2.7 Le cas de la dimension deux

Équations différentielles

Cours de L3 par Frédéric Hélein

, janvier–avril 2021

Mardi 16 février 2021

2.6 La solution des équations linéaires à coefficients constants non homogènes (suite et fin)

Nous pouvons reformuler les résultats vus à la séance précédente en écrivant que, pour toute matriceA∈M(n,R), il est possible de trouver une matrice de passageP ∈GL(n,C) et des matrices A₁ ∈M(m1,C),· · · , Ar ∈M(mj,C) (où m₁+· · ·+mr =n) telles que

A=P











A₁ 0 · · · 0 0 A₂ · · · 0 ... ... ... ...

0 0 · · · A_r









 P⁻¹

et donc

e^tA =P











e^tA1 0 · · · 0 0 e^tA2 · · · 0 ... ... ... ...

0 0 · · · e^tAr









 P⁻¹

Les entiersm_j sont les dimensions des sous-espaces caractéristiquesC_jde l’endomorphisme dont la matrice dans la base canonique de Rⁿ est A. L’observation importante est que chaque matrice A_j est la matrice d’un endomorphisme de C_j de la forme λ_j1Cj +β_j, où (βj)^mj = 0. Il s’ensuit que A_j = λ_j1mj +N_j, où N_j est une matrice nilpotente, avec (N_j)^mj = 0 et donc

e^tAj =e^tλje^tNj =e^tλj

mj

X

k=0

t^k(Nj)^k k!

2.7 Le cas de la dimension deux

Soit A ∈ M(2,R) une matrice réelle 2×2. Il lui correspond le système d’équations différentielles linéaires avec deux fonctions inconnues

d dt

x¹ x²

=A x¹

x²

Il est clair que l’application constante, égale à (0,0), est toujours solution de ce système (on dit que(0,0)est un point d’équilibre de ce système, nous reviendrons sur cette notion plus tard). Le polynôme caractérisque deA,P_A(λ) = λ²−trA λ+detA, est scindable dans C. A partir de la connaissance des racines de P_A, nous pouvons décrire le comportement qualitatif des solutions du système.

1. Université de Paris, Licence 3 de Mathématiques,helein@math.univ-paris-diderot.fr

(i) P_A admet deux racines réelles, simples ou double.Ce cas admet deux sous- cas :

(a) P_A admet deux racines réelles distinctes λ₁, λ₂. Alors A est diagonalisable sur R. Notant u₁ et u₂ des vecteurs propres de A pour, respectivement, λ₁ et λ₂, une matrice de passage est² : P = (u1 u₂)et on a alorsA=P

λ₁ 0 0 λ₂

P⁻¹ ete^tA =P

e^tλ1 0 0 e^tλ2

P⁻¹.

Introduisons les fonctions (y¹, y²) telles que x(t) = y¹(t)u1 +y²(t)u2, les solu- tions sont de la forme (y¹(t), y²(t)) = (y₀¹e^tλ1, y²₀e^tλ2). Si λ₁ 6= 0, on en déduit la relation |y²(t)| = ^|y_|y⁰²1^|

0||y¹(t)|

λ2

λ1. On en déduit que chaque trajectoire non tri- viale est une composante connexe dans R² \ {(0,0)} de la courbe d’équation

|y²| =α|y¹|

λ2

λ1 (pour α ∈ [0,+∞[). Le sens de parcours peut être déterminé en examinant si |y¹| est une fonction croissante (λ₁ >0) ou décroissante (λ₁ <0) det. Voici l’allure des courbes intégrales :

siλ₁ < λ₂ <0 : ^x1

x₂

1

2

E

E

; siλ₁ <0< λ₂ :

x₂

x₁ E1

E2

si0< λ₁ < λ₂ :

x₂

E1

E2

x₁

Siλ₁ = 0, les solutions sont de la forme(y¹(t), y²(t)) = (y₀¹, y²₀e^tλ2). L’allure des

courbes intégrales si λ₁ = 0 < λ₂ est :

= ker A x₂

x₁ E2

E1

(b) P_A admet une racine réelle double λ. Alors, soit A =λ12, soit A−λ12 6= 0 et alors (A−λ12)² = 0.

