC - Démonstrations.
Le théorème 2 se démontre en 2
étapes :
lapremière
donne un résultat dedisjonction
des domaines d’existence presque sûre de chacun des 2 types d’amasinfinis,
et la seconde un résultat decomplémentarité (au
domainecritique près).
Plus
précisément,
on montre :(généralisation C5~
Théorème1~.
segment
(t ,
au maximum unpoint
tp tel que et
P P P
Démonstration du
1) :
soit p on veut oursimplifier
lescalculs,
ramenerles axes de
symétrie
de p,xI - a
etx2 - b,
àcoincider
avec les axesOx.
etOx2.
Quatre
cas defigures
peuvent seprésenter,
selon que a et bappartiennent
àZ ou à Z +
i ·
dans chacun des cas on amènel’ origine
aupoint
par trans-lation,
et l’on obtient ainsi un nouveau réseau :Alors, en considerant .... p
comme élément de.
du nouveau
réseau} ,
p varie .dans (P1K u P2K uP3Ku P4K rPk 1
~1 R = {p
/ p estpériodique
depériode
K etsymétrique
par rapport àétablit une
bijection
entre ainsiqu’entre
Pour tout
(L,M)
on définit lesrectangles
dansRZ ;
ainsi que les événements suivants de
{w ’E Ç2
/ il existe un chemin ouvert inclus dans et.
L,M
dont une extrémité est sur le côté
gauche
deA~
etl’autre
sur le côté
droit}
L,M/ il existe un chemin ouvert contenu dans
A (i) L,M
etayant une extrémité sur le côté inférieur de
A (i)
L,M et l’autresur le côté
supérieur}.
Enfin on pose, pour
Il est immédiat que l’on a les
propriétés
suivantes de monotonie des donc desRL M(p)
en fonction de L et M : >.
On va maintenant établir des
inégalités qui généralisent
lesinégalités établies par
Russo dans Cb7
(pour
lapercolation
de sites avec un seulparamètre p);
lapremière
est un résultatgéométrique élémentaire
basé sur ladualité,
les 2 suivantes étant con-séquence
del’inégalité
F.K.G. et constituant le seulpoint
de la démonstration où intervienne lasymétrie (voir
laremarque @ qui
suit la démonstration duthéorème).
Pour tout
(L,M) EN2
et pour tout p ePK
(1)
résulte du fait que, si pour toutrectangle [-a,+a]x[-b,+b]
on note
(E-a,+al
x r-b+bl)
* lerectangle [-a
+ 1 1 x alorson note
(C-a,+a]x[-b,+b])*
lerectangle
alorsle
complémentaire
de(i) ->
dans(i-l,...,4)
est l’évènement :{w en /il
existe dansw*
un chemin ouvert inclus dans ayant une extrê- mité sur le côté inférieur deA"’*
L,M etl’autre
sur son côtésupérieur}
et, par des
propriétés
de monotonieanalogues
à cellesqui précèdent,
cet évènementest contenu dans
S- 1( (5-i) I) (rappelons
que S : w ->w
car on vérif ie dansest contenu dans
S-1 (A(5-i) L.M I) (rappelons
que S :(w~w*),
car on vérifie danschacun des cas i m
1,...,4
que lerectangle
est "moinslarge
etplus
haut"Donc
qui
n’est autre que la relation(1) (voir
la remarque du IIA).
(2)
est basé sur des argumentsgéométriques
et sur lesinégalités
F.K.G.(voir [Il
et[2])
énoncées et utiliséesici
dans le casparticulier
deprobabilités
deBernoulli.
Inégalité
F.K.G. : pour tout x dans[0,11 L
~
tous deux
positifs
pour tous A,B dans
événements
~
ou tous deux decomplé-
mentaire
positif
on a
On considère maintenant le
rectangle
déduit deA’"
par la translationL,M
L,Mt(MK, O).
On note
A
lerectangle
u(voir Fig.3)
L, -M2
°
a,
au
u l etal désignent respectivement
le côtégauche
deA- ’ (i),
sapartie supé-
L, M
rieure,
et sapartie inférieure; plus précisément :
Par
analogie
avec les notationsdéjà introduites,
on note :A (i) - = {wEQ (i)
/ il existe dans w un chemin ouvert inclusdans A (i)
L,
3 2M
ayant une extrêmité sur le côté
gauche
de A (i) L, 3 2M et l’autre surL, 3 2M
le côté
droit}. L,3 2M
Remarque :
Désormais le mot "chemin"signif iera toujours
"chemin auto-évitant"(un
chemin auto-évitant étant une suite finie depoints
(vi)
et de liens(i.)
telle queV j E {1,...,n} i.
=et