Dans le premier cas, e^tA = e^tλ12 et donc les solutions sont de la forme x(t) = e^tλx₀. L’allure des courbes intégrales si λ <0est :

Dans le deuxième cas,An’est pas diagonalisable mais il existe un vecteur propre

2. chaque vecteur étant identifié avec un vecteur colonne

u pour λ. On choisit un vecteur v ∈ R² \ Ru (de sorte que (u, v) est une base de R²). Alors Av−λv est un vecteur propre et est donc colinéaire à u. Quitte à multiplier v par un réel, on peut supposer que Av−λv = u. Alors en prenant la matrice de passage P = (u v), on a A = P

λ 1 0 λ

P⁻¹ et e^tA =e^tλP

1 t 0 1

P⁻¹. Les solutions sont de la forme

x(t) =y¹₀e^tλu+y₀²e^tλ(v+tu) = (y¹₀+ty₀²)e^tλu+y²₀e^tλ2v En éliminantt, on obtient la relationy¹(t) = _y1

0

y₀² +_λ¹ln^y2_y^(t)2 0

y²(t). L’allure des

courbes intégrales si λ <0 est :

(ii) P_A admet une racine complexe non réelle λ. En ce cas, comme P_A est un polynôme à coefficients réels, λ¯ est aussi une racine de P_A et, comme Imλ6= 0, les deux racinesλetλ¯sont distinctes, doncAest diagonalisable surC:∃P ∈GL(2,C), A =P

λ 0 0 ¯λ

P⁻¹. Décomposonsλ=a+ib. On a alors³ λ 0

0 ¯λ

=

a+ib 0 0 a−ib

=C

a −b b a

C⁻¹ (2)

3. On peut retrouver ce résultat par les considérations suivantes. On remarque que,∀x, y ∈R, λ 0

0 ¯λ

x+iy x−iy

=

a+ib 0 0 a−ib

x+iy x−iy

=

X+iY X−iY

(1)

avec

X Y

=

a −b b a

x y

et comme

x+iy x−iy

=

1 i 1 −i

x y

et

X+iY X−iY

=

1 i 1 −i

X Y

on peut traduire la relation (1) sous la forme a+ib 0

0 a−ib

1 i 1 −i

x y

=

1 i 1 −i

a −b b a

x y

Et donc

a+ib 0 0 a−ib

1 i 1 −i

=

1 i 1 −i

a −b b a

avec C :=

1 i 1 −i

et C⁻¹ = ¹₂

1 1

−i i

. On en déduit que

A=Q

a −b b a

Q⁻¹ =

a 0 0 a

+Q

0 −b b 0

Q⁻¹

où Q=P C =P

1 i 1 −i

. Donc

e^tA =e^taQ

cosbt −sinbt sinbt costb

Q⁻¹

Dans le cas où a = 0, les trajectoires sont des ellipses centrées en l’origine :

x₂

x₁ y₁ y₂

Dans le cas oùa 6= 0, les trajectoires sont des spirales :

x₂

x₁ y₁ y₂

2.8 La formule de Dyson

Il est possible d’étendre les résultats obtenus pour l’équation ^dx_dt(t) =Ax(t)dans le cas où on remplace la matriceApar une applicationA∈C⁰(I, M(n,R)). Nous verrons un peu plus loin une approche générale permettant d’établir que l’ensemble des solutions est non vide et qu’il a une structure d’espace vectoriel réel de dimension n. Mais il est également possible d’obtenir ce résultat à l’aide d’une formule, qui repose sur une généralisation de l’exponentiellee^tA. Cette formule est due au mathématicien et physicien Freeman Dyson, né en 1923 et décédé en 2020. Nous considérons donc, sur un intervalle I ⊂R, l’équation

dx

dt(t) = A(t)x(t) (3)

avec A ∈ C⁰(I, M(n,R)). Il s’agit, pour tout t₀ ∈ I, de construire une application t 7−→

U(t, t0)∈GL(n,R) qui est solution de : dU(t, t₀)

dt =A(t)U(t, t₀) avec U(t₀, t₀) = 1n (4) L’idée est de construire U(t, t0) à l’aide d’une série entière :

U(t, t₀) =

+∞

X

k=0

u_k(t, t₀)

Pour cela, nous posons u₀(t, t₀) = 1n, ∀t ∈ I et nous définissons les applications u_k ∈ C⁰(I, M(n,R))par récurrence en posant :

∀k∈N, u_k+1(t0, t₀) = 0 et ∀t∈I, du_k+1

dt (t, t0) =A(t)uk+1(t, t0)

Il est alors simple de vérifier que la série P+∞

k=0u_k(t, t0)est formellement une solution de (4).

Lemme 2.1 Supposons que A∈C⁰(I, M(n,R)). Alors la série P+∞

k=0u_k(t, t0) est norma- lement convergente sur tout compact de I.

Démonstration— Considérons un intervalle compactK ⊂I. Alors, commeAest continue, A est borné sur K : ∃C > 0, kA(t)k ≤ C, ∀t ∈ K. Nous allons montrer par récurrence surk que, si R := sup{|t−t₀| ; t∈K}, alors, ∀k ∈N,

∀t∈K, ku_k(t, t₀)k ≤ |t−t₀|^kC^k

k! (5)

Comme u₀(t, t0) = 1n, la propriété (5) est immédiate pour k = 0. Supposons que (5) est vrai pour k∈N et montrons que cela entraîne qu’elle est vraie pour k+ 1. A partir de la définition deu_k+1(·, t0), nous avons u_k+1(t, t0) =Rt

t0A(s)uk(s, t0)ds et donc ku_k+1(t, t₀)k ≤

Z t t0

kA(s)kku_k(s, t₀)kds ≤

Z t t0

C|s−t₀|^kC^k k! ds

= |t−t₀|^k+1C^k+1 (k+ 1)!

On en déduit que U(t, t0) existe et est une fonction continue de t. En utilisant le fait que ^uk+1_dt (t, t0) = A(t)uk+1(t, t0), on en déduit que la série dérivée est aussi normalement convergente et donc que U(·, t₀)est C¹ et satisfait (4).

Ainsi la solution x de (3) telle que x(t0) =x₀ est x(t) =U(t, t0)x0.

Remarque —On peut expliciter chaque terme u_k(t, t₀), pour k ∈N^∗, sous la forme u_k(t, t0) =

Z

t0<s1<···<sk<t

A(sk)· · ·A(s1) ds₁· · ·ds_k sit₀ < t et

u_k(t, t0) = (−1)^k Z

t0>s1>···>sk>t

A(sk)· · ·A(s1) ds₁· · ·ds_k si t < t₀ Cette quantité est notée dans les deux cas

u_k(t, t₀) = 1 k!

Z t t0

^k

T(A(s₁)· · ·A(sk))ds₁· · ·ds_k

dans laquelle le symbole Tsignifie que les facteurs dans le produit A(s1)· · ·A(sk) doivent être systématiquement réordonnés dans un ordre chronologique, du passé vers le futur de droite à gauche si t₀ < t et du passé vers le futur de gauche à droite si t < t₀ (en prenant garde qu’alors

Rt t0

k

= (−1)^k Rt0

t

k

). La notation utilisée par les physisicens pour U(t, t0) est

U(t, t0) =Texp Z t

t0

A(s)ds

et est appelée exponentielle chronologique. Attention ! ce n’est pas une exponentielle au sens ordinaire, sauf si A est constant.

Exercice

(i) On pose v₀(t₀, t) = 1n et on définit, pour tout k ∈ N, v_k+1 ∈ C⁰(I, M(n,R)) par v_k+1(t₀, t₀) = 0 et ^dv_dt^k+1(t₀, t) = −v_k+1(t₀, t)A(t). On poseV(t₀, t) :=P+∞

k=0v_k(t₀, t).

Démontrer que V(t₀, t) est une application C¹ de t et que, ∀t ∈ I, V(t₀, t) = U(t, t0)⁻¹. (Indication : considérer l’application t7−→V(t0, t)U(t, t0)).

(ii) Montrer que la solution de l’équation ^dx_dt(t) =A(t)x(t) +B(t) avecx(t₀) =x₀ est x(t) = U(t, t0)x0+

Z t t0

U(t, s)B(s)ds

(iii) En déduire que l’ensemble des solutions de l’équation ^dx_dt(t) = A(t)x(t) +B(t)a une structure d’espace affine de dimension n.

3 Théorie locale des équations différentielles non linéaires

Nous revenons maintenant à une situation beaucoup plus générale, à savoir l’étude du problème de Cauchy pour une équation différentielle

[ y(t0) = y₀ ] et

∀t∈I, dy

dt(t) =X(t, y(t))

(6) où lechamp de vecteur Xest un élément deC⁰(U,Rⁿ),Uest un ouvert deR×Rⁿcontenant (t0, y₀)et l’inconnue est un couple(I, y), oùI est un intervalle deRety ∈C¹(I,Rⁿ), tels que ∀t∈I, (t, y(t))∈U.

Nous ne pourrons ni expliciter la solution d’une telle équation, ni même décrire son comportement pour tout temps en toute généralité. En revanche il sera possible de prou- ver l’existence d’une solutionlocale au problème (6) et, sous certaines hypothèses supplé- mentaires, l’unicité de cette solution. Ces hypothèses reposent sur la notion de fonction lipschitzienne.

3.1 Le théorème de Cauchy–Lipschitz

Définition 3.1 Soit Ω ⊂Rⁿ, un ouvert convexe, (Y,k · k) un espace vectoriel normé et F : Ω −→ Y une application. On dit que F est lipschitzienne s’il existe une contante C >0 telle que

∀(x1, x₂)∈Ω², kF(x2)−F(x1)k ≤Ckx2−x₁k (7) Remarques (a) Cette notion peut se définir dans le cadre, plus large, des espaces mé- triques : une application F : X −→ Y entre deux espaces métriques (X,d_X) et (Y,d_Y) est lipschitzienne si elle satisfait d_Y(F(x₁), F(x₂)≤C d_X(x₁, x₂), ∀(x₁, x₂)∈X².

(b) Dans la définition précédente, on a supposé que Ω est convexe, car ainsi la quantité kx₂−x₁k mesure bien la distance entre x₁ etx₂ dans Ω. Des exemples de convexes sont les boules d’un espace vectoriel (pour n’importe quelle norme) et les produits cartésiens de convexes.

(c)Toute application lipschitzienne est continue, mais la réciproque n’est pas vraie.

Par exemple la fonction f :R−→R définie parf(x) = p

|x|est continue, mais n’est pas lipschitzienne (notamment l’inégalité (7) ne marche pas pour x₁ = 0).

Définition 3.2 SoitU un ouvert deR×Rⁿ etX ∈C⁰(R×Rⁿ)un champ de vecteur. On dit que X est localement lipschitzienne en espace ou localement lipschitzienne par rappport à x si, ∀(t0, x₀)∈U, ∃ε >0, ∃r >0, ∃C(t0, x₀)>0 tels que

(i) ]t₀−ε, t₀+ε[×B(x₀, r)⊂U

(ii) ∀t ∈]t₀−ε, t₀+ε[, ∀x₁, x₂ ∈B(x₀, r)

kX(t, x2)−X(t, x1)k ≤C(t0, x₀)kx2−x₁k (8) Théorème 3.1 (Cauchy–Lipschitz) Soit U un ouvert de R×Rⁿ et X ∈ C⁰(R×Rⁿ) un champ de vecteur localement lipschitzienne en espace. Alors

(i) (existence locale) ∀(t₀, x₀) ∈ U, ∃I ⊂ R, intervalle ouvert contenant t₀, ∃y ∈ C¹(I,Rⁿ) tels que

(a) ∀t∈I, (t, y(t))∈U; (b)

∀t ∈I, dy

dt(t) = X(t, y(t)) y(t₀) = x₀

(9) (ii) (unicité) Si y₁, y₂ ∈C¹(I,Rⁿ) sont deux solutions de (9), alors y₁ =y₂.

Nous verrons la preuve de ce résultat à la prochaine séance.